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La Transformada de Laplace

La Transformada Bilateral de Laplace

La Transformada Unilateral de Laplace

Región de Convergencia (ROC)

Cálculo de La Transformada de Laplace

Propiedades de La Transformada de Laplace

Teorema del Valor Inicial

Teorema del Valor Final

Indice:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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La transformada de Laplace puede interpretarse como una generalización de la

transformada de Fourier, que permite manejar problemas no tratables con esta

última como son funciones que no cumplen la condición de convergencia.

Para solventar el problema, en vez de utilizar una frecuencia puramente

imaginaria jw, se utiliza una frecuencia compleja s = σ + jw, con σ = Re {s} y w

= Im {s}. Así, se garantiza la convergencia de la integral.

Se distinguen dos versiones de la transformada de Laplace: La Transformada de

Laplace Bilateral y la Unilateral.

1. La Transformada de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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La bilateral está directamente relacionada con la transformada de Fourier.

La unilateral es la herramienta ampliamente utilizada en ingeniería, que se

deriva de la transformada bilateral para señales causales.

En ingeniería, la mayoría de las veces en que se habla de “Transformada de

Laplace” se hace implícitamente referencia a su versión unilateral.

1. La Transformada de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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2. La Transformada Bilateral de Laplace

Transformada de Laplace

Notese que:

Por otro lado

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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2. La Transformada Bilateral de Laplace

Lo que quiere decir que la transformada de Laplace puede interpretarse como la

transformada de Fourier de la función f(t) multiplicada por una señal exponencial

real e-σt que será creciente o decreciente dependiendo del signo de σ, el factor e-

σt es un factor de convergencia.

Región de Convergencia (ROC)

Región de convergencia puede interpretarse como el conjunto de puntos del

plano s = σ + jw para los cuales la transformada de Fourier de f(t)e−σt existe, lo

que implica que f(t)e−σt debe ser absolutamente integrable:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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Si f(t) es finita y absolutamente integrable entonces todo el plano s constituye su

ROC.

Una señal acotada por su izquierda (señal derecha) es aquella que cumple f(t) = 0

para t < t1 , su ROC contendrá siempre el semiplano derecho de s a partir de un

cierto valor σ0.

Una señal acotada por su derecha, (señal izquierda) es aquella que cumple f(t) = 0

para t > t2 su ROC contendrá siempre el semiplano izquierdo de s a partir de un

cierto valor σ1.

Una señal bilateral es aquella de extensión infinita tanto a la izquierda, como a la

derecha y su ROC corresponderá a una banda vertical.

Esto depende únicamente de la componente real de la frecuencia compleja s. Por

esta razón, la ROC de F(s) consiste en bandas paralelas al eje jw en el plano s.

2. La Transformada Bilateral de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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Regiones de Convergencia (ROC)

f(t) f(t) f(t) f(t)

Señal Finita Señal Derecha Señal Izquierda Señal Bilateral

Plano s Plano s Plano s Plano s

2. La Transformada Bilateral de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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a. Calcule la transformada de Laplace Bilateral de la función f(t) = e-at u(t)

Ejemplo

Esta expresión converge para

b) Calcule la transformada de Laplace Bilateral de la función f(t) = -e-at u(-t)

2. La Transformada Bilateral de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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Esta expresión converge para

Converge Converge

Ejemplo

2. La Transformada Bilateral de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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Sea f(t) una señal continua 0 ≤ t ≤ ∞. Se define la Transformada de Laplace Unilateral

de f(t) como:

3. La Transformada Unilateral de Laplace

Para todos los valores s ε R para los cuales la integral anterior sea convergente.

Cálculo de La Transformada de Laplace

Calcular la TL de la función Escalón Unitario

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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3. La Transformada Unilateral de Laplace

Calcular la TL de la función y

Cálculo de La Transformada de Laplace

Calcular la TL de la función Rampa: f(t) = t para t ≥ 0

con

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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Calcular la TL de las funciones seno y coseno

3. La Transformada Unilateral de Laplace

Cálculo de La Transformada de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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Calcular la TL de las funciones seno y coseno

3. La Transformada Unilateral de Laplace

Cálculo de La Transformada de Laplace

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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3. La Transformada Unilateral de Laplace

Tabla de Transformadas de Laplace Básica

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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3. La Transformada Unilateral de Laplace

Ejercicio Propuesto

a) Calcular la TL de la función:

Solución:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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Las propiedades de Laplace unilateral permiten resolver algunos problemas por

simple inspección. Por su estrecha relación con la transformada de Fourier,

muchas de las propiedades de esta última se mantienen. Sin embargo, en la

transformada de Laplace debe tenerse cuidado con las implicaciones para la

región de convergencia.

4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Linealidad

Sean las funciones en el dominio del tiempo f1(t), f2(t)

y = F2(s) sean a y b constantes ε R. Entonces:

y = F1(s)

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:

Utilizando Propiedad y Tabla de TL

Desplazamiento en el Dominio del Tiempo

Si f(t) = F(s) entonces:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Desplazamiento en el Dominio s.

Si f(t) = F(s) entonces:

Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:

Si

Utilizando Propiedad y Tabla de TL

3

Entonces

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Desplazamiento en el Dominio s.

Si f(t) = F(s) entonces:

Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Escalamiento en el Dominio del Tiempo

Si f(t) = F(s) entonces:

Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:

f(t) = u(at)

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Diferenciación en el Dominio del Tiempo

Si f(t) = F(s) entonces:

En general Condiciones iniciales 0

Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Diferenciación en el Dominio s.

Si f(t) = F(s) entonces:

Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:

Ejemplo: Hallar TL para la función siguiente:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Integración en el Dominio del Tiempo.

Convolución

Si f(t) = F(s) entonces:

Si f1(t) = F1(s) y f2(t) = F2(s) entonces:

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Modulación

f(t) cosw0t = 1 [ F(s+jw0) + F(s-jw0) ] 2

f(t) senw0t = 1 [ F(s+jw0) - F(s-jw0) ] 2

Si f(t) = F(s) entonces:

Teorema del Valor Inicial.

Permite relacionar el valor de f(t) en t = 0 con la transformada F(s).

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Teorema del Valor Inicial.

Permite relacionar el valor de f(t) cuando t → con la transformada F(s).

El comportamiento de f(t) para valores de t pequeños esta determinado por el

comportamiento de F(s) cuando s es grande, esto muestra la relación inversa

entre los dominios del tiempo y la frecuencia.

Teorema del Valor Final.

Este teorema es de utilidad en diversas aplicaciones en donde se requiere

conocer el valor final de la salida de un sistema sin conocer la función en el

dominio del tiempo

Tema 5. La Transformada de Laplace.

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4. Propiedades de La Transformada de Laplace

Tabla de Algunas Propiedades

Tema 5. La Transformada de Laplace.