1

Tema 5: Modelos Discretos de Canal

2

Sistema de transmisión (según Shannon)

• Se introducen símbolos pertenecientes a un alfabeto de entrada (que supondremos finito y, típicamente, binario): A = {0,1}

• Salen símbolos pertenecientes a un alfabeto de salida (no necesariamenteigual al de entrada): B={0, 1, *}

• Se relacionan las entradas y salidas de cada uso del canal de manera probabilística: Pr(B=0 | A=1)

Canales discretos

Descodificación de canal

bitsDemodulación

BER

bits

Codificación de canal

bits

Canal Discreto

Modulación

Señales [W, dBW]Información transmitida

Codificaciónde fuente

bits

Información recibida

Descodificaciónde fuente

Transmisor

Medio de transmisión(atenuación)

Receptor(sensibilidad)

Señales

3

Motivación

• Los modelos de canal discreto son más sencillos porque− ... resultan más fáciles y eficientes a

la hora de estimar y simular su comportamiento

• ... pero− Se pierde la capacidad de diseño del

modem• El objetivo fundamental al que

responde este modelo es el de diseño de los “códigos de fuente y de canal”− Para este objetivo, la información

que proporcionan es completa.

Modulaciónseñales

Transmisor

Medio de transmisión

Receptorseñales

Demodulaciónbits

bits

Canal Discreto

Canal Discreto

4

Motivación

En muchos sistemas de comunicación, las capas física (OFDM), de acceso al medio (CDMA), la capa de red (IP)... dan poco (o ningún) margen a cambios o mejoras.Sin embargo, el diseñador tiene mucho más margen cuando se trata de diseñar aplicaciones, servicios...Ejemplo: diseño de un codificador de vídeo para sistemas 3G.

− El 3G está fijado en cuanto al modem.− Sin embargo, es posible diseñar (u optimizar) un codificador de fuente (por

ejemplo, MPEG-4) para adaptarlo a las características del canal (bajo retardo, alta probabilidad de error en paquetes, errores en ráfagas...) y seleccionar el codificador de canal adecuado al anterior

− Trama MPEG

Bits de posición

Bits de Info. Brillo Color

Muy sensibles → codificación más potenteMenos sensibles → codificación débil

5

Canales discretos sin memoriaAlfabeto• entrada A: {a0, a1, ..., aK-1} (K-símbolos)• salida B: {b0, b1, ..., bL-1} (L-símbolos)• Secuencia enviada: an = (a[0], ..., a[n-1])∈A• Secuencia recibida bn = (b[0], ..., b[n-1])∈B

Discrete Memoryless Channel: no tienen memoria

• Ejemplo: Binary Symmetric Channel− Diagrama para A = B = { 0,1 }

BSCA={0,1} B={0,1}

Pr(0 | 0) 1 , Pr(1| 0) ,Pr(0 |1) , Pr(1|1) 1 .

p pp p

= − == = −

0

1

0

1Es simétrico porque Pr(0|1) = Pr(1|0)

1

n n0

Pr( | ) Pr( [ ] | [ ])n

m

b m a m−

=

=∏b a

Canal discretona nb

Pr(1| 0)

Pr(1|1)Pr(0 |1)

( )Pr 0 | 0

6

Canales con memoria

En las aplicaciones reales, la clase más importante de canales de transmisión tiene memoria (debida a retardos, el medio)En los canales con memoria, además de los alfabetos de entrada y salida hace falta especificar...1. cómo se representa la memoria

En el modelo que vamos a considerar, supondremos que el canal puede estar en un conjunto FINITO de estados

2. y, los parámetros que se necesitan para el cálculo de la distorsión introducida por el canal

Las probabilidades conjuntas de entrada salida

n nPr( | )b aCanal discretona nb

7

1. Representación Memoria: Finite State Channel, FSC• Número de estados finito: espacio de M-estados S={S0, ..., SM-1}

− La probabilidad de estar en cada uno de los M-estados en el instante “n” está contenida en el vector

• Adicionalmente, hay que especificar cómo evolucionan los estados:− Cada uso del canal produce una transición especificada por un diagrama con unas

probabilidades asociadas. • Ejemplo: M=2 estados

− Por completitud

− puede depender del símbolo transmitido en ese uso del canal

ISI Type

Canales con memoria

1 0S SP →

0 1S SP →

1 1S SP →0 0S SP →

0S 1S

0 1 0 11S S S SP P→ →+ =

1 0 1 11S S S SP P→ →+ =

i jS SP → ka

[ ]0 1[ ] Pr( [ ] ), , Pr( [ ] ) TMn S n S S n S −= = =…π

0S 1S 1MS −

8

Canales con memoriaDesvanecimiento

Tiempo t

Amplitud dela señal

Umbral

Bueno(Non-fade)

Malo(Fade)

0 0

1 1

1-10-5

1-10-5

10-5

0 0

1 1

1-10-2

1-10-2

10-2

Tasa de errores más elevada cuandohay desvanecimiento

La probabilidad de estar en estado malo

es menor que la de estar en estado bueno

0.7

0.3

0.99

0.01

Los periodos con amplitud de señal

alta tienen una duración grande

Bits transmitidos

bT

9

Canales con memoria

Código en Matlab para simular un canal con memoriafunction [bt,S]=FSC(at,P,p,pe0,pe1,pi00)% [bt,S]=FSC(at,P,p,pe0,pe1,pi00)% Parámetros de entrada% at -> Secuencia de Nbits% P -> Prob. de transición del estado 0 al 1% p -> Prob. de transición del estado 1 al 0% pe0 -> Prob. de error en el estado 0% pe1 -> Prob. de error en el estado 1% pi00-> Prob. de comenzar en el estado 0

Nbits=length(at);S=zeros(Nbits+1,1);S(1)=1-(rand(1,1)<pi00);bt=at;

for n=1:Nbitsif S(n)==0

bt(n)=BSC(at(n),pe0); S(n+1)=(rand(1,1)<P);

elsebt(n)=BSC(at(n),pe1);S(n+1)=1-(rand(1,1)<p);

endend

410P −=

210p −=

1 0,99p− =41 1 10P −− = − 0S 1S

1-10-5

10-5=pe0=Pr(e=1|0)

1-10-5

0,7

0,3=pe1=Pr(e=1|1)0 0 0 0

1 1 1 1

10

Matriz de transiciones

Evolución del canal (cadena de Markov)• Probabilidad de que en el instante n=1, el estado sea el “0”

• Probabilidad de que en el instante n=1, el estado sea el “1”

Canales estacionarios con memoria

[1] [0]T T= ⋅π π T

,Pr( | )j i i j

S S⎡ ⎤= ⎣ ⎦T0 0 1 0

0 1 1 1

Pr( | ) Pr( | )Pr( | ) Pr( | )

S S S SS S S S

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

T

0 0 0 1

1 0 1 1

Pr( ) Pr( )Pr( ) Pr( )

S S S SS S S S→ →⎡ ⎤

= ⎢ ⎥→ →⎣ ⎦T

[ ] 0 0 1 00 1

0 1 1 1

Pr( | ) Pr( | )[1] Pr( [0] ) Pr( [0] )

Pr( | ) Pr( | )T S S S S

S S S SS S S S

⎡ ⎤= = = ⋅ ⎢ ⎥

⎣ ⎦π

0 0 0 0 0 1 1Pr( [1] ) Pr( | ) Pr( [0] ) Pr( | ) Pr( [0] )S S S S S S S S S S= = = + =

0 1S SP →

1 0S SP → 1 1S SP →

0 0S SP →0S

1 1 0 0 1 1 1Pr( [1] ) Pr( | ) Pr( [0] ) Pr( | ) Pr( [0] )S S S S S S S S S S= = = + =

1S

11

Evolución del canal (cadena de Markov)

Estado en régimen permanente

Simplificaciones• Canales estacionarios

− Si la cadena de Markov que describe las transiciones entre estados es regular, la cadena converge a una distribución de estados

− Puede haber más de una distribución de estados estacionaria

Canales estacionarios con memoria

con 1T T T⋅ = ⋅ =π T π π 1

lim [ ] [0] lim [0]nT T T

n nn

→∞ →∞= = ⋅ =π π π T π T

2[1] [0] [2] [1] [0] [ ] [0] nT T T T T T Tn= ⋅ → = ⋅ = ⋅ → = ⋅π π T π π T π T π π T

,Pr( | )j i i j

S S⎡ ⎤= ⎣ ⎦T

0 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 1 0 1 1 1

Pr( ) Pr( ) Pr( | ) Pr( | )Pr( ) Pr( ) Pr( | ) Pr( | )

S S S S S S S SS S S S S S S S→ →⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ →⎣ ⎦ ⎣ ⎦T

0 1S SP →

1 0S SP →

1 1S SP →0 0S SP →

0S 1S ,Pr( )i j i j

S S⎡ ⎤= →⎣ ⎦T

12

Calculo de la distribución estacionaria

A. Número de estados finitoResolver explícitamente el sistema de ecuaciones

Numéricamente a partir de • Converge a una matriz cuyas filas son iguales a π

Adecuado para número de estados pequeños

1

01

0

π π , 0,1,..., 1

π 1

M

j i iji

M

ii

T j M−

=−

=

= = −

=

∑

∑nT

lim [ ] [0] lim nT T

n nn

→∞ →∞= = ⋅π π π T ⇔ con 1T T T⋅ = ⋅ =π T π π 1

13

Ejemplo

Matriz de transición

0 2 1 1 p−

p1 p−

1 p

0 0 10 1

1 0p p

p p

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

T

0 1 2π 1 π π π 1i i = ⇔ + + =∑

( )0.1

1 1 1, , 0.310, 0.345, 0.3453 3 3

T

p

pp p p =

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

π

0.310 0.345 0.345lim 0.310 0.345 0.345 ( 150)

0.310 0.345 0.345

n

nn

→∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= ≈⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

T

Estado de partida (fila)

Estado de llegada (columna)

2 0 1

0 2

1 1 2

π (1 )

π π

ππ (1 )π π

π

T T

pp pp

= −⎧⎪= ⇔ = −

= ++⎨

⎪⎩

π π T

14

Modelo de Gilbert

Ejemplo

• La distribución estacionaria se obtiene de

Bueno=G Malo=B

P

1 P−

p

1 p−

y de 1TT T T= ⇔ = =π π T T π π π 1

Gp

P pπ =

+ BP

P pπ =

+

Pr( | ) Pr( | ) 1Pr( | ) Pr( | ) 1

G G B G P PG B B B p p

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T

π

15

Canales con memoria

n nPr( | )b aCanal discretoM estados

na nb

0S 1S 1MS −

En los canales con memoria hace falta especificar1. Como se representa la memoria.

En el modelo que vamos a considerar, supondremos que el canal puede estar en un conjunto FINITO de estados.

2. Los parámetros que se necesitan para el cálculo de la distorsión introducida por el canal

Las probabilidades conjuntas de entrada salida

16

Canales con memoria2. Cálculo de las probabilidades

• Notación matricial− Para cada par de símbolos (ENTRADA, SALIDA) [(a[i],b[i])] se define una

Matriz de Probabilidad de tamaño M×M (M número de estados del canal)

• Con esta notación, se puede escribir para las secuencias y

− Atención: el producto de matrices no es conmutativo.Hay que seguir el orden correcto

0 0 1 0 1 0

0 1 1 1

Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )( [ ] | [ ])

Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )

M

M M M

b m S a m S b m S a m S b m S a m Sb m a m

b m S a m S b m S a m S

−

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P

nb1

0

( | ) ( [0] | [0]) ( [1] | [1]) ( [ 1] | [ 1]) ( [ ] | [ ])n

n nm

b a b a b n a n b m a m−

=

= − − =∏P b a P P P P

na

n nPr( | )b a

17

Canales con memoria

Ejemplo

Se supone que el estado de partida es el que determina la probabilidad de recibir un determinado símbolo conocido el símbolo transmitidoLa opción alternativa (el estado de llegada es el que determina el efecto sobre el símbolo) es válida y los resultados no son muy diferentes.

410−

210−

0,9941 10−−0S 1S

0 0

1 1

1-10-5

10-5

1-10-5

0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a

0 0

1 1

0,7

0,3

1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a

0 0 1 0

0 1 1 1

Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )( [ ] | [ ])

Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )b m S a m S b m S a m S

b m a mb m S a m S b m S a m S

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

P

( ) ( ) ( )( )

5 4 5 -4

-2 2

1 10 1 10 1 10 10( [ ] 1| [ ] 1) ( [ ] 0 | [ ] 0)

0.7 10 0.7 1 10b m a m b m a m

− − −

−

⎡ ⎤− × − − ×⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥× × −⎣ ⎦

P P

( )( )

-5 4 -5 -4

-2 2

10 1 10 10 10( [ ] 0 | [ ] 1) ( [ ] 1| [ ] 0)

0.3 10 0.3 1 10b m a m b m a m

−

−

⎡ ⎤× − ×⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥× × −⎣ ⎦

P P

18

Canales con memoriaEjemplo

• Si

410−

210−

0,9941 10−−0S 1S

0 0

1 1

1-10-5

10-5

1-10-5

0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a

0 0

1 1

0,7

0,3

1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a

(0,0,1,1,1,1,0,0,1)n =a

(0,0,1,1,0,1,1,0,0)n =b

( | ) ( [0] 0 | [0] 0) ( [1] 0 | [1] 0) ( [ 1] 0 | [ 1] 1)n n b a b a b n a n= = = = = − = − =P b a P P P

8 60 0 1 0

5 30 1 1 1

Pr( , | , ) Pr( , | , ) 3.2 10 3.1 10( | )

Pr( , | , ) Pr( , | , ) 2.9 10 2.9 10n n n n

n nn n n n

S S S S

S S S S

− −

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× ×⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

b a b aP b a

b a b a

¿ ( | )?n nP b a

19

Canales con memoria

2. Cálculo de las probabilidades• Notación matricial

− Como la probabilidad de recibir la secuencia cuando se ha transmitido la secuencia y se ha partido desde el estado inicial S[0] es:

− se puede escribir

00 0 1 0 1 0

1

0 1 1

1

Pr( | , [0] )Pr( , [ ] | , [0] ) Pr( , [ ] | , [0] ) Pr( , [ ] | , [0] )

Pr( | , [0] )

Pr( , [ ] | , [0] ) Pr( , [ ] |Pr( | , [0] )

n nn n n n n M n

n n

n n M n M

n n M

S SS n S S S S n S S S S n S S S

S S

S n S S S S n SS S

−

− −

−

⎡ ⎤== = = = = =⎢ ⎥

=⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ = = =⎢ ⎥=⎣ ⎦

b ab a b a b a

b a

b a bb a

1

1

, [0] ) 1

( | )

n M

n n

S S −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎣ ⎦

= ⋅

a

P b a 1

nb

Sobre todoslos estados [ ]

Pr( | , [0]) Pr( , [ ] | , [0])n n n n

S n

S S n S= ∑b a b a

na

n nPr( | )b a

20

Canales con memoria

Ejemplo

• Si

410−

210−

0,9941 10−−0S 1S

0 0

1 1

1-10-5

10-5

1-10-5

0 0

1 1

0,7

0,3

(0,0,1,1,1,1,0,0,1)n =a

(0,0,1,1,0,1,1,0,0)n =b

8 6

5 3

3.2 10 3.1 10( | )

2.9 10 2.9 10n n

− −

− −

⎡ ⎤× ×= ⎢ ⎥

× ×⎣ ⎦P b a

60

31

Pr( | , [0] ) 3.1 10Pr( | , [0]) ( | )

Pr( | , [0] 2.9 10n n

n n n nn n

S SS

S S

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×= ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ×⎣ ⎦⎣ ⎦

b ab a P b a 1

b a

0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a 1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a

Pr( | , [0])n n Sb a

21

Canales con memoria

2. Cálculo de las probabilidades • Notación matricial

− Si promediamos para todos los posibles estados de entrada (y tenemos en cuenta la distribución de probabilidad) resulta

1

[0] 0

Pr( | ) Pr( | , [0]) Pr( [0]) [0] ( | )M

Tn n n n n n

S

S S−

=

= = ⋅∑b a b a π P b a 1

[ ]0 1[0] Pr( [0] ), , Pr( [0] ) TTMS S S S −= = =π [0] 1T ⋅ =π 1

n nPr( | )b a

22

Canales con memoriaEjemplo

• Si

410−

210−

0,9941 10−−0S 1S

0 0

1 1

1-10-5

10-5

1-10-5

0 0

1 1

0,7

0,3

(0,0,1,1,1,1,0,0,1)n =a

(0,0,1,1,0,1,1,0,0)n =b

8 6

5 3

3.2 10 3.1 10( | )

2.9 10 2.9 10n n

− −

− −

⎡ ⎤× ×= ⎢ ⎥

× ×⎣ ⎦P b a

6

3

3.1 10Pr( | , [0]) ( | )

2.9 10n n n nS−

−

⎡ ⎤×= ⋅ = ⎢ ⎥×⎣ ⎦

b a P b a 1

0 1

6 3Pr( | ) [0] ( | ) 3.1 10 2.9 10Tn n n n S Sπ π− −= ⋅ = × × + × ×b a π P b a 1

0 En en el estado , ( | ) : BSCS P b a 1En en el estado , ( | ) : BSCS P b a

23

Patrones de Error

Es posible caracterizar la distorsión del canal mediante la distribución de probabilidad de los errores condicionados a la secuencia transmitida• Relación entre secuencias

Haciendo un simple cambio de variable obtenemos

• Conocida las secuencia transmitida y el patrón de errores puede generarse la secuencia recibida

Si [ ] 0 no hay error [ ] [ ] 0 [ ]Si [ ] 1 hay error [ ] [ ] 1 [ ]n n n

e m b m a m a me m b m a m a m

= → = ⊕ =⎧= ⊕ ⎨ = → = ⊕ =⎩

b a e

Pr( | ) [0] ( | )Tn n n n= ⋅ ⋅e a π P e a 1

0 0 1 0

0 1 1 1

Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )( [ ] | [ ]) ( [ ] | [ ])

Pr( [ ], | [ ], ) Pr( [ ], | [ ], )

M

M M M

e m S a m S e m S a m Sb i a i e m a m

e m S a m S e m S a m S

−

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P P

Pr( [ ] | [ ])= Pr( [ ] [ ] | [ ])= Pr( [ ] | [ ])b m a m a m e m a m e m a m⊕

24

Patrones de ErrorSimplificaciones• Canales simétricos:

− la probabilidad de una secuencia de error no depende de la secuencia transmitida

− Por tanto

• Probabilidad de error media− Se obtiene considerando la distribución estacionaria de probabilidades:

1

0

Pr( ) [0] ( ) [0] ( [ ])n

T Tn n

m

e m−

=

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∏e π P e 1 π P 1

( [ ] | [ ]) ( [ ])e m a m e m=P P

Pr(Error) (1)T= ⋅ ⋅π P 1

Distribución estacionaria de probabilidades

con 1T T T⋅ = ⋅ =π T π π 1

, ,Pr( | ) Pr( )j i i ji j i j

S S S S⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = →⎣ ⎦ ⎣ ⎦T

000011010001n =en0123456789

[0]π

25

Patrones de ErrorEjemplo 410P −=

210p −=

1 0,99p− =41 1 10P −− = − 0S 1S

0 0

1 1

1-10-5

10-5=pe0=Pr(e=1|S0)

1-10-5

0 0

1 1

0,7

0,3=pe1=Pr(e=1|S1)

Pr(Error) (1)T= ⋅ ⋅π P 1

0

1

0.990.01

S

S

pP p

PP p

π

π

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ + ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+⎣ ⎦

π

0 1

30 1Pr(Error) (1) 3 10T

e S e Sp pπ π −= ⋅ ⋅ = + = ⋅π P 1

( )( )

6 90 0

31 1

1 9.999 10 10(1) (1)

1 3 10 0.297e e

e e

p P p P

p p p p

− −

−

× − ×⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

× × − ×⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦P F T

{ }( ) diag Pr( | )i i ie e S=F (1) (1)= −F I F0

1

1 0(0)

0 1e

e

pp

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

F

26

Medidas de calidad en Canales Discretos

Probabilidad de error• Probabilidad de tener 1 error:

Probabilidad de patrón de error “01”

Probabilidad condicionada

11

P Pp p−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦T

Pr(Error) (1)T= ⋅ ⋅π P 1

Pr(01) (0) (1)T= ⋅ ⋅ ⋅π P P 1

(1) (0) (1)Pr(01|1)

(1)

T

T

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

π P P P 1π P 1101

pP p

PP p

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

π

410P −=

210p −=

1 0,99p− =41 1 10P −− = − 0S 1S

1-10-5

10-5=pe0=Pr(e=1|S0)

1-10-5

0,7

0,3=pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0

1 1 1 1

27

Medidas de calidad en Canales Discretos

Modelo de Gilbert

• Matrices de error

• Probabilidades de error

0=BuenoPr(e=1)=0

1=MaloPr(e=1)=1-h

P

1 P−

p

1 p−1

1P P

p p−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦T

Pr(1) (1)T= ⋅ ⋅π P 1 (1) (1)Pr(1|1)

(1)

T

T

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

π P P 1π P 1

0 0(1) (1)

(1 ) (1 )(1 )h p h p⎡ ⎤

= ⋅ = ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦P F T

1(0) (0)

(1 )P P

hp h p−⎡ ⎤

= ⋅ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦P F T

pP p

PP p

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

πh

1-h=pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0

1 1 1 1

28

¿Cómo asociar un modelo a un canal real?

Se introduce en un canal una secuencia de bits nula (todos 0s)

• Si a la salida aparece un 1 es porque se ha producido un error• La clave está en determinar las probabilidades de aparción de ciertos patrones de

errorEjemplo: Modelo de Gilbert: • Tres parámetros: p, P y h

• Como el modelo tiene 3 parámetros, es posible determinarlos si conocemos las probabilidades de aparición de, al menos, 3 patrones de error distintos.− Gilbert propone utilizar los siguientes:

0=BuenoPr(e=1)=0

1=MaloPr(e=1)=1-h

P

1 P−

p

1 p−

Canal0000 0000 0 010 0 011

Pr(1), Pr(1|1), Pr(111), Pr(010)

29

Parámetros en el modelo de Gilbert

Parámetros del modelo de Gilbert: p, P y h

• Como, teóricamente, ...

• ... resulta que

( ) ( )( )2

2

(1- )1 ; 1 1- y (1 ) (1- )

P pa h b h p c hP p p pP

= − = − = −+ +

( )2

1 ; 1 ; 2 ( ) 1 1

ac b b app h Pac b a c p h a

−− = = − =

− + − − −

0 1 10 1 1Pr(1) e S e S e Sa p p pπ π π= = + =

11

P Pp p−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦T

pP p

PP p

⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

π

Pr(1); Pr(1|1)

Pr(111) Pr(101)+Pr(111)

ab

c

==

=

0=BuenoPr(e=1)=0

1=MaloPr(e=1)=1-h

P

1 P−

p

1 p−

h

1-h=pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0

1 1 1 1

30

Probabilidades de aparición de patrones de error

Notación: transmisión de 26 bits

¿Cómo contar los patrones dentro de una secuencia de error?• Pr(11): Probabilidad de dos bits erróneos consecutivos (contando el último

par, hay 25 pares)

• Por ejemplo “Pr(1 | 1)”− Dado que hay un bit erróneo, probabilidad de que el siguiente también lo sea

5 2 2 6 3 2 4 200000110011111100011000011 0 1 0 1 0 1 0 1→

8Nº Casos 8 Pr(11) 2512Nº Casos Posibles 11 Pr(1) 26

= ≈ =

82500000110011111100011000011

00000110011111100011000011

31

Parámetros en el modelo de Gilbert

Notación

¿Cómo contar los patrones dentro de una secuencia de error?• Por ejemplo “111”

−

−

− Las variaciones son pequeñas (siempre dentro del mismo orden de magnitud)

2 300000110011111100011000011 26 133→ =

4 20000011001111110001100001124 12

→ =

5 2 2 6 3 2 4 200000110011111100011000011 0 1 0 1 0 1 0 1→

32

Modelo de Fading – Modelo Gilbert-Elliot

Bueno(Non-fade)

Malo(Fade)

0 0

1 1

1-10-5

1-10-5

10-5

0 0

1 1

1-10-2

1-10-2

10-2

Desvanecimiento

Tiempo t

Amplitud dela señal

Umbral

bT

33

Ejemplo

Considere un canal de comunicaciones móviles con desvanecimiento. • Frecuencia de portadora: fc• Velocidad del móvil: v • Modulación binaria: Rb

Dicho canal quiere modelarse empleando un modelo de canal discreto de dos estados:• Estado S0 “bueno”: ρ > ρUmbral

• Estado S1 “malo”: ρ < ρUmbral

ρUmbral es un dato conocido.S0

Pr(e)=0S1

Pr(e)=1-h

P1 P−

p

1 p−

Desvanecimiento

Tiempo t

Envolvente deseñal normalizada

ρUmbral

( )( )

RMS

r tt

Rρ =

cos cosDoppler cv vf f

cθ θ

λ⎫

= =⎬⎭

34

Ejemplo

Relación con el modelo de canal discreto• La probabilidad de estar en el

estado malo es igual a la probabilidad de que la envolvente caiga por debajo del umbral ρUmbral

Desvanecimiento

Tiempo t

ρUmbral

( )( )

RMS

r tt

Rρ =

2

11 Umbral

SP e

P pρπ −= = −

+S0

Pr(e)=0S1

Pr(e)=1-h

P1 P−

p

1 p−

1ª Ecuación, dos incógnitas

1SP

P pπ =

+0Sp

P pπ =

+

35

Ejemplo

La duración media de los desvanecimientos es

El número medio de símbolos (bits) transmitidos durante un desvanecimiento es:

Modelo de Gilbert• Supongamos que acabamos de entrar

en el estado “malo”. − El número medio de símbolos durante

una ráfaga en el estado “malo” (⇔desvanecimiento) es 1/p

Desvanecimiento

Tiempo t

ρUmbral

( )( )

RMS

r tt

Rρ =

S0Pr(e)=0

S1Pr(e)=1-h

P1 P−

p

1 p−

[ ]( ) [ ]

2

1Umbral

Pr ( ) e 1 seg.2

UmbralUmbral

Umbral Doppler

tN f

ρρ ρτ

ρ ρ π≤ −

= =

[ ]2

1Umbral

e 1 bits2

Umbral

b bDoppler

R Rf

ρ

τρ π

−=

1τ 0τ

( )1 [segundos/cruce]UmbralN ρ

1

1

b

pR τ

= 2ª Ecuación2

1 0

Si 10 , en media se necesitan 100 simbolos para que se produzca una transicion desde

a

p

S S

−=

36

Cálculo de la probabilidad de error media

Fórmula de Wang Moayeri• Constelación QPSK

{ }

( )

min2Pr error de bit

2

QPSK

dQ

Q

σ⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= Γ

Imag

Real

b bE j E+

P

p

1 p−1 P− 0S 1S

1-10-5

pe0=Pr(e=1|S0)

1-10-5

pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0

1 1 1 1

Pbit erroroBER

10-4

10-6

10-8

10-2

10-10 5 1510 [ ] dBΓ

THΓ<ΓΓ THΓ

1Pr( 1| )e S=

01 1Pr( 1| )

Pr( )TH

eTH

e S p γ γ−= = =

Γ < Γ

( ) 12 21

k

k k ke Q QγΓ

−Γ

⎛ ⎞⎛ ⎞Γ Γ +⎜ ⎟= Γ + Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟Γ + Γ⎝ ⎠⎝ ⎠

0 0Γ =

1 THΓ = Γ

37

Cálculo de la probabilidad de error media

Aproximación más simple.1. Calcular la relación señal a

ruido media de las relaciones por debajo del umbral

2. Con esa relación, obtener la probabilidad de error de bit

− Sólo válido para relaciones señal a ruido inferiores a 15 dB

0 10 20 30 40 50 60 700

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Valores de la (Eb/N0)

His

togr

ama

1( )x

p x e−Γ

Γ =Γ

{ } 0

0

1

|1

1

TH TH

THTH

TH

x

THTH x

x e dx eEe dx e

−Γ ΓΓ −Γ

Γ<ΓΓ−Γ −

Γ Γ

ΓΓΓ = Γ Γ < Γ = = Γ −⎛ ⎞−⎜ ⎟Γ ⎝ ⎠

∫

∫

ΓTHΓ

{ }0

1Pr 1TH

THx

TH e dx eΓ

− −ΓΓ Γ

⎛ ⎞Γ < Γ = = −⎜ ⎟

Γ ⎝ ⎠∫

unidadesnaturales

38

Cálculo de la probabilidad de error media

Constelación QPSK

Imag

Real

{ } ( )min2Pr error de bit 2QPSK

dQ Qσ

⎛ ⎞≈ = Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

b bE j E+

Pbit erroroBER

10-4

10-6

10-8

10-2

10-10 5 1510 [ ] dBΓ

THΓ<ΓΓ

P

p

1 p−1 P− 0S 1S

1-10-5

pe0=Pr(e=1|S0)

1-10-5

pe1=Pr(e=1|S1)0 0 0 0

1 1 1 1

pe1=Pr(e=1|S1)

2

11 Umbral

SP e

P pρπ −= = −

+

1

1 b

pR τ

=

Aproximación válida para 0

15 dBbEN

⎛ ⎞Γ = <⎜ ⎟

⎝ ⎠

THΓ