Tema 5: Diseño de filtros de...

Microondas

Tema 5: Diseño de filtros de microondas

Pablo Luis López Espí

Microondas ITT-ST Tema 5

1

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Índice

Método de las pérdidas de inserciónRespuestas y prototipos paso bajoTransformaciones en frecuenciaInversores de inmitanciaTransformación de Richards y Equivalencias de KurodaFiltros paso bajo con secciones de líneaFiltro paso alto con stubs en cortocircuitoFiltro paso banda con líneas acopladas


2

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Método de las pérdidas de inserción

PDG

ZG= Z0

ZL= Z0

Red pasiva y sin pérdidas referida a Z0

ΓIN

( ) ( )2

21 2 2

1

1 1DG

i

DG IN IN

Pl SP

= = =− Γ − Γ


3

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Funciones de transferencia

Respuesta de un filtro pasivo y sin pérdidas:

Epsilon es una constante de rizado, F() es una función característica y omega es la pulsación.

( ) ( )2

21 2 2

11 n

S jFε

Ω =+ Ω

2 22

21

1( ) 10 log 10 log 1 ( )( )

i ndBL F

S jε⎡ ⎤Ω = = + Ω⎣ ⎦Ω


4

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Respuestas máximamente plana y elíptica

0 0.5 1 1.5−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Ω (rad/s)

|S21|2

(d

B)

n=1 n=4

221 2

1( )1 nS jΩ =+Ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Ω (rad/s)

|S21|2

(d

B) n=3 n=5


5

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Respuesta Chebychev

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Ω (rad/s)

|S21|2

(d

B)

n=3 n=6

221 2 2

1( )1 ( )n

S jTε

Ω =+ Ω

1010 1rL

ε = −

1

1

cos( cos ) 1( )

cosh( cosh ) 1n

nT

n

−

−

⎧ Ω Ω ≤⎪Ω = ⎨Ω Ω ≥⎪⎩


6

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Prototipos paso bajo en escalera

42g g0g

1g 3g

4gg2

1gg0 3g

(n impar)(n par)

n+1gng

(n par)

n+1g

(n impar)

ng

ng

n+1g gng n+1


7

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Prototipo Butterworth

( )

1

1.0

2 12sin 1...

21.0

o

i

n

g

ig para i n

ng

π

+

=

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠=

10log 10 1

2log

aL

a

n

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠≥Ω

1.00000.34731.00001.53211.87942.0001.87941.53211.00000.34739

1.00000.39021.11111.66291.96161.96161.66291.11110.39028

1.00000.44501.24701.80192.00001.80191.24700.44507

1.00000.51761.41421.93181.93181.41420.51766

1.00000.61801.61802.00001.61800.61805

1.00000.76541.84781.84780.76544

1.00001.00002.00001.00003

1.00001.41421.41422

1.00002.00001

g10g9g8g7g6g5g4g3g2g1n


8

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Prototipo Chebychev

1 2

1.0

coth4

n

para n imparg

para n parβ+

⎧⎪= ⎨ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

( ) ( )

( )

1

1 2 2

2 sin2

2 1 2 34sin sin

2 21 2,3,...1

sini

i

gn

i in n

g para i ng i

n

πγ

π π

πγ−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

−⎡ ⎤+ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

ln coth17.37

sinh2

rL

n

β

βγ

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

101

10

1

10 1cosh10 1

cosh

s

r

L

L

a

n

−

−

−

−≥Ω

1.00001.75041.26902.66781.36732.72731.36732.66781.26901.75049

1.98410.87962.50931.33892.69641.35902.65641.26471.74518

1.00001.73721.25832.63811.34442.63811.25831.73727

1.98410.86962.47581.31372.60641.24791.72546

1.00001.70581.22962.54081.22961.70585

1.98410.84192.36611.19261.67034

1.00001.59631.09671.59633

1.98410.70711.40292

1.00000.69861

g11g10g9g8g7g6g5g4g3g2g1n


9

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Prototipo elíptico

3

g0

2g

2g'

g10g

1g g

2g

g'2

g

4g

4g' gn n+1

n-1g

n-1g' gn+1

ggn-1g3

(n par)

n-1g

4g

4g'

gn

g'n-1n+1 ng n+1g

(n impar)

ng

n-1g

(n par) (n impar)

(a)

(b)

Lr

La

La(d

B) →

Ωc Ω

a Ω →


10

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Prototipo elíptico (II)

0.04990.29130.43020.52970.60400.66150.75780.86920.93670.9772

4.38122.13501.44501.09330.88270.74260.54360.35400.25500.2004

0.20140.37190.49910.60130.68290.74890.86381.00311.09031.1433

1.12761.22451.30971.38201.44151.49041.57711.68431.75221.7939

0.73570.49340.38450.31630.26940.23520.18160.12440.09190.0732

0.76630.92421.00841.06521.10601.13661.18621.24161.27411.2932

0.70810.81300.87260.91440.94480.96811.00581.04811.07301.0876

13.878520.029124.545128.303131.491134.248439.594747.569854.021558.9117

1.05001.10001.14941.20001.25001.29871.40851.61291.81822.0000

5

0.92440.92890.93220.93450.93520.93480.9352

1.11941.14451.17281.21381.24711.29431.3347

1.09290.89020.71550.52610.40730.27300.1796

0.56640.64370.72840.84670.94011.06881.1765

0.37140.42480.48770.56750.62820.70940.7755

12.085614.125916.534320.301223.737829.534336.0438

1.20001.24251.29771.39621.50001.70902.0000

4

0.74270.83330.89490.9471

0.54120.32520.20700.1205

0.70960.84390.93751.0173

0.74270.83330.89490.9471

13.569818.857124.001230.5161

1.44931.69492.00002.5000

3

g5g’4g4g3g’2g2g1La dBΩ an


11

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Transformaciones en frecuencia

Paso bajo Paso alto

' o ii

c

Z LLω

=

' ii

o c

CCZ ω

=

iL

iC

1'ic o i

CZ Lω

=

iC

iL

' oi

c i

ZLCω

=


12

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Transformaciones en frecuencia (II)

Paso banda Banda eliminada

iL 'iL 'iC

iC 'iL 'iC

'

'

i oi

o

io i o

L ZL

CL Z

ω

ω

⎧ =⎪ ∆⎪⎨ ∆⎪ =⎪⎩

'

'

oi

o i

ii

o o

ZLCCC

Z

ω

ω

∆⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ ∆⎩

'

1'

i oi

o

io i o

L ZL

CL Z

ω

ω

∆⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪ ∆⎩

'

'

oi

o i

ii

o o

ZLC

CCZ

ω

ω

⎧ =⎪ ∆⎪⎨ ∆⎪ =⎪⎩

iL'iL

'iC

iC 'iL

'iC


13

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

K K C

C

L

J J

L

(a)

(b)

Inversores de inmitancia

Un inversor de inmitancia es una red de dos puertas en el que se cumple que:

ó

Es un cuadripolo pasivo, recíproco y sin pérdidas en el que S11 y S22 son reales.El desfase entre puertas ha de ser de ± 90º

2

12

KZZ

=2

12

JYY

=


14

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

C

0Z K0,1

La1

J0Y 0,1

(a)

(b)

1,2K

La2

2,3K n,n+1K

Lan

n+1Z

J JCa1 1,2 a2 2,3 C Jn,n+1an n+1Y

( 1)1 10,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,ai a io a an ni i n n

i i n ni n

L LZ L L ZK K Kg g g g g g

+ ++ +

+ += −

= = =

( 1)1 10,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,ai a io a an ni i n n

i i n ni n

C CY C C YJ J Jg g g g g g

+ ++ +

+ += −

= = =

Inversores de inmitancia (II)

Prototipos paso bajo con inversores


15

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Inversores de inmitancia (III)

C0Y J0,1 p1L

Z0

CL

K0,1

p3p2Jp1 1,2 Cp2L J2,3 L p3C Jn,n+1 n+1Y

CL

K1,2 2,3K

J2,3

CL

Kn,n+1 Zn+1

(a)

(b)

( 1)0 0 1 0 0 10,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,si s is sn ni i n n

c c i i c n ni n

L LZ L L ZK K Kg g g g g gω ω ω+ +

+ ++ += −

∆ ∆ ∆= = =Ω Ω Ω

0 0 1 ( 1) 0 100,1 , 1 , 1

0 1 1 11... 1

, ,p pi p i pn ni i n n

c c i i c n ni n

Y C C C C YJ J J

g g g g g gω ωω + +

+ ++ += −

∆ ∆∆= = =Ω Ω Ω

s1 s1 s2 s2 sn sn

Prototipos paso banda con inversores


16

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Transformación de Richards

Fue realizada por Richards en 1948 para sintetizar una red LC mediante líneas de transmisión.

La respuesta en frecuencia de los filtros así diseñados es periódica de periodo 4ωC.

Todos los stubs del filtro tienen la misma longitud eléctrica (λ/8) por este motivo estos filtros se llaman equiproporcionados

( )p

dtg d tgvωβ⎛ ⎞

Ω = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Z = 1/C

CjB

l=λ/8

Z = L

l=λ/8

BC C

XL L

C

jXL

C


17

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Equivalencias de Kuroda

Las equivalencias de Kuroda permiten construir físicamente los diseños realizados con stubs aplicando la transformación de Richards.

Separar físicamente stubs con líneas de transmisión.Transformando stubs serie en stubs paralelo o viceversa.Cambiando impedancias características irrealizables en otras más apropiadas.


18

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Equivalencias de Kuroda (II)

1Z2

Z1

Z2

1Z

1n Z1

2

1n Z2

2n

Z1

1Z2n

2 2

1

1 ZnZ

= +


19

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Equivalencias de Kuroda (III)

2ZZ1 n

Z12n

Z12

1:n2

1Z

Z1

2 n :12

n Z21

1n Z21

2 2

1

1 ZnZ

= +


20

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das Equivalente de una sección de

línea:

Filtros con secciones cortas de línea

Para secciones de alta impedancia y longitud menor de 45º, la línea equivale a una bobina. Para secciones de baja impedancia equivale a un condensador.

Ecuaciones de diseño:

Z11 – Z12 Z11 – Z12

Z12

( )( )

11 22

12 21

cot

cosC

C

Z Z jZ g d

Z Z jZ ec d

ββ

= = −

= = −

11 12 2CdZ Z jZ tg β⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

0

0

HG HGHG

LWLW LW

LZdZZ Cd

Z

β

β

=

=


21

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros con líneas acopladas

Se ajustan los valores de las admitancias características de los inversores J para que las terminaciones sean unitarias y los circuitos resonantes sean todos idénticos

RG = 1

L0 L0C0 C0 RL = 1J01 J12 JN, N+1

0 001

1

CJg

ω ∆= 0 0, 1

1 1i i

i

CJg g

ω+

+

∆= 0 0, 1

1N N

N N

CJg gω

++

∆=

0 1 2

2 1

0

ω ω ωω ωω

=−∆ =


22

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros con líneas acopladas (II)

Línea microstrip acoplada

S

1

2Φ = βd = π/2

Z0 Z0J

Φ Φ


23

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros con líneas acopladas (III)

S1

1

2

Φ = βd = π/2 Φ = βd = π/2

S2

Z0 Z0J

Φ Φ

Z0 Z0J

Φ Φ


24

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros con líneas acopladas (IV)

Resonador microstrip en lambda/2

λ/2

Z0 C0 L0

00

0

00

0

2

2

ZL

YC

πωπω

=

=


25

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros con líneas acopladas (V)

Acoplamiento de las líneas

20

0

20

0

1

1

e

o

Z J JZZ J JZ

= + +

= + −0 0

0 0

e o

e o

Z ZCZ Z

−=+

0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Distancia entre tA

copl

amie

nto

(uni

dade

s na

tura

les)

010 12

Jg gπ∆= , 1

1 12i ii

Jg gπ

++

∆=

, 112N N

N N

Jg gπ

++

∆=


26

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros paso alto con stubs en corto

Se consigue un filtro de orden 2n-1 empleando únicamente n stubs.

=1yo

Stubs en corto circuito de longitud eléctrica θc

y1,2

1

θc

y2 n-1

y y

2θc

n-1,ny =1y

o

ny

2θc


27

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros paso alto con stubs en corto (II)

Respuesta de periodo PI θc π/2 π−θ

c π 3π/2 θ →

fc (π/θ

c−1)f

c f →

|S2

1|

cc

ff

θ θ=


28

Dis

eño

de F

iltro

s de

Mic

roon

das

Filtros paso alto con stubs en corto (III)

Elementos para filtros paso alto óptimamente distribuidos de 0.1 dB de rizado

1.083021.037940.98381

0.330310.526150.77546

1.087251.043950.99126

0.290730.463830.68833

1.101991.067201.02354

0.250380.353460.48096

25º30º35º

6

0.296590.482840.72424

1.093171.050950.99884

0.271100.439850.66089

1.105401.071191.02790

0.240680.342520.46895

25º30º35º

5

1.103611.064881.01536

0.237320.394430.60527

0.111131.078421.03622

0.224410.323000.44670

25º30º35º

4

0.181760.307260.48294

1.120751.092201.05378

0.196900.286200.40104

25º30º35º

3

1.134821.115971.08967

0.154360.220700.30755

25º30º35º

2

y3,4y3

yn-2

y2,3yn-2,n-1

y2yn-1

y1,2yn-1,n

y1yn

θcn11

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