Tema 4: Variables aleatorias Tema 4: Variables Aleatorias · Distribución Erlang Distribución...

Estadística, Profesora: María Durbán1

Tema 4: Variables aleatorias

4.5 Proceso de BernouilliDistribución de BernouilliDistribución BinomialDistribución Geométrica

4.6 Proceso de PoissonDistribución de PoissonDistribución Exponencial

4.7 Otras distribuciones relacionadas con tiempos de espera y fiabilidadDistribución ErlangDistribución Weibull

4.8 Distribución Normal

4.10 Distribuciones relacionadas con la NormalDistribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher

4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones


Objetivos del tema:

Al final del tema el alumno será capaz de:

Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas

Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicacionesespecíficas

Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para lasdistribuciones más comunes

Tema 4: Variables Aleatorias








4.5 Proceso de Bernouilli




Cuando un experimento tiene las siguientes características:

Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

La proporción de A y D es constante en la poblacióny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

Las observaciones son independientes

Pr( )Pr( ) 1

D pA q p

== = −




Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A)Defectuoso (D)

La proporción de A y D es constante en la poblacióny no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada


Pr( )Pr( ) 1

D pA q p

== = −



Ejemplos

Observar el resultado al lanzar una moneda

Si un una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación

Observar el sexo de un recién nacido

Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital



Distribución de Bernouilli

0 si el suceso ocurre A 1 Pr( 0)1 si el suceso no ocurre A Pr( 1)

q p XX

p X→ = − = =

=→ = =

La función de probabilidad es:

1( ) (1 ) 0,1x xp x p p x−= − =

[ ]

[ ] 2 2

0 (1 ) 1

(0 ) (1 ) (1 ) (1 )

E X p p p

Var X p p p p p p

µ

σ

= = × − + × =

= = − − + − = −



Distribución Binomial

X = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas

X toma valores 0,1,2,…,n

Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de parámetros (n,p).

~ ( , )X B n p




( ) (1 ) , 0,1, ,r n rnP X r p p r n

r−⎛ ⎞

= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

…

[ ][ ] (1 )

E X np

Var X np p

=

= −Estadística, Profesora: María Durbán

10

n=5

n=25 p=0.75 p=0.5 p=0.2




Ejemplo

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad deque un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes.El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

Pr( 0)X =



Ejemplo




Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces

Son independientes

La probabilidad de ser defectuoso es constante, 0.01



Ejemplo




~ (40,0.01)X B

0 4040Pr( 0) 0.01 (1 0.01) 0.669

0X ⎛ ⎞

= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠



Distribución Geométrica


Sólo hay dos resultados posibles

La probabilidad de éxito se mantieneconstante


Se repite el experimento hasta que ocurre el primeréxito

X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito

~ ( )X Ge p




1,..... son Berrnouilli iX i n=

1 2 3 4

1 0 0 0 1 Pr( 1)0 1 0 0 2 Pr( 2)0 0 1 0 3 Pr( 3)0 0 0 1 4 Pr( 4)

X X X X X

X X pX X qpX X qqpX X qqqp

↓ ↓ ↓ ↓ ↓⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =


1( ) (1 ) , 1, 2,rP X r p p r−= = − = …Estadística, Profesora: María Durbán

16



1,..... son Berrnouilli iX i n=

[ ][ ] 2 2

1/

(1 ) /

E X p

Var X p p

=

= −

1 2 3 4

1 0 0 0 1 Pr( 1)0 1 0 0 2 Pr( 2)0 0 1 0 3 Pr( 3)0 0 0 1 4 Pr( 4)

X X X X X

X X pX X qpX X qqpX X qqqp

↓ ↓ ↓ ↓ ↓⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = =






Ejemplo

La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes,

¿Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error?

X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrarel primer error

[ ] 1/ 1/ 0.1 10E X p= = =








4.6 Proceso de Poisson





Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo

La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo

Es la misma para los intervalos del mismo tamañoEs proporcional a la longitud del intervalo

Los sucesos ocurren de forma independiente. El número desucesos que ocurren en un intervalo es independiente delnúmero de sucesos que ocurren en otro intervalo



X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija

La distribución de Poisson se puede obtener como límite de unaBinomial cuando

Distribución de Poisson

y 0n p→ ∞ →

npλ = → Número medio de sucesos en ese intervalo

lim 1n

en

λλ −⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠n → ∞

n → ∞



( ) , 0,1,!

reP X r rr

λλ−

= = = …

[ ] [ ]

[ ]

1

0 1

1 2 1 2

! ( 1)!

~ ( ) ~ ( ) independientes ~ ( )

r reE X E X r er r

Var XX P Y P X Y P

λλλ λλ λ λ

λλ λ λ λ

− −∞ ∞−= → = = =

−

=

+ +

∑ ∑








Ejemplos

Número de defectos en un milímetro de cable.

Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralitaen una hora.

Número de erratas por página en un documento



Ejemplo

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se producede manera estable e independiente. Por término medio llega un clientecada minuto.

¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?

X = Número de clientes por minuto

Y = Número de clientes en 3 minutos

~ ( 1)X P λ→ =

~ ( 3)Y P λ→ =

3 033Pr( 0)

0!eY e

−−= = =



Ejemplo


Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta6000 euros diarios. ¿Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre acada cliente para que sea rentable?

Y = Número de clientes en 8 horas ~ ( 60 8 480)Y P λ→ = × =

Beneficio = Tarifa x Y -6000

[ ]Beneficio Esperado = Tarifa 6000 0 = Tarifa 480 6000 0

E Y× − >

× − >Tarifa > 12.5



La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar

Tiempo entre llamadas telefónicasTiempo entre llegadas a un puesto de servicioTiempo de vida de un componente eléctrico

Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial

Distribución de exponencial




X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso

Podemos calcular su función de distribución:

0 0( ) (cero sucesos en (0,t ))P T t P> =

~ ( )X P λ

X= Número de sucesos en una unidad de tiempoY = Número de sucesos en (0,t0) 0~ ( )Y P tλ

00( ) Pr( 0) tP T t Y e λ−> = = =

00 0( ) ( ) 1 tF t P T t e λ−= ≤ = −

~ ( )X P λ




X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo

T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos

~ ( )X P λ

( )( ) , 0tdF tf t e tdt

λλ −= = ≥

[ ][ ] 2

1/

1/

E X

Var X

λ

λ

=

=

Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo

El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ



0.1( ) 0.1 xf x e−=

0.5( ) 0.5 xf x e−=

2( ) 2 xf x e−=



Ejemplo


¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes?

X = Número de clientes por minuto

T = Tiempo entre dos clientes

~ ( 1)X P λ→ =

~ ( 1)T Exp λ→ =

( )1 3 3Pr( 3) 1 Pr( 3) 1 (3) 1 1T T F e e− × −> = − ≤ = − = − − =

Pr(No haya clientes en 3 minutos)=Estadística, Profesora: María Durbán

32


Propiedad

1 2 1 2Pr(T > t +t / T > t ) = Pr( T > t )

1 22

1

( t +t )1 2 1 1 2

t1 1

Pr(T > t +t T > t ) Pr( T > t +t ) = Pr( T > t ) Pr( T > t )

te ee

λλ

λ

−−

−= =∩

Si no ha habido clientes en 4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos?

3Pr( 7 | 4) Pr( 3) 1 (3)Y Y Y F e−> > = > = − =








Distribución Normal




La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios

Errores de medidaRuido en una señal digitalCorriente eléctrica en un trozo de cable…

En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal

Es la base para la inferencia estadística



Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ.

Toma valores en toda la recta real

Su función de densidad es:

2

2( )2

2

1( ) e2

[ ] [ ]

x

f x x

E X Var X

µσ

πσµ σ

− −

= − ∞ < < ∞

= =

( , )N µ σ


Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media

µ

( )f x


0.5 0.5

La media, mediana ymoda coinciden


El El efectoefecto dede µµ yy σσ

¿Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)?σ= 2

σ =3σ =4

µ = 10 µ = 11 µ = 12¿Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)?


Es un factorde escala

Es un factor detraslación


La probabilidad es el área bajo la curva

c dX

f(X)


Pr(c d)X≤ ≤No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad


µ

σ

Densidad de X

Densidad de X-µ

0

Densidad de (X-µ)/σ

1


Todas las distribuciones normalesse pueden transformar en N(0,1)

XX Z µσ−

→ =



~ (3, 2)X N

Pr( 6)X ≤3 6

0 1.56 3Pr Pr( 1.5)

2Z Z−⎛ ⎞≤ = ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

Mismoºárea

~ (0,1)Z N



Ejemplo

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media7000 horas y desviación típica 600 horas

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?

Pr( 6000)X <

Pr( ) 0.9505X a> =



Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)600

X Z Z−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠

-1.66



Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)600

X Z Z−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠

1.66



Ejemplo



6000 7000Pr( 6000) Pr Pr( 1.66)600

X Z Z−⎛ ⎞< = < = < −⎜ ⎟⎝ ⎠

1.66

1 Pr( 1.66)Z= − <


1 Pr( 1.66)Z= − <


Ejemplo

1 0.95150.0485

= −=




Ejemplo


¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 94.05% de los semiconductores?

7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505600

aX a Z −⎛ ⎞> = → > =⎜ ⎟⎝ ⎠

a

0.95



Ejemplo


¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95% de los semiconductores?

7000Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505600

aX a Z −⎛ ⎞> = → > =⎜ ⎟⎝ ⎠

-b

0.95

-b Valor negativo



Ejemplo



( 7000)Pr( ) 0.9505 Pr 0.9505600

aX a Z − −⎛ ⎞> = → < =⎜ ⎟⎝ ⎠

b

0.95

b


( 7000)Pr( ) Pr 0.9505600

aX a Z − −⎛ ⎞> = < =⎜ ⎟⎝ ⎠


Ejemplo


( 7000) 1.65600

6010

a

a

− −=

⇓=

El 94.05% de los semiconductoresduran más de 6010 horas


Pr( -0.6 < Z < 1.83 )=

Pr( Z < 1.83 ) - Pr( Z -0.6 )

Pr ( Z <-0.6) =Pr ( Z >0.6 ) =1 - Pr (Z < 0.6 ) =1 – 0.7257 =

0.2743

Pr( Z < 1.83 ) =0.9664

= 0.7257 - 0.0336= 0.6921

1.83-0.6


Más ejemplos de cálculo de probabilidades

≤


La Normal es importante, no sólo porque muchas variables comunes sigan esa distribución, sino porque aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobremuestras elegidas al azar sí poseen una distribución Normal.




50 55 60 65 70

010

2030

4050

60

x

Ilustración

Sea X una variable Uniforme enel intervalo [50,70].Tenemos una muestra de tamaño2000.

La muestra tiene media 59.9 ydesviación típica 4.57

El histograma no se parece a una distribución normal con la misma media y desviación típica

xx


Elegimos aleatoriamente grupos de 10 observaciones.

Para cada grupo de 10 obtenemos entonces una nueva medida: la media muestral.

Las medias de cada muestra están más o menos cerca de la media de la variable original.

556970

565766

656263

595351

545954

695151

655354

605866

696060

596359

3ª2ª1ªMuestra

59.4 58.5 61.1



55.22075556.160009

57.09926458.038518

58.97777359.917028

60.85628261.795537

62.73479263.674046

64.613301

aa$x

0

10

20

30

40

a


La distribución de las medias muestrales tiene distribución aproximadamente normal.

La media de esta nueva variable es muy parecida a la de la variable original.

Las observaciones de la nueva variable están menos dispersas. La desviación típica es menor, en este caso 1.92 xxx


Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xi

independientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) ydistribución cualquiera

Cuando n crece,

Teorema Central del Límite


2(0,1)i

i

YN

µ

σ

−≈∑

∑

1 2 nY X X X= + + +…

( )2~ ,i iY N µ σ∑ ∑la distribución de


Supongamos que tenemos n variables aleatorias Xi

independientes con medias (µι) y desviaciones típicas (σi) ydistribución cualquiera

Teorema Central del Límite


Sea lo que sea lo que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande, nos va a aparecer de manera natural la distribución Normal







4.5 La Normal como aproximación de otras distribuciones4.9 La Normal como aproximación de otras distribuciones




La variable Binomial es suma de variables de Bernouilli, que toman el valor 0 ó 1.

Binomial-Normal

1 2 nY X X X= + +… [ ][ ] (1 )

i

i

E X pVar X p p

=

= −T.C.L.

( ), (1 )Y N np np p≈ − 305

nnpq

>>


5.000 7.625 10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000x

0.00

0.04

0.08

0.12


Binomial-Normal

( )15, 10.5N

50 0.310.5

n pnpq

= ==


La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta.

Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.


Factor de corrección

0.5Pr( ) Pr( 0.5) Pr(1 )

0.5Pr( ) Pr( 0.5 ) Pr(1 )

x npX x X x Znp p

x npx X x X Znp p

⎛ ⎞+ −≤ = ≤ + ≅ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞− −≤ = − ≤ ≅ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠



Ejemplo

Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chipsdefectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para suventa.Un comprador rechazará un lote si contiene 25 o más chips defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote?Pr( 25)

25 0.5 40Pr6.26

Pr( 2.47)Pr( 2.47) 0.9292

X

Z

ZZ

≥

↓

− −⎛ ⎞≥ =⎜ ⎟⎝ ⎠

≥ − =≤ =

~ (2000,0.02)30

40(1 ) 39.2

X Bnnpnp p

>=

− =

(40,6.26)X N≈



Poisson-Normal

La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuandoel número de experimentos tiende a infinito.

Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5)

( )~ ( )

,

X P

X N

λ

λ λ≈



Poisson-Normal



Ejemplo

El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadradosigue una distribución de Poisson con media 100.

Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más?

Pr( 95)

95 100 0.5Pr Pr( 0.55)10

Pr( 0.55) 0.6915

X

Z Z

Z

≥

↓

− −⎛ ⎞≥ = ≥ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ =






4.6 Distribuciones relacionadas con la Normal

Distribución χ2 de PearsonDistribución t de StudentDistribución F de Fisher






Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.

La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el númerode grados de libertad.

2gχ

[ ] [ ]

221

22

1

~ (0,1) ~

~ 2

i i

g igi

X XN

XY E Y g Var Y g

µ µ χσ σ

µ χσ=

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑~ ( , )iX N µ σ

independientes



Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos.

La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el númerode grados de libertad.

2gχ

0 5 10 15 20 25

x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f(x)

2 grados de libertad3 grados de libertad4 grados de libertad5 grados de libertad



t de Student

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el númerode grados de libertad.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

2 ~ (0,1) ~/g g

Zt Z N YY g

χ=



t de Student

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda larecta real.La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el númerode grados de libertad.

-10 -5 0 5

x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x)

5 grados de libertad20 grados de libertad100 grados de libertad



F de Fisher

Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

1 2 1 2

2 21,

2

/ X ~ ~/g g g g

X gF YY g

χ χ=

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