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IES HISPANIDAD Departamento de Matemáticas

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TEMA 5 LÍMITE DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

5.1. VISIÓN INTUITIVA DE LA CONTINUIDAD. TIPOS DE DISCONTINUIDADES.

La idea de función continua es la que “puede ser construida con un solo trazo”.

DISCONTINUIDADES

Empecemos observando gráficamente las razones por las que una curva puede no ser continua en un punto.

Tiene ramas infinitas en ese punto

Por ejemplo: la función 푓(푥) = ( ) es discontinua en x = 2, y 푓(푥) = es

discontinua en x = 0.

Presenta un salto en ese punto Entre las funciones elementales que manejamos, tal comportamiento solo se encuentra en funciones definidas a trozos.

Por ejemplo, 푓(푥) = 푥 푠푖 푥 ≤ 21 푠푖 푥 > 2, es discontinua en x =2.

Le falta ese punto

La función no está definida en ese punto, pero no tiene ramas infinitas ni presenta saltos. Esta discontinuidad se llama evitable porque bastaría añadir ese punto para que la función fuera continua.


2

Por ejemplo, la función 푓(푥) = no está definida en x = 2 porque el denominador se anula, entonces la función presenta una discontinuidad evitable en x = 2.

Tiene ese punto desplazado Este caso es como el anterior, pero la función si está definida en ese punto, aunque el punto lo tiene desplazado. Este tipo de comportamiento solo puede darse en funciones definidas a trozos. Por

ejemplo, la función 푓(푥) = 푥 푠푖 푥 ≠ 23 푠푖 푥 = 2 presenta una discontinuidad en x = 2.

Una función es continua en un punto si no presenta ningún tipo de discontinuidad en él.

Es interesante observar que los ejemplos de funciones con discontinuidades del tipo 1 y 3, que son las únicas que se han podido definir de forma “natural”, no están definidas en el punto en que son discontinuas. Esto es en general y nos va a permitir dar un criterio, tan eficaz como sencillo, para identificar continuidades:

Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora) son continuas en todos los puntos en los que están definidas.

Por ejemplo,

Funciones polinómicas 푓(푥) = 2푥 + 3푥 − 5푥 − 1 está definida en todo ℜ, y es continua en todos los puntos de ℜ. Funciones racionales 푓(푥) = está definida en todo ℜ menos donde se anula el denominador; esto es, 3x + 6 = 0 ⇒ x = – 2. Por tanto, la función es continua en ℜ− {−2}. Funciones con raíces 푓(푥) = +√푥 − 2 es continua en [2, +∞[, que es donde está definida.

Ejercicios.- 1) Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es continua.

Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:

a. 푓(푥) = c. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = d. 푓(푥) = 3 푠푖 푥 ≠ 41 푠푖 푥 = 4


3

2) Explica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el intervalo en el que están definidas:

a. 푓(푥) = 푥 − 5 c. 푓(푥) = +√5 − 푥

b. 푓(푥) = 3푥 − 4 푠푖 푥 < 3푥 + 2 푠푖 푥 ≥ 3 d. 푓(푥) = 푥 푠푖 0 ≤ 푥 < 2

2 푠푖 2 ≤ 푥 < 5

5.2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El estudio de la continuidad en un punto y de los distintos tipos de discontinuidad se realiza con más precisión conociendo el concepto de límite.

Empecemos por entender qué significa que x se acerca a un cierto valor numérico.

푥 → 푐 (x tiende a c por la izquierda) significa que a x se le dan valores cada vez más próximos a c, pero menores que c.

Por ejemplo, la secuencia 0; 0,5; 0,9; 0,95; 0,99… está formada por números menores que 1 y cada vez más próximos a 1. Escribimos 푥 → 1 . 푥 → 푐 (x tiende a c por la derecha) significa que a x se le dan valores cada vez más

próximos a c, pero mayores que c. Si a x se le dan valores 2; 1,5; 1,1; 1,01; 1,001,… escribiremos: 푥 → 1 . 푥 → 푐 significa que a x se le dan valores cada vez más próximos a c. Se lee “ x tiende a c” Significado de 퐥퐢퐦풙→풄 풇(풙) Si 푥 → 푐 , entonces a x le damos valores variables. Como consecuencia, f(x) también toma valores variables. El comportamiento de f(x) cuando 푥 → 푐 , se expresa así:

lim→

푓(푥)

Y puede ser de una de las siguientes formas:

I)

)(lim xfcx

.

Cuando x tiende a c por la izquierda, f(x) toma valores cada vez más grandes, llegando a superar a cualquier valor, por grande que sea.

Ejm 1: 푓(푥) = ( )

Entonces, lim → ( ) = +∞

x 0 0,9 0,99 … f(x) 1 100 10000 …


4

II)

)(lim xfcx

.

Cuando x tiende a c por la izquierda, f(x) toma valores cada vez “más negativos”.

Ejm 2: 푓(푥) =

Entonces, lim → = −∞

III) lxfcx

)(lim

Cuando x tiende a c por la izquierda, f(x) toma valores cada vez más próximos al número l.

Ejm 3: 푓(푥) = 푥 + 5

Entonces, lim → 푥 + 5 = 6

Significado de 퐥퐢퐦풙→풄 풇(풙) El significado del límite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha es similar al del límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda. Gráficamente los tres comportamientos que pueden darse son los siguientes, idénticos a los vistos para 푥 → 푐 :

Ejm1: lim → ( )

Entonces, lim → ( ) = +∞

Ejm2: lim →

Entonces, lim → = +∞

x 0 0,9 0,99 … f(x) -1 -10 -100 …

x 0 0,9 0,99 … f(x) 5 5,81 5,9801 …

x 2 1,5 1,1 1,01 1,001 … f(x) 1 4 100 10000 1000000 …

x 2 1,5 1,1 1,01 1,001 … f(x) 1 2 10 100 1000 …


5

Ejm3: lim → 푥 + 5 = 6

Entonces, lim → 푥 + 5 = 6

Los límites cuando 푥 → 푐 y 푥 → 푐 se llaman límites laterales. Significado de 퐥퐢퐦풙→풄 풇(풙) El límite de la función f(x) cuando x tiende a c, es el comportamiento de la función cuando x se aproxima a c tanto por la derecha como por la izquierda

Si lim → 푓(푥) = lim → 푓(푥) = 푙, decimos que lim → 푓(푥) = 푙. Análogamente, cuando los dos límites laterales son +∞ 표 − ∞. Si los dos límites no toman el mismo valor, se dice que no existe el lim → 푓(푥). Ejm:

Relación de la continuidad en c con el límite cuando 풙 → 풄

Observando los distintos tipos de discontinuidad y el comportamiento de las funciones continuas, llegamos a la siguiente conclusión:

f es continua en x = c si cumple las tres siguientes condiciones: Tiene límite finito cuando 푥 → 푐 ………………………………. lim → 푓(푥). Está definida en x = c …………………………………………… f(c) existe. El límite coincide con el valor de la función en c ……………… lim → 푓(푥) = 푓(푐).

La igualdad final resume las tres condiciones, pues si se cumple es porque existen sus dos miembros.

x 2 1,5 1,1 1,01 1,001 … f(x) 9 7,25 6,21 6,0201 6,002001 …


6

5.3. CÁLCULO DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El cálculo de límites de funciones en puntos concretos puede ser fácil o difícil, según los casos. Distinguimos las siguientes situaciones:

Límite en un punto en el que la función es continua Recordemos unos resultados que nos van a simplificar el cálculo de algunos límites.

Si f(x) es continua en c, entonces lim → 푓(푥) = 푓(푐)

Si f(x) es una función habitual dada por su expresión analítica y existe f(c), entonces para hallar

lim→푓(푥)

calcularemos, f(c).

Las funciones que utilizaremos habitualmente mediante su expresión analítica son continuas en todos los puntos en que están definidas. Ejm:

lim → 푥 = 2 = 4 lim → = · = = −5

lim → +√2푥 − 3 = +√2 · 6− 3 = +√12 − 3 = +√9 = 3 lim → 푙푛푥 − 2 = 푙푛1− 2 = 0− 2 = −2 lim → 푠푒푛푥 + 1 = 푠푒푛(−30) + 1 = −0,5 + 1 = 0,5

Límite del cociente de dos polinomios, 푷(풙) 푸(풙)⁄ Distinguimos casos: Si el denominador no se anula, Q(c) ≠ 0, la función es continua en c, y, por tanto, el

límite en c es el valor de la función en c. Si 푄(푐) ≠ 0, lim →

( )( )

= ( )( )

Si el denominador se anula y el numerador no se anula, el límite es infinito.

Si 푃(푐) ≠ 0 푦 푄(푐) ≠ 0, 푒푛푡표푛푐푒푠 lim →( )( )

= ±∞

En estos casos hay que estudiar los dos límites laterales. Este estudio puede hacerse con ayuda de la calculadora hallando el signo de 푃(푥) 푄(푥)⁄ en puntos muy próximos a c, a ambos lados de él. Por ejemplo, a la izquierda, c – 0,01 y a la derecha, c + 0,01.

Si tanto el numerador como el denominador se anulan, entonces la expresión puede simplificarse. Si 푃(푐) = 푄(푐) = 0, entonces el cociente puede simplificarse dividiendo numerador y denominador por (x – c): Aplicando Ruffini tenemos:

푃(푥) = (푥 − 푐) ∙ 푃 (푥) 푄(푥) = (푥 − 푐) ∙ 푄 (푥)

lim→

푃(푥)푄(푥)

= lim→

(푥 − 푐) ∙ 푃 (푥)(푥 − 푐) ∙ 푄 (푥) = lim

→

푃 (푥)푄 (푥)

Para hallar este nuevo límite, analizaremos en cuál de los tres casos se encuentra.


7

Ejm 1; Primer caso: el denominador no se anula para x = 0.

lim→

푥 + 3푥 + 2푥 − 1

=2−1

= −2

Ejm 2; Segundo caso: el denominador se anula para x = 2, pero el numerador es distinto de cero para x = 2.

lim→

푥 + 1푥 − 2

=2 + 12− 2

=30

= ±∞

Estudiamos el signo a la derecha y a la izquierda de x = 2: IZQUIERDA: 2 – 0,01 = 1,99; ,

,= −299 < 0 ⟹ lim → = −∞

DERECHA: 2 + 0,01 = 2,01; ,

,= 301 > 0 ⇒ lim → = +∞

Entonces no existe lim → puesto que sus límites laterales no coinciden. Ejm 3: Segundo caso: el denominador se anula para x = 1, pero el numerador es distinto de cero para x = 1.

lim→

푥(푥 − 1) =

1(1− 1) =

10

= ±∞

Estudiamos el signo a la derecha y a la izquierda de x = 1:

IZQUIERDA: 1 – 0,01 = 0,99; ,( , ) = 99970,02 > 0 ⟹ lim → ( ) = +∞

DERECHA: 1 + 0,01 = 1,01; ,( , ) = 10303,01 > 0 ⇒ lim → ( ) = +∞

Por tanto, lim → ( ) = +∞.

Ejm 4; Tanto el numerador como el denominador se anulan para x = 2

lim→

푥 − 5푥 + 6푥 + 3푥 − 10

=2 − 5 · 2 + 6

2 + 3 · 2− 10=

4 − 10 + 64 + 6 − 10

=00

Aplicamos Ruffini al numerador y al denominador en x = 2:

1 – 5 6 2 2 – 6 1 – 3 0 = R

Entonces, 푥 − 5푥 + 6 = (푥 − 2) ∙ (푥 − 3) Entonces, 푥 + 3푥 − 10 = (푥 − 2) ∙ (푥 + 5)

1 3 – 10 2 2 10 1 5 0 = R


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lim→

푥 − 5푥 + 6푥 + 3푥 − 10

= lim→

(푥 − 2) ∙ (푥 − 3)(푥 − 2) ∙ (푥 + 5) = lim

→

푥 − 3푥 + 5

=2 − 32 + 5

=−17


lim→

푥 − 5푥 + 6푥푥 − 7푥 + 16푥 − 12

=2 − 5 · 2 + 6 · 2

2 − 7 · 2 + 16 · 2− 12=

8 − 20 + 128 − 28 + 32 − 12

=00

Aplicamos Ruffini al numerador y al denominador en x = 2, previamente sacamos factor común en el polinomio del numerador: 푥 − 5푥 + 6푥 = 푥 · (푥 − 5푥 + 6)

1 – 5 6 2 2 – 6 1 – 3 0 = R

Entonces, 푥 − 5푥 + 6푥 = 푥 · (푥 − 2) ∙ (푥 − 3) Entonces, 푥 − 7푥 + 16푥 − 12 = (푥 − 2) ∙ (푥 − 5푥 + 6)

lim→

푥 − 5푥 + 6푥푥 − 7푥 + 16푥 − 12

= lim→

푥 · (푥 − 2) ∙ (푥 − 3)(푥 − 2) ∙ (푥 − 5푥 + 6) =

= lim →

푥 · (푥 − 3)푥 − 5푥 + 6

=2 · (2− 3)

2 − 5 · 2 + 6=−20

= ±∞

Estaríamos ahora en el segundo caso, por lo que debemos estudiar el signo de los límites laterales: IZQUIERDA: 2 – 0,01 = 1,99;

, ·( , ), · ,

= , ·( , ), ,

= ,,

< 0 ⇒ lim →·( ) = −∞

DERECHA: 2 + 0,01 = 2,01;

, ·( , ), · ,

= , ·( , ), ,

= ,,

> 0 ⇒ lim →·( ) = +∞

Entonces no existe lim →·( )


lim→

푥 − 5푥 + 6푥푥 − 7푥 + 16푥 − 12

=3 − 5 · 3 + 6 · 3

3 − 7 · 3 + 16 · 3 − 12=

27− 45 + 1827− 63 + 48 − 12

=00

Aplicamos Ruffini al numerador y al denominador en x = 3, previamente sacamos factor común en el polinomio del numerador: 푥 − 5푥 + 6푥 = 푥 · (푥 − 5푥 + 6)

1 – 7 16 – 12 2 2 – 10 12 1 – 5 6 0 = R


9

1 – 5 6 3 3 – 6 1 – 2 0 = R

Entonces, 푥 − 5푥 + 6푥 = 푥 · (푥 − 3) ∙ (푥 − 2) Entonces, 푥 − 7푥 + 16푥 − 12 = (푥 − 3) ∙ (푥 − 4푥 + 4)

lim→

푥 − 5푥 + 6푥푥 − 7푥 + 16푥 − 12

= lim→

푥 · (푥 − 3) ∙ (푥 − 2)(푥 − 3) ∙ (푥 − 4푥 + 4) =

= lim →

푥 · (푥 − 2)푥 − 4푥 + 4

=3 · (3− 2)

3 − 4 · 3 + 4=

31

= 3

Ejercicios.-

1. Calcula el valor de los siguientes límites: a. lim → c. lim → (푐표푠푥 − 1)

b. lim → √푥 − 3푥 + 5 d. lim → , 푙표푔푥

2. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del punto.

a. 푓(푥) = en – 2, 0 y 2. c. 푓(푥) = en 1 y – 3.

b. 푓(푥) = ( ) en 2, 0 y 3. d. 푓(푥) = en 0 y – 3.

Cálculo de límites de funciones definidas “a trozos” Sea la función definida “a trozos” 푓(푥) = 푓 (푥) 푥 < 푐

푓 (푥) 푥 ≥ 푐 donde f1 y f2 son funciones

continuas. Cálculo de lim f(x) en el punto de ruptura

Como f1 y f2 son continuas, entonces lim → 푓(푥) = 푓 (푐) y lim → 푓(푥) = 푓 (푐) Regla práctica:

Si 푓 (푐) = 푓 (푐) = 푙 ⇒ lim → 푓(푥) = 푙 Si 푓 (푐) ≠ 푓 (푐) ⇒ 푛표 푒푥푖푠푡푒 lim

→푓(푥)

Cálculo de lim f(x) en otro punto cualquiera del dominio Para hallar el límite, procederemos así:

Si a < c, entonces lim → 푓(푥) = 푓 (푎)

Si b > c, entonces lim → 푓(푥) = 푓 (푏)

1 – 7 16 – 12 3 3 – 12 12 1 – 4 4 0 = R


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Ejm 1: Hallar los límites de la función 푓(푥) = 2푥 − 5 푥 < 3−푥 + 2 푥 ≥ 3 en los puntos 3, 1 y 7.

Veamos si coinciden los límites por la izquierda y por la derecha, puesto que x = 3 es el punto de ruptura:

lim → 푓(푥) = lim → 2푥 − 5 = 2 · 3− 5 = 1lim → 푓(푥) = lim → −푥 + 2 = −3 + 2 = −1 como los límites laterales no

coinciden. Como consecuencia, no existe lim → 푓(푥).

Como 1 < 3, entonces lim → 푓(푥) = lim → 2푥 − 5 = 2 · 1− 5 = −3.

Como 7 > 3, entonces lim → 푓(푥) = lim → −푥 + 2 = −7 + 2 = −5.

Ejm 2: Averiguar si la función 푔(푥) = 푥 − 5푥 + 3 푥 ≠ −25 푥 = −2

es continua en x = – 2.

Es claro que 푓 (푥) = 푥 − 5푥 + 3 y 푓 (푥) = 5 son funciones continuas por ser funciones polinómicas en todo ℜ, salvo quizás en el punto de ruptura. Veámoslo:

lim→

푓(푥) = lim→

푥 − 5푥 + 3 = (−2) − 5 · (−2) + 3 = −8 + 10 + 3 = 5

y 푓(−2) = 푓 (−2) = 5

Como consecuencia, lim → 푓(푥) = 5 = 푓(−2) y, por tanto, f es continua en x = – 2. Luego f es continua en todo ℜ.

Ejm 3: Estudia la continuidad de la función 푓(푥) =2푥 − 1 푥 < −13 − 1 ≤ 푥 < 2푥 + 1 푥 ≥ 2

푓 (푥) = 2푥 − 1; 푓 (푥) = 3 푦 푓 (푥) = 푥 + 1 son funciones continuas por ser funciones polinómicas; por tanto, f es continua en (−∞,−1) ∪ (−1,2) ∪ (2, +∞).

Veamos lo que ocurre en los puntos de ruptura: Para x = – 1

f(-1) = 3 lim → 푓(푥) = lim → 2푥 − 1 = 2 · (−1) − 1 = −2 − 1 = −3lim → 푓(푥) = lim → 3 = 3

como no coinciden, no existe lim → 푓(푥). Como consecuencia, la función f no es continua en x = – 1.

Para x = 2 f(2) = 2 + 1 = 3 lim → 푓(푥) = lim → 3 = 3 lim → 푓(푥) = lim → 푥 + 1 = 2 + 1 = 3 como coinciden, lim → 푓(푥) = 3

Como 푓(2) = 3 = lim → 푓(푥) entonces f es continua en x = 2.

En definitiva, f es continua en ℜ− {−1}.


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Ejm 4: Calcular el valor del parámetro a para que la función 푓(푥) = 푥 − 5푥 + 1 푥 ≤ 42푥 + 푎 푥 > 4

Sea continua en todo ℜ.

Como 푓 (푥) = 푥 − 5푥 + 1 y 푓 (푥) = 2푥 + 푎 son funciones continuas, entonces la función es continua en todo ℜ, salvo quizás en el punto de ruptura, obliguémosla a que sea continua en dicho punto, x = 4.

lim → 푓(푥) = lim → 푥 − 5푥 + 1 = 4 − 5 · 4 + 1 = 16 − 20 + 1 = −3lim → 푓(푥) = lim → 2푥 + 푎 = 2 · 4 + 푎 = 8 + 푎 para que la

función sea continua debe existir el límite en x = 4 y para ello, los límites laterales deben coincidir. Por tanto, la función es continua en todo ℜ, si se verifica:

8 + 푎 = −3 ⇒ 푎 = −3− 8 = −11

Ejercicios.-

1. Dada la función 푓(푥) = 푥 + 1 푠푖 푥 < 0푥 + 1 푠푖 푥 ≥ 0

, halla:

a. lim → 푓(푥) b. lim → 푓(푥) c. lim → 푓(푥)

2. Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones: a. 푓(푥) = 푥 + 푥 − 6 d. 푓(푥) = ( )

b. 푓(푥) = e. 푓(푥) =

c. 푓(푥) = d. 푓(푥) =

3. Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión analítica dada y di si son continuas o discontinuas en x = 1.

a. 푓(푥) = 1− 푥 푠푖 푥 ≤ 1푥 − 1 푠푖 푥 > 1

b. 푓(푥) = 푥 + 2 푠푖 푥 < 13 푠푖 푥 > 1 GRAFICOS pag 169

c. 푓(푥) = 푥 푠푖 푥 ≠ 1−1 푠푖 푥 = 1

4. Comprueba si la función 푓(푥) = 푥 − 1 푠푖 푥 < 0푥 − 1 푠푖 푥 ≥ 0

es continua en x = 0.

5. Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican:

a. 푓(푥) = 푠푖 푥 < −1 2푥 + 4 푠푖 푥 > −1

en x = – 1

b. 푓(푥) =2− 푥 푠푖 푥 < 2− 3 푠푖 푥 ≥ 2 en x = 2

c. 푓(푥) = 3푥 푠푖 푥 ≤ 1푥 + 3 푠푖 푥 > 1 en x = 1

6. Calcula, en cada caso, el valor de k para que la función f(x) sea continua en todo ℜ.


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a. 푓(푥) = 푥 − 4 푠푖 푥 ≤ 3푥 + 푘 푠푖 푥 > 3

b. 푓(푥) = 6− 푠푖 푥 < 2푥 + 푘푥 푠푖 푥 ≥ 2

c. 푓(푥) = 푠푖 푥 ≠ 0푘 푠푖 푥 = 0

5.4. COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN 풙 → +∞

Para expresar que damos a x valores cada vez más grandes, ponemos 푥 → +∞. Por ejemplo, si damos a x los valores 10, 100,1000, 10000,…, decimos que 푥 → +∞.

Veamos los posibles comportamientos de f(x) cuando 푥 → +∞.

lim→

푓(푥) = +∞

Cuando 푥 → +∞, los valores de f(x) crecen cada vez más.

Por ejemplo, son de este tipo las funciones potencias (푓(푥) = 푥 ; exponenciales, 푓(푥) = 푎 , a > 1; raíces, 푓(푥) = √푥; logaritmos, 푓(푥) = 푙표푔 푥, a >1.

lim→

푓(푥) = −∞

Cuando 푥 → +∞, los valores de f(x) crecen cada vez “más negativos”.

Como ejemplo, podríamos poner las funciones del ejemplo anterior precedidas del signo menos: 푓(푥) = −푥 ; 푓(푥) = −2 ; 푓(푥) = −√푥; 푓(푥) = −푙표푔 푥.

lim→

푓(푥) = 푙

Cuando 푥 → +∞, los valores de f(x) son cada vez más próximos a un número l. En tal caso, se dice que la recta y = l es una asíntota horizontal de la curva.


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Por ejemplo, lim → . Veámoslo con ayuda de la calculadora:

x 10 100 1000 10000 … f(x) · = 1,876 1,9987 1,999987 1,99999987 …

lim → 푓(푥) no existe

Cuando 푥 → +∞, los valores de f(x) ni crecen ni decrecen indefinidamente, ni se acercan cada vez más a ningún número.

Por ejemplo, las funciones trigonométricas presentan este comportamiento, pues oscilan indefinidamente.

Ejercicios

1. Di si el límite cuando 푥 → +∞ de las siguientes funciones dadas por sus gráficas:

5.5. CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO

Al igual que en los límites en un punto, el cálculo de límites cuando 푥 → +∞ presenta una variada casuística, que depende del tipo de funciones que se presenten. Veamos las más importantes para este nivel.

Límite de funciones polinómicas Las siguientes funciones tienden a +∞ cuando 푥 → +∞:


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푓(푥) = 푥 푓(푥) = 푥 + 17 푓(푥) = 푥 − 3 푓(푥) = 푥 − 푥

Es menos evidente pero, reflexionando, también es claro que tienden a +∞ las siguientes funciones:

푓(푥) = 2푥 − 40푥 푓(푥) = 3푥 − 1000000 푓(푥) = 푥 − 1000푥

Se puede comprobar dando a x valores suficientemente grandes.

Si a las funciones anteriores les cambiamos el signo del coeficiente de mayor grado, tienden a −∞.

lim → (−3푥 + 1000000) = −∞ lim → (−푥 + 1000푥 ) = −∞

En general, podemos afirmar que:

El límite cuando 푥 → +∞ de una función polinómica es +∞ o −∞, según el coeficiente del término de mayor grado sea positivo o negativo.

Límite de funciones inversas de polinómicas Si lim → 푓(푥) = ±∞, entonces lim → ( )

= 0, pues al dividir 1 por un número cada vez

más grande, el cociente es cada vez más próximo a cero. Por ejemplo, lim → = 0, veámoslo con una tabla de valores y haciendo uso de la calculadora.

x 10 100 1000 10000 …

f(x) 1

10 − 40 · 10= −0,0033 0,000166 0,0000010416 0,00000001004016

Si P(x) es una función polinómica, entonces lim → ( )

= 0

Límite de funciones racionales: 푷(풙) 푸(풙)⁄ Hemos visto que, cuando 푥 → +∞, el protagonismo de una función polinómica lo desempeña el término de mayor grado.

De igual modo, en el límite cuando 푥 → +∞ de un cociente de polinomios, solo importarán los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Por tanto, podemos dar la siguiente regla para hallar límites (푥 → +∞) de funciones racionales:

푓(푥) =푃(푥)푄(푥)

=푎 · 푥 +⋯푏 · 푥 + ⋯

Si grado de P(x) > grado de Q(x); es decir, m > n, entonces lim →( )( )

= ±∞ (el

signo es el de .

Si grado de P(x) < grado de Q(x); es decir, m < n, entonces lim →( )( )

= 0

Si grado de P(x) = grado de Q(x); es decir, m = n, entonces lim →( )( )

=


15

Ejm1: lim → = lim → = lim → = +∞

Ejm 2: lim → = lim → = lim → = 0

Ejm 3: lim → = lim → = lim → =

Ejercicios.-

1. Di el valor del límite cuando 푥 → +∞ de las siguientes funciones:

a. 푓(푥) = −푥 + 3푥 + 5 d. 푓(푥) = b. 푓(푥) = 5푥 + 7푥 e. 푓(푥) = 푥 − 3푥

c. 푓(푥) = f. 푓(푥) = 2. Calcula el límite cuando 푥 → +∞ de las siguientes funciones y representa sus ramas:

a. 푓(푥) = b. 푓(푥) = c. 푓(푥) = 3푥 − 5 d. 푓(푥) =

3. Hallar el límite cuando 푥 → +∞ de las siguientes funciones:

a. 푓(푥) = c. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = d. 푓(푥) =

4. Calcula lim → 푓(푥) y representa sus ramas:

a. 푓(푥) = c. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = d. 푓(푥) =

5.6. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS

A lo largo de esta unidad nos hemos encontrado varias veces con ramas infinitas, es decir, tramos de curva que se alejan indefinidamente. Cuando una rama infinita se ciñe (se aproxima) a una recta, a esta se le llama asíntota de la curva y a la rama correspondiente se le llama rama asintótica. Vamos a estudiar con detalle los tipos de ramas infinitas.


16

Ramas infinitas en x = c. Asíntotas verticales Las únicas ramas infinitas que pueden darse en valores concretos de la abscisa, x = c, son las ramas asíntotas verticales.

En una función hay asíntota vertical en x = c si lim → 푓(푥) = ±∞.

Si 푓(푥) = ( )( )

es una función racional simplificada (cociente de dos polinomios sin raíces

comunes), sus asíntotas se encuentran en los valores de x que son raíces del denominador. Se hallan resolviendo la ecuación Q(x) = 0.

Ejm 1: 푓(푥) = igualamos a cero el denominador para calcular las raíces del mismo; esto es, x – 2 = 0, entonces x = 2 es la posible asíntota vertical dado que

lim→

푥 − 5푥 + 7푥 − 2

=2 − 5 · 2 + 7

2 − 2=

4 − 10 + 70

=10

= ±∞

Veamos la posición de la curva respecto a esta asíntota estudiando sus signos en valores próximos a x = 2, por la derecha y por la izquierda. 푥 → 2 푥 → 2 Valor de x 1,99 2,01 Valor de f(x) 1,99 − 5 · 1,99 + 7

1,99 − 2=

1,01−0,01

= −101 < 0

2,01 − 5 · 2,01 + 72,01 − 2

=0.990,01

= 99

> 0 CONCLUSIÓN

lim→

푥 − 5푥 + 7푥 − 2

= −∞ lim→

푥 − 5푥 + 7푥 − 2

= +∞

Ejm 2: 푓(푥) = , igualamos a cero el denominador; esto es, 푥 − 2푥 = 0 ⇒ 푥 · (푥 − 2) = 0 ⇒ 푥 = 0, 푥 = 2

Entonces tenemos

lim→

푥 + 1푥 − 2푥

=0 + 1

0 − 2 · 0=

10

= ±∞

Veamos la posición de la curva respecto a esta asíntota estudiando sus signos en valores próximos a x = 0, por la derecha y por la izquierda. 푥 → 0 푥 → 0 Valor de x – 0,01 0,01 Valor de f(x) (−0,01) + 1

(−0,01) − 2 · (−0,01) =1,00010,0201

= 49,75 > 0

0,01 + 1(0,01) − 2 · 0,01

=1,0001−0,0199

= −50,25 < 0 CONCLUSIÓN

lim→

푥 + 1푥 − 2푥

= +∞ lim→

푥 + 1푥 − 2푥

= −∞


17

Análogamente, para x = 2

lim→

푥 + 1푥 − 2푥

=2 + 1

2 − 2 · 2=

50

= ±∞

Veamos la posición de la curva respecto a esta asíntota estudiando sus signos en valores próximos a x = 2, por la derecha y por la izquierda. 푥 → 2 푥 → 2 Valor de x 1,99 2,01 Valor de f(x) (1,99) + 1

(1,99) − 2 · (1,99) =4,9601−0,0199

= −249,25 < 0

2,01 + 1(2,01) − 2 · 2,01

=5,04010,0201

= 250,75 > 0 CONCLUSIÓN

lim→

푥 + 1푥 − 2푥

= −∞ lim→

푥 + 1푥 − 2푥

= +∞

Ramas infinitas cuando 풙 → +∞ Hay varios tipos de ramas infinitas cuando 푥 → +∞. De ellas solo estudiaremos un tipo:

Asíntota horizontal. Si lim → 푓(푥) = 푙, entonces la recta y = l es la asíntota de la función.

Ejm: Sea la función 푓(푥) = veamos si tiene asíntota horizontal, y, en caso afirmativo, cual es :

lim → = lim → = 1 ⇒ 푦 = 1 푒푠 푎푠í푛푡표푡푎 ℎ표푟푖푧표푛푡푎푙 de la función f(x).

Obtención de ramas infinitas en funciones racionales: 푷(풙) 푸(풙)⁄ Si 푓(푥) = ( )

( ) es una función racional, para hallar su rama infinita cuando 푥 → +∞,

procederemos del siguiente modo:

I. grado de P(x) < grado de Q(x) lim → 푓(푥) = 0. La recta y = 0 (eje X) es asíntota horizontal. Para hallar la posición de la curva respecto de la asíntota, estudiaremos el signo de

( )( )

para un valor grande de x.


18

Por ejemplo, en 푓(푥) = , el eje X es asíntota horizontal. Es evidente que, para valores grandes de x, tanto el numerador como el denominador son positivos.

푓(1000) =3 · 1000 − 5

1000 + 3 · 1000 + 2=

29951003002

> 0

Por tanto, la curva está por encima de la asíntota horizontal en +∞.

II. grado de P(x) > grado de Q(x)

lim →( )( ) = ±∞ la curva no tiene asíntota horizontal.

Por ejemplo, lim → = lim → = lim → 푥 = +∞ Por tanto, la función f(x) no tiene asíntota horizontal.

III. grado de P(x) = grado de Q(x) lim →

( )( )

= 푙 la recta y = l es asíntota horizontal.

Para hallar la posición de la curva con respecto a la asíntota, estudiamos el signo de la diferencia ( )

( )− 푙 para un valor grande de x.

Por ejemplo, lim → = lim → = 1, entonces la recta y = 1 es asíntota horizontal. Veamos la posición de la curva respecto a la asíntota:

푓(푥) − 푙 =푥 + 1푥 − 2푥

− 1 =푥 + 1푥 − 2푥

−푥 − 2푥푥 − 2푥

=푥 + 1 − 푥 + 2푥

푥 − 2푥=

2푥 + 1푥 − 2푥

Para comprobar el signo de esta diferencia evaluamos en la misma, un valor de x suficientemente grande, x = 1000

푓(푥) − 푙 =2 · 1000 + 1

1000 − 2 · 1000=

2001998000

> 0

Por tanto, la curva se acerca a la asíntota por arriba.

Ejercicios.-

1. Halla las asíntotas verticales, si las tiene, y sitúa la curva respecto a ellas:

a. 푓(푥) = c. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = d. 푓(푥) =

2. Halla las asíntotas horizontales, si las tienen, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a su asíntota:

a. (푥) = c. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = d. 푓(푥) =


19

5.7. COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN 풙 → −∞

Se dice que 풙 → −∞ cuando los valores que le damos se alejan hacia la parte negativa del eje X. Por ejemplo, -10, -100, -1000, -10000,…

Las definiciones, razonamientos y procedimientos sobre los límites cuando 풙 → −∞ son similares a los que se han hecho para límites cuando 풙 → +∞. De tal manera que:

lim→

푓(푥) = lim→

푓(−푥)

Veámoslo con varios ejemplos:

Ejm 1: lim → (푥 − 2푥 + 5푥 + 3) = lim → [(−푥) − 2(−푥) + 5(−푥) + 3] == lim → −푥 − 2푥 − 5푥 + 3 = lim → −푥 = −∞

Ejm 2: lim → = lim →( ) ( )( ) ( )

= lim → = lim → = 1

Ejm 3: lim → = lim →( ) ( ) ( )

( ) ( )= lim → =

= lim → = lim → = +∞

Ejercicios.-

1. Halla lim → 푓(푥) y representa la rama correspondiente:

a. 푓(푥) = −2푥 + 7푥 − 3 b. 푓(푥) = c. 푓(푥) =

2. Halla las ramas infinitas, 푥 → −∞, de estas funciones y sitúa la curva respecto a su asíntota:

a. 푓(푥) = c. 푓(푥) = e. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = d. 푓(푥) = f. 푓(푥) =

RECAPITULACIÓN

1. a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.


20

2. Estudia la continuidad de estas funciones:

a. 푓(푥) =2− 푥 푠푖 푥 < −1

푠푖 푥 ≥ −1

b. 푓(푥) =−푥 − 1 푠푖 − 1 ≥ 푥1 − 푥 푠푖 − 1 < 푥 < 1푥 − 1 푠푖 푥 ≥ 1

c. 푓(푥) = 1− 푥 푠푖 푥 ≤ 02 푠푖 푥 > 0

3. Calcula a para que las siguientes funciones sean continuas en x = 1.

a. 푓(푥) = 푥 + 1 푠푖 푥 ≤ 14 − 푎푥 푠푖 푥 > 1

b. 푓(푥) = 푠푖 푥 ≠ 1푎 푠푖 푥 = 1

4.

Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones 푓(푥) =

( ) y 푓(푥) = . ¿Cuál es el

límite de cada una de estas funciones cuando 푥 → −2.

5. Sobre la gráfica de la función f(x), halla:

a. lim → 푓(푥) d. lim → 푓(푥) g. lim → 푓(푥) b. lim → 푓(푥) e. lim → 푓(푥) h. lim → 푓(푥) c. lim → 푓(푥) f. lim → 푓(푥) i. lim → 푓(푥)

6. Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:

a. lim → (7 + 푥 − 푥 ) c. lim →

b. lim → − + − 17 d. lim → (7− 푥)

7. Calcula el límite de las funciones del ejercicio anterior cuando 푥 → −∞ y representa la información que obtengas.


21

8. Comprueba, dando valores grandes a x, que las siguientes funciones tienden a cero cuando 푥 → +∞.

a. 푓(푥) = b. 푓(푥) =√

c. 푓(푥) =

9. Calcula el límite cuando 푥 → +∞ y cuando 푥 → −∞ de cada una de las siguientes funciones y representa los resultados que obtengas:

a. 푓(푥) = 푥 − 10푥 c. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = √푥 − 4 d. 푓(푥) =

10. Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas: a. lim → ( ) g. lim →

b. lim → h. lim →

c. lim → i. lim →

d. lim → ( ) j. lim →

e. lim → ( ) k. lim → ( )

f. lim → ( ) l. lim →

11. Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:

a. 푓(푥) = e. 푓(푥) =

b. 푓(푥) = f. 푓(푥) =

c. 푓(푥) = g. 푓(푥) =

d. 푓(푥) = h. 푓(푥) =

12. En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento según la función 푓(푥) = (x en días).

a. ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Y el décimo? b. Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c. ¿Qué ocurriría con el número de montajes si el entrenamiento fuera mucho más

largo?

13. Los gastos de una empresa dependen de sus ingresos, x. Así:

푔(푥) =0,6푥 + 200 푠푖 0 ≤ 푥 ≤ 1000

푠푖 푥 > 1000 donde los ingresos y los gastos vienen

expresados en euros. a. Representa la función y di si es continua. b. Calcula el límite de g(x) cuando 푥 → +∞ y explica su significado.

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