TEMA 5. INECUACIONESTEMA 5.INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 85 a 99 5-12 © V ICENS...

TEMA 5. INECUACIONES

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 85 a 99

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1. a) x > 5 / 2

b) x < 2 / 5

c) x > !6 / 3 = !2

d) x " !4

e) x < !3

f) x " !5

2. a) 1ª ecuación # x " !5 2ª ecuación # x " !5 Son equivalentes. b) 1ª ecuación # x " 1 2ª ecuación # x " 1 Son equivalentes.

Página 86

3. a) mcm (6, 2) = 6 # 5x ! 24 " 18x + 3; !27 " 13x; !27 / 13 " x b) mcm (5, 10) = 6 # 2 (x ! 3) + 10 > 3x; 2x + 4 > 3x; 4 > x c) mcm (4, 3, 6) = 12 # 3x ! 48 $ 20x ! 2; !46 $ 17x; !46 / 17 $ x d) mcm (4, 2) = 4 # x ! 6 (x ! 2) " 4 (x ! 17); !5x + 12 " 4x ! 68; 80 " 9x; 80 / 9 " x

4. Marcaremos las semirrectas abiertas con un punto blanco y las cerradas con un punto negro. a) Semirrecta abierta a la izquierda del 4.

b) Semirrecta cerrada a la derecha del !1.

c) Semirrecta abierta a la derecha del !3.

d) Semirrecta cerrada a la derecha del 6.

e) Semirrecta abierta a la izquierda del 5.

f) Semirrecta cerrada a la izquierda del 0.

g) Semirrecta abierta a la izquierda del !4.

h) Semirrecta cerrada a la izquierda del !1.

Página 88

5. a) x1 = !2, x2 = 4 f(0) = !8 < 0

Solución: [!2, 4]

b) x2 ! 2x ! 24 < 0 x1 = !4, x2 = 6 f(0) = !24 < 0

Solución: (!4, 6)

c) x1 = 3, x2 = 7 f(5) = !4 < 0

Solución: (!%, 3] & [7, +%)`

d) x2 + 3x ! 10 > 0 x1 = !5, x2 = 2



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f(0) = !10 < 0 Solución: (!%, !5) & (2, +%)`

6. Actividad personal, por ejemplo:

a) x2 ! 9x + 18 < 0

b) x2 + x ! 6 " 0

c) x2 ! 16 $ 0

d) x2 + x ! 20 " 0

e) x2 ! 5x + 6 $ 0

f) x2 ! x ! 12 > 0

7. a) x1 = 2, x2 = 7; Solución: (2, 7)

b) x1 = !6, x2 = 6; Solución: (!%, !6] & [6, +%)

c) x1 = !8, x2 = !3;

Solución: (!%, !8) & (!3, +%)

d) x1 = 0, x2 = 7; Solución: [0, 7]

8. Si no corta el eje de abscisas y la gráfica queda por encima de dicho eje:

La inecuación no tiene solución si es del tipo f(x) < 0 ó f(x) " 0.

La solución es (!%, +%) si es del tipo f(x) > 0 ó f(x) $ $ 0.

Se razona de forma análoga si la gráfica queda por debajo del eje de abscisas.

Si la gráfica corta en un único punto x = a el eje de abscisas y queda por encima del eje:

La inecuación no tiene solución si es del tipo f(x) < 0,.

La solución es x = a si es del tipo f(x) " 0.

La solución es (!%, a) & (a, +%) si es del tipo f(x) > 0.

La solución es (!%, +%) si es del tipo f(x) $ 0.

a) No corta el eje de abscisas y queda por encima del eje.

Solución: (!%, +%)

b) Corta el eje de abscisas en x = 2 y queda por encima del eje.

Solución: x = 2



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9. a) ""

10x6x

Solución: x " 6 # (!%, 6] La semirrecta cerrada que queda a la izquierda de x = 6.

b) "!!"

x77x

Solución: x = !7 La solución es el punto x = !7.

c) !"

"2x

x4

No tiene solución

d) <!

!"x3/47/8x

Solución: (!4 / 3, !8 / 7] = (!1,3; !1,143] La solución es el intervalo de extremos x = !4 / 3 y x = !8 / 7 abierto por el extremo inferior y cerrado por el superior.

10. Actividad personal, por ejemplo:

a) "$

3x3x

# Solución: x = 3

b) <>

6x1x

# Solución: x = (1, 6)

c) "

!$3x

2x# Solución: x = [!2, 3]

d) No existe tal sistema.

e) <$

2x7x

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11. a) 3x ! 6 = 0 # x = 2 x2 ! 9 = 0 # x1 = !3, x2 = 3

!3 2 3

3x ! 6 $ 0 No No No Sí Sí Sí Sí

x2 ! 9 $ 0 Sí Sí No No No Sí Sí

Solución: [3, +%)

b) 5 ! x = 0 # x = 5 x2 ! 4 + 3 = x2 ! 1 = 0 # x1 = 1, x2 = !1

!1 1 5

5 ! x $ 0 Sí Sí Sí Sí Sí Sí No

x2 ! 4 + 3 " 0 No Sí Sí Sí No No No

Solución: [!1, 1] c) x2 ! 1 = 0 # x1 = 1, x2 = !1 x2 ! 4 = 0 # x1 = 2, x2 = !2

!2 !1 1 2

x2 ! 1 $ 0 Sí Sí Sí Sí No Sí Sí Sí Sí

x2 ! 4 " 0 No Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí No

Solución: [!2, !1] & [1, 2]

Página 91

12. a) <!$!

03x06x

# <$

3x6x

# No hay solución

>!"!

03x06x

# >"

3x6x

# (3, 6]

La solución es (3, 6].

b) >!>+

05x01x

# >

!>5x

1x # (5, +%)

<!<+

05x01x

# <

!<5x

1x # (!%, !1)

Solución: (!%, !1) & (5, +%)

c) 024x8x4 "!

+! ; 0

4x16x2 "

+!

<+$!04x

016x2 #

!<$

4x8x

# No hay solución

>+"!04x

016x2 #

!>"

4x8x

# (!4, 8]

Solución: (!4, 8]

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13. a) y $ 7 ! x 0 < 7 # El origen de coordenadas no pertenece a la solución



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b) y $ x 1 ! 2 < 0 # El punto (1, 2) pertenece a la solución

c) y $ 2

x4 !

!1 < 3 # El origen de coordenadas no pertenece a la solución

d) y > 2x ! 1 !2 < 0 # El origen de coordenadas pertenece a la solución.

14. a) Semiplano cerrado por encima de la recta horizontal y = 2.

b) Semiplano cerrado por debajo de la recta horizontal y = 3.

c) Semiplano cerrado a la derecha de la recta vertical x = 0.

d) Semiplano abierto a la izquierda de la recta vertical x = 0.

e) Semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = !3.

f) x > 3 # semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = 3.

Página 94

15. a)

!"#$#%#&#'

"#!#(#&#'

!"#$#%#&#'

"#!#(#&#'

b)

x = 4

y = 1

c) "!!!>

y3x3x23y

'#&#!)#!#("'#&#)"#!#)



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d) !<

!$x4y

2y

'#&#!(

'#&#%#!#"

e) "

"y3/x

0x

'#&#"#*#)

"#&#+

f) !>

"xy2/1x

"#&#,#*#('#&#!"

16. a) Si añadimos x + 8 " y el sistema no tiene solución:

'#&#"#$#-

'#&#"#!#(

'#&#"#$#-

'#&#"#!#(

b) Si añadimos x " !2 el sistema no tiene solución:

'#&#+

"#&#+

'#&#!"#$#%

c) Si añadimos x " 0 el sistema no tiene solución:

'#&#%

'#&#,

'#&#"

'#&#"#!#.

Página 97

1. Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Actividad personal.

2. Cuando tienen el mismo conjunto de soluciones.

3. Se invierte el sentido de la desigualdad.

4. Actividad personal.


6. Puede ocurrir cuando la gráfica de la parábola asociada a la inecuación no corta el eje de abscisas. Por ejemplo, si la inecuación es del tipo f(x) < 0 ó f(x) " 0 y la gráfica se encuentra por encima del eje horizontal, la inecuación no tiene solución.




10. 1. Se despeja y en la inecuación. 2. Se representa la gráfica de la función asociada a la inecuación. 3. Se comprueba si algún punto, en general el origen de coordenadas, verifica la inecuación. Si es así, la solución es el semiplano que contiene a este punto.

11. Por ejemplo: x " y



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12. La región factible es la intersección de todas las regiones que son solución de las inecuaciones del sistema y, por lo tanto, es la solución del sistema.

El sistema $+!

$$

y3x0y0x

tiene como solución el

triángulo cerrado de vértices (0, 0), (3, 0) y (0, 3).

13. a) No son equivalentes, la solución de la primera es (!%, !18 / 7] y la de la segunda es (!%, 6]

b) Son equivalentes, la solución es [!4, +%)

14. a) x > 6 b) 7 < x c) x $ 1 d) x > !7 e) x > 10 f) 5 $ x

15. a) mcm (11, 5, 10) = 110 10x + 88 " 363 10x " 275 # x " 55 / 2

b) 48 ! 2x " 60 ! 3x x " 12

c) !27 > 9x !3 > x

d) 3x ! 5x + 60 $ 10x 60 $ 12x 5 $ x

e) 153 ! 6x < !x + 6 + 15 132 < 5x 132 / 5 < x

f) mcm (2, 3) = 6 3x ! 2x + 6x " 126 7x " 126 # x " 18

16. a) Semirrecta abierta a la izquierda de !2.

b) Semirrecta cerrada a la derecha de !4.

c) Semirrecta abierta a la derecha de 0,5.

d) Semirrecta cerrada a la derecha de 3.

e) Semirrecta abierta a la izquierda de 6.

f) Semirrecta cerrada a la izquierda de !4.

g) Semirrecta abierta a la izquierda de 1,5.

h) Semirrecta cerrada a la izquierda de 2.

17. a) x1 = !2, x2 = 7 f(0) = !14 < 0

Solución: [!2, 7]

b) x2 ! 9x + 10 > 0 x1 = 7,7; x2 = 1,3

f(2) = !4 < 0 Solución: (!%; 1,3) & (7,7; +%)

c) x1 = !10,7; x2 = 1,7 f(0) = !18 < 0

Solución: (!%; !10,7] & [1,7; +%)

d) x2 + 7x ! 60 < 0

x1 = !12, x2 = 5 f(0) = !60 < 0

Solución: (!12, 5)



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18. Actividad personal. En el apartado b consideraremos el intervalo [!7, !6].

19. a) x1 = !11, x2 = 6

Solución: (!%, !11) & (6, +%) b) x1 = x2 = 1

Solución: (!%, +%)

c) x1 = 0, x2 = 5

Solución: (0, 5)

d) x1 = !8, x2 = !3

Solución: (!%, !8) & (!3, +%) e) x1 = 0, x2 = 6

Solución: [0, 6] f) x1 = 2, x2 = 13

Solución: [2, 13]

20. a) x1 = !8, x2 = 0, x3 = 8 f(x) = x3 ! 64x = x (x ! 8) (x + 8)

!8 0 8

x ! ! ! 0 + + +

x ! 8 ! ! ! ! ! 0 +

x + 8 ! 0 + + + + +

f(x) ! 0 + 0 ! 0 +

Solución: (!%, !8) & (0, 8)

b) !2x3 + 40 + 14 > 0 x = 3



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f(x) = !2x3 + 40 + 14 = !2 (x ! 3) (x2 + 3x + 9)

3

x ! 3 ! 0 +

x2 + 3x + 9 + + +

f(x) + 0 !

Solución: (!%, 3) c) x1 = 0, x2 = 1, x3 = !2

!2 0 1

x ! ! ! 0 + + +

x ! 1 ! ! ! ! ! 0 +

x + 2 ! 0 + + + + +

f(x) ! 0 + 0 ! 0 +

Solución: (!%, !2) & (0, 1) d) x1 = 0, x2 = 2, x3 = !2

f(x) = 2x3 ! 8x = 2x (x ! 2) (x + 2)

!2 0 2

x ! ! ! 0 + + +

x ! 2 ! ! ! ! ! 0 +

x + 2 ! 0 + + + + +

f(x) ! 0 + 0 ! 0 +

Solución: [!2, 0] & [2, +%)

Página 98

21. a) "!"!

x632x221

# "!"!

x6/32x2/21

# !32 / 6 " x #

# [!32 / 6, +%) = [!16 / 3, +%)

b) "$!

2x4x59

# ="

$!2/14/2x

x5/9# x " !9 / 5 #

# (!%, !9 / 5]

c) "

$12x3

40 # No tiene solución

d) "$!18x3

x33 #

="$!=!63/18x

x13/3# x " !1 # (!%,

, !1]

e) "!$!x3

x416 #

"!$!=!

x3x44/16

# No tiene

solución

f) "$

x238x

# "

$x2/3

8x# x $ 8 # [8, +%)

22. a) |x| = 2 # x1 = 2, x2 = !2 |0| = 0 < 2

Como !2 < 0 < 2 # Solución: [!2, 2] Intervalo cerrado de extremos !2 y 2.

b) |4x ! 2| = 0 # 4x ! 2 = 0 # x = 1 / 2 Como |4x ! 2| > 0 para el resto de valores #

Solución: x = 1 / 2 Un único punto, x = 1 / 2. c) |5x ! 2| = 3 #

5x ! 2 = 3 # x1 = 5 / 5 = 1 O bien, 5x ! 2 = !3 # x2 = !1 / 5 Si x = 0, |5 ' 0 ! 2| = 2 < 3 Por lo tanto, como !1 / 5 < 0 < 1 # Solución: (!1/ / 5, 1) Intervalo abierto de extremos !1 / 5 = !0,2 y 1.

23. a) !4x ! 18 = 0 # x = !9 / 2 x2 ! 4 = 0 # x1 = 2, x2 = !2

!9 / 2 !2 2

!4x ! 18 $ 0 Sí Sí No No No No No

x2 ! 4 $ 0 Sí Sí Sí No No No Sí

Solución: (!%, !9 / 2] b) x2 ! 16 = 0 # x1 = 4, x2 = !4 !x2 + 1 = 0 # x1 = 1, x2 = !1

!4 !1 1 4

x2 ! 16 $ 0 Sí Sí No No No No No Sí Sí

!x2 + 1 " 0 Sí Sí Sí Sí No Sí Sí Sí Sí

Solución: (!%, !4] & [4, +%) c) x2 ! 25 = 0 # x1 = 5, x2 = !5

x2 = 2 # x1 = 2 , x2 = ! 2

!5 ! 2 2 5

x2 ! 25 $ 0 Sí Sí No No No No No Sí Sí

x2 " 2 No No No Sí Sí Sí No No No

No tiene solución d) !36 ! 9x = 0 # x = !4 x2 ! 5x + 4 = 0 # x1 =1, x2 = 4



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!4 1 4

!36 ! 9x $ 0 Sí Sí No No No No No

x2 ! 5x + 4 " 0 No No No Sí Sí Sí No

No tiene solución e) x2 ! 14x + 33 = 0 # x1 = 3, x2 = 11 3x + 15 = 6 # x = !3

!3 3 11

x2 ! 14x + 33 $ 0 Sí Sí Sí Sí No Sí Sí

3x + 15 $ 6 No Sí Sí Sí Sí Sí Sí

Solución: [!3, 3] & [11, +%) f) x2 ! 2x + 1 = 0 # x = 1 2x + 1 = 0 # x = !1 / 2

!1 / 2 1

x2 ! 2x + 1 > 0 Sí Sí Sí No Sí

2x + 1 $ 0 No Sí Sí Sí Sí

Solución: [!1 / 2, 1) & (1, +%)

24. a) >+"!04x08x2

# !>

"4x

4x # (!4, 4]

<+$!04x08x2

# !<

$4x

4x # No hay solución

La solución es (!4, 4]. La representación es un intervalo semiabierto por

!4 cuyo otro extremo es 4.

b) >+

$!0x3

05x4 #

!>$

3x4/5x

# [5 / 4, +%)

<+"!0x3

05x4 #

!<"

3x4/5x

# (!%, !3)

Solución: (!%, !3) & [5 / 4, +%) La semirrecta abierta a la izquierda de !3 y la semirrecta cerrada a la derecha de 5 / 4 = 1,25.

c) >+>!06x0x25

# !>>6x

x2/5 # (!6, 5 / 2)

<+<!06x0x25

# !<<6x

x2/5 # No hay solución

Solución: (!6, 5 / 2) El intervalo abierto de extremos !6 y 5 / 2 = 2,5.

d) 044x12x3 "!

!! ; 0

4x4x "

!+!

>!"+!04x

04x #

>"

4xx4

# (4, +%)

<!$+!04x

04x #

>"

x44x

# (!%, 4)

Solución: (!%, 4) & (4, +%) Todos los puntos de la recta real pertenecen a la solución excepto x = 4.

e) 062x

10x "!!! ; 0

2x2x5 "

!+!

>!"+!

02x02x5

# >

"2x

x5/2 # (2, +%)

<!$+!

02x02x5

# <

$2x

x5/2 # (!%, 2 / 5]

Solución: (!%, 2 / 5] & (2, +%) La semirrecta cerrada a la izquierda de 2 / 5 = 0,4 y la semirrecta abierta a la derecha de 2.

f) 011xx23 <+

+! ; 0

1x4x <

++!

>+<+!01x

04x #

!><

1xx4

# (4, +%)

<+>+!01x

04x #

!<>

1xx4

# (!%, !1)

Solución: (!%, !1) & (4, +%) La semirrecta abierta a la izquierda de !1 y la semirrecta abierta a la derecha de 4.

25. a) y " 5

8x !

0 < 8 El origen de coordenadas no pertenece a la solución



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b) y $ !2x + 2 1 < 3 El origen de coordenadas no pertenece a la solución

c) y > !3 ! 2x 0 > !3 / 2 El origen de coordenadas pertenece a la solución

d) y $ x ! 3 0 < 3 El origen de coordenadas pertenece a la solución

e) y < !6 ! 2x 18 > 0 El origen de coordenadas no pertenece a la solución

f) y $ 8x ! 26 !12 < 1 El origen de coordenadas pertenece a la solución

26. a) Semiplano cerrado por encima de la recta horizontal y = !3.

b) Semiplano abierto a la izquierda de la recta vertical x = !5.

c) Semiplano cerrado a la derecha de la recta vertical x = 4.

d) Semiplano cerrado por debajo de la recta horizontal y = !2.

e) Semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = 2.

f) y > 2x

!2 ' 0 + 1 > 0

El punto (0, 1) pertenece a la solución.



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27. a)

'#&#!"#$#/

'#&#("#!#(

b) !$

!!$

7xy2

x6y

'#&#0!-#!#"1#*#(

'#&#"#!#2

c) !$

$

24xy

2x

"#&#('#&#0"#!#%1#*#(

d) "

!$7y

1x

'#&#2

"#&#!,

e) !"

$x27y

2x

'#&#2#!#("

"#&#(

f)

'#&#!"#$#2

28. a)

'#&#!("#$#-

"#&#,

'#&#+

La región está acotada e incluye sus fronteras.

b)

'#&#!"#$#)'#&#"#$#)

'#&#%

'#&#,




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c)

!$+"

+!$+!"

2xyx2y

2xy6xy

'#&#!"#$#-

'#&#!"#$#(

'#&#(#$#"

'#&#"#!#(


d)

+!<!>

<!>

5x2y3x2y

3y1x

'#&#("#!#)

'#&#!("#$#.

'#&#)

"#&#!,

La región está acotada. Las fronteras

correspondientes a las rectas y = 3, x = !1 no están incluidas.

29.

$

+!"

+"

0y5

16x4y

8x4y

# La solución es el triángulo de

vértices (!1, 4), (!2, 0) y (4, 0).

Página 99

30.No, será siempre una semirrecta. Al despejar la x siempre queda una expresión de la forma x $ a, x " a o las correspondientes con las desigualdades estrictas. En los casos en los que las incógnitas se anulan, la inecuación no es de primer grado. Por ejemplo: 3x " x ! 4 + 2x # 0 " !4

No tiene solución pero no es una inecuación de primer grado.



33.

$$

+!"

+!"

0y0x

5x31y

7xy

34. a) Buscamos los valores tales que x2 ! 5x + 6 > 0: x1 = 2, x2 = 3 Si evaluamos el polinomio en x = 2,5 obtenemos

!0,25 < 0 # x2 ! 5x + 6 > 0 en (!%, 2) & (3, +%) b) Análogamente, buscamos x tal que:

03x1x 2

>!+ # x ! 3 > 0 ya que x2 + 1 > 0 para

todo x # El logaritmo tiene sentido en (3, +%).

35. Si x son los minutos de llamada: Precio con TELESTAR # f(x) = 5 + 0,5x Precio con VODOMENA # g(x) = 16 + 0,3x Interesa escoger VODOMENA cuando f(x) > g(x) # # 5 + 0,5x > 16 + 0,3x # 0,2x > 11 # x > 55 Por lo tanto, cuando se sobrepasan los 55 minutos de llamadas.

36. Si x es la cantidad de unidades vendidas (suponemos que fabrica sólo las que va a vender) los beneficios vienen dados por la expresión: 1,45x ! 1,2x ! 2.400 = 0,25x ! 2.400 Hay beneficios cuando 0,25x ! 2.400 > 0 # x > 9.600 # A partir de 9.600 unidades.

37. x1 = !1, x2 = 2, x3 = 3 f(x) = x3 ! 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x ! 2) (x ! 3)

!1 2 3 x + 1 ! 0 + + + + + x ! 2 ! ! ! 0 + + + x ! 3 ! ! ! ! ! 0 + f(x) ! 0 + 0 ! 0 +

Solución: [!1, 2] & [3, +%)



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Autoevaluación

1. a) x1425xx

73x1 22 +<!+ ; 1 < x

1431

x3114 < # (14 / 31, +%)

b) x1 = 2, x2 = 3 Por ejemplo, 2 ' (2,5)2 ! 10 ' 2,5 + 12 = !0,5 # x

= 0,5 pertenece a la solución # La solución es [2, 3]

2. a) !!>+

!"+

32x

61x

21

221

x31

31

31x

316

; !>

"

667x

32

0x3

17

!>

"

467x

0x # 0x

467 "<!

b) 3x2 + 9x ! 12 = 0 # x1 = !4, x2 = 1 5x + 20 = 0 # x = !20 / 5 = !4

!4 1

3x2 + 9x ! 12 > 0 Sí No No No Sí

5x + 20 < 0 Sí No No No No

Solución: (!%, !4)

c) 3x2 ! 6x + 3 = 0 # x1 = x2 = 1

2x2 ! 14x + 12 = 0 # x1 = 1, x2 = 6

1 6

3x2 ! 6x + 3 > 0 Sí No Sí Sí Sí

2x2 ! 14x + 12 " 0 No Sí Sí Sí No

Solución: (1, 6]


4. a) >+"!

03x2012x

# !>

"2/3x

12x # (!3 / 2, 12]

<+$!

03x2012x

# !<

$2/3x

12x # No hay solución

La solución es (!3 / 2, 12].

b) 034x12x2 $!

!+ ; 0

4x24x $

!+!

>!

$+!04x

024x #

>$4xx24

# (4, 24]

<!

"+!04x

024x #

<"4xx24

# No hay solución

La solución es (4, 24].

5. Para los valores de x tales que 5x1x 2

+! $ 0

>+$!05x01x 2

# !>

!"$5x

1xo1x # (!5, !1] & [1,

, +%)

<+"!05x01x 2

# !<

""!5x

1x1 # No hay solución

La raíz cuadrada existe para los valores de x que pertenecen al conjunto (!5, !1] & [1, +%).

6. +"

>

2x1y

yx

'#&#"

'#&#0,#$#"1#*#(

7. Los números que buscamos son del tipo 10a + b donde a y b son números naturales.

11, 12, 13, 14, 22, 23

TEMA 5. INECUACIONESTEMA 5.INECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 85 a 99 5-12 © V ICENS...

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