Grupo 15 2015/02/16- 2015/02/18

TEMA 5: PROBABILIDAD, INDEPENDENCIA Y

PROBABILIDAD CONDICIONADA

La probabilidad es un tema absolutamente necesario en medicina, ya que nosotros

como futuros mdicos tenemos que estudiar sucesos probabilsticos y valorar la probabilidad

de ocurrencia de sucesos de inters en el rea de ciencias de la salud.

Los fenmenos o experimentos aleatorios son aquellos que pueden tener diferentes

resultados y que incluso algunos pueden estar repetidos en las mismas condiciones, pero no

permiten conocer de antemano el resultado. Los mdicos estn continuamente involucrados

en fenmenos aleatorios. A la hora de diagnosticar a los pacientes, dos pacientes con los

mismos sntomas tienen enfermedades diferentes; la misma enfermedad evoluciona de

diferente manera en los pacientes; no todos los pacientes con la misma enfermedad

sobreviven el mismo tiempo; no todos los pacientes con la misma enfermedad y tratados con

idntico tratamiento consiguen remisiones de su enfermedad, es decir, no obtenemos

siempre los mismos resultados.

Para enfrentarnos a los fenmenos aleatorios tenemos que definir que es un suceso

elemental. Un suceso elemental es cualquier acontecimiento que puede ocurrir o verificarse

como resultado de un experimento o fenmeno aleatorio. Se nombran en general con letras

maysculas: A, B, C, D La definicin de los sucesos es absolutamente fundamental: cuando se

diga, por ejemplo, que el suceso A es tener la enfermedad de Parkinson tiene que estar bien

definido, es decir, no vale decir que tiene la enfermedad de parkinson, deberamos definir una

serie de sntomas, pruebas

A lo largo de la historia de la medicina se ha visto que en diferentes hospitales y

diferentes pocas la definicin de los sucesos elementales era diferente. Por ejemplo, al

principio una vez de que la persona estaba dos das sin moverse estaba muerto, ms tarde se

pona un espejo delante y si no se empaaba estaba muerto, ahora utilizamos un

electrocardiograma, ya que la medicina ha ido avanzando. No es fcil definir un suceso

elemental como vemos, pero es fundamental delimitar y definir los sucesos elementales.

Una cosa muy importante en medicina han sido los ensayos clnicos que ha obligado a

que varios hospitales y centros se junten para hacer un experimento y con lo cual tienen que

fijar unos criterios comunes de diagnstico de la enfermedad, de tratamiento, etc.

La relacin entre sucesos puede ser de cuatro tipos:

- Insercin entre sucesos, cuando se dan los dos al mismo tiempo. A B (A y B). A esto

se le llama interseccin de sucesos.

- Unin de sucesos: puede ocurrir uno u otro de los sucesos. A B (A o B).

- Suceso complementario o no A. Por ejemplo, si A es muerte del paciente, el suceso

complementario de A seria que el paciente no ha muerto.

- Suceso disjunto, incompatible o mutuamente excluyente: son aquellos que no se

pueden dar simultneamente, es decir, si ocurre o se verifica A, no se puede dar B. Por

ejemplo, si el paciente est vivo no puede estar muerto. No hay interseccin entre

ambos.

Interseccin: la probabilidad de que ocurra B seria la base por la altura (en cuadro

representado por la letra B) y nos dara la superficie, es decir, la probabilidad de que ocurra el

suceso B. La probabilidad de que suceda el suceso A se calculara igual pero utilizando el

cuadro representado por la letra A. La probabilidad de que ocurran los dos es cuando hay

interseccin de las reas, probabilidad de A y B.

Complemetario: la probabilidad del no A sera toda la superficie que no es el suceso A,

incluyendo el suceso B, lo de color violeta.

Unin: A unin B, de que ocurra A o ocurra B sera la probabilidad de A y la

probabilidad de B. Si sumas la probabilidad de A y la probabilidad de B la interseccin se est

sumando dos veces, por lo que, habr que tener cuidado y sumarlo solo en una ocasin.

Un espacio muestral es el conjunto de sucesos elementales que pueden ser el

resultado de un experimento aleatorio. Se denomina E o la omega . E= A, B. Tenemos

diferentes subconjuntos: subconjuntos sucesos de unin (A B, A Z) y subconjuntos sucesos

interseccin (A y B, A y Z, A y B y Z).

Para escoger estos espacios muestrales tenemos que tener en cuenta dos

caractersticas: que sean exhaustivos, es decir, que no pueda ocurrir algo que no est en

nuestro espacio muestral (Ejemplo: si se tira una moneda puede salir cara o cruz), y que sean

sucesos mutuamente excluyentes, que no haya interseccin entre ellos (Ejemplo: un paciente

se puede curar, no curar o curar parcialmente, por lo que estos conceptos se excluyen

mutuamente, ya que, si est curado no puede estar enfermo).

Tipos de espacios muestrales:

- Discretos: se asocian a variables y sucesos discretos.

- Continuas: infinitos sucesos posibles (altura)

La probabilidad es un sistema matemtico para asignar un nmero que indica el grado de

creencia de que ocurra un suceso u otro. Utilizamos probabilidades en el da a da

inconscientemente. Por ejemplo, hoy a la maana nos asomamos a la ventana y decimos voy a

coger el paraguas que parece que va a llover; en ese momento estamos utilizando una

probabilidad.

La probabilidad es mayor o igual a 0, es decir, nunca puede ser negativa. Es un nmero real

entre 0 y 1, podemos obtener infinitos valores siempre y cuando estn en este intervalo. La

probabilidad del suceso seguro es 1 (el paciente se va a curar). La probabilidad del suceso

imposible es 0 (absolutamente imposible que el paciente se cure). Otros sucesos pueden

tomar valores de probabilidades intermedios, por ejemplo, 0,5 sera cuando no se si el

paciente se va a curar o no.

Hay otra serie de propiedades de los espacios muestras, si omega es el espacio muestral

asociado a la realizacin de un experimento probabilizar omega es asociar una probabilidad

con cada uno de los sucesos del espacio muestral de manera que se cumplan los supuestos

bsicos siguientes (axiomas de Kolmogorov):

La probabilidad del espacio muestral completa es siempre uno, de modo que la

suma de todas las probabilidades de los sucesos del espacio muestral es uno:

La probabilidad de que ocurra cualquier resultado o suceso R sea:

La probabilidad de un subconjunto (A o B o...) de sucesos mutuamente

excluyentes de es la suma de las probabilidades de cada suceso que sea

parte del subcojunto, esto solo se cumple si los sucesos que metemos en el

espacio muestral son mutuamente excluyentes:

La probabilizacin de una variable puede ser:

- Subjetiva o personal: depende del grado de creencia, es decir, le damos el

valor que nosotros creamos a ese suceso. Este tipo de probabilizacin tiene la

ventaja de que siempre lo podemos utilizar, y lo puede utilizar todo el mundo.

- Clsico (Ley de Laplace): nos muestra cuantos resultados hay en un espacio muestral, y vemos los casos favorables de los sucesos. Si tenemos 3 resultados

posibles no se cura, remisin parcial y remisin completa, la probabilidad de que

ocurra cada caso ser 1/3 (ya que tenemos tres casos)

Este sistema de probabilizacion no te dice mucho, por eso en medicina utilizamos el

frecuentista.

- La probabilidad frecuentista tiene una limitacin, solo se puede utilizar cuando puedes

repetir el experimento.

- Todas las proporciones son probabilidades.

- Podemos calcular la probabilidad como la frecuencia relativa en la escala de

proporcin.

En las variables continuas no vamos a poder medir que salga el valor 1,687m, porque

la probabilidad de que salga ese valor es prcticamente 0; vamos a poder medir la

probabilidad de que se produzcan distintos intervalos de altura, que el paciente mida entre 1,5

y 1,7. Por lo que, cuanto ms precisa sea la medida, mas decimales tendrn los valores

de los sucesos de modo que la probabilidad de que se d un valor exacto del espacio

muestral tender cada vez ms a cero.

Ejemplo:

Representaciones de espacios muestrales producto Si los dados son perfectos, no estn cargados la probabilidad de cada dado es 1/6. El espacio muestral conjunto o producto (probabilidad) es 1/36. Por ejemplo, la probabilidad de que salga un 4 con el dado negro = 1/6. Si el suceso B es dado negro y dado blanco igual a 1, el suceso B complementario es que salga

cualquier suceso que no sea ese, es decir, la probabilidad es de 35/36.

Suma de ambos dados igual a 3, suceso E. Si la suma de ambos dados es 6 tenemos el

suceso F. Cul es la probabilidad de que ocurran los dos sucesos simultneamente? 0/36 por

lo que son sucesos mutuamente excluyentes o disjuntos.

Probabilidad de que salga E es 2/36, la de F 5/36. La probabilidad de la unin de dos

sucesos disjuntos es la suma de los dos menos la probabilidad de la interseccin.

Probabilidad de unin de los sucesos disjuntos = 2/36 (E) + 5/36 (F) 0 (probabilidad de

interseccin)= 7/36.

Si el suceso C es resultado de dado blanco igual a 1, la probabilidad es 6/36. Si el suceso D

es cuando el dado negro es 1 la probabilidad es de 6/36. No son mutuamente excluyentes

porque tenemos un suceso que comparten ambos.

Probabilidad de unin de los sucesos disjuntos = 6/36 (C) + 6/36 (D) 1/36 (probabilidad

de interseccin) = 11/36.

Tenemos 3 distribuciones: marginal del dado blanco, del dado negro y la conjunta. Con la

conjunta podemos calcular las marginales.

La probabilidad de que el dado blanco sea 1 nos habla de la probabilidad marginal del

dado blanco. Sin embargo, la probabilidad de que el dado blanco sea 1 y el negro 1 nos habla

de la conjunta.

Si dos variables son independientes entre s, una no nos va a decir nada sobre la

otra, a no ser que haya una asociacin entre las dos. Por lo que lo tenemos que saber si dos

variables son independientes o no.

En medicina nos interesa estudiar la independencia/asociacin entre sucesos. Las

asociaciones encontradas son muy tiles en el diagnstico, pronstico y tratamiento de los

pacientes.

Vamos a estudiar la independencia probabilstica mediante un ejemplo mdico.

Supongamos que definimos los sucesos:

- E= Padecer Hipertensin Arterial - T= Tener la Tensin alta en la consulta

Tenemos dos espacios muestrales:

1 = El individuo es hipertenso o no la es

2 = El individuo tiene la tensin alta o no tiene la tensin alta

Si tienes hipertensin y te has tomado el medicamento para controlarlo, lo normal es

que al llegar a la consulta tengas la tensin ms o menos correcta.

Hay independencia entre estas dos variables?

Supongamos que hemos atendido a 100 pacientes, 30 eran hipertensos (E), 35 con

tensin arterial normal clnicamente ( ).

Las probabilidades seran las frecuencias relativas siguientes, ya que todas las

frecuencias relativas en forma de proporcin son probabilidades.

Supongamos que observamos la siguiente distribucin conjunta:

Como podemos ver en la tabla la robabilidad de no tener hipertensin y de tener la

tensin normal: El 25% de los individuos que hemos tratado eran de este tipo.

Si existe independencia entre los sucesos T y E: la probabilidad de la interseccin de los

sucesos, sea el producto de sus probabilidades:

P (E, T) = P(E) P(T)

En este caso como podemos ver, existe independencia; por lo que conocer que la

tensin del paciente en la consulta no nos hace pensar que sea hipertenso.

Si el producto no coincide con las intersecciones, hay asociacin. Utilizamos la

asociacin para diagnosticar a nuestros pacientes, para decirles como les ira con el

tratamiento Si la distribucin conjunta encontrada en la consulta fuese:

Cuando hay asociacin, las distribuciones marginales no dan informacin de la

conjunta, en cambio, si hay independencia, podemos saber la distribucin conjunta.

En el caso de la asociacin, es necesario estimar o calcular la probabilidad

condicionada (frecuencia relativa de una distribucin condicionada).

Las asociaciones perfectas son muy poco comunes.

El descubrimiento de estas asociaciones es muy til en medicina y nos permite:

- Estudiar la asociacin entre variables

- Identificar factores de riesgo

- Identificar factores pronstico

- Valorar test o pruebas pronstico

Se llama probabilidad de E condicionada a T, o probabilidad de E sabiendo que ha

ocurrido T.

Todas las probabilidades condicionadas se calculan de la misma manera:

P (E/T) =

La probabilidad condicionada es una comparacin entre la probabilidad de la

interseccin (E y T) con la probabilidad del suceso que conocemos que se ha verificado (T).

EJEMPLOS: Cul es la probabilidad de que mi paciente tenga hipertensin si tiene la

tensin alta?

P (E/T) = 28/65 = 43%

Quiero saber cul es la probabilidad de no tener hipertensin condicionada a que el

individuo en la consulta tiene la tensin clnicamente normal?

P (/ ) = 0,33/0,35 = 0,94

Con los datos de la tabla anterior, cul es la probabilidad de tener la tensin alta

sabiendo que no tengo hipertensin?

P (T/ ) =0, 37/0,70 = 0,52

A la probabilidad de tener o no tener la enfermedad vamos a tener dos caractersticas

de las pruebas la sensibilidad y la especificidad.

En la del resultado del test diagnostico vamos a tener los valores positivos y negativos.

Grupo 19 23/02-27/02

En medicina lo que nos interesa es la asociacin, para ello realizamos los test

diagnsticos, cualquier prueba realizada al paciente que nos aporta informacin relevante. En

el ejemplo que vamos a desarrollar, en el cual el test es la medida de la tensin en consulta,

tenemos individuos con tensin alta (T) y con tensin normal (). Vamos a explicar dos

parmetros muy importantes basndonos en este ejemplo.

- Valor predictivo positivo (E/T) (la T indica el suceso que sabemos que ocurre seguro, en

este caso tensin alta, y lo que queremos calcular es la probabilidad que tiene de estar

enfermo (E) sabiendo que tiene la tensin alta). Estamos calculando la probabilidad

que tenemos de acertar en el diagnstico.

Probabilidad de que un individuo est enfermo sabiendo que posee determinada

caracterstica.

EJEMPLO: En la frmula: 28 individuos enfermos con el test positivo (distribucin

conjunta). 65 el total de individuos que han dado positivo en el test (distribucin

marginal).

P (E/T)= 28/65= 0.43

Si medimos la tensin a todos los individuos y decimos que tienen hipertensin (E) todos

aquellos que nos dan tensin alta en el test, vamos a acertar en 43 de 100 casos, por lo

que vamos a fallar en el 57% de los casos.

- Valor predictivo negativo (/) Probabilidad de acertar en el diagnstico si a todos los

que NO tienen la tensin alta les decimos que no estn enfermos.

Probabilidad de que un individuo no est enfermo sabiendo que no posee determinada

caracterstica.

EJEMPLO: En la frmula: 33 individuos no enfermos con el test negativo (Distribucin

conjunta). 35 el total de individuos que han dado negativo en el test (distribucin

marginal)

P (/)= 33/35=0.94

Este test, si nos da negativo, nos ayudara a hacer el diagnstico correcto (no enfermo) en el

94% de los casos y solo fallar en el 6%.

No es un test positivo, por ello habr que buscar otra caracterstica que haga que la

probabilidad de acertar a la hora de diagnosticar hipertensin aumente. Es un buen test para

descartar que tiene la enfermedad.

Para medir la efectividad de los test diagnsticos nos basamos en 4 parmetros.

Mirando en el ejemplo de antes llamaremos + a tener la tensin alta y a no tener la tensin

alta.

- Sensibilidad. Es la probabilidad de que un individuo hipertenso de positivo en el test.

EJEMPLO: En la frmula: 28 son los individuos que han dado positivo en el test teniendo

hipertensin (distribucin conjunta). 30 son el total de individuos con hipertensin

(distribucin marginal)

P (T/E)=28/30=0,93

- Especificidad (-/). La probabilidad de que una persona que no tiene hipertensin de

negativo en el test.

EJEMPLO: En la frmula: 33 son los individuos que han dado negativo en el test sabiendo que

no son hipertensos (distribucin conjunta). 70 son los individuos que no son hipertensos

(distribucin marginal).

P (/ )= 33/70= 0.47

- Falso negativo 1- sensibilidad. La probabilidad de que una persona hipertensa de

negativo en el test.

EJEMPLO: En la frmula: 2 es el nmero de individuos con hipertensin que han dado negativo

en el test (distribucin conjunta). 30 son los individuos que tienen hipertensin (distribucin

marginal).

P (/E)=2/30=0.07

Los falsos negativos son complementarios a la sensibilidad, ya que la frmula es 1-

sensibilidad. Numricamente, mirando los resultados, vemos que es correcto: 1-0.93=0.07.

- Falso positivo 1- especificidad. La probabilidad de que una persona que no tiene

hipertensin de positivo en el test.

EJEMPLO: En la frmula: 37 son los individuos que no estn enfermos pero han dado positivo

en el test (distribucin conjunta). 70 es el total de individuos sin hipertensin (distribucin

marginal)

P (T/)= 37/70=0.53

El falso positivo es complementario a la especificidad, por lo que al restar 1- especificidad

obtenemos los falsos positivos.

Probabilidad total

Qu tengo que hacer para saber cul es la probabilidad de T?

La probabilidad de T es la suma de las probabilidades de la interseccin de T y todos los

sucesos que puedan ocurrir.

Y la probabilidad de E es la suma de las probabilidades de la interseccin de E y todos los

sucesos que puedan ocurrir.

Teorema de Bayes

Si conocemos una de las distribuciones marginales y la distribucin condicionada a dicha

marginal, es posible calcular la probabilidad condicionada a la otra marginal mediante el

teorema de Bayes.

En medicina se utiliza el teorema de Bayes en el diagnstico de enfermedades y la valoracin

de test diagnsticos.

Los laboratorios suelen evaluar nuevos test diagnsticos mediante un diseo casos-controles

que es ms eficiente y barato:

- Conociendo de antemano quienes tienen o no la enfermedad que pretende

diagnosticar su test.

- Los laboratorios calculan dos probabilidades condicionadas: la sensibilidad y la

especificidad.

Los mdicos en la clnica necesitan la probabilidad de que su paciente est enfermo sabiendo

el resultado de su test diagnstico. La situacin es justo la otra distribucin condicionada:

- Para calcular otras dos probabilidades condicionadas tenemos los valores predictivos

positivo y negativo, y esos necesitan la prevalencia, la sensibilidad, la especificidad y

emplear el teorema de Bayes y de la probabilidad total.

La prevalencia no influye en la sensibilidad, falso positivo, falso negativo y especificidad,

pero s en el valor predictivo.

Esta frmula liga el valor predictivo positivo con la prevalencia de la enfermedad. Si la

prevalencia de la enfermedad es alta, es ms probable acertar. Cuanto mayor sea la

sensibilidad ms probabilidades tenemos de acertar, o sea que el nmero de individuos

enfermos que de positivo sea mayor.

A la hora de realizar diagnsticos para incrementar nuestra probabilidad de acierto

podemos optar por dos vas:

Sensibilidad Prevalencia

Valor predictivo +

Sensibilidad Prevalencia FP

1-Prevalencia

1- Incrementar la prevalencia, es decir el nmero de individuos que tienen la enfermedad

en la poblacin a la que pertenece nuestro paciente.

2- Mejorar la efectividad del test, es decir que sea ms sensible y especfico.

En la prctica no es tico aumentar la prevalencia inyectando la enfermedad a la poblacin. Sin

embargo, la prevalencia se puede incrementar buscando los factores de riesgo para padecer

determinada enfermedad.

Los test diagnsticos con especificidad y sensibilidad lo ms cercanas a uno, no los ms

efectivos.

Aplicacin del teorema de Bayes en el diagnstico mdico:

Laboratorios: Los laboratorios van a crear un test con resultado positivo y negativo sobre una

enfermedad. Estos resultados son variables discretas. Frente a una prueba de una variable

continua (glucemia, concentracin de albumina en sangre).

Para este tipo de test diagnstico se abarca todo el conjunto de resultados posibles de un

espacio muestral, que sern positivos o negativos en el test.

Para evaluar este test vamos a coger una poblacin de 100 casos enfermos (E) y otra de 100

sanos (), y se les aplicar el test. En el laboratorio conocen los pacientes enfermos o no, es

decir este parmetro no es aleatorio.

Se toma la primera muestra, condicionada a columna de enfermos, para conseguir la

sensibilidad, que en este ejemplo es del 93%; y el falso negativo (1-sensibilidad) que es el 7%.

La segunda muestra, condicionada a la columna de sanos, para conseguir la especificidad, que

en este ejemplo es del 47%; y el falso positivo (1-especificidad) que es el 53%.

Medicina clnica: Aqu trabajamos con la otra distribucin condicionada, con la condicionada al

resultado del test, condicionada a filas.

En este caso no conocemos si nuestro paciente est enfermo o no, solo si el test ha dado

positivo (T) o negativo ()

- Valor Predictivo + Si es bajo, el test no es bueno para predecir la enfermedad

- Valor Predictivo - Si es alto, el test es bueno para descartar la enfermedad, es decir,

confirmar que no la padece.

Los test con valor predictivo negativo alto son los ms usados en las urgencias a fin de

descartar determinadas patologas. En consulta, buscamos aquellos test que sean ms precisos

y con valores predictivos positivos altos.