Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses

8/20/2019 Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses

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Tema 5: Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses.

Gema Isabel Marín Caballero Página 1 de 52

ÍNDICE

1. RAZÓN 4

1.1. Definición .................................................................................................................................................... 4

1.2. Ejercicios ................................................................................................................................................... 4

2. PROPORCIÓN 6

2.1. Definición ................................................................................................................................................... 6

2.1.1. Ejercicios ........................................................ .............................................................. ................................ 6

2.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 7

2.3. Cálculo del término desconocido de una proporción ..................................................................... 8

2.3.1. Ejercicios ....................................................................................... .............................................................. 8

2.4. Construcción de proporciones ............................................................................................................. 8

2.4.1. Ejercicios ....................................................................................... .............................................................. 9

2.5. Ejercicios ................................................................................................................................................... 9

3. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 11

3.1. Magnitudes directamente proporcionales ....................................................................................... 11

3.2. Constante de proporcionalidad directa ........................................................................................... 11

3.2.1. Ejercicios ................................................................................................................................................... 11

3.3. Tablas de proporcionalidad directa ................................................................................................. 12

3.3.1. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 12

3.4. Problemas de proporcionalidad directa .......................................................................................... 13

3.4.1. Pasos ..................................................... .............................................................. ......................................... 13

3.4.2. Ejercicios ....................................................... .............................................................. .............................. 14

4. PROPORCIONALIDAD INVERSA 15

4.1. Magnitudes inversamente proporcionales ...................................................................................... 15

4.2. Constante de proporcionalidad inversa .......................................................................................... 15

4.2.1. Ejercicios ....................................................... .............................................................. .............................. 15

4.3. Tablas de proporcionalidad inversa ................................................................................................. 16

4.3.1. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 16

4.4. Problemas de proporcionalidad inversa .......................................................................................... 16

4.4.1. Pasos ..................................................... .............................................................. ......................................... 17

4.4.2. Ejercicios ....................................................... .............................................................. .............................. 17

5. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA 18

5.1. Definición ................................................................................................................................................. 18


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5.2. Problemas de proporcionalidad compuesta .................................................................................... 18

5.2.1. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 19

6. REPARTOS PROPORCIONALES 20

6.1. Repartos directamente proporcionales .......................................................................................... 20

6.1.1. Métodos .................................................................................................. ................................................... 20

6.1.2. Ejercicios ................................................................. ............................................................... ................... 21

6.2. Repartos inversamente proporcionales ......................................................................................... 24

6.2.1. Métodos .......................................................... .............................................................. ............................. 24

6.2.2. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 25

7. PROBLEMAS DE MEZCLAS 28

7.1. Expresión general ................................................................................................................................. 28

7.2. Ejercicios ................................................................................................................................................ 28 8. PORCENTAJES 29

8.1. Utilidad .................................................................................................................................................... 29

8.2. Definición ................................................................................................................................................ 29

8.3. Interpretación de porcentajes ........................................................................................................ 30

8.4. Cálculo de porcentajes de una cantidad ........................................................................................ 30

8.5. Cálculo rápido de porcentajes ........................................................................................................... 31

8.6. Porcentaje es una fracción................................................................................................................. 31 8.6.1. Definición ....................................................... .............................................................. .............................. 31

8.6.2. Cálculo rápido de algunos porcentajes con fracción ....................................................................... 32

8.6.3. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con fracción .................................................. 32

8.6.4. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 33

8.7. Porcentaje es un número decimal .................................................................................................... 35

8.7.1. Definición ....................................................... .............................................................. ............................. 35

8.7.1.1. Ejercicios ........................................................... .............................................................. .................. 35

8.7.2. Pasar de número decimal a porcentaje .............................................................................................. 35

8.7.2.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 35

8.7.3. Cálculo rápido de algunos porcentajes con decimal ....................................................... .................. 36

8.7.4. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con decimal ................................................... 36

8.7.4.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 36

8.7.5. Cálculo de la cantidad cuando se conoce el porcentaje ........................................................... ....... 37

8.7.5.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 37

8.8. Porcentaje es una proporción ........................................................................................................... 38

8.8.1. Definición ....................................................... .............................................................. ............................. 38


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8.9. Cálculo rápido de algunos porcentajes de una cantidad dada ................................................. 38

8.9.1. Partimos del porcentaje inicial 25 % .................................................................................................. 39

8.9.1.1. Ejercicios ........................................................... .............................................................. .................. 39

8.9.2. Partimos del porcentaje inicial 10 % ............................................................. ..................................... 39

8.9.2.1. Ejercicios ............................................................................................................. ............................. 40

8.10. Problemas del cálculo de la parte, del total y del porcentaje ............................................... 41

8.10.1. Métodos ................................................................................................ .................................................... 41

8.10.2. Tipos de problemas de porcentajes ............................................................. ...................................... 41

8.10.3. Cálculo de la parte ........................................................................................... ...................................... 41

8.10.4. Cálculo del total o de la cantidad total ............................................................................................ 42

8.10.5. Cálculo del porcentaje o del tanto por ciento ................................................................................ 42

8.10.6. Ejercicios ................................................................ .............................................................. .................. 43

8.11. Problemas de descuentos porcentuales ....................................................................................... 44

8.11.1. Métodos ......................................................... .............................................................. ............................. 44

8.11.2. Ejercicios ................................................................................................................................................ 44

8.12. Problemas de aumentos porcentuales .......................................................................................... 46

8.12.1. Métodos ........................................................ .............................................................. ............................. 46

8.12.2. Ejercicios ................................................................ .............................................................. .................. 46

8.13. Porcentajes encadenados................................................................................................................. 47

8.13.1. Ejercicios ................................................................................................................................................ 47

9. INTERÉS BANCARIO 49

9.1. Definición ................................................................................................................................................ 49

9.2. Utilidad .................................................................................................................................................... 49

9.3. Interés simple ....................................................................................................................................... 49

9.3.1. Definición ....................................................... .............................................................. ............................. 49

9.3.2. Expresión general ............................................................. ............................................................... ....... 49

9.3.3. Métodos ......................................................... .............................................................. ............................. 50

9.3.4. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 50

9.4. Interés compuesto ............................................................................................................................... 51

9.4.1. Definición ....................................................... .............................................................. .............................. 51

9.4.2. Expresión general ............................................................. ............................................................... ....... 52

9.4.3. Ejercicios ....................................................... .............................................................. ............................. 52


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1. RAZÓN

1.1. Definición

La razón entre dos números a y b es el cociente o la fracciónb

a (irreducible) y establece la

relación que existe entre esos dos números.

El número a se llama antecedente y el número b se llama consecuente.

Ejemplo: La razón de los números 3 y 4 es4

3.

1.2. Ejercicios

1) Completa la tabla:

5

2

7

5,0

10

5

9

5,3

8

4

2,7

5

36,8

3,1

Antecedente

Consecuente

Solución:

5

2

7

5,0

10

5

9

5,3

8

4

2,7

5

36,8

3,1

Antecedente 2 0,5 5 3,5 4 5 1,3Consecuente 5 7 10 9 8 7,2 8,36

2) Expresa mediante una razón la relación que hay entre las alturas de los dos niños indicados en cadaapartado:

a) La relación entre la altura de Luis y la de Jaime.

b)

La relación entre la altura de Jaime y la de Luis.

c)

La relación entre la altura de Lorena y la de Luis.

Solución:

a) 20,150,1 b)

50,120,1 c)

50,135,1


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3) Escribe con una razón la relación pedida en cada apartado:

a)

Un coche gasta 5,2 litros de gasolina cada 100 km recorridos. ¿Qué relación hay entre los litrosconsumidos y los kilómetros recorridos?

b) Para hacer una receta se necesitan 250 g de harina par cada 300 g de azúcar. ¿Qué relaciónhay entre la cantidad de harina y de azúcar?

Solución:

a) 100

2,5 b)

300

250

4) Para hacer un refresco, se mezclan 3,5 litros de agua con 0,5 litros de zumo de limón. Contesta:

a) ¿Cuántos litros de agua hay por cada litro de zumo de limón?

b) ¿Cuántos litros de zumo de limón hay en 1 litro de refresco?

c) ¿Cuántos litros de agua hay en 1 litro de refresco?

Solución:

a) 75,0

5,3 litros

b) 1 litro de refresco = 3,5 + 0,5 = 4 125,04

5,0 litros

c) 1 litro de refresco = 3,5 + 0,5 = 4 875,04

5,3 litros

5) Contesta:

a) La razón entre un número y 6 es 3. ¿De qué número se trata?

b) La razón entre 8 y un número es 4. ¿De qué número se trata?

c) La razón entre 3 y un número es 0,5. ¿De qué número se trata?

d) La razón entre un número y 4 es 0,5. ¿De qué número se trata?

Solución:

a) 3

6

x

; x = 3 · 6 = 18

b) 48

x ; 8 = 4 · x ; 2

4

8 x

c) 5,03

x ; 3 = 0,5 · x ; 6

5,0

3 x

d) 5,04

x ; x = 0,5 · 4 = 2


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2) Haz cálculos y completa las frases:

a)

8 es a 5 como 12 es a ____. c) 0,6 es a 3 como 18 es a ____.

b)

12 es a ____ como 8 es a 28. d) ____ es a 4 como 4,8 es a 1,6.

Solución:

a)

7,5 b) 42 c) 90 d) 122.2. Propiedades

1)

En toda proporción , se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de losmedios.

d

c

b

a a · d = b · c

Ejemplo:

5,1

3

2

4

Forman proporción porque 4 · 1,5 = 2 · 3

6 = 6

Se lee “4 es a 2 como 3 es a 1,5”.

Por tanto, para saber si dos razones forman proporción basta con multiplicar los extremos ylos medios ; si los productos no son iguales, las razones no forman proporción.

Ejemplo:

5,5

3

4

5,1 No forman proporción porque 1,5 · 4 = 4 · 3 8,25 ≠ 12

2) Una proporción o una serie de razones iguales está formada por varias razones cuyaconstante de proporcionalidad es la misma.

k h

g

f

e

d

c

b

a ...

Ejemplo:

5,08

4

6

3

4

2

2

1

La constante de proporcionalidad es 0,5.

3) En una proporción o en una serie de razones iguales , la suma de los antecedentes divididaentre la suma de los consecuentes es igual a la razón o constante de proporcionalidad .

k f d b

eca

f

e

d

c

b

a

Ejemplo:

5,020

10

8642

4321

8

4

6

3

4

2

2

1

La constante de proporcionalidad es 0,5.


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4) Si en una proporción cambian entre sí los medios o los extremos , la proporción no varía.

a

b

c

d

d

c

b

a

Ejemplo:

4

2

3

5,1

5,1

3

2

4

Forman proporción porque 1,5 · 4 = 3 · 2 6 = 6

Se lee “1,5 es a 3 como 2 es a 4”.

2.3. Cálculo del término desconocido de una proporción

Para calcular un término desconocido en una proporción conociendo los otros tres, se despejadicho término de la ecuación a · d = b · c.

Ejemplos:

x

36

20

18 18 · x = 20 · 36 40

18

720 x

6

2

3

2 x 2 · 6 = 3 · (2+x) 12 = 6 + 3x 12 – 6 = 3x 2

3

6 x

8

1

4

1 x

1 · 8 = 4 · (x-1) 8 = 4x - 4 8 + 4 = 4x 34

12 x

2.3.1. Ejercicios

1) Averigua el término que falta en cada proporción:

a) x15

65 c) 2,38

14 x e) 2,110

12 x g) 6,1

8,46 x

b) x

6

12

8 d)

186

5,2 x f)

35

15

14

x h)

6

5,15,0

x

Solución:

a) x = 18 c) x = 5,6 e) x = 100 g) x = 2

b) x = 9 d) x = 7,5 f) x = 6 h) x = 2

2.4. Construcción de proporciones

Ejemplo: Observa que a partir de la proporción6

3

4

2 se pueden construir otras proporciones

distintas, utilizando los métodos siguientes:

a) Intercambiando los extremos:2

3

4

6

b) Intercambiando los medios: 6

4

3

2


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c) Intercambiando los términos de cada razón entre sí: 3

6

2

4

Los extremos de la proporción6

3

4

2 son 2 y 6, y los medios 4 y 3.

2.4.1.

Ejercicios1) Forma cuatro proporciones con los números de cada apartado:

a) 3, 4, 6 y 8

b) 2, 5, 6 y 15

Solución:

a) 8

4

6

3 ;

3

4

6

8 ;

8

6

4

3 ;

4

8

3

6

b) 15

5

6

2 ;

2

5

6

15 ;

15

6

5

2 ;

5

15

2

6

2.5. Ejercicios

1) Halla en cada caso el valor que falta:

a) 48123

2 y x c)

49

8

7

1 y

x

b) y

x 50

357

8 d)

1

3

23

y x

Solución:a) x = 8 , y = 32 c) x = 56 , y = 7

b) x = 40 , y = 43,75 d) x = 9 , y = 6

2) Escribe en forma de razón la relación entre la cantidad de agua y la de zumo de limón en cadarefresco y responde.

a) ¿Qué refrescos saben igual?

b) ¿Cuál es el refresco que sabe más a limón?

Solución:

Refresco A: 57,0

5,3 Refresco B: 2

75,0

5,1

Refresco C: 5,24,0

1 Refresco D: 5,2

6,1

4

a) Saben igual los refrescos C y D.

b)

El refresco B sabe más a limón porque su cociente es el más pequeño.


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3) Para hacer un determinado tono de color rosa se mezclan 0,5 kg de pintura roja con 1,5 kg depintura blanca. Plantea una proporción para cada una de las cuestiones propuestas y resuelve.

a) ¿Cuántos kilos de pintura roja hay que mezclar con 12 kg de pintura blanca para obtener elmismo tono rosa?

b)

¿Cuántos kilos de pintura blanca hay que mezclar con 6 kg de pintura roja para obtener el

mismo tono rosa?c) ¿Cuántos kilos de cada color hay que mezclar para obtener 18 kg de este tono rosa?

d) ¿Cuántos kilos de ese tono rosa se puede conseguir empleando 3,9 kg de pintura roja?

Datos:

Pintura roja = 0,5 kg

Pintura blanca = 1,5 kg

Tono rosa = pintura roja + pintura blanca = 0,5 + 1,5 = 2 kg

Solución:

a) Pintura roja = x kg

Pintura blanca = 12 kg

125,1

5,0 x ; x = 4 kg de pintura roja

b)

Pintura roja = 6 kg

Pintura blanca: x kg

x6

5,15,0 ; x = 18 kg de pintura blanca

c) Pintura roja = x kg

Pintura blanca = y kg

Tono rosa = 18 kg

182

5,0 x ; 5,4

2

185,0

x kg de pintura roja

182

5,1 y ; 5,13

2

185,1

y kg de pintura blanca

O bien 18 – 4,5 = 13,5 kg de pintura blanca

d) Pintura roja = 3,9 kg

Tono rosa = x kg

x

9,3

2

5,0 ; 6,15

5,0

9,32

x kg de pintura rosa


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3. PROPORCIONALIDAD DIRECTA

3.1. Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al aumentar el valor de una de ellasel doble, el valor de la otra también aumenta el doble; si al aumentar el triple, la otra también aumenta

el triple, … Esto es, dos magnitudes relacionadas son directamente proporcionales si al multiplicar odividir los valores de una de ellas por un número, los correspondientes valores de la otra quedanmultiplicados o divididos por el mismo número .

k b

k a

b

a

b

a

b

a

b

a

...

4

4

3

3

2

2

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

a) A más le corresponde más .

b) A menos le corresponde menos .

Ejemplo:

35

7

30

6

25

5

20

4

15

3

10

2

5

1

Las magnitudes A y B son directamente proporcionales porque al aumentar el valor de A aldoble, aumenta el valor de B al doble; si aumenta al triple, la otra aumenta también al triple, …

3.2. Constante de proporcionalidad directa

Al cociente común de las dos razones que forman una proporción se le llama razón o constantede proporcionalidad directa.

k d c

ba

Ejemplo 1:

2,035

7

30

6

25

5

20

4

15

3

10

2

5

1

La constante de proporcionalidad es k = 0,2.

Ejemplo 2:

5,08

4

3

5,1

La constante de proporcionalidad es k = 0,5.

3.2.1. Ejercicios

1) Escribe la constante de proporcionalidad de cada proporción:

a) 15

5

9

3 b)

5

10

5,2

5 c)

30

12

10

4

Solución:

a) 3,0

b) 0,2 c) 0,4

Magnitud A Ma nitud B

A B

A

B


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2) Comprueba si las magnitudes A y B son directamente proporcionales calculando si existe laconstante de proporcionalidad:

a) 6

4

5

3

4

2 c)

15

5

12

4

6

2

b)

21

6

14

4

7

2

d) 6

3

5

2

4

1

Solución:

a) No. b) Sí. c) Sí. d) No.

3.3. Tablas de proporcionalidad directa

Ejemplo: En un comedor de un IES cada alumno se come dos panecillos. Dos alumnos se comeráncuatro panecillos; tres alumnos, seis panecillos; cuatro, ocho panecillos, … ¿Cómo varía el número depanecillos al variar el número de alumnos?

Si expresamos las razones de las cantidades de ambas magnitudes, obtenemos una serie derazones iguales que forman proporción :

24

8

3

6

2

4

1

2

La constante de proporcionalidad es k = 2.

Las magnitudes “nº de panecillos” y “nº de alumnos” son directamente proporcionales porque al aumentar el número de alumnos al doble, aumenta el número de panecillos al doble; si aumentaal triple, la otra aumenta también al triple, …

Esta serie de razones la podemos expresar en forma de tabla, que recibe el nombre de tabla de

proporcionalidad directa.Nº de panecillos 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nº de alumnos/as 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Por tanto, en una tabla de proporcionalidad directa, dos pares de valores correspondientesforman una proporción.

Observa que cada número de la segunda fila se obtiene dividiendo el número de la primera filaque le corresponde por 2 (la constante de proporcionalidad); o a la inversa, si multiplicamos por 2 lasegunda fila, obtenemos la primera. Aplicando esto podemos incluso completar la tabla deproporcionalidad directa anterior calculando nuevas cantidades de alumnos y panecillos.

3.3.1.

Ejercicios

1)

Completa las siguientes tablas y calcula la constante de proporcionalidad:

a)

A 1 2 3 5 7B 5 10 20 30

b)

A 2 4 5 10 36B 6 24

Solución:

Nº de panecillos Nº de alumnos/as


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3.4.2. Ejercicios

1) Si 3 rotuladores cuestan 6 €, ¿cuánto costarán 7 rotuladores?

En este problema, intervienen dos magnitudes: número de rotuladores y precio, que sondirectamente proporcionales.

a) Por la regla de tres simple directa:

Nº de rotuladores Precio3 6

x

6

7

3 ; 14

3

67

x

7 x

b) Por el método de reducción a la unidad:

Nº de rotuladores Precio3 6

x

6

1

3 ; 2

3

61

x

1 x

Un rotulador cuesta 2 €. Por lo que 7 rotuladores cuestan 7 · 2 = 14 €.

Solución: 7 rotuladores cuestan 14 €.

2) Tres entradas de cine cuestan 16,2 €. ¿Cuánto cuestan 8 entradas?

En este problema, el precio que se paga es directamente proporcional al número de entradas.

a)

Por la regla de tres simple directa:

Nº de entradas Precio3 16,2

x

2,16

8

3 ; 2,43

3

2,168

x

8 x

b)

Por el método de reducción a la unidad:

Nº de entradas Precio3 16,2

x

2,16

1

3 ; 4,5

3

2,161

x

1 x

Una entrada de cine cuesta 5,4 €. Por lo que 8 entradas de cine cuestan 8 · 5,4 = 43,2 €.

Solución: 8 entradas cuestan 43,2 €.

3) Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

En este problema, los kilómetros y las horas son magnitudes directamente proporcionales, yaque a menos horas recorrerá menos kilómetros.

a) Por la regla de tres simple directa:Kilómetros Horas

240 3

2

3240

x ; 160

3

2402

x

x 2

b) Por el método de reducción a la unidad:

Kilómetros Horas240 3

1

3240

x ; 80

3

2401

x

x 1

Una hora recorre 80 km. Por lo que en 2 horas se recorren 2 · 80 = 160 km.Solución: un automóvil recorre 160 km en 2 horas.


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4. PROPORCIONALIDAD INVERSA

4.1. Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al aumentar el valor de una de ellasel doble, el valor de la otra disminuye a la mitad; si al aumentar el triple, la otra disminuye a la tercera

parte, … Esto es, dos magnitudes relacionadas son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividirlos valores de una de ellas por un número, los correspondientes valores de la otra quedan divididos omultiplicados por el mismo número .

k b

k a

b

a

b

a

b

a

b

a

...

4

4

3

3

2

2

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

a) A más le corresponde menos .

b) A menos le corresponde más .

Ejemplo:

2

60

3

40

4

30

12

10

6

20

Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales porque al aumentar el número detrabajadores al doble, disminuye el tiempo de descarga a la mitad; si aumenta al triple, la otradisminuye también a la tercera parte, …

4.2. Constante de proporcionalidad inversa

El producto entre pares de valores correspondientes recibe el nombre de razón o constante de

proporcionalidad inversa.d cbak

d

c

b

a

Ejemplo:

A 20 10 30 40 60B 6 12 4 3 2

20 · 6 = 10 · 12 = 30 · 4 = 40 · 3 = 60 · 2 = 120

La constante de proporcionalidad inversa es k = 120.

4.2.1.

Ejercicios

1) Comprueba si las magnitudes A y B son inversamente proporcionales calculando si existe laconstante de proporcionalidad inversa:

a) b) c)

A 2 3 4 A 8 12 16 A 0,5 2 4B 4 3 2 B 6 4 3 B 80 20 10

Solución:

a) No. b) Sí. c) Sí.

Magnitud A Magnitud B

A B


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4.3. Tablas de proporcionalidad inversa

Ejemplo: Un trabajador descarga un camión en doce horas, dos trabajadores lo descargan en 6horas, tres trabajadores en 4, … ¿Cómo varía el tiempo de descarga al variar el número de

trabajadores?

Si expresamos las cantidades de ambas magnitudes, obtenemos una tabla de proporcionalidad

inversa:Nº de trabajadores 1 2 3 4 5 6 7 … 12 …

Tiempo de descarga (h) 12 6 4 3 2,4 2 1,7 … 1 …

1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4 = 4 · 3 = 5 · 2,4 = 6 · 2 = 12

La constante de proporcionalidad inversa es k = 12.

Las magnitudes “nº de trabajadores” y “tiempo de descarga” son inversamenteproporcionales porque al aumentar el número de trabajadores al doble, disminuye el tiempo de descargaa la mitad; si aumenta al triple, la otra disminuye también a la tercera parte, …

Con esta tabla de proporcionalidad inversa también podemos construir una serie de razonesiguales que forman proporción . Para ello, se puede resolver de 2 formas:

a)

Se parte de dos pares de valores correspondientes y, después, se invierte el orden de losvalores de una de las magnitudes .

Nº de trabajadores Tiempo de descarga (h)12 1

1

2

6

12 o

2

1

12

6

6 2

b) Se parte de dos pares de valores correspondientes, se plantea la expresión del cálculo de laconstante de proporcionalidad inversa y, después, se obtienen dos fracciones equivalentes (la

proporción).Nº de trabajadores 1 2

1 · 12 = 2 · 612

6

2

1 o

12

2

6

1

Tiempo de descarga (h) 12 6

4.3.1.

Ejercicios

1) Completa las siguientes tablas y calcula la constante de proporcionalidad inversa:

a) b)

A 24 A 4 40B 3 6 12 72 B 250 200 50

Solución:

a) La constante de proporcionalidad es k = 24 · 3 = 72.

A 24 12 6 1B 3 6 12 72

b)

La constante de proporcionalidad es k = 4 · 250 = 1.000.

A 4 5 40 20B 250 200 25 50

4.4. Problemas de proporcionalidad inversaUn problema se resuelve con proporcionalidad inversa cuando dos magnitudes son

inversamente proporcionales .


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Los problemas de proporcionalidad inversa se pueden resolver de 2 formas:

a)

Por la regla de tres inversa: consiste primero en ordenar los datos y la incógnita en sumagnitud; después, se construye la proporción con los términos invertidos al orden en queaparecen en una de las magnitudes; y, por último, se calcula el término desconocido de laproporción.

Magnitud A Magnitud Ba b

b

x

c

a o

x

b

a

c ;

c

ba x

c x

b) Por el método de reducción a la unidad: consiste en calcular el valor correspondiente a unaunidad de una de las magnitudes y, después, conociendo este dato, lo usamos en cálculosposteriores para hallar cualquier otro par de valores correspondientes.

A 1 a c Unidad (1) = a : a c = 1 · cB x b y x = b · a y = x : c

Ejemplo: Siguiendo el ejemplo que vimos en las magnitudes inversamente proporcionales.

¿Cuánto tardarán diez trabajadores en descargar el camión?Nº de trabajadores Tiempo de descarga (h)

1 12

1210

1 x o

x

12

1

10 ; 2,1

10

121

x

10 x

Solución: 10 trabajadores tardan 1,2 horas en descargar el camión.

NOTA: En la regla de 3 inversa, se multiplica en horizontal (en línea).

Magnitud A Magnitud Ba b

a · b = c · x ;b

x

c

a

c x

4.4.1. Pasos

Los pasos para resolver problemas son:

1) Identificamos las magnitudes.

2)

¿Qué relación tienen las magnitudes: directa o inversa ?

3)

¿Qué método de resolución aplicamos: regla de 3 directa o inversa ?

4) Resolución de la regla de 3.

4.4.2.

Ejercicios1)

Tres operarios descargan una furgoneta en 20 minutos. ¿Cuánto tardarán cinco operarios?

En este problema, los operarios y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales, ya quea más operarios tardará menos tiempo.

Por la regla de tres inversa:

Nº de operarios Tiempo (min)3 20

205

3 x o

203

5 x ; 12

5

203

x

5 x

Solución: 5 operarios tardarán 12. Por lo que el tiempo disminuirá a la mitad.


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2) Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos lavelocidad, ¿cuánto tardará?

En este problema, los kilómetros/hora y las horas son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más kilómetros/hora tardará menos horas.

Por la regla de tres inversa:

Kilómetros/hora Horas60 6

6120

60 x o

x

6

60

120 ; 3

120

660

x

120 x

Solución: si la velocidad es de 120 km/h, el tiempo del trayecto será de 3 horas. Por lo que eltiempo disminuirá a la mitad.

5. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

5.1. Definición

La proporcionalidad compuesta se da en aquellas situaciones en las que intervienen más de dosmagnitudes que están relacionadas proporcionalmente , ya sea de modo directo o inverso.

5.2. Problemas de proporcionalidad compuesta

Un problema se resuelve con proporcionalidad compuesta cuando se relacionan tres o másmagnitudes .

Los problemas de proporcionalidad compuesta se resuelven con la regla de tres compuesta, demodo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos ladesconocida.

Se ha de tener en cuenta si la relación entre cada magnitud conocida y la magnitud desconocidao incógnita es directa o inversa .

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa oinversa , podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

a) Por la regla de tres compuesta directa:

Magnitud A Magnitud B Magnitud Ca b c

x

c

e

b

d

a ;

ba

ced x

d e x

Las magnitudes A y C están ligadas por una relación de proporcionalidad direct a, y entre las

magnitudes B y C existe también una relación de proporcionalidad directa .b) Por la regla de tres compuesta inversa:


x

c

b

e

a

d ;

ed

cba x

d e x

Las magnitudes A y C están ligadas por una relación de proporcionalidad inversa , y entre lasmagnitudes B y C existe también una relación de proporcionalidad inversa .


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c) Por la regla de tres compuesta mixta:


x

c

b

e

d

a ;

ea

cbd x

d e x

Las magnitudes A y C están ligadas por una relación de proporcionalidad directa , y entre las

magnitudes B y C existe también una relación de proporcionalidad inversa .

5.2.1.

Ejercicios

1) Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averigua el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

En este problema, se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes:

a)

A más grifos le corresponde más euros .

b) A más horas le corresponde más euros .

Por la regla de tres compuesta directa :

D D

Grifos Horas Precio9 10 20

x

20

12

10

15

9 ; 40

109

201215

x

15 12 x

Solución: El precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas es 40 €.

2) 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obrerostrabajando 7 horas diarias?

En este problema, se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes:

a) A menos obreros le corresponde más días .

b)

A más horas le corresponde menos días .

Por la regla de tres compuesta inversa :

I I

Obreros Horas Días5 6 2

x

2

6

7

5

4 ; 14,2

74

265

x

4 7 x

Solución: 4 obreros trabajando 7 horas diarias tardarán 2,14 días.

3) Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántosdías necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

En este problema, se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes:

a)

A más obreros le corresponde menos días .

b)

A más horas le corresponde menos días .

En este problema, se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes:a) A más metros le corresponde más días .


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c) Tabla de proporcionalidad directa:

A a b c a+b+cB a’ b’ c’ C

C

cba

c

c

b

b

a

a

'''

C

cba

a

a

' ; a

cba

C a

' Cantidad que le corresponde al número a.

C

cba

b

b

' ; b

cba

C b

' Cantidad que le corresponde al número b.

C

cba

c

c

' ; c

cba

C c

' Cantidad que le corresponde al número c.

Comprobación: a’ + b’ + c’ = C

6.1.2.

Ejercicios1) Juan, María y Luis ponen 2, 3 y 6 euros para jugar una quiniela. La quiniela sale premiada con

7.590 €. Halla lo que le corresponde a cada uno.

Datos:

Juan 2 €

María 3 €

Luis 6 €

Cantidad premiada: 7.590 €

Operaciones:Los problemas de repartos directamente proporcionales se pueden resolver de 3 formas:

a) Operaciones:

1) 2 + 3 + 6 = 11 €

2) 69011

590.7 € por cada euro que juegan

3) Juan: 2 · 690 = 1.380 €

María: 3 · 690 = 2.070 €

Luis: 6 · 690 = 4.140 €

b) Fórmula de la constante de proporcionalidad directa:

1) 690

632

590.7

k

2)

Juan: 2 · 690 = 1.380 €

María: 3 · 690 = 2.070 €

Luis: 6 · 690 = 4.140 €


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A 2 3 6 2 + 3 + 6 = 11B a’ b’ c’ 7.590

590.7

11

'

6

'

3

'

2

cba

590.7

11

'

2

a ; 380.126902

11

590.7' a €

590.7

11

'

3

b ; 070.236903

11

590.7' b €

590.7

11

'

6

c ; 140.466906

11

590.7' c €

Comprobación: 1.380 + 2.070 + 4.140 = 7.590 €

Solución: A Juan le corresponde 1.380 €, a María 2.070 € y a Luis 4.140 €.

2) Tres empresas asociadas A, B y C aportan 2, 3 y 6 millones de euros, respectivamente para iniciarun negocio. ¿Cómo deben repartir los 594.000 € obtenidos como beneficios en el primer mes?

Datos:

Empresa A 2 millones de euros

Empresa B 3 millones de euros

Empresa C 6 millones de euros

Beneficios: 594.000 € Operaciones:

Los problemas de repartos directamente proporcionales se pueden resolver de 3 formas:

a)

Operaciones:

1) 2 + 3 + 6 = 11 millones de euros se han invertido en el negocio

2) 000.5411

000.594 € por cada millón de euro que invierten

3) Empresa A: 2 · 54.000 = 108.000 €

Empresa B: 3 · 54.000 = 162.000 € Empresa C: 6 · 54.000 = 324.000 €

b) Fórmula de la constante de proporcionalidad directa:

1) 000.54632

000.594

€

2) Empresa A: 2 · 54.000 = 108.000 €

Empresa B: 3 · 54.000 = 162.000 €

Empresa C: 6 · 54.000 = 324.000 €


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A 2 3 6 2 + 3 + 6 = 11B a’ b’ c’ 594.000

000.594

11

'

6

'

3

'

2

cba

000.594

11

'

2

a ; 000.1082000.542

11

000.594' a €

000.594

11

'

3

b ; 000.1623000.543

11

000.594' b €

000.594

11

'

6

c ; 000.3246000.546

11

000.594' c €

Comprobación: 108.000 + 162.000 + 324.000 = 594.000 €

Solución: A la Empresa A le corresponde 108.000 €, a la Empresa B 162.000 € y a la Empresa C324.000 €.

3) Tres socios montan una empresa aportando 1, 4 y 5 millones de euros, respectivamente. Al cabo deun año tienen de beneficio 1.800.000 €. Halla lo que le corresponde a cada uno.

Datos:

Socio 1 1 millones de euros



Beneficios: 1.800.000 €

Operaciones:

1) 1 + 4 + 5 = 10 millones de euros se han invertido en el negocio

2) 000.18010

000.800.1 € por cada millón de euro que invierten

3) Socio 1: 1 · 180.000 = 180.000 €

Socio 2: 4 · 180.000 = 720.000 €

Socio 3: 5 · 180.000 = 900.000 € Comprobación: 180.000 + 720.000 + 900.000 = 1.800.000 €

Solución: Al Socio 1 le corresponde 180.000 €, al Socio 2, 720.000 € y al Socio 3, 900.000 €.


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4) Tres amigas que comparten piso reciben una factura de la compañía eléctrica por un importe de62,4 €. Amelia llegó al piso hace 60 días, Laura 20 días después y Cristina sólo lleva en la casa20 días. ¿Cuánto debe pagar cada una?

Datos:

Amelia Hace 60 días llegó al piso 60 días

Laura 20 días después llegó al piso 60 – 20 = 40 díasCristina 20 días lleva en el piso 20 días

Factura de la luz: 62,4 €

Operaciones:

1) 60 + 40 + 20 = 120 días llevan en el piso

2) 52,0120

4,62 € por cada días que llevan en el piso

3) Amelia: 60 · 0,52 = 31,2 €

Laura: 40 · 0,52 = 20,8 €

Cristina: 20 · 0,52 = 10,4 €

Comprobación: 31,2 + 20,8 + 10,4 = 62,54 €

Solución: A Amelia le corresponde pagar 31,2 €, a Laura 20,8 € y a Cristina 10,4 €.

6.2. Repartos inversamente proporcionales

Se quiere repartir una cantidad C inversamente proporcional a los números a, b, c. Para ello, sereparte esa misma cantidad C de forma directamente proporcional a sus inversos, es decir, a los

númerosa

1 ,b

1 ,c

1 .

6.2.1. Métodos

Hay 3 métodos para resolver los problemas de repartos inversamente proporcionales:

a) Operaciones:

1) cba

111 Total

2) Total C

Parte

3) a’ =a

1 · Parte b’ =

b

1 · Parte c’ =

c

1 · Parte


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b) Fórmula de la constante de proporcionalidad inversa: B Ak

1)

cba

C k

111

2) k aa

1

'

Cantidad que le corresponde al número a.

k b

b 1

' Cantidad que le corresponde al número b.

k c

c 1

' Cantidad que le corresponde al número c.

c) Tabla de proporcionalidad inversa:

A a a

1 b

b

1 C

c

1

cba

111

B a’ b’ c’ C

C

cba

c

c

b

b

a

a

111

'

1

'

1

'

1

C

cba

a

a

111

'

1

;a

cba

C a

1

111'

Cantidad que le corresponde al número a.

C cba

bb

' ; b

cba

C b 1111

'

Cantidad que le corresponde al número b.

C

cba

c

c

111

'

1

;c

cba

C c

1

111'

Cantidad que le corresponde al número c.

Comprobación: a’ + b’ + c’ = C

6.2.2.

Ejercicios1)

Un padre deja una herencia de 62.100 € para repartir inversamente a las edades de sus tres hijos:José de 3 años, Mateo de 4 años y Leonor de 6 años. Halla lo que recibe cada uno.

Datos:

José 3 años

Mateo 4 años

Leonor 6 años

Herencia: 62.100 €


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Operaciones:

Los problemas de repartos inversamente proporcionales se pueden resolver de 3 formas:

a)

Operaciones:

1)

12

9

12

234

6

1

4

1

3

1

por años

2) 800.82

9

200.745

9

12100.62

12

9:100.62

€ · años

3) José: 600.27800.823

1 €

Mateo: 700.20800.824

1 €

Leonor: 800.13800.826

1 €

b)

Fórmula de la constante de proporcionalidad inversa:

600.273

1800.82

3

1

6

1

4

1

3

1

100.62

€

700.204

1800.82

4

1

6

1

4

1

3

1

100.62

€

800.136

1

800.826

1

6

1

4

1

3

1

100.62

€

c) Tabla de proporcionalidad inversa:

A 3 3

1 4

4

1 6

6

1

12

9

6

1

4

1

3

1

B a’ b’ c’ 62.100

100.62

6

1

4

1

3

1

'

6

1

'

4

1

'

3

1

cba

100.62

6

1

4

1

3

1

'

3

1

a

; 600.273

1800.82

3

1

6

1

4

1

3

1

100.62'

a €

100.62

6

1

4

1

3

1

'

4

1

b

; 700.204

1800.82

4

1

6

1

4

1

3

1

100.62'

b €


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Operaciones:

1) 12

6

12

123

12

1

6

1

4

1

por millones de euros

2) 486

288

6

1224

12

6:24

horas diarias · millones de euros

3) Socio 1: 12484

1 horas diarias

Socio 2: 8486

1 horas diarias

Socio 3: 44812

1 horas diarias

Comprobación: 12 + 8 + 4 = 48 horas diarias

Solución: El Socio 1 debe atender el negocio 12 horas diarias, el Socio 2, 8 horas diarias y elSocio 3, 4 horas diarias.

7. PROBLEMAS DE MEZCLAS

7.1. Expresión general

Se quiere hallar el precio medio de una mezcla.

Sean C1 la cantidad del primero, P1 el precio del primero, C2 la cantidad del segundo, P2 el preciodel segundo, etc.

...

...

321

332211

C C C

P C P C P C Precio medio

7.2. Ejercicios

1) Se mezclan 3 kg de café de 2,20 €/kg con 5 kg de café de 1,90 €/kg y con 8 kg de café de3,10 €/kg. Halla el precio medio de la mezcla.

Datos:

Mezcla 1: 3 kg de café de 2,20 €/kg

Mezcla 2: 5 kg de café de 1,90 €/kg

Mezcla 3: 8 kg de café de 3 ,10 €/kg

Operaciones:

Precio medio = 56,216

90,40

16

80,2450,960,6

853

10,3890,1520,23

€/kg

Solución: El precio medio de la mezcla es 2,56 €/kg.


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2) Se mezclan 600 litros de vino de 3 €/litro con 1.000 litros de otro vino a 2,20 €/litro. Halla elprecio de la mezcla.

Datos:

Mezcla 1: 600 litros de vino de 3 €/litro

Mezcla 2: 1.000 litros de otro vino a 2,20 €/litro

Operaciones:

Precio medio = 5,2600.1

000.4

600.1

200.2800.1

000.1600

20,2000.13600

€/litro

Solución: El precio medio de la mezcla es 2,5 €/litro.

8. PORCENTAJES

8.1. Utilidad

Los porcentajes son muy usados en el lenguaje corriente y, sobre todo, en el lenguaje comercial .

8.2. Definición

Un porcentaje se puede interpretar como una fracción, un número decimal o una proporción .

Un porcentaje es un tanto por ciento que se representa con el símbolo %.

Ejemplos:

Hay un ochenta por ciento de posibilidades de que me toque un premio.

Me han hecho una rebaja del diez por ciento.

El banco cobra un cuatro y medio por ciento.Un porcentaje es un tanto por ciento que se representa con el símbolo % y se interpreta como

una razón (fracción) o un número decimal.

Porcentaje como fracción: t % =100

t siendo “t” es el tanto .

Ejemplos:

Porcentaje % Como fracción Como número decimal

25 %100

25 0,25

47 %100

47 0,47

9 %100

9 0,09

137 %100

137 1,37


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8.3. Interpretación de porcentajes

Ejemplo:

Expresión Porcentaje Se lee Significa FracciónNúmerodecimal

El 12 % de los alumnos son morenos. 12 % 12 por ciento

a) De cada 100,

12 son morenos.b) 12 de cada

100 son morenos.10012 0,12

El 7 % de los bebés son alérgicos. 5 % 5 por ciento

a) De cada 100, 7son alérgicos.

b) 7 de cada 100son alérgicos.

100

7 0,07

El 68 % de la población tiene empleo. 68 % 68 por ciento

a) De cada 100,68 tiene empleo.b) 68 de cada100 son tiene

empleo.

100

68 0,68

8.4. Cálculo de porcentajes de una cantidad

t % de C = P

Donde:

t % es el porcentaje o tanto por ciento .

C es la cantidad total .

P es la parte .

Ejemplo: Calcula 4 % de 250.

Hay 2 formas de resolverlo:

a) Con fracción: 40 % de 250 = 100100

25040

100

25040250

100

40

b) Con número decimal: 40 % de 250 = 0,40 · 250 = 100


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8.5. Cálculo rápido de porcentajes

Algunos porcentajes equivalen a fracciones muy sencillas, lo que facilita el cálculo, sobre todopara el cálculo mental .

Cálculo rápido de porcentajes

Interpretación Operación Ejemplo

10 % =

10

1

10:100

10:10

100

10 Dividir por 10.

10 % de 42 = 2,410

42

20 % =

5

1

20:100

20:20

100

20 Dividir por 5.

20 % de 35 = 75

35

25 % =

4

1

25:100

25:25

100

25 Dividir por 4.

25 % de 40 = 104

40

50 % =

2

1

50:100

50:50

100

50 Dividir por 2.La mitad. 50 % de 36 =18

236

75 % =

4

3

25:100

25:75

100

75

Multiplicar por 3.Dividir por 4.

75 % de 16 =

12434

163

4

163

100 % =

1100:100

100:100

100

100 Multiplicar por 1. 100 % de 53 = 53531

8.6. Porcentaje es una fracción

8.6.1. Definición

Un porcentaje (o el tanto por ciento) es una fracción que tiene por numerador el tanto y pordenominador 100 .

100%

aa

Se lee “a por ciento”.

Esta información quiere decir que de cada 100 unidades , se toma el tanto indicado a .

Ejemplos:

100

5%5 Se lee “cinco por ciento”.

100

20%20 Se lee “veinte por ciento”.

100

48%48 Se lee “cuarenta y ocho por ciento”.

100

75%75 Se lee “setenta y cinco por ciento”.


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8.6.2. Cálculo rápido de algunos porcentajes con fracción

Algunos porcentajes equivalen a fracciones muy sencillas, lo que facilita el cálculo, sobre todopara el cálculo mental .

b) El 50 % es la mitad . Para calcular el 50 %, se divide entre 2.

2

1

50:100

50:50

100

50

%50

c) El 25 % es la cuarta parte . Para calcular el 25 %, se divide entre 4.

4

1

25:100

25:25

100

25%25

d) El 20 % es la quinta parte . Para calcular el 20 %, se divide entre 5.

5

1

20:100

20:20

100

20%20

e) El 10 % es la décima parte . Para calcular el 10 %, se divide entre 10.

10

1

10:100

10:10

100

10%10

f) El 100 % es la unidad . Para calcular el 100 %, se divide entre 100.

100:100

100:100

100

100%100

8.6.3. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con fracción

Para calcular un porcentaje, a %, a una cantidad dada, se multiplica dicha cantidad por a y

se divide por 100 .

a % de N =100

a de N =

100100100

N a N a N

a

Por tanto, un porcentaje o tanto por ciento (55 %, 30 %, 40 %, 9 %, …) de una cantidad es elresultado de dividir esa cantidad en 100 partes iguales y tomar el tanto indicado (55, 30, 40, 9, …).

Ejemplos:

5 % de 150 = 5,7100

1505150

100

5

Para calcular el 5 % de 150, se divide la cantidad 150 en 100 partes y se toman 5.

20 % de 300 = 60100

30020300

100

20

Para calcular el 20 % de 300, se divide la cantidad 300 en 100 partes y se toman 20.


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8.6.4. Ejercicios

1)

Escribe en forma de porcentaje y de fracción:

a)

Tres por ciento. c) Setenta por ciento.

b) Quince por ciento. d) Noventa y ocho por ciento.

Solución:

a) 100

3%3 b)

100

15%15 c)

100

70%70 d)

100

98%98

2) Calcula:

a) 50 % de 80 b) 25 % de 60 c) 20 % de 40 d) 10 % de 70

Solución:

a) 40802

180

100

50 c) 840

5

140

100

20

b) 15604

160

100

25 d) 770

10

170

100

10

3) Calcula:

a) 15 % de 60 c) 37 % de 520 e) 98 % de 700

b) 65 % de 150 d) 12 % de 1230

Solución:

a) 9

10

90

100

601560

100

15

b) 5,97

100

9750

100

15065150

100

65

c) 4,192

100

19240

100

52037520

100

37

d) 6,147

100

14760

100

1230121230

100

12

e) 686

100

68600

100

70098700

100

98


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4) Calcula:

a)

El 35 % de una cantidad es 21. ¿Cuál es la cantidad?

b)


c)


Solución:a) 35 % de x = 21 ; 21

100

35 x ; 60

35

10021

x

b) 80 % de x = 72 ; 72100

80 x ; 90

80

10072

x

c) 20 % de x = 50 ; 50100

20 x ; 250

20

10050

x

5) Calcula:a) El 20 % de un número es 45. ¿Cuál es el número?

b) El 15 % de un número es 6. ¿Cuál es el número?

c) El 8 % de un número es 26. ¿Cuál es el número?

d) El 105 % de un número es 273. ¿Cuál es el número?

e) El 2,4 % de un número es 1,44. ¿Cuál es el número?

Solución:

a)

20 % de x = 45 ; 45100

20

x ; 22520

10045

x

b) 15 % de x = 6 ; 6100

15 x ; 40

15

1006

x

c) 8 % de x = 26 ; 26100

8 x ; 325

8

10026

x

d) 105 % de x = 273 ; 273100

105 x ; 260

105

100273

x

e)

2,4 % de x = 1,44 ; 44,1100

4,2

x ; 604,2

10044,1

x


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8.7. Porcentaje es un número decimal

8.7.1. Definición

Como un porcentaje equivale a una fracción , se puede transformar esa fracción en un númerodecimal; lo que proporciona una forma rápida de calcular el porcentaje.

El número decimal se obtiene de efectuar el cociente indicado por una razón. Esta expresióndecimal representa el tanto por uno.

Por tanto, un porcentaje también es un tanto por uno.

Ejemplos:

05,0100

5%5 48,0

100

48%48

2,0100

20%20 75,0

100

75%75

8.7.1.1.

Ejercicios

1) Expresa las siguientes cantidades en forma de fracción y número decimal:

a) 17 % c) 31 % e) 65 %

b)

92 % d) 43 % f) 15 %

Solución:

a) 17,0100

17%17 c) 31,0

100

31%31 e) 65,0

100

65%65

b) 92,010092%92 d) 43,010043%43 f) 15,010015%15

8.7.2. Pasar de número decimal a porcentaje

El porcentaje se obtiene de multiplicar el número decimal por 100.

Ejemplos:

%401004,04,0 %410004,004,0

%8710087,087,0 %1601006,16,1

8.7.2.1.

Ejercicios

1)

Expresa los números decimales en forma de porcentaje:

a) 0,37 b) 0,2 c) 1,8 d) 0,05

Solución:

a)

%3710037,037,0 c) %1801008,18,1

b) %201002,02,0 d) %510005,005,0


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8.7.3. Cálculo rápido de algunos porcentajes con decimal

Siguiendo el ejemplo que vimos en el punto 3.2.2, los porcentajes se pueden transformar en unnúmero decimal a partir de las fracciones .

a) El 50 % es la mitad . Para calcular el 50 %, se divide entre 2.

5,0100

50

%50

b) El 25 % es la cuarta parte . Para calcular el 25 %, se divide entre 4.

25,0100

25%25

c) El 20 % es la quinta parte . Para calcular el 20 %, se divide entre 5.

2,0100

20%20

d) El 10 % es la décima parte . Para calcular el 10 %, se divide entre 10.

1,0100

10%10

e) El 100 % es la unidad . Para calcular el 100 %, se divide entre 100.

1100

100%100

8.7.4. Cálculo del tanto por ciento de una cantidad dada con decimal

Para calcular un porcentaje, a %, a una cantidad dada, se multiplica dicha cantidad por el

número decimal , que resulta de dividir el tanto a entre 100 .Ejemplos:

5 % de 150 = 5,715005,0150100

5

20 % de 300 = 603002,0300100

20

8.7.4.1.

Ejercicios

1)

Calcula:

a) 35 % de 400 b) 15 % de 200 c) 40 % de 420

Solución:

a) 14040035,0400100

35

b) 3020015,0200100

15

c) 1684204,0420

100

40


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2) El 85 % de 80 votos emitidos en una reunión de vecinos ha sido a favor de una propuesta. Si elresto de los votos emitidos fueron en contra, ¿cuántos votos en contra hubo?

Datos:

Total de votos = 80

85 % de votos emitidos a favor

Operaciones:

Este problema se puede resolver de 2 formas:

a) Se calcula el número de votos emitidos a favor.

Nº de votos emitidos a favor = 85 % de 80 = 68100

680080

100

85

Nº de votos en contra = total de votos – votos emitidos a favor = 80 – 68 = 12

b) Se calcula el porcentaje de votos en contra.

100 % – 85 % = 15 %

Nº de votos en contra = 15 % de 80 = 12100

120080

100

15

Solución: Hubo 12 votos en contra.

8.7.5. Cálculo de la cantidad cuando se conoce el porcentaje

Para calcular una cantidad cuando se conoce el porcentaje, a %, se divide el porcentajeentre el tanto por ciento en su expresión decimal .

Ejemplo: El 20 % de una cantidad es 50. ¿Cuál es la cantidad?

20 % de x = 50 ; 0,2 · x = 50 ; 2502,0

50 x

8.7.5.1. Ejercicios

1) Calcula:

a)


b)


Solución:

a) 35 % de x = 21 ; 0,35 · x = 21 ; 6035,0

21 x

b) 80 % de x = 72 ; 0,8 · x = 72 ; 908,0

72 x


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2) Calcula:

a)

El 20 % de un número es 45. ¿Cuál es el número?

b)


c)


d)

El 105 % de un número es 273. ¿Cuál es el número?e) El 2,4 % de un número es 1,44. ¿Cuál es el número?

Solución:

a) 20 % de x = 45 ; 0,2 · x = 45 ; 2252,0

45 x

b)

15 % de x = 6 ; 0,15 · x = 6 ; 4015,0

6 x

c) 8 % de x = 26 ; 0,08 · x = 26 ; 32508,0

26 x

d) 105 % de x = 273 ; 1,05 · x = 273 ; 26005,1

273 x

e) 2,4 % de x = 1,44 ; 0,024; 60024,0

44,1 x

8.8. Porcentaje es una proporción

8.8.1. Definición

Un porcentaje se puede contemplar como una proporción.

Ejemplo: El 30 % de los jóvenes chatea a través de Internet.

Esta frase quiere decir que de cada 100 jóvenes, chatean 30.

Con esta información, podemos construir la tabla siguiente:

Total de jóvenes 100 200 300 400 500 … Parte de jóvenes que chatea 30 60 90 120 150 …

Observa que se trata de una tabla de proporcionalidad directa porque cada cantidad esdirectamente proporcional a su porcentaje correspondiente, lo que permite construir parejas defracciones equivalentes (una proporción).

60

200

30

100

90

300

30

100

120

400

30

100 …

Por tanto, un porcentaje es un tipo de regla de tres simple directa en el que una de lascantidades es 100. Esto permite resolver nuevos problemas de porcentajes .

8.9. Cálculo rápido de algunos porcentajes de una cantidad dada

Un tanto por ciento de una cantidad es una fracción de dicha cantidad.

Los siguientes porcentajes facilitan el cálculo rápido, sobre todo el cálculo mental , del tantopor ciento de una cantidad dada.


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8.9.1. Partimos del porcentaje inicial 25 %

4

1

25:100

25:25

100

25%25 Dividir por 4

%50 Doble del 25 % %252 Multiplicar por 2

%75Triple del 25 %

%253

Multiplicar por 3Ejemplo:

25 % de 40 = 104

40

50 % de 40 = 20102

75 % de 40 = 30103

8.9.1.1.

Ejercicios

1) Calcula:

a) 25 % de 80 c) 25 % de 24

50 % de 80 50 % de 24

75 % de 80 75 % de 24

b) 25 % de 200 d) 25 % de 500

50 % de 200 50 % de 500

75 % de 200 75 % de 500

Solución:

a) 25 % de 80 = 204

80 c) 25 % de 24 = 64

24

50 % de 80 = 40202 50 % de 24 = 1262

75 % de 80 = 60203 75 % de 24 = 1863

b) 25 % de 200 = 504

200 d) 25 % de 500 = 125

4

500

50 % de 200 = 100502 50 % de 500 = 2501252

75 % de 200 = 150503 75 % de 500 = 3751253

8.9.2.

Partimos del porcentaje inicial 10 %

10

1

10:100

10:10

100

10%10 Dividir por 10

%20 Doble del 10 % %102 Multiplicar por 2

%30 Triple del 10 % %103 Multiplicar por 3

%5 Mitad del 10 % 2:%10 Dividir por 2


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Ejemplo 1:

10 % de 40 = 410

40

20 % de 40 = 842

30 % de 40 = 12043

5 % de 40 = 22:4

Ejemplo 2:

10 % de 60 = 610

60

20 % de 60 = 1262

30 % de 60 = 1863

5 % de 60 = 32

6

8.9.2.1.

Ejercicios

1) Calcula:

a) 10 % de 40 b) 10 % de 3250

20 % de 40 20 % de 3250

30 % de 40 30 % de 3250

60 % de 40 50 % de 3250

80 % de 40 70 % de 32505 % de 40 90 % de 3250

5 % de 3250

Solución:

a) 10 % de 40 = 410

40 b) 10 % de 3250 = 325

10

3250

20 % de 40 = 842 20 % de 3250 = 6503252

30 % de 40 = 1243 30 % de 3250 = 9753253

60 % de 40 = 2046 50 % de 3250 = 16253255

80 % de 40 = 3248 70 % de 3250 = 22753257

5 % de 40 = 22

4 90 % de 3250 = 29253259

5 % de 3250 = 5,1622

325


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8.10. Problemas del cálculo de la parte, del total y del porcentaje

Cualquier situación de porcentaje maneja básicamente tres elementos: un total (T) , un tanto por ciento (a %) y una parte (P) .

8.10.1. Métodos

Hay 3 métodos para resolver los problemas de porcentajes:a) Expresión del porcentaje: t % de C = P

b) Proporción: C

P t

100 Sólo hay que despejar la incógnita.

c) Regla de 3 simple directa: porcentaje como regla de 3 directa. Sólo hay que despejar laincógnita.

Parte Totalt --------- 100

C P

t 100

P --------- C

100

t C P

t

P C

100

C

P t

100

8.10.2. Tipos de problemas de porcentajes

Hay 3 tipos de problemas de porcentajes:

Cálculo de la parte.

Cálculo del total o de la cantidad total.

Cálculo del porcentaje o del tanto por ciento.

8.10.3. Cálculo de la parte

Ejemplo: En un grupo de 250 jóvenes, el 30 % chatea a través de Internet. ¿Cuántos jóveneschatean?

Datos:

250 jóvenes = C

30 % = t %

¿Jóvenes que chatean? = P

Operaciones:Los problemas de calcular la parte cuando se conoce el total y el tanto por ciento se pueden

resolver de 3 formas:

a) Expresión del porcentaje: 30 % de 250 = P ; P 250100

30 ; 75

100

25030

P

b) Proporción: 250100

30 P ; 75

100

25030

P

c) Regla de 3 simple directa:

Parte Total30 --------- 100

250100

30 P ; 75

100

25030

P

P --------- 250


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Total de jóvenes Parte de jóvenes que chatea100 30

P

30

250

100 ; 75

100

30250

P

250 P

Solución: En un grupo de 250 jóvenes, hay 75 que chatean en Internet.

8.10.4.

Cálculo del total o de la cantidad total

Ejemplo: En un grupo, hay 180 jóvenes chateando en Internet, lo que supone un 30 % del total.¿Cuál es el total de jóvenes del grupo?

Datos:

180 jóvenes chateando = P

30 % = t %

¿Total de jóvenes? = C

Operaciones:

Los problemas de calcular el total cuando se conoce la parte y el tanto por ciento se puedenresolver de 3 formas:

a) Expresión del porcentaje: 30 % de C = 180 ; 180100

30C ; 600

30

100180

C

b) Proporción: C

180

100

30 ; 600

30

180100

C


Parte Total

30 --------- 100

C

180

100

30 ; 600

30

180100

C

180 --------- C

Total de jóvenes Parte de jóvenes que chatea100 30

180

30100

C ; 600

30

100180

C

C 180

Solución: El grupo tiene un total de 600 jóvenes.

8.10.5. Cálculo del porcentaje o del tanto por ciento

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad cuando se conoce la parte y total, hay querealizar dos pasos:

1) Se divide la parte entre la cantidad y da como resultado una expresión decimal, que es el tanto por uno .

2) Se multiplica el tanto por uno por 100 y se obtiene el tanto por ciento .

Ejemplo: En un grupo de 250 jóvenes, hay 180 jóvenes chateando en Internet. ¿Cuál es elporcentaje de jóvenes que chatea?

Datos:

250 jóvenes = C180 jóvenes chateando = P

¿Porcentaje de jóvenes que chatea? = t %


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Operaciones:

Los problemas de calcular el tanto por ciento cuando se conoce la parte y total se puedenresolver de 3 formas:

a) Expresión del porcentaje: t % de 250 = 180 ; 180250100

t

; 72250

100180

t %

b) Proporción: 250

180

100

t ; 72

250

100180

t %


Parte Total

t --------- 100

250

180

100

t ; 72

250

100180

t

180 --------- 250

Total de jóvenes Parte de jóvenes que chatea100 t

180250

100 t

; 72250

100180

t %250 180

Solución: El porcentaje de jóvenes que chatea es 72 %.

8.10.6.

Ejercicios

1) Calcula:

a) El tanto por ciento de 80 es 16. ¿Cuál es el tanto por ciento?

b) El tanto por ciento de 120 es 36. ¿Cuál es el tanto por ciento?

c) El tanto por ciento de 380 es 285. ¿Cuál es el tanto por ciento?

Solución:

a) x % de 80 = 16 ; x · 80 = 16 ; 2,080

16 x 0,2 · 100 = 20 %

b) x % de 120 = 36 ; x · 120 = 36 ; 3,0120

36 x 0,3 · 100 = 30 %

c) x % de 380 = 285 ; x · 380 = 285 ; 75,0380

285 x 0,75 · 100 = 75 %

2) En una reunión de 20 personas hay 15 mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres?

Los problemas de calcular el tanto por ciento se pueden resolver de 2 formas:

a) Se calcula el t % de 20 = 15

75,020

15 Hay 0,75 mujeres por cada persona.

0,75 · 100 = 75 % Hay 75 mujeres por cada 100 personas.

b) Por la regla de tres simple directa:

Total de personas Parte de mujeres100 t

1520

100 t

; 7520

10015

t %20 15

Solución: El porcentaje de mujeres es 75 %.


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8.11. Problemas de descuentos porcentuales

8.11.1. Métodos

Los problemas de descuentos porcentuales se pueden resolver de 3 formas:

1)

100

t C C C

I I F

2)

100

100 t C C I F

3) Regla de tres simple directa:

Precio inicial Precio con descuento100 100 - t

F I C

t

C

100100

; 100

100 t C C I F

CI CF

8.11.2.

Ejercicios1) Marta se compra una camisa que cuesta 30 € y al ir a pagar le hacen un 20 % de descuento. ¿Cuánto

tiene que pagar?

Datos:

Rebaja = Descuento = 20 % = 2,0100

20 = t %

Cantidad inicial = Camisa cuesta inicialmente = 30 € = CI

¿Precio a pagar? = CF

Operaciones:Los problemas de descuentos porcentuales se pueden resolver de 3 formas:

a) Se calcula la cantidad que hay que descontar a la cantidad inicial.

Cantidad de descuento = 20 % de 30 = 6302,030100

20 € Cantidad de dinero que

ahorras.

Cantidad final a pagar = Cantidad inicial – Descuento = 30 – 6 = 24 €

b) Se calcula el porcentaje que se va a pagar sobre la cantidad inicial.

Porcentaje que se va a pagar (Índice de disminución) = 100 % – 20 % = 80 %

Cantidad final a pagar = 80 % de 30 = 24308,030100

80 €

c) Por la regla de tres simple directa:

Precio inicial Precio con descuento100 80

F C

80

30

100 ; 24

100

8030

F C 30 CF

Solución: Marta tiene que pagar 24 €.


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2) Una camisa cuesta 40 € y hacen el 20 % de descuento. ¿Cuánto se paga?


a)

Se calcula la cantidad que hay que descontar a la cantidad inicial.

Cantidad de descuento = 20 % de 40 = 8402,040100

20 € Cantidad de dinero que

ahorras.

Cantidad final a pagar = Cantidad inicial – Descuento = 40 – 8 = 32 €

b) Se calcula el porcentaje que se va a pagar sobre la cantidad inicial.

Porcentaje que se va a pagar (Índice de disminución) = 100 % – 20 % = 80 %

Cantidad final a pagar = 80 % de 40 = 32408,040100

80 €

Solución: Se paga 32 € por la camisa descontada.

3) Un televisor cuesta 250 € y nos aplican un descuento del 35 %. ¿Cuánto se paga?


a) Se calcula la cantidad que hay que descontar a la cantidad inicial.

Cantidad de descuento = 35 % de 250 = 5,8725035,0250100

35 € Cantidad de dinero

que ahorras.

Cantidad final a pagar = Cantidad inicial – Descuento = 250 – 87,5 = 162,5 €

b)

Se calcula el porcentaje que se va a pagar sobre la cantidad inicial.Porcentaje que se va a pagar (Índice de disminución) = 100 % – 35 % = 65 %

Cantidad final a pagar = 65 % de 250 = 5,16225065,0250100

65 €

Solución: Se paga 162,5 € por el televisor descontado.

4) Por una camiseta se han pagado 15 €. ¿Cuál era su precio inicial si tiene una rebaja del 20 %?

Datos:

Rebaja = Descuento = 20 % = 2,0100

20 = t %

Cantidad final = Camisa cuesta = 15 € = CF

¿Precio inicial? = CI

Operaciones:


a) Se calcula la cantidad inicial.

100

2010015 I C ; 100

8015 I C ; 8,015 I C ; 75,188,0

15

I C €


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b) Por la regla de tr

Tema 5. Proporcionalidad. Repartos. Porcentajes. Intereses

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