TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO - APUNTES DE …Al término (1 + i)n se le denomina “factor de...

TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO TESORERÍA

1

TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO:

1- LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

1.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN. CÁLCULO DEL

MONTANTE Y DE LOS INTERESES

1.2- CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL

1.3- CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS

1.4- CÁLCULO DE LA DURACIÓN

2- DIFERENCIAS ENTRE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE

3- TANTOS EQUIVALENTES EN INTERÉS COMPUESTO

4- CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA

5- DESCUENTO COMPUESTO

5.1- EL DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO O MATEMÁTICO

6- EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

7- SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR UNO ÚNICO

8- VENCIMIENTO COMÚN

9- VENCIMIENTO MEDIO


2

1- LA CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Como ya vimos en los temas anteriores, la capitalización es una operación financiera:

- que tiene por objeto la constitución de un capital en un momento futuro del tiempo a

partir de uno dado,

- o bien a la que nos permite la obtención de un capital financiero equivalente con

vencimiento posterior a otro con vencimiento presente,

- o aquella que tiene por objeto la sustitución de un capital con vencimiento presente por

otro con vencimiento posterior

Si para efectuar dichas operaciones se utiliza una ley financiera en régimen compuesto,

decimos entonces que se trata de la capitalización compuesta.

Este régimen financiero es propio de operaciones a largo plazo, es decir, de duración

superior a un año.

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN

La principal característica de la capitalización compuesta es que los intereses son

productivos, es decir:

- a medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos

intereses en los períodos siguientes.

- los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de

dicho período, y no el capital inicial. La cuantía de los intereses será cada vez mayor,

ya que el capital incorpora los intereses de los periodos anteriores.

1.1- DESARROLLO DE LA OPERACIÓN. CÁLCULO DEL MONTANTE Y DE LOS INTERESES

Partiendo de un capital del que se dispone inicialmente (Co), se trata de determinar la

cuantía final o montante (Cn) y el importe de los intereses (I) que se obtendrá en el

futuro, conociendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo (n) y tipo

de interés (i)).

El capital final o montante (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial

(Co) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van

acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n).

Cn = Co + I


3

Para calcular los intereses tenemos que tener en cuenta que éstos no se calculan

siempre sobre el capital inicial, sino que los intereses de cada periodo se calculan a

partir del capital existente al inicio del mismo:

I1 = C0·i

I2 = C1·i

…

It = Ct-1·it

Si suponemos que el tipo de interés (i) es constante, la evolución del montante

conseguido en cada momento es la siguiente:

Momento 0: Co

Momento 1: C1 = Co + I1 = Co + Co·i = C0·(1 + i)

Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1·(1 + i) = Co·(1 + i)·(1 + i) = Co·(1 + i)2

Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2·i = C2·(1 + i) = C o·(1 + i)2

· (1 + i) = Co·(1 + i)3

…

Momento n: Cn = Cn-1 + In = Cn-1 + Cn-1·i = Cn-1·(1+i) = Co·(1+i)n-1

·(1+i) = Co·(1+i)n

Cn = Co · (1+i)n

Esta última es la expresión que permite calcular el montante en capitalización

compuesta, conocidos el capital inicial, el tipo de interés y la duración de la operación.

Al término (1 + i)n se le denomina “factor de capitalización compuesto”, y permite

calcular el valor de un capital inicial en cualquier momento futuro del tiempo utilizando

la ley de capitalización compuesta. Se utiliza para trasladar capitales de un momento

dado a otro posterior.

Gráficamente:

Aquí se puede ver como I1 < I2 < I3 <… < In


4

CASO PRÁCTICO 1:

El Sr. Sancho deposita en un banco 10.000€, a plazo fijo durante tres años a un interés

compuesto del 4% anual. Calcula el montante que recibirá una vez que acaba dicha

operación 11.248'64€

Una vez conocidos el capital inicial y el final, podemos calcular los intereses

generados en la operación mediante la diferencia de ambas cuantías

I = Cn – Co

I = Cn – Co = Co·(1+i)n

– Co = Co [(1+i)n – 1]

I = Co [(1+i)n – 1]

(Nota: es mucho más sencillo si en vez de aprenderte ésta fórmula de los intereses

calculas Cn y luego le restas Co)

CASO PRÁCTICO 2:

Determina la cantidad que obtiene de intereses el Sr. Sancho con la inversión del caso

práctico anterior 1.248'64€

CASO PRÁCTICO 3:

Determina la cantidad que tendrá que ingresar el Sr. Blasco en concepto de intereses

por un préstamo de 100.000€ dentro de cuatro años en un banco, si el tipo de interés

compuesto anual pactado es del 4'5% 19.251'86€

EJERCICIOS: 1, 2, 3, 4, 5 y 6


5

1.2- CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL (Co)

A partir de la fórmula principal Cn = Co·(1+i)n , despejamos Co

n

niCn

i

CnCo

)1(

1

También lo podemos calcular de una forma más sencilla si conocemos la cuantía de los

intereses y del montante:

Co = Cn - I

CASO PRÁCTICO 4:

¿Cuál fue el capital invertido durante un cierto periodo de tiempo que generó unos

intereses de 498€ y un montante de 7.747'25€? 7.249'25€

CASO PRÁCTICO 5:

Calcula el capital inicial que, colocado a un interés del 4% anual compuesto durante

cinco años, produjo un montante de 100.000€ 82.192'71

EJERCICIOS: 7 y 8


6

*** REPASO DE MATEMÁTICAS***

a) Cómo despejar una incógnita cuando tiene un exponente

nnn aaxax

1

Ejemplo: 288 3

1

3 xx

11)1(

11

nnn axaxax

Ejemplo: 21312727127)1( 3

1

3

1

3 xxx

b) Cómo despejar una incógnita que está en el exponente

En este caso hay que utilizar los logaritmos

DEFINICIÓN DE LOGARITMO

logab = x El logaritmo en base “a” de “b” es “x”

ax = b Si elevamos “a” a “x”, el resultado es “b”

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1) log (a·b) = log a + log b

2) log

b

a= log a – log b

3) log ab = b·log a

DESPEJAR LA INCÓGNITA

a

bxbaxbaba XX

log

logloglogloglog

Ejemplo: 32log

8log8log2log8log2log82 xxXX

)1log(

loglog)1log(log)1log()1(

a

bxbaxbaba XX

)1log(

log

log)1log(log)1log()1()1(a

c

b

xc

bax

c

ba

c

babac XXX

Ejemplo:

)05'1log(

3log3log)05'1log(

2

6)05'1(6)05'01(2 xXXX


7

1.3- CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS

A partir de la fórmula principal: Cn = Co·(1+i)n, despejamos i

iCo

Cni

Co

Cni

Co

Cn nnn

1)1()1(

11

1

1

n

Co

Cni

CASO PRÁCTICO 6:

Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados 90.000€ durante cuatro años, si se

convirtieron en 107.327€ 4'5%

EJERCICIOS: 9, 10 y 11

1.4- CÁLCULO DE LA DURACIÓN

A partir de la fórmula principal: Cn = Co·(1+i)n, despejamos n

)1log(

loglog

)1log(

log

)1log(log)1log(log)1(i

CoCn

i

Co

Cn

ninCo

Cni

Co

Cni

Co

Cn nn

)1log(

loglog

)1log(

log

i

CoCn

i

Co

Cn

n


8

CASO PRÁCTICO 7:

¿Cuántos años han pasado desde que en una entidad financiera se depositaron 500.000€,

al 5% anual compuesto, si hoy se reciben 670.047'80€ 6 años

CASO PRÁCTICO 8:

Calcula el tiempo necesario para que un capital de 5.000€ colocado a un tipo de interés

compuesto del 4% se duplique 17'6729 = 17 años, 8 meses y 2 días



9

2- DIFERENCIAS ENTRE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Y SIMPLE

Según hemos visto:

En capitalización compuesta: Cn = Co·(1+i)n

En capitalización simple: Cn = Co·(1+i·n)

Estas dos expresiones se diferencian entre sí por los factores de capitalización:

(1+i)n

para la capitalización compuesta

(1+i·n) para la capitalización simple

Para comparar la capitalización compuesta y la simple vamos a dar valores a dichos

factores de capitalización

Si n = 0 → Cn simple = Cn compuesta

Si n = 1 → Cn simple = Cn compuesta

Si 0 < n < 1 → Cn simple > Cn compuesta

Si n> 1 → Cn simple < Cn compuesta


10

CASO PRÁCTICO 9:

Calcula el capital final en capitalización compuesta y en capitalización simple de

100.000€ colocados a un tipo de interés del 5% anual:

a) Si el periodo de capitalización es de seis meses (0'5 años) C.C = 102.469'51 y C.S = 102.500

b) Si el periodo de capitalización es de un año C.C = 105.000 y C.S = 105.000

c) Si el periodo de capitalización es de 5 años C.C = 127.628'16 y C.S = 125.000

EJERCICIO: 15


11

3- TANTOS EQUIVALENTES EN INTERÉS COMPUESTO

En los cálculos realizados hasta ahora, hemos supuesto que los periodos de tiempo eran

anuales. Sin embargo, los periodos no tienen por que ser siempre anuales

La capitalización compuesta se suele utilizar para operaciones con una duración

superior al año. Ahora bien, los intereses, se suelen liquidar en periodos de tiempo

inferiores. Es decir, puede ser que una operación tenga una duración de un año, pero los

intereses se paguen mensualmente

En las fórmulas, el tipo de interés y el periodo de tiempo en el que se liquidan los

intereses han de estar referidos a periodos homogéneos, es decir, expresados en la

misma unidad temporal.

Por ejemplo, si los intereses se liquidan de forma mensual, el tipo de interés debe ser

mensual

Lo habitual, es que:

- el tipo o tanto de interés se exprese de forma anual,

- el periodo de liquidación de los intereses se mida en días, meses, trimestres o

semestres.

Así pues, si la unidad temporal del tipo de interés y del tiempo en el que se liquidan los

intereses es diferente, tendremos que homogeneizarla.

Para homogeneizar ambas variables, tenemos que tener en cuenta que en las

operaciones de interés compuesto realizadas con las entidades financieras, suelen

aparecer tres tipos de interés de referencia:

a) el tipo de interés fraccionado: im

b) el tipo de interés efectivo o tasa anual equivalente (TAE): i

c) el tipo de interés nominal: j(m)


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Recordemos los periodos en los que se puede dividir el año:

Periodos Frecuencia de fraccionamiento (m)

Años 1

Semestres 2

Cuatrimestres 3

Trimestres 4

Meses 12

Semanas 52

Días (año natural) 365

Días (año comercial) 360

A) EL INTERÉS FRACCIONADO: im

Es el tipo de interés referido a una fracción de año

Ejemplos:

a) tipo de interés del 2% trimestral → i4 = 2%

b) tipo de interés del 1% mensual → i12 = 1%

B- EL INTERÉS EFECTIVO O TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE)

El interés efectivo o TAE, es el tipo de interés i realmente abonado o cargado en las

operaciones financieras en un año

En capitalización simple vimos que el 1% mensual era lo mismo que el 12% anual, o

que el 4% semestral era igual al 8% anual. Sin embargo, esa relación no se cumple en la

capitalización compuesta.

Veamos la relación que debe existir entre un tipo de interés anual y otro fraccionado

para que sean equivalentes:

Dos tantos son equivalentes si aplicados a un mismo capital durante el mismo periodo

de tiempo, producen idéntico montante, aunque se refieran a periodos diferentes de

capitalización.

El montante (Cn) de 1€ al tipo i, al cabo de un año, será:

Cn = 1 · (1 + i)1 = (1 + i)

El montante Cn de 1€ al tipo im, al cabo de un año, será:

Cn = 1 · (1+ im)m

= (1+ im)m

Si el tanto im es equivalente al tanto i, ambas expresiones han de coincidir, luego:

(1 + i) = (1+ im)m


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A partir de esta expresión podemos ver la relación que debe existir entre i e im para que

sean equivalentes

a) Tipo de interés efectivo anual o TAE a partir de im

i = (1 + im)m

– 1..

b) Tipo de interés fraccionado a partir del interés efectivo o TAE

1)1(

1

mm ii .

Ejemplos:

a) Calcula el interés efectivo equivalente al 2% trimestral

%24'808243216'01)02'01( 4 i

b) Calcula el tipo de interés semestral equivalente al 6% efectivo anual

%96'2029563014'01)06'01( 2

1

2 i

CASO PRÁCTICO 10:

Si el tipo de interés es el 10% anual, calcula:

a) El tipo de interés mensual equivalente 0'00797414 = 0'797414%

b) El tipo de interés trimestral equivalente 0'02411368 = 2'411368%

c) El tipo de interés diario equivalente (año natural) 0'00026115 = 0'026115%


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CASO PRÁCTICO 11:

Si el tipo de interés es el 1'5% mensual, calcula el tipo de interés anual equivalente 0'19561817 = 19'561817%

CASO PRÁCTICO 12:

Si el tipo de interés es el 5% semestral, calcula el tipo de interés anual equivalente 0'1025 = 10'25%

EJERCICIOS: 16, 17, 18, 19 y 20

C) EL INTERÉS NOMINAL: j(m)

El tipo de interés nominal j(m), es un “invento o truco bancario” para que parezca que

el tipo de interés que nos van a cobrar es menor de lo que realmente es, y así

aprovecharse de las personas que no tienen conocimientos sobre esta materia, que

pensarán que tienen que pagar menos intereses de los que van a pagar realmente

Ejemplos:

a) tipo de interés nominal del 12% anual pagadero mensualmente → j(12) = 0’12

b) 8% nominal anual pagadero trimestralmente → j(4) = 0’08

c) 6% nominal anual pagadero diariamente → j(365) = 0’06

RELACIÓN ENTRE EL TIPO DE INTERÉS NOMINAL Y EL FRACCIONADO

El interés nominal, j(m), se obtiene multiplicando m veces el tipo de interés de un

periodo fraccionado im

j(m) = m · im .

Conociendo j(m), podemos calcular el interés fraccionado im que le corresponde

m

mjim

)(


15

Ejemplos:

a) 12% nominal anual pagadero mensualmente → 01'012

12'0

12

)12(12

ji

b) 8% nominal anual pagadero trimestralmente → 02'04

08'0

4

)4(4

ji

c) i = 6% nominal pagadero diariamente → 360

06'0

360

)360(360

ji

Al decir que el tipo es nominal, automáticamente se asocia a un periodo anual

CASO PRÁCTICO 13:

Si el tipo de interés nominal pagadero mensualmente es del 6%, calcula el tipo de

interés mensual 0'005 = 0'5%

CASO PRÁCTICO 14:

Si el tipo de interés es el 10% nominal pagadero trimestralmente, calcula el tipo de

interés trimestral 0'025 = 2'5%

CASO PRÁCTICO 15:

Si el tipo de interés diario es el 0'075%, calcula el tipo de interés nominal pagadero

diariamente 0'27375 = 27'375%

CASO PRÁCTICO 16:

Si el tipo de interés semestral es el 3%, calcula el tipo de interés nominal pagadero

semestralmente 0'06 = 6%


16

RELACIÓN ENTRE EL TIPO NOMINAL j(m) Y EL EFECTIVO O TAE (i)

En las operaciones bancarias (préstamos, plazos fijos,...) es muy frecuente que el tipo de

interés expresado sea el nominal.

Si queremos calcular el interés efectivo a partir del nominal:

- tenemos que calcular primero el interés fraccionado im → m

mjim

)(

- una vez que tenemos el interés fraccionado im, podemos calcular el efectivo:

i = (1 + im)m

– 1..

Ejemplo:

Calcula el interés efectivo o TAE que corresponde a un tipo de interés nominal del 12%

pagadero mensualmente

%68'121268'01)01'01(

01'012

12'0

12

12

i

i

El TAE o interés efectivo (i) es el tipo de interés que debemos conocer para comparar

diferentes operaciones financieras con distintos periodos de capitalización

TAE (i) > NOMINAL j(m)

CASO PRÁCTICO 17:

Si el tipo de interés nominal pagadero mensualmente es del 8%, calcula el tipo de

interés efectivo o TAE 0'0829995 = 8'29995%


17

CASO PRÁCTICO 18:

Si el tipo de interés es el 10% nominal pagadero trimestralmente, calcula el tipo de

interés efectivo o TAE 0'10381289 = 10'381289%

EJERCICIOS: 21, 22, 23, 24, 25 y 26

EJERCICIOS: 27 y 28

4- CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA

Se entiende por capitalización fraccionada aquella operación financiera en la que el

periodo de capitalización de los intereses no es anual (puede ser mensual, trimestral,

diaria, etc)

En este caso, hemos de trabajar con un tipo de interés referido al periodo de

capitalización (tanto fraccionado im)

Por ejemplo, si el periodo de capitalización es semestral, el tipo de interés será

semestral, y el tiempo estará expresado en semestres

La fórmula del capital final o montante para la capitalización fraccionada es:

n

miCoCn )1(

Siendo n el tiempo total de la operación, expresado en la misma unidad que el tanto

fraccionado


18

CASO PRÁCTICO 19:

Calcula el montante que se obtiene al invertir 300.000€ al 5% de interés compuesto

anual durante tres años y seis meses 355.863'79€

CASO PRÁCTICO 20:

Calcula el montante que se obtiene al invertir 25.000€ si el tipo de interés es el 6%

nominal capitalizable trimestralmente, y la duración de la operación son 7 trimestres 27.746'12€ - primero calculamos i4 = 0'015

CASO PRÁCTICO 21:

Calcula el montante de 5.230€ si el tipo de interés es el 10% nominal capitalizable

diariamente, y la duración de la operación son 90 días 5.360'54€


19

CASO PRÁCTICO 22:

Halla el montante obtenido al invertir 400.000€ al 6% anual capitalizable mensualmente

si la operación dura 4 años 508.195’66

HACER EJERCICIOS: 29, 30, 31, 32, 33 y 34

HACER EJERCICIOS: 35, 36, 37 y 38

5- DESCUENTO COMPUESTO

Se denomina descuento a la operación financiera:

- que tiene por objeto la sustitución de un capital con vencimiento futuro por otro con

vencimiento presente

- o bien a la que nos permite obtener, a partir de un capital dado, un capital financiero

equivalente con vencimiento anterior

Si para efectuar dichas operaciones se utiliza una ley financiera en régimen

compuesto, decimos entonces que se trata del descuento compuesto.

Es la operación inversa a la capitalización compuesta

Existen dos tipos de descuentos compuestos:

- el racional (Dr)

- el comercial (Dc)

Nosotros vamos a estudiar únicamente el descuento racional compuesto

El descuento es la diferencia entre el capital final o nominal y el capital inicial o

efectivo

D = Cn - Co


20

5.1- EL DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO O MATEMÁTICO

El descuento racional es la cuantía de los intereses que genera el valor efectivo (Co)

durante el tiempo que se adelanta el cobro del nominal o capital final.

La cuantía del descuento racional se calcula sobre el efectivo Co

A) CÁLCULO DE Co

Co se puede calcular a partir de la fórmula de la capitalización compuesta

niCoCn )1( →

n

niCn

i

CnCo

)1(

1

También se puede calcular a partir de la siguiente diferencia:

Co = Cn - Dr

CASO PRÁCTICO 23:

¿Cuál será el efectivo que se recibirá por el descuento racional de un efecto de 147.250€

que vence dentro de 30 días? El tipo aplicado es el 7% anual compuesto. Año natural Co = 146.433'42


21

CASO PRÁCTICO 24:

¿Cuál será el efectivo que se recibirá por el descuento racional de un efecto de 42.500€

que vence dentro de 4 meses? El tipo aplicado es el 8% nominal capitalizable

mensualmente Co = 41.385'31


B) CÁLCULO DE Dr

- Si conocemos Cn y Co

Dr = Cn – Co

CASO PRÁCTICO 25:

Si por un pagaré de 7.500€ de nominal nos han entregado en el banco 7.150€, ¿a cuanto

asciende el importe del descuento realizado por el banco? Dr = 350 €

- Si conocemos Co, n e i:

11)1( nn iCoCoiCoCoCnDr

(Nota: esta fórmula es muy complicada, así que es mejor calcular Cn, y después,

mediante su diferencia entre Cn y Co, calcular el importe del descuento D)


22

CASO PRÁCTICO 26:

Calcula el descuento racional de un efecto por el que nos entregaron un efectivo de

8.754'20€, sabiendo que se aplicó un tipo del 4% compuesto anual, y que el mismo

vencía dentro de 72 días. Año natural Cn = 8.822'19 y Dr = 67'99 €

- Si conocemos Cn, n e i:

n

nn

n

niCn

iCn

i

iCn

i

CnCnCoCnDr

)1(1

)1(

11

)1(

11

)1(

(Nota: esta fórmula es muy complicada, así que es mejor calcular Co, y después,

mediante su diferencia entre Cn y Co, calcular el importe del descuento D)


23

CASO PRÁCTICO 27:

Calcula el descuento racional de un efecto de 6.000€ de nominal, sabiendo que en la

operación se aplica un tipo del 8% compuesto anual, y que el mismo vence dentro de 3

meses Co = 5.885'66 y Dr = 114'34 €



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6- EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Cuando el valor actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros capitales,

diremos que son financieramente equivalentes

Dos capitales C1 y C2, con vencimientos en n1 y n2 respectivamente, serán equivalentes

si el valor actual de ambos coincide, es decir, si:

21 )1()1(

21

nni

C

i

C

Para averiguar la equivalencia financiera utilizaremos el descuento racional o

matemático

CASO PRÁCTICO 28:

Una empresa desea aplazar un pago de 6.500€ que tiene que realizar dentro de un mes.

Para ello negocia con el proveedor y pactan que el pago lo hará dentro de 3 meses.

¿Cuál será el importe a pagar en ese momento suponiendo que el tipo de interés es del

4'5%? C = 6.547'86€

Una característica importante de la capitalización compuesta es que ahora podemos

calcular la equivalencia en el momento del tiempo que queramos


25

CASO PRÁCTICO 29:

Vuelve a realizar el caso práctico anterior, pero ahora calcula la equivalencia en el

momento t = 1 mes C = 6.547'86€

CASO PRÁCTICO 30:

Vuelve a realizar el caso práctico anterior, pero ahora calcula la equivalencia en el

momento t = 3 meses C = 6.547'86€

EJERCICIOS: 46 y 47


26

7- SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR UNO ÚNICO

Dados los capitales C1, C2,.., Ck, con vencimiento en n1, n2,..., nk, se pueden sustituir por

un único capital Cn con vencimiento en n siempre que exista una equivalencia

financiera

Tenemos que aplicar la “ecuación de la equivalencia financiera”:

Valor actual de la opción 1 = Valor actual de la opción 2

kn

k

nnni

C

i

C

i

C

i

Cn

)1(...

)1()1(1 21

21

Abreviando:

sn

s

ni

C

i

Cn

)1(1

Para calcular Cn:

sn

sn

i

CiCn

)1(1

CASO PRÁCTICO 31:

Una sociedad tiene tres capitales de 30.000, 40.000 y 60.000 euros, con vencimiento a

los dos, tres y cuatro años respectivamente, y desea sustituirlos por un único capital con

vencimiento a los cinco años. ¿Cuál será el importe del mismo si el tipo de interés

aplicado es del 5% compuesto anual? C = 141.828’75€



27

8- VENCIMIENTO COMÚN

El vencimiento común es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del

conjunto de capitales por uno único

Para calcular el vencimiento común tenemos que despejar n de la fórmula del apartado

anterior:

sn

sn

i

CiCn

)1(1

n

n

s

i

i

C

Cn

s

1

)1(

n

n

s

i

i

C

Cn

s

1log

)1(

log

in

i

C

Cn

sn

s

1log

)1(

log

i

i

C

Cn

nsn

s

1log

)1(

log

(Esta fórmula no me la se ni yo. Lo mejor es razonar todos los pasos y despejar la ecuación que queda al

final. Si en vez de letras tenemos números es más sencillo)

Es más fácil de calcular de lo que parece, para ello tenemos que aplicar la ecuación de la

equivalencia financiera, pero esta vez la incógnita es “n”

Valor actual de la opción 1 = Valor actual de la opción 2 → despejar “n”


28

CASO PRÁCTICO 32:

Calcula el vencimiento común de tres capitales de 3.000.000, 5.000.000 y 7.000.000 de

euros, con vencimiento a los tres, cuatro y cinco años respectivamente, si se desea

sustituirlos por uno único de 17.000.000€, aplicando un 4% anual en capitalización

compuesta Solución: 7 años, 5 meses y 11 días


29

9- VENCIMIENTO MEDIO

El vencimiento medio es el momento o fecha en que se realiza la sustitución del

conjunto de capitales por uno único, que coincide con la suma del nominal de todos los

anteriores

Sh cCCCCn ...21

ii

C

C

nsn

s

s

1log

)1(

log

CASO PRÁCTICO 33:

¿Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de 100.000, 200.000 y 300.000€, con

vencimiento a tres, cuatro y cinco años respectivamente, aplicando un 4’5% en

capitalización compuesta Solución: 4 años, 3 meses y 26 días


30

CASO PRÁCTICO 34:

¿Cuál será el vencimiento medio de tres capitales de 47.500, 21.250 y 42.300€ , con

vencimiento dentro de 15, 21 y 24 meses respectivamente, sabiendo que se aplica una

TAE del 8’244%? Solución: 19’5 meses o 1 año, 7 meses y 15 días


TEMA 7: EL INTERÉS COMPUESTO - APUNTES DE …Al término (1 + i)n se le denomina “factor de...

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