TEMA 5. MUESTREO PARA LA ACEPTACIÓN. Introducción.

Planes de muestreo por atributos simple, doble, múltiple y

rectificativos Dodge-Romig, Norma militar 1000STD-105D.

Pautas a seguir para el cambio de rigor y nivel de inspección.

El control de recepción o muestreo de aceptación es el que se aplica al

recibir materias primas, productos elaborados o servicios administrativos que

serán introducidos en un proceso de fabricación y/o administrativo para

comprobar cómo cumplen unas especificaciones de calidad. Sus técnicas

suponen un compromiso de calidad entre fabricante y comprador o personal

de servicio y usuario.

La contribución a la toma de muestras de los expertos en estadística, ha

sido básicamente el establecer el tamaño de las mismas y establecer los

riesgos que ayuden al responsable a tomar decisiones más inteligentes con

respecto a la aceptabilidad del producto.

Vamos a centrarnos en control de recepción por atributos de unidades

defectuosas en un lote de productos elaborados. Su objetivo es juzgar la

calidad del lote según la proporción de unidades defectuosas que recibe el

cliente.

El muestreo de aceptación se define como el muestreo por el que se

toma la decisión de aceptar o rechazar un lote en función de la información

obtenida por la muestra.

Un plan de muestreo simple es un procedimiento en el que se toma una

muestra aleatoria de n unidades del lote para su inspección y determinación

del destino del mismo en función de la información procedente de la muestra.

Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso un par de números (n, c), donde

n es el tamaño de la muestra y c el número máximo de unidades defectuosas

que puede tener la muestra para que el lote sea aceptado.

Supondremos en nuestro caso que se recibe un lote grande de

productos (N grande), teóricamente infinito, con una proporción p de artículos

defectuosos. El lote se aceptará si la proporción de artículos defectuosos es

menor que una proporción especificada por el vendedor, p � pA (nivel de

calidad aceptable, AQL). El valor pA depende de criterios económicos y

técnicos y es fijado por el vendedor. Se pretende diseñar un procedimiento

para la aceptación o rechazo del lote, que es lo que proporciona el

mencionado plan (n, c).

Así, denominando X = “número de unidades defectuosas encontradas en

la muestra de tamaño n”, se aceptará el lote si X � c.

La proporción de artículos defectuosos en el lote (p) es desconocida,

aunque estimada mediante la proporción correspondiente en la muestra.

Como consecuencia de la decisión tomada en el plan de muestreo se

cometerán los dos tipos de errores conocidos estadísticamente en cualquier

contraste de hipótesis: 1) rechazar un lote que debería ser aceptado; 2)

aceptar un lote que debería ser rechazo.

�Se corresponden con:

Riesgo del fabricante o vendedor = � = Prob (error tipo I) = P (rechazar

el lote con p � pA)

Valores usuales son 0’001, 0’01, 0’05 y 0’10.

Riesgo del comprador = � = Prob (error tipo II)

Para controlar este error el comprador especifica pR o nivel de calidad

rechazable (LPTD) tal que la probabilidad de aceptar lotes con calidad igual o

peor que pR (p � pR) sea muy baja.

� = P (aceptar el lote con p pR)

Valores usuales son 0’10, 0’12 y 0’20.

�

Plan de Muestreo Simple (n, c)

�Se selecciona al azar una muestra de tamaño n de un lote de N

unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,

que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’

contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos

establecidos, X, y se compara con el número de aceptación, c, si X es menor

o igual que c se decide aceptar el lote y si es mayor se rechaza. El esquema

general se ve en la figura.

Lote de tamaño ‘N’

Obtenemos una muestrade tamaño ‘n’

X � c

X = nº de defectuososen la muestra

Rechazar el lote

Aceptar el lote

Sí No

Para establecer un plan de muestreo (n, c) se requiere definir

previamente (�, pA) y (�, pR), correspondientes a las probabilidades de los

errores y a las calidades dada por el vendedor y exigida por el comprador,

respectivamente.

Es frecuente establecer la relación: .

Para caracterizar el plan de muestreo se utiliza la curva característica

(OC) definida por:

OC(p) = Probabilidad (aceptar un lote con una proporción p de artículos defectuosos)

Especificar (�, pA) y (�, pR) equivale a fijar dos puntos de la curva

característica. A medida que aumenta el tamaño de muestra, si se mantiene

constante, el error disminuye. La determinación del plan de muestreo a

partir de dos puntos de la curva característica es laborioso. Para simplificar

esta tarea se han construido tablas que los proporcionan. Estos planes se

clasifican en dos tipos:

1. Planes de aceptación y rechazo. Normas japonesas y la norma

militar.

2. Planes de control rectificativo. Se diferencian de los anteriores en

que los lotes rechazados se inspeccionan al 100% sustituyendo las

unidades defectuosas por aceptables. Los más utilizados son los de

Dodge-Romig y los dados por las propias normas militares.

Cálculo del plan de Muestreo Simple (n, c)

Para calcular el plan de muestreo (n, c) se utilizará la distribución

binomial de parámetros (n, p), pues es de las más comunes para tamaños

grandes de lote con relación al tamaño de la muestra, situación muy frecuente

en la práctica.

La función de probabilidad de X:

, para x = 0, 1, 2, �, que es la probabilidad

de que en una muestra de tamaño n se encuentren x unidades defectuosas.

Para que se cumplan los requisitos especificados (�, pA) y (�, pR) se han

de verificar las ecuaciones siguientes:

ci n iA A

i 0

nP(X c) p (1 p ) 1

i�

�

� �� � � � ��� �

� ��

ci n iR R

i 0

nP(X c) p (1 p )

i�

�

� �� � � � �� �

� ��

donde n y c son las incógnitas.

La primera ecuación expresa la probabilidad de aceptar el lote con un

número de unidades defectuosas menor o igual que c, con calidad pA, la

especificada por el proceso de fabricación (vendedor). Mientras que la

segunda ecuación muestra la probabilidad de que se acepte un lote con un

número de unidades defectuosas menor o igual que c, con calidad pR,

especificada por el comprador o cliente.

La resolución del sistema planteado no es fácil por lo que se conocen

ciertos métodos gráficos (Nomograma y General Motors) o de tablas como las

japonesas JIS Z 9002 o americanas MIL-STD_105D.

Para la resolución del sistema anterior se ha realizado un programa en

Visual Basic y Access, “PMASIL” (Plan de Muestreo de Aceptación SImple de

Lotes).

A la hora de resolver el sistema se utiliza un proceso iterativo. Se

plantea la inecuación, pasando sendos términos, con el valor 0, se toma su

valor absoluto y se suman. Se prueban los posibles valores para n y c y se

elige como resultado el que haga que las suma de los dos valores absolutos

diste menos de 0.

Nos proporcionará soluciones para n y c basadas en un tamaño máximo

de n, que siendo más precisos se asemejarán a los valores dados por los

métodos de tablas y gráficos señalados anteriormente.

Hay que destacar que el programa, además, es una forma rápida y

sencilla, a la para que precisa, para calcular el mencionado plan de muestreo

simple.

Otro programa PMASIL_SIM permite de forma didáctica mediante una

simulación el proceso siguiente: se crea un lote de tamaño N de 0’s, en

proporción 1 – p, y 1’s, en proporción p, donde 1 significa que el artículo es

defectuoso. Se seleccionan en el mismo lote sucesivas muestras aleatorias

de tamaño n y número de aceptación c, proporcionados por PMASIL como

plan de muestreo simple especificado. Una vez examinadas una por una las

muestras se decide aceptar o rechazar el lote en función del número de 1’s

(unidades defectuosas) encontradas comparándolo con el número de

aceptación c.

Se contabilizará el número de veces que ha sido aceptado el lote y se

calculará la proporción dividiendo entre el número total de simulaciones. Este

resultado nos informará de la probabilidad de aceptación en las simulaciones.

Posteriormente, se calculará la probabilidad de aceptación de un lote

teórica dada por la distribución binomial.

donde p es la calidad del lote o

proporción de artículos defectuosos

El esquema que sigue el programa se muestra en la figura:

El programa se presenta de dos formas diferentes: dentro de PMASIL en

la opción de ‘Simular probabilidad de aceptación’ se puede encontrar un

resumen de los resultados. Proporcionará los resultados resumidos del

número de lotes aceptados, el porcentaje o probabilidad de aceptación

simulada y la probabilidad de aceptación teórica; por otra parte, PMASIL_SIM

mostrará los cálculos intermedios de una forma clara y didáctica. Dará cada

una de las muestras aleatorias elegidas, el número de defectuosos (de 1’s) de

cada una y si el lote se acepta o se rechaza.

Lote de tamaño ‘N’

Proporción de correctos: ‘p’Propor ción de defectuosos: 1-‘p’

Seleccionar muestra de tamaño ‘n’

‘N’ tamaño del lote‘p’ proporción de artículos defectuosos‘n’ tamaño de la muestra‘c’ número de aceptación‘X’ número de artículos defectuosos de la muestra

‘R’ número de muestras a realizar

¿‘X’ ? ‘c’? Sumar 1 al número de muestras aceptadas

¿Nº de muestras probadas < ‘R’

(muestras a realizar)?

Sí

Sí

No

Presentar Resultados: Nº de Muestras Aceptadas,Nº de pruebas realizadas,Proporción entre ambas,

Probabilidad teórica

No

Planes de control rectificativo de Dodge-Romig

Los planes de control rectificativo se basan en que los lotes rechazados

son inspeccionados al 100% y todos los elementos defectuosos se sustituyen

por buenos. De esta manera se garantiza que la calidad media de entrada

en el almacén (AOQ) será alta. En efecto, en un lote de N unidades con una

proporción p de defectuosas, si (p) es la probabilidad de que el plan de

muestreo acepte lotes de dicha calidad, ya que los lotes se inspeccionan al

100% y todos los defectuosos se sustituyen por buenos, la calidad promedio

en el almacén será:

Si el valor de N no fuese muy grande, se tendría que:

Así pues, el valor AOQ depende de p y se calcula multiplicando por p la

curva característica.

Cuando la calidad de entrada es muy buena (p pequeño) la calidad en el

almacén será también buena. A medida que la proporción defectuosa

aumenta, lo hará también AOQ, aunque en menor proporción, ya que los lotes

comenzarán a ser rechazados e inspeccionados al 100%. Se obtiene un

punto máximo que se denomina límite de la calidad media de entrada

(AOQL):

Lotes muy malos serán casi siempre rechazados, por tanto serán

inspeccionados al 100% y conducirán a una calidad muy alta en el almacén.

Otra medida importante respecto de la inspección rectificadora es la

cantidad total media de inspección que requiere el plan de muestreo y que

se representará por ITM. Es claro que si los lotes no contienen unidades

defectuosas, no se rechazará ninguno, y la cantidad por lote será el tamaño

de la muestra n. Si por el contrario, todos los artículos son defectuosos, se

someterán a inspección del 100% todos los lotes y el tamaño de inspección

por lote será el tamaño de éste. Pero, si la calidad del lote está comprendida

entre cero y uno, el tamaño de inspección variará entre el tamaño de la

muestra n y el tamaño del lote N. Si el lote tiene una calidad p y la

probabilidad de aceptación del lote es pa, entonces:

FLUJO DEL MATERIAL EN RECEPCIÓN

Las tablas de Dodge-Romig pueden utilizarse para muestreos simples y

dobles, pudiendo entrar en ellas de dos formas:

1. Planes LTPD (= LQ = pR). Dados N, AQL y el nivel de calidad

rechazable LTPD, proporcionan n, c y AOQL del plan de control

rectificativo.

2. Planes AOQL. Dados N, AQL y AOQL, se obtiene n, c y LTPD.

Normas militares estándar

Plan de muestreo simple.

Como se sabe, un plan de muestreo simple es un procedimiento en el

que se toma una muestra aleatoria de n unidades del lote para su inspección

y determinación del destino del mismo en función de la información

procedente de la muestra.

Se selecciona al azar una muestra de tamaño n de un lote de N

unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,

que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’

contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos

establecidos. Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso tres números (n,

Ac, Re), donde n es el tamaño de la muestra, Ac es el número de aceptación

o máximo de unidades defectuosas que puede tener la muestra para que el

lote sea aceptado, y Re el número de rechazo. Este último indica que si el

número de unidades defectuosas encontradas en la muestra es igual o mayor

que él, el lote es rechazado.

Para dar el plan de muestreo (n, Ac, Re) en este trabajo utilizaremos las

normas militares estándar.

La norma UNE 66–020 (MIL STD 105D) consiste en un conjunto de

tablas que establecen los planes de muestreo de aceptación de lotes por

atributos mencionados anteriormente.

Un concepto clave para la utilización de estas tablas es el nivel de

calidad aceptable (NCA o AQL). Se define como el porcentaje máximo de

unidades defectuosas alcanzable por la media del proceso para que se pueda

considerar como satisfactorio desde el punto de vista de la inspección por

muestreo. Se considera como un porcentaje de defectuosos “aceptable” por el

comprador, un compromiso entre la capacidad del proceso del proveedor y las

exigencias del cliente. El NCA ha de ser prefijado, generalmente por criterios

económicos.

El NCA indica que un lote con una proporción p de defectuosos que sea

menor o igual que él será aceptado en la mayoría de los casos. (La

probabilidad de aceptar un lote con p = NCA varía entre el 88-99%).

Las normas militares ofrecen variantes en cuanto a la severidad del

muestreo. Permite elegir tres rigores generales de inspección: normal,

rigurosa y reducida, como se ve en la figura. La inspección normal se aplica

generalmente al inicio del proceso y cuando la calidad del proveedor es del

mismo orden de la que precisa el proceso de fabricación. La rigurosa se

aplica cuando el historial de la calidad se ha deteriorado (calidad < necesaria).

Y, por último, la reducida cuando el historial de calidad es excepcionalmente

bueno (calidad > necesaria). En esta última el tamaño de muestra es menor.

REDUCIDA NORMAL RIGUROSA

Rigores generales de inspección

Para poder cambiar el rigor de inspección se sigue el siguiente

esquema:

REDUCIDA NORMAL RIGUROSA

10 o más lotes consecutivos aceptados

y

nº de defectuosos no supera el límite de la tabla de números límites en inspección

reducida

y

producción estable

y

autoridad competente lo estima

2 de 5 lotes consecutivos son

rechazados

Se rechaza un lote

o

no se toma decisión (nº defectuosos

mayor que Ac pero menor que Re)

o

producción irregular

o

autoridad competente lo estima

5 lotes consecutivos

aceptados

Se parala

inspección

10 lotes consecutivos rechazados

Inicio

Cambios de rigor de inspección

Si se llama X = “número de defectuosos en la muestra”, cuando el rigor

de inspección es reducido, puede ocurrir que:

Sucede Decisión

X � Ac Se acepta el lote y se sigue en

inspección reducida

Ac < X < Re Se acepta el lote y se pasa a

inspección normal

X � Re Se rechaza el lote y se pasa a

inspección normal

Además, del AQL y del rigor de inspección, se ha de considerar el coste

de inspección por unidad de producto: alto (nivel I), medio (nivel II) y bajo

(nivel III).

El tamaño del lote y el coste de inspección determinan en las tablas

según la norma militar una letra código.

Definida esta letra código y elegido el nivel de calidad aceptable las

tablas diseñan un plan de muestreo para cada nivel de inspección: normal,

reducida y rigurosa.

La tabla de “números límites en inspección reducida” muestra en función

del NCA y de los elementos extraídos en los últimos 10 lotes el máximo

número de unidades defectuosas en inspección normal. Si las observaciones

no aptas superan este valor se ha de seguir en este rigor. En algunas

ocasiones podría ocurrir que se precisasen más de 10 lotes para conseguir el

número de elementos necesarios que establecen las tablas.

SIMIL

"SIMIL" es una hoja de cálculo que, dado un tamaño de lote y el nivel de

inspección y nivel de calidad aceptable, explica los pasos a seguir para

obtener los tamaños de muestra y números de aceptación y rechazo para

cada tipo de inspección: reducida, normal y rigurosa; así como, el máximo de

unidades defectuosas para poder pasar de inspección normal a inspección

reducida. Durante el cálculo aparece en la parte superior de la pantalla una

ventana indicando lo que está haciendo al tiempo que se mueve por la hoja

de cálculo unos iconos que representan la acción realizada.

Una vez obtenido el plan de muestreo, también podemos realizar una

simulación de control de un proceso de producción que utilice dicho plan. Esta

simulación puede generar aleatoriamente el número de defectuosos de cada

lote inspeccionado o bien obtener dicho número de una tabla predefinida.

Plan de muestreo doble.

Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el que se toma una

muestra aleatoria de n1 unidades del lote para su inspección y determinación

del destino del mismo en función de la información procedente de la muestra.

El lote se puede aceptar si el número de elementos defectuosos es menor o

igual que uno dado (número de aceptación en la primera muestra, Ac1), se

puede rechazar si el número defectuosos es mayor o igual que un valor dado

(número de rechazo, Re1) o se puede pasar a la segunda muestra si el

número de defectuosos está entre los dos valores anteriores. Si se ha de

pasar a la segunda muestra, el lote será aceptado si la suma de defectuosos

de la primera y segunda no superan el número de aceptación segundo (Ac2).

Se selecciona al azar una muestra de tamaño n1 de un lote de N

unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,

que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’

contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos

establecidos y, si es necesario, se inspecciona otra muestra de tamaño n2.

Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso seis números (n1, Ac1, Re1, n2,

Ac2, Re2), donde n1 es el tamaño de la primera muestra, Ac1 es el número de

aceptación o máximo de unidades defectuosas que puede tener la primera

muestra para que el lote sea aceptado, y Re1 el número mínimo de

defectuosas que hace rechazar el lote, n2 es el tamaño de la segunda

muestra, Ac2 es el número de aceptación o máximo de unidades defectuosas

que pueden tener entre la primera muestra y la segunda para que el lote sea

aceptado, y Re2 el número mínimo de defectuosas en la primera y segunda

muestras que hace rechazar el lote.

La norma UNE 66–020 (MIL STD 105D) también establecen los planes

de muestreo dobles para la aceptación de lotes por atributos mencionados

anteriormente.

Si se llama X1=“número de defectuosos en la primera muestra” y

X2=“número de defectuosos en la segunda muestra”, cuando el rigor de

inspección es reducido, puede ocurrir que:

Sucede Decisión

X1 � Ac1 Se acepta el lote y se sigue en

inspección reducida

Ac1 < X1 < Re1 Se pasa a la segunda muestra

X1 + X2 � Ac2 Se acepta el lote y se sigue en

inspección reducida

Ac2 < X1 + X2 � Re2 Se acepta el lote y se pasa a

inspección normal

X1 � Re1 Se rechaza el lote y se pasa a

inspección normal

X1 + X2 � Re2 Se rechaza el lote y se pasa a

inspección normal

Al igual que el plan simple se define la letra código y elegido el nivel de

calidad aceptable y el rigor las tablas diseñan el plan de muestreo doble. Las

condiciones de paso de un rigor de inspección a otro son las mismas.

SIMIL 2.0

"SIMIL 2.0" es otra hoja de cálculo en la que, dado un tamaño de lote y

el nivel de inspección y nivel de calidad aceptable, explica los pasos a seguir

para obtener los tamaños de muestra y números de aceptación y rechazo

para cada tipo de inspección: reducida, normal y rigurosa en plan de muestreo

doble; así como, el máximo de unidades defectuosas para poder pasar de

inspección normal a inspección reducida.

Una vez obtenido el plan de muestreo, también podemos realizar una

simulación de control de un proceso de producción que utilice dicho plan. Esta

simulación puede generar aleatoriamente el número de defectuosos de cada

lote inspeccionado o bien obtener dicho número de una tabla predefinida.