SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO

SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIOTEMA 5. ANALISIS EN EL ESPACIO DE ESTADOS.5.1 Introduccin.5.2 Representacin en el espacio de estado de sistemas en tiempo discreto.5.3 Solucin de las ecuaciones de estado en tiempo discreto.5.4 Matriz de transferencia pulso.5.5 Discretizacin de las ecuaciones en el espacio de estado en tiempo contnuo.5.6 Anlisis de estabilidad de Liapunov.Problemas de ejemplo y soluciones.

11SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO5.1 INTRODUCCION. En las pasadas lecturas, se ha aprendido como disear un sistema de control discreto o un sistema digital empleando la funcin de transferencia del sistema a ser controlado. La funcin de transferencia proporciona informacin entre una variable de salida y otra de entrada (SISO).Un sistema puede tener otras variables internas de importancia, as como tambin mltiples entradas y salidas.; esto es sistemas de mltiple entrada y salida o MIMO (Multiple Input and Multiple Output).La teora de variables de estado forma parte de la moderna teora de control.22SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIODefiniciones.Estado. Es el comportamiento que determina las variables de estado. El estado de un sistema dinmico es el mas pequeo conjunto de variables x(t) pertenecientes a Rn tal que dado un x(to) y u(t) parat>to, entonces x(t) est definido de manera nica parat>to.Variable de estado. Conjunto de variables los cuales determinan el estado de un sistema: x1, x2, x3, . . . , xn.Espacio de Estado. Es un espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas son los ejes x1, x2, x3, . . . , xn.

33SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO4

4SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIOUn sistema as en general, tiene una solucin igual a:

5

5SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO6

6SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIOEntonces,

7

7SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIOModelo en variables de Jordan. Sea:

Donde los son valores propios de la matriz A.

8

8SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIOCaso de races de multiplicidad q. No se puede descomponer en fracciones parciales simples.

9

9SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO10

10SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO5.3 SOLUCIN DE LAS ECUACIONES LINEAL DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO. Sea el sistema discreto:

Se define la matriz de transicin de estados discreta como la solucin de:con En el caso discreto la solucin se obtiene en forma explcita como:

Para

11

11SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO12

12SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO1313SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO14

14SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIOLa ecuacin de salida se convierte en:

5.6 ANALISIS DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV.Un sistema es estable si ante cualquier entrada acotada en un intervalo de tiempo cualquiera, la salida tambin est acotada (acotada en el sentido que existe cota superior e inferior).En general se estudian dos aspectos:Estabilidad absoluta: Investiga si un sistema de control es estable.Estabilidad relativa: investiga el grado de estabilidad de un sistema estable.15

15SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO1616SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO17

Estabilidad asintotica, b) Estabilidad no Asintotica, c) Inestabilidad.Sea el sistema discreto: Donde x es un vector n dimensional, f(x) un vector con propiedad de que f(0)=0 y T el perodo de muestreo.

17SISTEMAS DE CONTROL II YLABORATORIO18

18