1

Tema 6: Ondas Onda: Perturbación espacial y/o temporal de una propiedad de un sistema

Tiempo 1

Tiempo 2

Tiempo 3

velocidad de propagación

Prop

ieda

d de

l sis

tem

a

Posición espacial

Onda periódica: El valor de la propiedad se repite en el tiempo y/o en el espacio

velocidad de propagación

Parámetros característicos de una onda periódica

Amplitud

Longitud de onda o periodo(“longitud” espacial) (“longitud” temporal)

Velocidad depropagación

Amplitud de la oscilación: F( x , t )(puede ser positiva o negativa)

Intensidad de la oscilación: [F( x , t )]2

(siempre es positiva) Las amplitudes se suman, no las intensidades

Onda periódica periodicidad temporal: F( x , t ) = F( x , t + T )

periodicidad espacial: F( x , t ) = F( x + λ , t )

periodo

Longitud de onda

periodicidad temporal:F( x , t ) = F( x , t + T )

tiempo0 T 2T 3T

prop

ieda

d

Periodo = tiempo de un ciclo

2

periodicidad temporal

tiempo0 1 segundo

prop

ieda

d

1T

f = número de ciclos por unidad de tiempo

2πTω =f =

frecuenciafrecuencia

angular

Forma general: F(t) = A sen [ ω t + Φ ]

periodicidad espacial:F( x , t ) = F( x + λ , t )

espacio0 λ 2λ 3λ

prop

ieda

d

Longitud de onda = longitud de un ciclo

0 1 metro

prop

ieda

d

k = número de ciclos por unidad longitud

espacio

periodicidad espacial 1

λ2πλ

k =k =

Número de onda

Número de onda angular

^

Forma general: F(x) = A sen [ k x + Φ ]^

velocidad de propagación c = = f λ

c

λT

Algunos valores típicos para ondas sonoras

velocidad en el aire 344 m/sen un líquido ≈ 1500 m/sen un sólido ≈ 5000 m/s

frecuencias audibles ≈ 20 - 20000 Hzpor el hombre (1 Herz (Hz) = 1 s -1)

idem longitudes de onda ≈ 0,017 - 17 m

Algunos valores típicos para ondas luminosas

velocidad en el vacío ≈ 300000 km/sen un líquido ≈ 200000 km/sen un sólido ≈ 150000 km/s

frecuencias visibles ≈ 400 - 750 THzpor el hombre (1 THz = 1012 s -1)

idem longitudes de onda ≈ 400 - 700 nm

3

Ondas transversalesLa perturbación es perpendicular a la

dirección de propagación

La luz es una onda transversal:oscilaciones del campo electromagnético

Dirección de propagación

Cam

po e

léct

rico

o m

agné

tico

Vector campo eléctrico c

Un rayo de luz visto “de cerca”:Campos eléctrico y magnético periódicos y perpendiculares

E

E

E

B

BB

B

cE

Ondas perturbación paralela a propagación longitudinales

El sonido es una onda longitudinal:ondas de presión-concentración

Ecuación general de onda en una dimensión

∂2 F(x,t) ∂2 F(x,t)∂t2 ∂x2= c2

La forma general de una onda depende de la posición y el tiempo F( x , t )

Ecuación de ondas clásica

F( x , t ) debe cumplir:

velocidad de propagación

4

F(x,t) = A sen[ 2π (x/λ) + 2π (t/T) + Φ ]

∂2 F(x,t) ∂2 F(x,t)∂t2 ∂x2= c2

Ecuación de ondas clásica en una dimensión

Una solución general: onda armónica sinusoidal

k̂ = 2π/λ ω = 2π/Tnúmero de onda angular frecuencia angular

desfase

recordad que c = λ/T = f/k = ω/k ^ tiempo

F(x0,t)

+A

0

-A

A: amplitud máximade oscilación

F(x,t) = A sen[ k x + ω t + Φ ]^

Ejemplo: oscilación en un punto fijo x0

T

A

Φ : desfase

tiempo

+A

0

-A

desfaseF(x=0, t=0) = A sen(Φ)

F(x,t) = A sen[ k x + ω t + Φ ]

F(x0,t)

^

Interferencia constructiva

Onda F1

Onda F2

Onda F1 + F2

Superposición e interferencia de dos ondas

Onda F1

Onda F1 + F2

La interferencia depende del desfase

Onda F2

Interferencia destructiva

Intensidad de una onda y superposición de dos ondas:las amplitudes se suman, no las intensidades

I = [F(x,t)]2 = [F1 (x,t) + F2(x,t)]2 =

= [F1]2 + [F2 ]2 + 2F1 F2 =

= I1 + I2 + 2 F1 F2

Intensidad delas ondas F1 y F1

Término de interferencia

5

Propagación de una onda esférica

Fuente

Una onda esférica se

propaga en todas

direcciones

F(r,t) = sen( k r - ω t + Φ)

Onda esférica

Fuente

r

Ar

^

r distancia al centro de emisión

Onda esférica

Fuente

r La amplitud decrece conla distancia

F(r,t) = sen( k r - ω t + Φ)^Ar

La Intensidad decrece con elcuadrado de r

A2

r2

Energía de una onda esférica

Potencia P0Energía total porunidad de tiempo

emitida por la fuente (watios, W)

Fuente

P0

Energía de una onda esférica

IntensidadPotencia por

unidad de superficie(W/m2)

Fuente

r

I = = P0 P0S 4πr2

c

r

Onda plana

Onda esférica A/r

6

Respuesta del oído humano a las ondas sonoras

Intervalos audibles

intensidades de 10-12 a 1 W/m2

frecuencias de 20Hz a 20kHz

Intensidad proporcional a

1r2

Consideramos ondas esféricas

La respuesta del oído no es lineal, si no logarítmica y se caracteriza por la constante

β : respuesta auditiva

I IUMBRAL

β = 10 log decibelios (dB)

Intensidad IUMBRAL = 10-12 W/m2

umbral de audición

Respuesta auditiva

I IUMBRAL

β = 10 log decibelios (dB)

Intensidad IUMBRAL = 10-12 W/m2

umbral de audición

si I = IUMBRAL β = 0

Respuesta auditiva

I IUMBRAL

β = 10 log decibelios (dB)

IUMBRAL = 10-12 W/m2

I = IUMBRAL 10 β/10

Respuestas auditivas típicas (oído humano)

Estímulo acústico respuesta intensidadauditiva β (dB) (W/m2)

umbral de audición 0 10 -12

susurro al hablar 20 10 -10

vía pública tranquila 40 10 -8

conversación ordinaria 60 10 -6

vía pública congestionada 70 10 -5

Camión a 5 m de distancia 90 10 -3

concierto rock (recinto cerrado) 110 0.1 umbral de dolor 120 1

I = IUMBRAL 10 β/10100 1000 10000

0

20

40

60

80

100

120

Frecuencia del sonido (Hz)

Resp

uest

a au

diti

va (d

B)

20

Curva de igualpercepción sonora

7

Aislamiento sonoro: Absorción de una onda

Onda incidente

Onda reflejada

Onda transmitida

Medio absorbente

IINCIDENTEITRANSMITIDA

R = 10 log decibelios (dB)

Coeficiente de aislamiento acústico

IINCIDENTEITRANSMITIDA

IINCIDENTEITRANSMITIDA

R = 10 log decibelios (dB)

Coeficiente de aislamiento acústico

R grande = buen aislamientoValor típico R ≈ 20 dB

En general R aumenta con la frecuencia

ITRANSMITIDA = IINCIDENTE 10-R/10

Ondas estacionariasVibraciones de una cuerda de extremos fijos:en los extremos la amplitud de la onda es cero

Estacionaria: La posición de los ceros de amplitud y de los máximos y mínimos es constante

Ondas estacionariasSólo son posibles ondas con longitudes

de onda que “quepan en la caja”

λ/2= L

λ = L

Ondas estacionariasSólo son posibles ondas con longitudes

de onda que “quepan en la caja”

3λ/2= L

2λ = L

8

Ondas estacionariasSólo son posibles ondas con longitudes

de onda que “quepan en la caja”

n λ/2= LCondición de“caber en la caja”

λ = 2 L/n

n = 1, 2, 3, ..

Longitudes deonda posiblesen una cavidad

Cómo se produce el habla

Las cuerdas vocales vibran con unasfrecuencias determinadas por sulongitud, grosor y tensión

Espectro típico

Inte

nsid

ad

1 kHz 2 kHz 3kHz

Cómo se produce el habla

Las cavidades nasal y bucal amplificanlas frecuencias con distinta

Inte

nsid

ad

1 kHz 2 kHz 3kHz

f1f2 f3

Frecuencias resonantes

UltrasonidosFrecuencias mayores que la máxima audible f > 20000 Hz

(actualmente hasta 1 GHz)

Uso médico: Alta intensidad (200,000 W/m2):

destrucción de cálculos renalesBaja intensidad (10,000 W/m2):

Imágenes de ultrasonidos (ecografías)

Luz: radiación electromagnética

Rayos γ(gamma)λ < 1 pm

Rayos X1 pm- 10 nm

Ultravioleta10-400 nm

Visible400-800nm

Infrarrojo0.8µm-1 mm

microondas 0.1-50 cm

ondas deradio

λ > 50 cm

UVXγ IR radiomicro

Frecuencia

Longitud de onda

1022 Hz 103 Hz1014 Hz

Energía de la luz (radiación electromagnética)

E = h ν = (ν es la frecuencia)h cλ

h = 6.62 10-34 J.s constante de Planckc = 2.9978 108 m/s velocidad de la luz

Unidades habituales en espectroscopíaEnergía: 1 eV = 1.602 10-19 JLongitud de onda: cm, mm, µm, nm, Å=0.1 nmFrecuencia: kHz, MHz, GHz Número de onda: cm-1

9

Rayos γγγγ

(gamma): λ < 1 pm

Unidad habitual: eV (1 pm → 1.24 MeV)

Acción sobre la materia: excitación de núcleos atómicos

Ámbitos en los que aparece: Reacciones nucleares naturales (sol)

o inducidas (centrales de producción de energía)Medicina, tratamientos anticancerígenos

γ

Rayos X: 1 pm < λ < 10 nm

Unidad habitual: eV, Å (1 Å → 12.4 keV)

Acción sobre la materia:excitación de electrones internos

Ámbitos en los que aparece:Reacciones nuclearesColisiones de partículas de alta energía con superficiesTratamientos clínicos

Xe-

Ultravioleta (10-400nm) – visible (400-800nm)Unidad habitual: nm (100 nm → 12.4 eV, 700 nm → 1.8 eV)

Acción sobre la materia: excitación de electrones de valencia

Ámbitos en los que aparece:Luz solar y artificialReacciones químicasCuerpos calientes

UV-vis

Infrarrojo: 800 nm < λ < 1 mmUnidad habitual: cm-1, µm

Acción sobre la materia:Vibración y rotación delos núcleos de moléculas

Ámbitos en los que aparece:Luz solar y artificialCuerpos calientes y templados

(( ))

IR

Microondas (0.1-50 cm) – ondas de radio (λ > 50 cm)Unidad habitual: Hz, MHz

Acción sobre la materia: Rotación pura de moléculas

Vibración-rotación de enlaces débiles no covalentes

Ámbitos en los que aparece:Luz solar y radiación cósmicaRadiación artificial (osciladores electrónicos)

Longitud de onda λ (µm)

Ultravioletavisible

Infrarrojo

Log

(pot

enci

a W

/m3 )

Espectro de emisiónde los cuerposen equilibrio

Espectro del sol

10

Los átomos y moléculas absorben y emiten luz en zonas características del espectro

Ejemplo: absorción UV del ozono

O3

Longitud de onda (nm)

Abs

orba

ncia

Los átomos y moléculas absorben y emiten luz en zonas características del espectro

Ejemplo: absorción de las clorofilas A y B

Fuentefrecuencia

f0

Observador

Medida de frecuencias

Fuente enmovimiento

vf0

f0

frecuencia menorf < f0

frecuencia mayorf > f0

sentido delmovimiento

Efecto DopplerLa frecuencia detectada es distinta a la emitida

cuando la fuente y/o el observador se mueven

Fuente f0 observador fD

VF VD

Onda c

fD = f0c - vDc - vF

11

Efecto Doppler en el espectro de un átomo

f0

Los átomos emiten luz con frecuencias características

átomoluz

frecuencia

f0Espectrodel átomo

Efecto Doppler en el espectro de un átomo

f0

c

VF

fDátomo

frecuencia

átomo quese aleja

átomo en reposo

f0f- < f0 f+ > f0

átomo quese acerca

Espectro del átomo de hidrógeno

frecuencia

se alejaa 10000 m/s

se acercaa 10000 m/s

átomo en reposo

f0 = 24,677 THz f- = 24,676 THz

Transición 2p 1s del hidrógeno

f+ = 24,678 THz

La orientación de los murciélagos mediante la reflexión de ultrasonidos

Detecta presas y obstáculos

Variación de la intensidad y la frecuencia

I0 f0

ID fD

v

Intensidad distanciafrecuencia velocidad (efecto Doppler)

12

I0 f0

ID fD

v

Intensidad distanciafrecuencia velocidad (efecto Doppler)

vPOLILLA

Variación de la intensidad y la frecuencia PROBLEMA

a) Un murciélago vuela hacia una pared lisa emitiendo ultrasonidos de 39 kHz. La onda que recibe rebotada en la pared la percibe a 41 kHz. ¿A qué velocidad vuela el murciélago?

b) Un murciélago vuela hacia una polilla a 9 m/s, mientras que la polilla se acerca hacia él a 8 m/s. La frecuencia que le llega rebotada al murciélago es de 83 kHz. ¿Cuál es la frecuencia emitida por el murciélago?

Reflexión especular y difusa

θ θ

Ley de la reflexión:Los ángulos de incidencia y

De reflexión son iguales

Reflexión especular Reflexión difusa

La ley de la reflexiónse cumple para cada rayo

Óptica Geométrica Refracción

θ1

θ2

Velocidad de la onda c1

Velocidad de la onda c2

Ley de Snell de la refracción

sen θ1 c1 n2sen θ2 c2 n1

= =

índice de refracción de un medion1 = c/c1n2 = c/c2

Aire n=1.0003Índices de refracción a 590nm Agua n=1.33

Aceite n=1.50Cuarzo n=1.46

La velocidad de la luz en un medio dispersivo y, por tanto, el índice de refracción,

dependen de la longitud de onda de la luz

Velocidad de la onda c1(λ)

Velocidad de la onda c2(λ)

Las longitudes de onda cortas se dispersan y son más lentas

n(rojo) < n(violeta)

Reflexión total interna

Agua (n=1.33)

Aire (n=1.00)

Ángulo crítico sen θc = n2/n1 (siempre n2 < n1)

13

Las lentes utilizan la ley de la refracción para dirigir los rayos de luz

(cristalino)(humor vítreo)

El ojo humano

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El ojo como lente convergente Miopía

Se corrige con una lentedivergente

gafas ojo

Hipermetropía

Se corrige con una lenteconvergente

gafas ojo

Astigmatismo

Percepción del color