Tema 65
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TEMA 65 SISTEMAS DE CONTROL: ELEMENTOS COMPONENTES, VARIABLES, FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMA FUNCIONAL
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TEMA 65
SISTEMAS DE CONTROL:
ELEMENTOS COMPONENTES,
VARIABLES,
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y
DIAGRAMA FUNCIONAL
Tema 65. SISTEMAS DE CONTROL. Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional
INDICE
A.- CONCEPTOS BASICOS_____________________________________________________3
1.- Planta___________________________________________________________________3
2.- Proceso__________________________________________________________________3
3.- Sistema__________________________________________________________________3
4.- Perturbaciones___________________________________________________________3
5.- Entrada de mando________________________________________________________3
6.- Selector de referencia______________________________________________________3
7.- Entrada de referencia______________________________________________________4
8.- Unidad de control_________________________________________________________4
9.- Salida___________________________________________________________________4
10.- Sistema de control en bucle abierto___________________________________________4
11.- Elemento de realimentación_________________________________________________4
12.- Señal activa______________________________________________________________4
13.- Sistema de control de bucle cerrado__________________________________________4
B.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO________________________________5
B.1. Elementos de control______________________________________________________5
C.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO_______________________________7
D.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA___________________________________________11
E.- DIAGRAMAS FUNCIONALES O DE BLOQUES_______________________________13
E.1.- Conexión en serie______________________________________________________14
E.2.- Conexión en paralelo___________________________________________________15
E.3.- Conexión en anillo con realimentación directa______________________________16
E.4.- Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento_________18
E.5.- Transposición de ramificaciones y nudos___________________________________19
F.- ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL________________22
F1.- Método de Routh_________________________________________________________22
F2.- Método del diagrama de Bode______________________________________________23
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A.- CONCEPTOS BASICOS
1.- PlantaConjunto de componentes y piezas que van a tener un
determinado objetivo.
2.- ProcesoConjunto de operaciones que van a suceder y que tendrán un
fin determinado.
3.- SistemaConjunto de componentes que actúan juntos para realizar el
control.
4.- PerturbacionesSeñales indeseadas que intervienen de forma adversa en el
funcionamiento de un sistema. Pueden ser internas (si se
generan dentro de un sistema) o externas (si se generan fuera
y constituyen una entrada).
5.- Entrada de mandoSeñal excitadora del sistema que es independiente de la salida
del mismo.
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6.- Selector de referenciaElemento que se coloca para tener una referencia, es la unidad
que establece el valor de la entrada de referencia. Se calibra en
función del valor deseado en la salida del sistema.
7.- Entrada de referenciaSeñal producida por el selector de referencia.
8.- Unidad de controlUnidad que reacciona con la señal activa para producir la salida
deseada. Realiza el trabajo de gobernar la salida.
9.- SalidaCantidad que debe mantenerse en un valor fijado de antemano.
Se considera la variable gobernada.
10.- Sistema de control en bucle abiertoSistema en el que la salida no tiene influencia sobre la entrada.
11.- Elemento de realimentaciónUnidad que facilita medios para aumentar o disminuir la señal
de salida.
12.- Señal activaSeñal que es la diferencia entre la señal de entrada de
referencia y la salida realimentada.
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13.- Sistema de control de bucle cerradoSistema en el que la salida afecta a la entrada de tal manera
que mantenga el valor de salida deseado.
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B.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO
Son sistemas en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de
control (es decir, que la señal de salida no tiene influencia en la señal
de entrada).
La variable que queremos controlar puede diverger
considerablemente del valor deseado debido a la presencia de
perturbaciones externas, por lo que en este tipo de sistemas interesa
una buena calibración de los componentes que forman las diversas
etapas, así como la inexistencia de dichas perturbaciones.
B.1. Elementos de control
Los elementos componentes de un sistema de control en lazo abierto
son los siguientes:
Transductor
Elementos que transmiten información de su entrada a su
salida; transforman o adaptan un tipo de energía a otro tipo de
energía más apto o conveniente para su utilización por parte
del controlador. Su misión consiste en transformar la señal de
mando en otra señal denominada señal de referencia.
Amplificador
Elemento que aumenta la amplitud o intensidad de un
fenómeno.
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Los sistemas en lazo abierto responden al siguiente esquema:
Ejemplo.- Sistema para mantener constante la temperatura de una
habitación.
La temperatura es la variable física de entrada que se quiere
controlar. El control sobre el proceso puede ser efectuado de varias
formas, como muestra el diagrama de bloques siguiente:
El operador actúa sobre la señal de mando (que en este caso es
la temperatura deseada). Un componente del sistema de
control, el transductor, se encarga de transformar una
determinada magnitud de entrada en otra de salida más
adecuada para su manipulación (señal de referencia).
La señal de referencia pasa por un amplificador, y una vez
amplificada actúa sobre el proceso para obtener la señal
Transductor Amplificador Proceso
Señal de mando
Señal controlada
Señal de referencia
Elementos de
control
Planta oProceso
Entrada Salida
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controlada, en este caso la temperatura que debe tener la
habitación.
En los procesos de lazo abierto tiene mucha importancia la variable
tiempo (en nuestro ejemplo, el tiempo de funcionamiento de la
caldera). Si, por ejemplo, las condiciones de temperatura exterior
cambiasen, el sistema no tendría forma de saberlo y, por lo tanto,
estaría funcionando el mismo tiempo y sin conocimiento de esta
perturbación exterior, cuando en realidad tendría que actuar en
función de que la temperatura exterior subiera o bajara. Los cambios
exteriores significan perturbaciones en el sistema a nivel de Proceso
en el diagrama anterior.
De todo ello se deduce que si en un sistema de lazo abierto existen
perturbaciones no se obtiene la variable deseada, por lo que se tiene
que recurrir a otro sistema de control.
Ejemplos de sistema de control de lazo abierto:
Tostador de pan.
Máquina de lavar.
Puerta corredera automática.
Control de velocidad en un motor derivación.
C.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO
Si en un proceso se presentan perturbaciones, resulta más
conveniente cuantificar o referenciar la señal o variable controladora
e intervenir en la cadena de mando para que la variable o señal
controlada se parezca lo más posible a la señal de mando. Por ello es
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necesario realizar una realimentación de la variable de salida a la
entrada. Este procedimiento se denomina control en lazo cerrado.
Su diagrama de bloques es el siguiente:
Se definen los sistemas de control de lazo cerrado como aquellos
sistemas en los que existe una realimentación de la señal de salida,
es decir, aquellos sistemas en los que la señal de salida tiene efecto
sobre la acción de control. Otra forma de representarlo sería la
siguiente:
SEÑALDE
ENTRADASEÑALERROR
Elementosde control
Planta o proceso
ELEMENTOS DE REALIMENTACIÓN
SEÑALDE
SALIDA
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SEÑALDE
MANDO
Transductor
SEÑALDE
REFERENCIA
SEÑALACTIVA
Regulador
SEÑALMANIPULADA
Proceso
SEÑALCONTROLADA
Captador
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En algunas ocasiones, la señal controlada y la señal de referencia no
son de la misma naturaleza.
El instrumento encargado de detectar la señal de salida para utilizarla
de nuevo es el Captador (dispositivo que recoge una información y,
en función de ella, proporciona una señal al sistema). Este elemento
mide la señal controlada y la transforma en una señal que puedan
entender el resto de los componentes del sistema controlador. Los
tipos más habituales de señales son neumáticas o eléctricas.
El siguiente paso consiste en comparar la señal de referencia con la
señal controlada (que el captador ha transformado en señal
realimentada) para determinar cual es la diferencia existente entre
ambas. Esta operación se realiza mediante un Comparador que
proporciona a su salida una señal de error. La señal de error se
denomina señal activa, y es la que entra al Regulador o Controlador.
El regulador o controlador debe actuar de forma que la variable
controlada siga las variaciones de la variable de referencia o corrija
los efectos de las perturbaciones con la máxima rapidez, la máxima
exactitud y el mínimo de oscilaciones posible.
En este elemento se deben ajustar óptimamente una serie de
parámetros para obtener la respuesta deseada, por ello se considera
el núcleo del sistema controlador.
A la salida del controlador obtenemos la variable o señal correctora
precisa para conseguir un control óptimo del sistema. Pueden
utilizarse controladores mecánicos, eléctricos, hidráulicos y
neumáticos.
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Un ejemplo de control en bucle cerrado es el control de la
temperatura de una habitación mediante un termostato. Este
elemento compara la temperatura indicada por el selector de
referencia con la temperatura ambiente de la habitación,
proporcionando en el caso de no ser iguales una señal activa que
actúa sobre la caldera para ponerla en marcha hasta que las
diferencias de temperaturas sean nulas.
La adecuación de la variable controlada ante una variación de la
señal de mando o una perturbación no es instantánea, requiere un
tiempo determinado. La variación en función del tiempo de la variable
controlada es de gran importancia para el diseño y dimensionado del
sistema de regulación.
La estabilidad es una condición imprescindible en un sistema de
control.
Como ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado, podemos
citar:
Mecanismo de llenado de una cisterna de agua.
Control del nivel de potencia de un reactor nuclear.
Sistemas de control de nivel de líquidos
D.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
El comportamiento de un elemento puede describirse
matemáticamente mediante la función de transferencia o respuesta
en frecuencia.
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Conocidas las ecuaciones que definen el comportamiento de los
elementos de un sistema, éste puede estudiarse por el método
operacional de Laplace, según el cual, si son conocidas las relaciones
entradas-salidas de cada uno de los bloques, pueden deducirse otras
relaciones de entrada-salida para éstos en el dominio de Laplace,
denominadas funciones de transferencia.
Función de transferencia (G(s)) de un sistema o componente se define
como el cociente de la transformada de Laplace de la señal de salida
y la transformada de Laplace de la señal de entrada.
siendo s la variable compleja de Laplace. Es decir, dado un sistema
cuya función de transferencia sea conocida, y obtenida la
transformada de Laplace C(s) de la salida (o respuesta del sistema en
el dominio de la variable compleja s), para hallar la respuesta
temporal hay que calcular la inversa de la transformada de Laplace.
La función de transferencia se obtiene transformando al dominio
complejo la ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento
del sistema en el dominio temporal.
La función de transferencia viene dada por un cociente de polinomios
N(s) y D(s) en el dominio de la variable compleja s de Laplace (se
pasa de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica).
C(s)
R(s)
G(s) =
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El denominador D(s) se conoce como Ecuación Característica, ya que
incluye a través de sus coeficientes todas las características físicas de
los elementos que componen el sistema.
Las raíces, que son los valores para los que se hace cero la ecuación,
determinan la estabilidad del sistema y la naturaleza de su respuesta
para cualquier tipo de entrada.
Un sistema lineal se dice que es estable cuando su respuesta a una
entrada tiene un valor finito de reposo una vez desaparecida la señal
de entrada, lo que equivale a decir que la respuesta en régimen
permanente ha de tener un valor finito cuando el tiempo tienda a
infinito (en otras palabras, un sistema es estable cuando mantiene su
salida constante en un valor prefijado).
Para que un sistema de regulación sea estable, las raíces de la
ecuación característica o polos de la función de transferencia (valores
para los que la función de transferencia se hace infinita) han de estar
situados en el lado izquierdo del semiplano complejo de Laplace.
E.- DIAGRAMAS FUNCIONALES O DE BLOQUES
Una de las ventajas de la función de transferencia es la posibilidad de
representar el comportamiento de cada uno de los componentes del
sistema de control mediante un bloque funcional, caracterizado por
su función de transferencia G(s).
Un bloque funcional es un elemento que indica la función que realiza
un dispositivo o componente en un sistema. El sistema queda así
configurado como un conjunto de bloques unidos entre sí mediante
flechas que indican el sentido de la circulación del flujo de la señal.
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La ventaja de los diagramas de bloques es que la función de
transferencia del conjunto puede ser deducida a partir de las G(s)
parciales, cuyo cálculo es más sencillo.
Además de los bloques definidos mediante la función de
transferencia, intervienen los comparadores o detectores de error,
cuya misión es efectuar la suma o diferencia de las señales, según el
signo que indiquen las entradas. Un comparador puede ser un
potenciómetro, un amplificador diferencial, etc.
Existen una serie de combinaciones básicas de bloques según la
forma de conexión:
E.1.- Conexión en serie
Se caracteriza por que la señal de salida de un bloque constituye la
entrada del siguiente:
Para obtener la función de transferencia global, se determina la
función de cada bloque:
Y(s) = G1(s) · U(s)
V(s) = G2(s) · Y(s) = G1(s) · G2(s) · U(s)
La función de transferencia total será:
U(s)G1(s) G2(s)
Y(s) V(s)
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Por tanto, la función de transferencia de un circuito serie se obtiene
multiplicando las funciones de transferencia de cada uno de los
elementos.
Puede modificarse el orden de factores, por lo que es posible alterar
la posición de los diferentes elementos.
E.2.- Conexión en paralelo
Al conectar elementos en paralelo, se debe disponer un nudo o punto
sumador a la salida.
V(s)
U(s)= G1(s) · G2(s)
U(s) G1(s) · G2(s) V(s)
U(s)
G1(s)
G2(s)
V(s)
V1(s)
V2(s)
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Como se puede observar, un punto de suma es el lugar del sistema
de control en el cual confluyen varias señales, siendo la señal de
salida el resultado de realizar una serie de operaciones matemáticas
con las señales de entrada.
Las funciones de cada bloque son las siguientes:
V1(s) = G1(s) · U(s)
V2(s) = G2(s) · U(s)
Estas señales se suman y dan lugar a la variable de salida V(s):
V(s) = V1(s) + V2(s) = G1(s) · U(s) + G2(s) · U(s)
La función de transferencia total será la suma de las distintas
funciones de transferencia de cada uno de los elementos:
E.3.- Conexión en anillo con realimentación directa
Cuando hablamos de realimentación directa, aplicamos la señal de
salida directamente al comparador, o lo que es lo mismo, la función
de transferencia del lazo de realimentación es 1.
G1(s) + G2(s)U(s) V(s)
V(s)
U(s)
= G1(s) + G2(s)
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El montaje sería el siguiente:
Las ecuaciones serían las siguientes:
R(s) = U(s) - V(s)
V(s) = G(s) · R(s)
V(s) = G(s) · [ U(s) - V(s) ] = G(s) · U(s) - G(s) · V(s)
V(s) + G(s) · V(s) = G(s) · U(s)
V(s) · [ 1+G(s) ] = G(s) · U(s)
La función de transferencia total en lazo cerrado con realimentación
directa sería:
V(s)
U(s)
G(s)
1+ G(s)
=
G(s)1+ G(s)
U(s) V(s)
U(s)G(s) V(s)
R(s)
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E.4.- Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento
Cuando hablamos de realimentación a través de un elemento, la
señal de salida se compara con la de entrada una vez multiplicada
por la función de transferencia del lazo de realimentación. Esta
conexión requiere un montaje como el que se muestra a
continuación:
En un sistema en lazo cerrado como éste, a la función de
transferencia G(s) se la denomina función de transferencia directa, y
a la función H(s) función de transferencia del lazo de realimentación.
Las funciones correspondientes a cada elemento serían las
siguientes:
R(s) = U(s) – X(s)
X(s) = H(s) · V(s)
V(s) = G(s) · R(s)
Sustituimos R(s) por su valor:
V(s) = G(s) · [ U(s) – X(s) ] = G(s) · U(s) – G(s) · X(s)
Sustituimos X(s) por su valor en la ecuación anterior:
U(s)
G(s)
V(s)R(s)
H(s)
X(s)
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V(s) = G(s) · U(s) – G(s) · H(s) · V(s)
V(s) + G(s) · H(s) · V(s) = G(s) · U(s)
V(s) · [ 1+G(s) · H(s) ] = G(s) · U(s)
La función de transferencia total de un sistema en lazo cerrado con
realimentación a través de un elemento sería la siguiente:
El sistema equivalente sería el siguiente:
E.5.- Transposición de ramificaciones y nudos
En el proceso de reducción de diagramas de bloques, a veces interesa
transponer un punto de bifurcación. El punto de bifurcación, como su
nombre indica, es un punto de un sistema de control del cual parten
varias ramas y en cada una de ellas tenemos la misma señal.
G(s)1+ G(s) · H(s)
U(s) V(s)
V(s)
U(s)
G(s)
1 + H(s) · G(s)
=
U(s)
V1(s) = G(s) · U(s)
V2(s) = G(s) · U(s)
G(s)
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El sistema sería equivalente a:
La transformación puede realizarse también en sentido inverso; esto
resulta también válido para todas las demás transformaciones.
Con los puntos de suma ocurre lo mismo. A veces interesa transponer
un sumador hacia la derecha o hacia la izquierda:
U(s)
V1(s) = G(s) · U(s)
V2(s) = G(s) · U(s)
G(s)
G(s)
G(s)
V(s)
U2(s)
U1(s)
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El sistema equivalente sería:
Resumiendo, para simplificar un sistema de control se debe
determinar la función de transferencia de los bloques agrupados en
serie, paralelo o en anillo, y en ocasiones se deben transponer
ramificaciones y nudos para que los sistemas queden con las
agrupaciones comentadas anteriormente.
V(s)
U2(s)
U1(s)
G(s)
G(s)
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F.- ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL
Habíamos comentado que la estabilidad de un sistema de control
queda determinada por la posición de los polos en el plano complejo:
si éstos están situados en el semiplano de la parte real negativa, el
sistema será estable. Pero si alguno de ellos se localiza en el
semiplano de la parte real positiva, el sistema será inestable. Veamos
cómo se puede abordar esto.
La estabilidad de un sistema se determina por su respuesta a las
entradas o perturbaciones. Un sistema estable es aquel que
permanece en reposo a no ser que se excite por una fuente externa,
y puede volver al reposo una vez que desaparezcan todas las
excitaciones.
La estabilidad se puede definir de las siguientes formas:
1. Un sistema es estable si su respuesta al impulso tiende a cero a
medida que el tiempo tiende a infinito.
2. Un sistema es estable si cada entrada limitada produce una
salida limitada.
Para determinar si un sistema es o no estable, se emplean varios
métodos (Bode, Routh, Nyquist, Nichols). Los más utilizados son:
F1.- Método de Routh
Tema 65. SISTEMAS DE CONTROL. Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional
Da una idea global del sistema. Dice si el sistema es estable
o no, pero no indica nada sobre lo próximos que estamos a
la estabilidad o inestabilidad. Refleja la estabilidad absoluta.
Recordemos que la ecuación que nos indica si un sistema es
estable o no es la ecuación característica (denominador de la
función de transferencia en el dominio de Laplace). Para que
un sistema sea estable, las raíces de dicha ecuación (polos
de la función de transferencia) han de estar situadas en el
semiplano real negativo.
El criterio de estabilidad de Routh indica si hay o no raíces
positivas en la ecuación polinómica sin tener que resolverla.
F2.- Método del diagrama de Bode
Método en el que se representan la ganancia y el ángulo de
fase en función de la frecuencia. Se puede ver lo próximos
que estamos a la estabilidad o inestabilidad. Proporciona,
por tanto, la estabilidad relativa.
