1. Tema 5Funciones Reales devariable real 2. Indice Definiciones Propiedades globales Dominio Recorrido Acotacin Extremos Absolutos Monotona Extremos relativos Simetra Perioicidad Operaciones con funciones Funcin inversa Traslaciones Reflexiones Funciones polinmicas Funciones lineales Funciones cuadrticas Interpolacin Funciones Racionales Funcin Valor Absoluto Funciones Exponenciales Funciones Logartmicas Funciones circulares Funciones inversas de las funciones 3. DefinicionesConcepto de funcinDados dos conjuntos A y B, llamamos funcin a la correspondencia deA en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo unaimagen en B, es decir una imagen o ninguna.Funcin real de variable real es toda correspondencia f que asocia acada elemento de un determinado subconjunto de nmeros reales,llamado dominio, otro nmero real.f : D Rx y=f(x)Donde x es la variable independiente e y es la variable dependienteAl conjunto de pares ordenados ( x, f(x) ) se le denomina Grafo de lafuncin. A la representasin grfica en un sistema de ejes cartesianosse le denomina grfica de la funcin 4. DominioDefinicinEl subconjunto en el que se define la funcin se llama dominio o campoexistencia de la funcin. Se designa por Dom f .Dominios de las funciones ms comunes:Funciones Polinmicas: Su dominio es R.Funciones Racionales: Su dominio es R menos los polos de la funcin.Funciones Irracionales del tipo f (X)=ng (x ): Su dominio es eldominio de g(x) si n es impar y si n es par elDom f={x / g(x)0}Funciones Exponenciales f ( X ) = a g ( x) : Su dominio es el dominio de g(x)Funciones Logaritmicas f ( X ) = l o g : Su dominio es: a g(x)Dom f={x / g(x)>0} 5. RecorridoDefinicinEl subconjunto de las imagenes mediante la funcin de loselementos del dominio sedenomina llama Recorido y se designapor Im f .No hay reglas para calcular el recorrido de una funcin,depender de la naturaleza de la funcin.f (x)=x4+4 x2+1Por ejemplo en la funcinsu dominio es R (por ser polinmica) ysu recorrido es(,5 ] 6. AcotacinDefinicinUna funcin esta Acotada Superiormente por un nmero K si todosvalores que toma la funcin son menores o iguales que Kf (x)esta Acotada superiormenteK/Kf (x)xDom fA K se le denomina cota superior. A la menor de las cotas superioresse le denomina Extremo superior o Supremo. Si el Supremo pertenecea Imf se le denomina Mximo AbsolutoEjemploLos valores de la funcin son todos menoresque 5, luego 5 es una cota superior, perotambin son menores que 4,2; 4,1 y 4.Luego 4 es el supremo y como f (2)=4entonces 4 ser el Mximo absoluto. 7. AcotacinDefinicinUna funcin esta Acotada inferiormente por un nmero M si todosvalores que toma la funcin son mayores o iguales que Mf (x)esta Acotada InferiormenteM/Mf (x)xDomfA M se le denomina cota inferior. A la mayor de las cotas inferioresse le denomina Extremo inferior o Infimo. Si el Infiemo pertenece aIm f se le denomina Mnimo AbsolutoE jemploLos valores de la funcin son todosmayores que -1, luego -1 es una cotainferior, pero tambin son menoresque -0,2; -0,1 y 0. Luego 0 es elnfimo y como f (0)= no habrMnimo absoluto.Una funcin est Acotada si lo est inferiormente y superiormente 8. MonotonaDefinicinLa monotona consiste en estudiar cmo cambia la variable dependientecuando cambia la variable dependiente.Funcin estrictamente creciente.Una funcin es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) si y solo si: x1 , x2(a,b) x1f (x2) Ejemplo 11. Extremos relativosDefinicinUna funcin presenta un extremo relativo en un punto si cambia en l sumonotona.Mximo relativoUna funcin presenta un Mximo relativo en un punto x0 si:E(x0,)/ xE*(x0, )f (x0)>f (x)Mnimo relativoUna funcin presenta un Mnimo relativo en un punto x0 si:E(x0,)/ xE*(x0, )f (x0) 1 se expande el eje ySi 0 < c < 1 se contrae el ejeEjemploDilatacin de eje OXSe obtiene cuando componemosf g(x)=f (cx)Si c > 1 se contrae el eje ySi 0 < c < 1 se expande el eje 22. Funciones linealesDefinicinLas funciones polinmicas de grado cero o uno tienen por grfica unalnea recta. Estas funciones pueden ser de tres tipos:Funcin constante. Su grfica es una lnea recta paralela al eje deabscisas y su ecuacin esf (x)=K KFuncin lineal. Su grfica es una lnea recta que pasa por el origende coordenadas y su ecuacin esf (x)=mx m0El parmetro m recibe el nombre de pendiente de la recta o constantede proporcionalidad de la funcin.Funcin afn. Su grfica es una recta que no pasa por el origen decoordenadas y su ecuacin esf (x)=mx +n m, n0El parmetro m es la pendiente de la recta, y el parmetro n se denomina ordenada en el origen. 23. Funciones linealesEjemplosSi m > 0 la funcin es creciente. Si m < 0 la funcin es decreciente 24. Funciones cuadrticasDefinicinLas funciones polinmicas de segundo grado o funciones cuadrticastienen la forma:f (x)=ax2+bx+cv=(bLas grficas de estas funciones son parbolas de eje paralelo al ejede ordenadas y de vrtice en el punto:2 a4 a), La funcin es convexa, sus ramas van haciaarriba, si a es positivo y es cncava, vanhacia abajo, si a es negativo.El vrtice ser un extremo Relativo.Nota: es el discriminante de la ecuacin de segundo grado 25. Funciones cuadrticasf (x)=ax2+bx+cComo ya hemos visto, la grfica de una funcin cuadrtica es unaparbola de eje vertical. Segn las propiedades que conocemos pararepresentarla, es suficiente con hacer el estudio siguiente:I. Clculo de las coordenadas del vrtice:II. Ecuacin del eje de simetra:v=(bIII. Estudio de la orientacin segn el signo de a:IV.Puntos de corte con los ejes coordenados:2 a4 a), Representacin grfica dex=b2a 26. InterpolacinEn las ciencias sociales y en las ciencias experimentales es precisodescubrir las leyes que explican los fenmenos descritos mediantecierto nmero de pares de valores (x0 , y0), (x1 , y1), ..., (xn , yn).DefinicinLa funcin correspondiente que se aproxima a la funcin real que pasapor esos puntos se llama funcin de interpolacin.Esta funcin nos permitir encontrar valores para las abscisasintermedias de las que aparecen en la tabla, adems de hacerprevisiones o estimar los valores de la evolucin de la situacin en elcaso de que las abscisas se encuentren fuera del intervalo [x0 , xn]. 27. InterpolacinSiendo f una funcin de interpolacin.Llamamos interpolar un valor a comprendido entre los valores x0 < xnes obtener el correspondiente valor f(a). Decimos que hemos obtenidof(a) por interpolacin.Llamamos extrapolar un valor b que est fuera del intervalo [x0 , xn]con x0 < xn es obtener el correspondiente valor f(b). Decimos que hemosobtenido f(b) por extrapolacin.El resultado de obtener un valor por interpolacin o por extrapolacinser tanto ms preciso cuanto la abscisa est prxima a algn xi . 28. InterpolacinEl problema de encontrar la funcin de interpolacin es que tieneinfinitas soluciones. Las ms sencillas sern encontrar funcionespolinmicas.Teorema de existencia y unidad del polinomio interpolador.Dados n + 1 puntos (x0 , y0), (x1 , y1), ..., (xn , yn), de tal forma quex0 < x1 < x2 < ... < xn , existe una nica funcin polinmica de grado igualo inferior a n, y slo una, que pasa por los n + 1 puntos.P(x)=a0+a1 x+a2 x2+...+an xnPara que la funcin polinmica sea de grado n, debe ocurrir que trespuntos seguidos cualesquiera no estn alineados. 29. Interpolacin linealDefinicinLlamamos interpolacin lineal a las situaciones en las que conocemosdos puntos(x0 , y0), (x1 , y1). La funcin polinmica interpolada es deprimer grado, es decir, de la forma:P(x)=a0+a1 x{P(x0)=a0+a1 x0Los coeficientes a0 y a1 se determinan resolviendo el sistema:P(x1)=a0+a1 x1La funcin interpoladoraanterior coincide con laecuacin de la recta quepasa por dos puntos. 30. Interpolacin cuadrticasDefinicin2 Cuando a partir 21 de los puntos 20 2se ve que no se ajustan bien a una rectala interpolacin lineal produce grandes errores y para minimizarlosrecurrimos a la interpolacin cuadrtica.Si tenemos tres puntos (x0 , y0), (x1 , y1), (x2 , y2).La funcin polinmica interpolada que pasa por los tres puntos es de laforma: P(x)=a0+aax21 x+2 Los coeficientes a, ay ase01 2 determinan resolviendo el sistema:{P(x0)=a0+ax0+ax1 2 P(x1)=a0+ax1+ax1 2 P(x2)=a0+axax1 2+2 31. Funciones RacionalesDefinicin Funcin de proporcionalidad Inversaf (x)=kxLas funciones cuya expresin es se llaman funciones deproporcionalidad inversa.Las grficas de estas funciones son hiprbolas equilteras cuyasasntotas son los ejes coordenados.PropiedadesDominio.Dom f={0 }Recorrido.Im f ={0 }Monotona. Estas funciones son estrictamentecrecientes en todo su dominio si k es negativo yson estrictamente decrecientes en todo sudominio si k es positivo. Carecen de extremosrelativos.Acotacin. Estas funciones no estn acotadasinferior ni superiormente.Simetra. Son funciones simtricas respectodel origen de coordenadas o funciones impares.Continuidad. Son funciones continuas en todo sudominio de definicin. 32. Funciones RacionalesDefinicinf (x)=ax+bcx+dLas funciones que tienen la forma se llaman funcionesracionales.Las grficas de estas funcionesson hiprbolas equilteras cuyasasntotas son los rectasy=acx=dc 33. Funcin Valor AbsolutoDefinicinLa funcin valor absoluto de y = f (x), se escribe y = |f (x)| y sedefine como:|f (x)|={ f (x) si f ( x)