Estadística I Melanie Nogué Fructuoso

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TEMA 4 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

1. Función de probabilidad y distribución

Cuando el soporte de la variable es un intervalo, estamos hablando de variables

aleatorias continuas, como por ejemplo:

X= tiempo que tarda una persona en llegar al trabajo

Sop(X)=[0,∞)

1.1. Cálculo de probabilidades

Utilizábamos la función de probabilidad para las variables aleatorias discretas de

forma que la calculábamos asignando un valor a la variable X. No obstante, en las

continuas no se puede aplicar, pues al calcular un valor concreto, la probabilidad daría

0. Entonces, en las variables aleatorias continuas se asignan probabilidades a

intervalos:

( )

Para poder calcularlo, la función de densidad se definirá como:

( ) ∫ ( )

Es decir, todo lo que hasta ahora hemos calculado con las variables aleatorias

discretas lo haremos mediante integrales.

Por ejemplo:

( ) { [ ]

Queremos saber la probabilidad de que X tome valores entre 0 y 0,5:

( ) ∫ [ ]

Propiedades de las integrales:

i. ∫

ii. ∫

iii. ∫

iv. ∫

v. ∫

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vi. ∫

vii. ∫

viii. ∫

En el cálculo de probabilidades, da igual si > o < llevan el igual, pues no añade

probabilidades.

Si recordamos en matemáticas, las integrales son áreas, y en las VAC también

representarán las probabilidades como áreas.

1.2. Propiedades de la función de densidad

- Debe ser siempre positiva.

- La integral en el soporte de la variable en la función de densidad da 1, es decir:

∫ ( )

Esta última propiedad se usará por ejemplo en ejercicios donde se pregunte:

Ejercicio ejemplo: ¿qué valor de K debe ser para que la función sea una

función de densidad?

( ) { [ ]

∫

1.3. Función de distribución

Nos da todas las probabilidades acumuladas hasta el punto a. se calcula a priori:

( ) ( ) ∫ ( )

Donde el menos infinito representa el valor mínimo del soporte y el infinito es el

valor máximo. En nuestro ejemplo sería:

( ) ( ) ∫

Y finalmente, la forma de colocarlo es:

( ) {

( )

[ )

[ )

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Propiedades:

i. Siempre se encuentra entre 0 y 1.

ii. ( ) ( ) ( )

iii. ( ) ( )

iv. Si nos dan la función de distribución, para encontrar la función de densidad

tendremos que derivar.

1.4. Esperanza

O valor esperado, se define como:

( ) ∫ ( )

Propiedades:

La más importante es que si queremos calcular cualquier función de x siendo

E(g(x)), se hace:

( ( )) ∫ ( ) ( )

1.5. Varianza

Tiene el mismo significado que para las VAD.

( ) ∫ ( ) ( ( ))

O bien:

( ) ( ) ( ( )) ( ) ∫ ( )

( ( ))

1.6. Función de densidad conjunta y marginal

Como en dos VAD estamos trabajando con funciones de densidad y deberemos

definir una nueva función de densidad conjunta. Si por ejemplo tenemos:

( ) { ( ) [ ] [ ]

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¿Cuál es el valor de K para que la función de densidad conjunta sea realmente una

función de densidad?

∫ ∫ ( )

∫ [

]

∫

La forma general es:

( ) ∫ ∫

Si por ejemplo no nos dan los dos extremos de las variables u sólo nos dan el

superior, a la hora de integrar cogeríamos el valor del soporte, por ejemplo:

[ ] ( ) ∫

También nos pueden preguntar por la probabilidad de que x e y estén

relacionadas, como por ejemplo:

( )

Esto afectará a los límites de integración. En primer lugar, fijamos x y

despejamos y, y entonces cambiamos el orden y decimos y<x, dando:

∫ ∫ ( )

X puede tomar cualquier valor, sólo tiene restricción y que como máximo será

igual que x.

∫ ∫ ( )

∫ ( )

∫

Si tenemos la función de densidad conjunta, también nos interesará obtener la

función de densidad marginal. Si queremos saber la función marginal de x, tendremos

que integral la función respecto a y, y si lo que queremos es la y, integraremos en

función de x. Siendo:

( ) ∫

( ) ∫

1.7. Independencia entre variables

Dos variables son independientes si:

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XU[a,b]

( ) ( ) ( )

1.8. Funciones de densidad condicionadas

Ahora ya no hablamos de probabilidades condicionadas, si no de funciones de

densidad condicionadas, la expresión es:

( )

( )

Además, para calcular la esperanza condicionada, se coge la función de densidad

condicionada y se multiplica por x, siendo:

( ) ∫

Todo esto nos puede servir si tenemos que calcular la covarianza, la cual se

calcularía:

( ) ( ) ( ) ( )

2. Distribución uniforme

En una distribución uniforme, la variable toma valores en un intervalo, [a, b],

además, la función de densidad es proporcional a la longitud de dicho intervalo, siendo

b-a.

Los parámetros de la distribución uniforme son los extremos del intervalo a y b.

Por lo tanto diremos que:

Si solo toma valores en el intervalo [a, b] con probabilidades positivas según la función

de densidad:

( ) {

[ ]

El valor esperado es:

( )

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Y la varianza:

( ) ( )

3. Distribución exponencial

Se usa en la práctica para estudiar variables como los rendimientos de activos

financieros o la duración de aparatos electrónicos. Viene determinada por un único

parámetro .

Seguirá una distribución exponencial si sólo toma valores no negativos según la

función de densidad:

( ) { [ ]

El valor esperado es:

( )

Y la varianza:

( )

La representación gráfica sería:

Xexp()

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4. Distribución normal

Es una de las más importantes en estadística. Describe situaciones en las que los

valores de la variable están alrededor de un valor normal central, con un cierto grado

de dispersión en los extremos.

Además existe el Teorema Central del Límite, que establece que la suma de un

elevado número de variables aleatorias, sin importar la distribución que tengan, se

puede aproximar por una distribución normal.

Esta distribución se caracteriza por los valores µ y ² que corresponden a la

esperanza E(x) y a la varianza V(x) respectivamente.

Por lo tanto, diremos que una variable X sigue una distribución normal con

parámetros µ y ² si puede tomar cualquier valor real según la función de densidad:

( )

( )

Su representación gráfica sería:

XN(µ,²)

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Es simétrica respecto al parámetro µ, el cual nos dice el eje central y nos dice

cuán ancha o estrecha es.

Si quisiéramos calcular P( 3<x<5), gráficamente sería:

Nos piden el área marcada con una X. Entonces se debe integrar la función de

densidad. No obstante, es muy complicado integrar la función de esta distribución, por

ello, se usa una tabla la cual muestra la distribución normal estándar con esperanza 0

(µ=0) y varianza 1 (²=1). Esta distribución normal estándar se llamará Z.

Los valores que hay en la tabla con los que se encuentran en la izquierda de la

distribución, por ejemplo, P( Z1.27):

i. Buscar en la tabla 1.2

ii. En la fila superior buscar el 0.07

iii. Encontramos el valor, que en este caso sería 0.8980

En cambio, si nos preguntaran P(Z > 1.42), debemos buscar en la tabla qué

probabilidad equivale a 1.42 y restarlo a 1, siendo:

P( Z > 1.42)= 1-0.9222=0.0778

Otra propiedad es que empieza por 0.5 hasta 1 en los valores positivos, pues Z

pertenece a todo R, tomando valores desde 0.00 hasta 3.99 en positivo y de -3.99

hasta 0.00 en negativo.

4.1. Probabilidad de intervalos

Teniendo Z N(0,1), nos piden:

3 5

ZN(0,1)

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( ) ( ) ( )

4.2. Método de estandarización

Tenemos una normal cualquiera, la cual le hacemos unas operaciones para

transformarla en una normal estándar.

( )

Por ejemplo: ( ) teniendo XN(5,4):

( ) (

) (

) ( )

Ejemplo II: XN(3,9) ( ) (

) ( ) ( )

( )

4.3. Probabilidad de intervalos

( )

Calcular ( ) ( ) ( )