Tema 7 Polinomis - ieslaasuncion.org · Un monomi és una expressió algebraica formada pel...

Bloc II. Àlgebra. Tema 7: Polinomis TEORIA

–1–

IES L'ASSUMPCIÓ http://w w w.ieslaasuncion.org MATEMÀTIQUES 2n ESO

1. L’ÀLGEBRA: PER A QUÈ SERVIX?

L'àlgebra és la part de les matemàtiques que utilitza lletres per a expressar nombres de valor desconegut o indeterminat. El llenguatge algebraic facilita la construcció dels processos matemàtics.

Exemple: En la imatge de l’esquerra:

Què representa l’expressió algebraica 30

500!x ?

A continuació, s’exposen algunes de les aplicacions de l’àlgebra:

1) Per a expressar propietats de les operacions aritmètiques.

Exemple: la propietat distributiva diu "el producte d’un nombre per una suma és igual a la suma dels productes parcials del nombre per cada sumant" que en llenguatge algebraic seria:

!

a " (b + c) = a " b + a " c

2) Per a expressar la relació entre variables relatives a distintes magnituds (fórmules).

Exemple: en un tema anterior vam demostrar la fórmula de l’interés bancari simple: trcI !!=

3) Per a utilitzar nombres de valor indeterminat i les seues operacions (expressions algebraiques).

Exemple 1: "el doble del següent número" seria l’expressió algebraica" seria: )1(2 +! x

Exemple 2: "el quadrat del nombre més el triple del nombre" seria: xx !+ 32

4) Per a expressar relacions que faciliten la resolució de problemes (equacions).

Exemple: Laura gasta la meitat de la seua paga en el cine i la tercera part en un entrepà. Ara, només li queden dos euros. Quina era la seua paga?.

Per a resoldre el problema plantegem una equació. La incògnita és el que rep Laura de paga i l'anomen "x" .

Llavors "x" ha de verificar l’equació . xxx

=++ 232

Comprova que la solució és !12=x

En el tema següent aprendràs a resoldre equacions.

ERV: 1 al 22


–2–


2. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

*Què és? Una expressió algebraica és un conjunt de nombres i lletres units entre si per les operacions de sumar, restar, multiplicar, dividir i per parèntesi.

Exemples: xx !"+2

23 o

!

x " y # 32 " (x " y2# y) són dos expressions algebraiques.

*El signe de multiplicar se sobreentén davant d’una lletra o un parèntesi.

Els exemples anteriors els escriurem així:: xx !+2

23 o )(32 2yxyxy !!

Comencem estudiant les més senzilles: els monomis

3. MONOMIS

*Què són? Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d’un nombre i una o més variables. Al nombre l'anomenem coeficient i al conjunt de les variables, part literal.

*El valor numèric d’un monomi és el valor del monomi quan les lletres prenen valors concrets.

*Anomenem grau del monomi a la suma dels exponents de la seua part literal i grau respecte d’una variable, a l’exponent d’eixa variable

Exemple 1: El monomi

!

3a té com a coeficient "3", part literal "a" i és de grau "1".

Exemple 2: En el monomi

!

3a2b si la a=1 i la b=2 el valor numèric és:

!

3 "12" 2 = 3 "1" 2 = 6

Exemple 3: El monomi

!

2

3xy

2 té com a coeficient "

!

2

3", part literal "

!

xy2", es de grau "3" y el grau respecte

la variable "y" és "2".

*Es diu que dos monomis són semblants quan tenen la part literal idèntica.

Exemple 1: Els monomis "

!

3a2b " y "

!

7a2b" són semblants perquè tenen la mateixa part literal " ba

2 ".

Exemple 2: Els monomis "

!

3ab " i "

!

7a2b" no són semblants perquè no tenen la mateixa part literal.

Suma de monomis:

*Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En eixe cas, se sumen els coeficients, deixant la mateixa part literal.

*Si els monomis no són semblants, la suma queda indicada i esta operació no pot expressar-se de manera més simplificada.

El següent exemple amb peres i pomes pot aclarir-te quan dos monomis es poden sumar:

3 +2 = 5 però en canvi 3 +2 no és igual a 5 peres ni a 5 pomes


–3–


Exemples:

a) aaa 725 =+ b) 222538 xxx =!

c) 223 xx + no pot simplificar-se d) aaaaa !=+!

2222

Multiplicació de monomis. *El producte de dos monomis és un monomi que té per coeficient el producte dels coeficients i per part literal el producte de les parts literals (recorda la propietat:

!

am" a

n= a

m+n).

Exemples:

a) Multiplica els monomis " ba2

3 " i " a2 ". És bababaaaba31222 66)23()2()3( ==!=!

+

b) 25232232232

2

5

6

15)6

53()

6

5()3( yxyxyxxyxx !=

!="!="!

+

c) 3123123444344434 82)2()2()2()2()2( yxyxyyxyxxyxyxyxyx ===!!= o bé

3123123334334 82)(2)2( yxyxyxyx ===

Divisió de monomis. *El quocient de dos monomis pot ser un nombre, un altre monomi o una fracció algebraica.

Exemples:

a) 23

6

3

6)3(:)6(

2

222

===ba

bababa (un nombre)

b) yxx

yxx

x

yxxyx

2

3

23

3

535

5

2

53

23

15

6)15(:)6( =

!!

!!== (un monomi)

c) y

x

yyx

yxx

yx

yxyxyx

2

3

23

23

5235 3

2

23

2

6)2(:)6( =

!

!!== (és una fracció algebraica però no un monomi)

ERV 23 al 26

4. POLINOMIS

*Què són? Un polinomi és la suma de diversos monomis no semblants també anomenats termes del polinomi.

*Els coeficients del polinomi són els números que multipliquen a cada monomi.

*Si un dels monomis no té part literal s’anomena terme independent.

*El major grau de tots els monomis s’anomena grau del polinomi.

*Anomenem els polinomis amb una lletra majúscula i entre parèntesis les variables que l'integren.


–4–


Exemple 1: El polinomi 42)( 5!+= xxxP té una variable (la "x"), és de grau 5, els coeficients són l’1, el

2 i el –4 i el terme independent és –4. Este polinomi també s’anomena trinomi perquè té tres monomis o termes.

Exemple 2: El polinomi ababaQ 54),( 2!= té dos variables ( la "a" i la "b"), és de grau 3, els coeficients

són 4 i –5, no hi ha terme independent. Este polinomi també s’anomena binomi perquè té dos monomis o termes.

*El valor numèric d’un polinomi és el valor que s’obté al substituir la variables o variables per números concrets i efectuar les operacions.

*Els nombres el valor numèric dels quals en el polinomi és zero s’anomenen arrels del polinomi.

Exemple 1: Donat el polinomi 65)( 2+!= xxxP , el valor numèric per a 1!=x és el número

126)1(5)1()1( 2=+!"!!=!P y per a 2=x el valor numèric es 06)2(5)2()2( 2

=+!"=P . Observa que el

número "2" és una arrel del polinomi 65)( 2+!= xxxP .

Exemple 2: Donat el polinomi yxyxyxQ 653),( 2+!= , el valor numèric per a 2=x , 1!=y és el

número 2861012)1(625)1(23)1,2( 2!=!!!=!"+"!!""=!Q .

ERV 27 al 30

5. SUMA I RESTA DE POLINOMIS

*Per a sumar dos o més polinomis o bé restar dos polinomis tindrem en compte el que ja sabem sobre la suma i resta de monomis.

Exemple 1: Donats els polinomis

!

A = 2x3" 3x

2+ 6 i

!

B = x2" 5x + 4 d’una sola variable, troba la seua suma:

És

!

A + B = (2x3" 3x

2+ 6) + (x

2" 5x + 4) = 2x

3" 3x

2+ 6 + x

2" 5x + 4 = 2x

3" 2x

2" 5x +10 (hem sumat els

monomis semblants. També es pot sumar col·locant els polinomis un davall de l’altre, fent coincidir, en la mateixa columna, els monomis semblants. Observa la imatge

Exemple 2: Donats els polinomis

!

A = 2x3" 3x

2+ 6 i

!

B = x2" 5x + 4 d’una sola variable, troba la resta

!

A " B:

És

!

A " B = (2x3" 3x

2+ 6) " (x

2" 5x + 4) = 2x

3" 3x

2+ 6 " x

2+ 5x " 4 = 2x

3" 4x

2+ 5x + 2 (el signe menys

davant del parèntesi canvia de signe tots els termes del polinomi B; després hem sumat els monomis semblants). També es pot sumar col·locant els polinomis un davall de l’altre, fent coincidir, en la mateixa columna, els monomis


–5–


semblants i canviant de signe els terme del subtrahend. Observa la imatge

6. PRODUCTE DE POLINOMIS 6.1. PRODUCTE D’UN POLINOMI PER UN NÚMERO

*Recorda que per a multiplicar un número per una suma, hem de multiplicar el número per cada sumant. És la propietat distributiva cabacba !+!=+! )(

Exemple:

!

5 " (2x3# 3x # 4) =10x

3#15x # 20

6.2. PRODUCTE D’UN POLINOMI PER UN MONOMI *Observa el següent exemple en què es torna a aplicar la propietat distributiva.

Exemple:

!

5x2" (2x

3# 3x # 4) =10x

5#15x

3# 20x

2

6.3. PRODUCTE DE DOS POLINOMIS

*Combinant els productes d’un polinomi per un número i per un monomi, com hem vist més amunt, podem calcular el producte de dos polinomis.

*Per a calcular el producte de dos polinomis, es multiplica cada monomi d’un dels factors per tots i cada un dels monomis de l’altre factor i se sumen els monomis obtinguts, i es redueix els que siguen semblants.

Exemple: Realitza el producte )23()154( 223+!"!+! xxxxx

En el pròxim curs estudiaràs la divisió de polinomis.

ERV 30 al 35


–6–


7. PRODUCTES NOTABLES *Anomenem productes notables a certs productes de binomis. La memorització dels quals resulta útil per a abreviar els càlculs amb expressions algebraiques.

7.1. QUADRAT D’UNA SUMA

Es verifica

!

(a + b)2

= a2

+ 2ab + b2. Per a demostrar-ho cal només

multiplicar:

!

(a + b)2

= (a + b) " (a + b) = a2

+ ab + ba + b2

= a2

+ 2ab + b2perquè és

!

ab = ba

Es llig: "El quadrat d’una suma és igual ... al quadrat del primer sumant .... més el doble del primer pel segon ... més el quadrat del segon".

Exemple 1:

!

(x + 3)2

= x2

+ 2 " x " 3+ 32

= x2

+ 6x + 9

Exemple 2:

!

(2 + 3x)2

= 22

+ 2 " 2 " 3x + (3x)2

= 4 +12x + 9x2

7.2. QUADRAT D’UNA DIFERÈNCIA

Es verifica

!

(a " b)2

= a2" 2ab + b

2. Per a demostrar-ho basta multiplicar:

!

(a " b)2

= (a " b) # (a " b) = a2" ab " ba + b

2= a

2" 2ab + b

2 perquè és

!

ab = ba

Es llig: "El quadrat d’una diferència és igual ... al quadrat del primer sumant .... menys el doble del primer pel segon ... més el quadrat del segon."

Exemple 1:

!

(x "1)2

= x2" 2 # x #1+1

2= x

2" 2x +1

Exemple 2:

!

(x2" 3x)

2= (x

2)2" 2 # x

2# 3x + (3x)

2= x

4" 6x

3+ 9x

2

7.3. SUMA PER DIFERÈNCIA

Es verifica 22)()( bababa !=!"+ . Per a demostrar-ho basta multiplicar:

2222)()( babbaabababa !=!+!=!"+

Es llig: "La suma de dos monomis per la seua diferència és igual a la diferència dels quadrats"

Exemple 1: 42)2()2( 222!=!=!"+ xxxx

Exemple 2: 222 169)4(3)43()43( xxxx !=!=+"!

ERV 36 al 38

Interpretació gràfica del

quadrat de la suma


–7–


8. APLICACIONS DELS PRODUCTES NOTABLES

Els productes notables s’apliquen, entre altres situacions de càlcul, en la descomposició de polinomis en factors i en la simplificació de fraccions algebraiques.

Exemples:

9. EXTRACCIÓ DE FACTOR COMÚ

*Consistix a aplicar la propietat distributiva però al revés de com la utilitzem quan multipliquem, és a dir:

!

p " a + p " b + p " c +L= p " (a + b + c +L)

*El monomi " p " que s’extrau té com a coeficient el MCD dels coeficients i com a part literal, les variables

comunes elevades al menor exponent.

Exemples:

a) )(333 yxyx !=! b) )43(286 2+=+ xxxx c) )32(61812 223

+=+ xxxx

d) )13(4412 2!=! xxxx e) )1412(412 223

+!=+! xxxxxx

f) )32(396 22yxxyxyyx +=+

*L'extracció de factor comú s’empra, entre altres situacions de càlcul, en la descomposició de polinomis en factors i en la simplificació de fraccions algebraiques.


–8–


Exemples:

ERV 38 al 41

Bloc II. Àlgebra. Tema 7: Polinomis Exercicios resolts en http://www.josejaime.com/videosdematematicas

–9–


EXERCICIS

L’àlgebra. Expressions algebraiques. Monomis. Polinomis

1. (1r ESO) a) Què és l’àlgebra?. Què és l’aritmètica? Proposa un problema aritmètic i un algebraic. b) Quina és la propietat distributiva del producte respecte de la suma?. Coneixes alguna propietat més dels nombres enters? c) Quina és la diferència entre una expressió algebraica, una igualtat algebraica i una equació algebraica? Proposa exemples de cada cas.

2. (1º ESO) Escriu en llenguatge algebraic les expressions següents: a) Tenia x € i m’han donat 23 €. Quants euros tinc ara? b) El costat d’un quadrat mesura x metres. Quant mesura el perímetre? c) El costat de tres quadrats iguals mesura x metres. Quina és l’àrea dels 3 quadrats? d) El doble de x. e) El doble de x més cinc. f) El doble del resultat de sumar-li cinc a x. g) La mitat del número x. h) La mitat de x menys cinc. i) La mitat del resultat de restar-li cinc a x. j) La distància recorreguda en x hores per un camió que va a 60 km/h. k) El cost de x quilos de peres que estan a 0,80 €/kg. l) L’àrea d’un triangle de base 0,80 m’i altura x metres. m) L’edat de Pedro, tenint en compte que "x" és la del seu iaio, que tenia 60 anys quan va nàixer Pedro.

3. Escriu en llenguatge algebraic les expressions següents: a) El meu pas és de 69 cm. Quants passos donaré per a donar tres voltes a un circuit de "a" metres? b) Si fa tres hores estava en el quilòmetre 26 d’una carretera i vaig a una velocitat mitjana de x km/h En quin punt quilomètric em trobe de la mateixa carretera?

4. Si "x" és un nombre qualsevol, escriu una expressió algebraica para cada un dels enunciats següents: a) El triple de x. b) La mitat del seu anterior. c) El resultat de sumar-li tres unitats. d) La mitat d’un número tres unitats major que x. e) El triple del número que resulta de sumar a x cinc unitats. f) Un número 5 unitats major que el triple de x.

5. Anomenat x a un número, expressa en llenguatge algebraic: a) El seu doble. b) El següent del seu doble. c) El doble del seu següent. d) El triple de la seua mitat.

6. En una granja hi ha C cavalls, V vaques i G gallines. Associa cada una d’estes expressions al número de: a) Potes b) Caps c) Orelles d) Becs més ales

1ª) 2C+2V 2ª) C+V+G

3ª) 4(C+V)+2G 4ª) 3G

7. Anomenat "x" al sou mensual d’un treballador, expressa algebraicament:

a) El valor d’una paga extraordinària, sabent que equival al 80% del sou. b) La seua nòmina de desembre, mes en què percep una paga extraordinària. c) Els seus ingressos anuals, si saps que cobra dos pagues extres: a l’estiu i en Nadal.


–10–


8. Còpia i completa la taula, atenent als enunciats:

El meu salari mensual. x €

El salari que tindré quan siga especialista. Llavors cobraré tres-cents euros més.

El salari d’un company amb jornada reduïda, que és les tres quintes parts del meu.

El salari d’un cap de grup que cobra un 20% més que jo.

El salari d’un aprenent que és... (x–400) €

9. (1º ESO) Llig i completa la taula.

* El sou mensual de Pablo és de x euros. * El gerent de l’empresa guanya el doble que Pablo. * L’enginyer cap gana 400 € menys que el gerent. * El senyor López guanya un 10% menys que Pablo. * Al senyor de la neteja li falten 80 € per a guanyar la tres quartes parts del sou de Pablo.

Empleat Pablo Gerent Enginyer Sr. López Sr. Neteja

x

10. (1r ESO) Còpia i completa la taula, atenent als enunciats següents:

* Cristina té x anys. * Alberto, el seu espòs, té 3 anys més. * Javier, son pare, li doblega l’edat. * Marta, sa mare, té 5 anys menys que son pare. * Loli i Mar són les seues filles bessones. Les va tindre amb 26 anys. * Javi, el xicotet, té la mitat d’anys que les bessones.

Cristina Alberto Javier Marta Loli i Mar Javi

Edat x

11. Escriu les edats dels membres d’esta família en llenguatge algebraic:

Sara té x anys. x

Rosa (germana major) li trau 2 anys a Sara.

Ana (mare) tenia 25 anys quan Sara va nàixer.

Joaquín (pare) quadruplica l’edat de Sara.

Tenint en compte a la família, escriu una igualtat (equació) que reflectisca esta nou dada: "El pare de Sara té 5 anys més que la mare" i calcula per tanteig l’edat de Sara.

12. Escriu en una igualtat algebraica (equació) cada un d’estos enunciats: a) Si augmentes un número, x, en 15 unitats i dividixes entre dos el resultat, obtens el triple del dit número. Calcula per tanteig el valor del número "x" (has resolt l’equació per tanteig). b) Si tripliques l’edat de Jorge, x, i al resultat li sumes 5 anys, obtens l’edat de son pare, que tenia 33 anys quan va nàixer Jorge. Calcula per tanteig l’edat "x" de Jorge (has resolt l’equació per tanteig).


–11–


13. Un treballador cobra un sou base, "B", més 16 euros per cada hora extra. Aquest sou se li descompta un 18% d’IRPF. El resultat és el sou net, "S". Si "n" és el nombre d’hores extra que ha fet en un mes, quin, o quins, d’estes expressions servixen per a calcular el sou net?

a) 1816 !+= nBS b) 82,0)16( !+= nBS c) 100

)16(18 nBS

+!=

14. ¿Quina de les següents expressions representa... a) ... un nombre de tres xifres abc b) ...su següent? c) ...su doble? d) ...el doble del seu anterior?

1) )1(10100 +++ cba 2) cba 220200 ++ 3) 2220200 !++ cba 4) cba ++10100

15. En un camp de cultiu hi ha quatre estanys. Si anomenem C a la quantitat d’aigua que tindrà un estany dins de m minuts,

associa cada estany amb l’expressió que li correspon. Estany M: Conté 4 500 litres d’aigua i s’obri una aixeta que li aporta 4 litres per minut. Estany N: Conté 4500 litres d’aigua i se li connecta una bomba que extrau 4 litres per minut. Estany P: Conté 40 metres cúbics d’aigua i es connecta a una canonada que aporta 4,5 metres cúbics a l’hora. Estany Q: Conté 40 metres cúbics d’aigua i s’obri una boca de reg que extrau 4,5 metres cúbics a l’hora.

a) 60

450040000

mC

!+= b) mC 44500 != c)

60

450040000

mC

!"= d) mC !+= 44500

16. En la classe de Marta, la nota de matemàtiques es calcula atenent a tres conceptes amb diferent pes: la mitjana dels controls

(3/4), el quadern (20%) i els treballs especials (resta). a) Quin o quines d’estes fórmules servixen per a calcular la nota? Controls (a); Quadern (b); Treballs especials (c).

a) 2054

3 cbaN ++= b) cbaN 05,02,075,0 ++= c)

20

415 cbaN

++= d)

100

52075 cbaN

++=

b) Calcula la nota de Marta i de Javier, amb dos xifres decimals.

Mitjana controls Quadern Treballs especials

Marta 7,25 8 6

Javier 6,80 7 5

c) Si el sistema informàtic de secretaria només admet notes amb nombres enters, quines seran les qualificacions definitives de Marta i Javier en matemàtiques?

17. L’import brut, I , sense IVA, del rebut de la llum d’una certa companyia elèctrica es calcula segons la fórmula: PLLFI

ANTAC!"+= )(

F són els gastos fixos i lloguer d’equips de mesura (€) LAC és la lectura actual (kWh). LANT és la lectura anterior (kWh) P és el preu del kWh (€/kWh) a) Escriu la fórmula en la seua versió actualitzada, si els gastos fixos són de 8,50 € i el quilovat hora costa 0,80 €. b) ¿Quina de les següents seria la fórmula actualitzada de la factura, en el seu format final, incloent-hi el 21% d’IVA?

a) 100

2180,0)(50,8 +!"+= ANTAC

LLI b) [ ] 21,180,0)(50,8 !!"+=

ANTACLLI c) 21,180,0)(50,8 +!"+=

ANTACLLI

c) L’empleat de la companyia elèctrica anterior va llegir el mes passat, en el comptador de la vivenda de la família Herranz, 2457 kWh, i este mes, 2516 kWh. A quant ascendix la factura d’este mes?


–12–


18. Un llanterner que presta servici a domicili cobra, per acudir a un avís, una quantitat fixa de 25 €, més l’import del material utilitzat, més 15 € per cada hora de treball. I a tot això se li afig el 21% d’IVA. Escriu la fórmula per a obtindre l’import de la factura (I), en funció de les hores invertides (h) i el cost del material (M).

19. El sou mensual brut, l’IRPF i el sou net dels empleats d’una empresa es calculen amb les següents fórmules, sabent que "a" és l’antiguitat (anys) i "b" és el núm. d’hores extraordinàries: baS

B103900 ++=

BSIRPF != 15,0

BNSS != 85,0

a) Quant cobrarà este mes un treballador amb 8 anys d’antiguitat i que té acumulades 21 hores extra? b) Quant la retindran per l’IRPF?

20. Escriu els cinc primers elements de la sèrie de números el terme general dels quals és 2

13 +=n

an

21. a) Troba l’expressió algebraica que dóna les unitats del triple d’un nombre de tres xifres abc ("a" són les centenes, "b" les desenes i "c" les unitats). b) Troba l’expressió algebraica d’un número parell, d’un número imparell, de la suma de tres números parells consecutius, d’un quadrat perfecte, d’un cub perfecte. c) Doblegant un fil d’aram de 40 cm formem un rectangle. Troba l’expressió algebraica que definix l’àrea del rectangle de base "x" i calcula el seu valor per a x=4.

22. Troba les expressions algebraiques (fórmules) que donen el perímetre i l’àrea de cada figura:

a) Quadrat

b) Rectangle

c) Triangle

d) Romboide

e) Rombe

f) Trapezi

g) Polígon regular de n costats

h) circumferència i cercle

Monomis. Operacions amb monomis

23. Còpia en el teu quadern i completa:

Monomi a 53x! ba

2

5

2

Coeficient 3 4/1

Part literal 32yzx ab

Grau

24. Suma de monomis. Reduïx tot el possible:

a) 3333bbbb +++ b) xx ! c) aa +4 d) xx 38 !

e) xx 4423 +!+ f) 143522+!! xx g) 4414 !!+ xx h) 2

243 xx +!


–13–


25. Producte de monomis. Fes les multiplicacions següents:

a) )()3( xx ! b) )5()4( 2aa !" c) !

!"

#$$%

&'2

)6(2x

x d) !!"

#$$%

&'2

)3

4(

22xx e) !

"

#$%

&'( 2

2

1)5( xx

f) )5()3( xyx ! g) )4()2( 2baab !" h) !

"

#$%

&'( bab3

4)4( i) !

"

#$%

&'(!

"

#$%

&' abab

3

2

3

2 j) !!"

#$$%

&'!"

#$%

&(

2

3

3

23baab

26. Quocient de monomis. Fes les divisions següents:

a) 2

4x b) x

x

10

5 c) x

x

4

122

d) 2

3

6

x

x e) 2

3

3

6

x

x! f) 3

5

5

x

x

!

! g) 2

2

32

128

x

x!

Polinomis . Valor numèric d’un polinomi.

27. (1r ESO) Definix i proposa exemples de: a) Monomis. b) Coeficient, part literal i grau d’un monomi. c) Monomis semblants. d) Polinomis i grau d’un polinomi.

28. (1º ESO) Troba el valor numèric de les següents expressions algebraiques per als valors que s’indiquen: a) 95 !x en 2!=x b) 19

2+! xx en 3=x c) 232

23+++ xxx en 1!=x

29. a) Troba el valor numèric del polinomi 32)( 4+!!= xxxP en 0=x , en 2=x , en 1=x , en 1!=x .

b) Troba mentalment el número que anul·la el binomi 162 !x (eixe número s’anomena arrel del binomi). c) Troba mentalment els dos números que anul·len el polinomi 2

2!+ xx (eixos números s’anomenem arrels del polinomi i

en el tema posterior aprendrem a calcular-los resolent una equació) d) Troba el valor numèric del polinomi de dos variables 32 34),( yyxyxP != per a 1;2 !== yx

Operacions amb polinomis

30. Suma de polinomis. Completa:

a)

b)

c)

d)

31. Suma i resta de polinomis.

Donats els polinomis 2353)( 23+!!= xxxxP ; 342)( 23

!!+!= xxxxQ ; 535)( 3!!= xxxR , calcula:

a) )()( xQxP + b) )()( xQxP ! c) )()( xPxQ ! d) )()( xRxP + e) )()()( xRxQxP !+

32. Producte de polinomis. Fes les multiplicacions següents: a) )223(2 23

++!" xxx b) )145(3 22!!" xxx c) )35()2( 2

!"! xx d) )32()1( !"+ xx

e) )52()12( 2!"! xx f) )23()23( 2

!!"+ xxx g) )13()2( 32+!"+ xxx h) )152()32( 32

!!"++! xxxx

33. Reduïx: a) 24)2(3)13(2 +!++! xxx b) )1(2)32()1( 2

+!"+!+ xxx c) xxxx 2)23()32()3( !+"!"+!

d) )2524()52()34(3 2+!!!"+ xxxx e) 12)]1()3(3[ 2

!+!"+! xxxxx f) 12)]1()3(3[ 2!"!"+! xxxxx

34. Realitza les següents divisions de polinomis entre monomis: a) 2:)88( !x b) 5:)520( !x c) xxx :)3( 2

! d) xxx 2:)84( 23! e) 223 3:)412( xxx !


–14–


35. (1r ESO) Operacions amb polinomis. Simplifica les expressions algebraiques i indica el grau del polinomi resultant: a) xx + b) xx ! c) xx 35 ! d) )32(4 xxx !!

e) 22xx + f) 32)12(3 ++! xx g) xxxx !+! 235

22 h) 52xx !

i) 5343 xx ! j) yxx

26

3

2! k) !

"

#$%

&'+'5

131012

2xyx l) 523

22!+ xyxy

m) ( ) 23 bbba !! n) ( ) bababbab 4434 ++!! ñ) ( ) 52

2

3 232 +++!!! xyyxxyxxyx

Productes notables.

36. Calcula utilitzant les fórmules dels productes notables. Després comprova el resultat realitzant l’operació:

a) 2)3( +x b) 2)3( a+ c) 2

2

3!"

#$%

&' x d) 2)6( !a e) 2)12( +x

f) 2)35( a! g) 2

2

3

2

5!"

#$%

&' a h) )5()5( +!" xx i) )53()53( +!" xx j) )5

4

3()5

4

3( +!" xx

37. Utilitzant els productes notables, descompon en factors: a) 96

2+! xx b) 168

2+! xx c) 12

2++ xx d) 144

2++ xx e) 4

2!x f) 2

41 x! g) 494 x!

Extraure factor comú. Aplicacions dels productes notables i de traure factor comú. WIRIS

38. Extrau factor comú en cada un dels polinomis següents: a) zyx 444 ++ b) xzxyx 362 +! c) aa 3

2+ d) ba 63 ! e) zyx 642 ++ f) 32

1284 xxx +!

g) 22369 aaa ++ h) 432

52 aaa +! i) yxy 64 ! j) 12487+x k) 344

23+! xx l) 22

612 zxyy !

39. Descompon en factors el numerador i el denominador utilitzant els productes notables i extraure factor comú i després simplifica:

a) 96

9

2

2

+!

!

xx

x b) 96

155

2++

+

xx

x c) 33

33

2!

+

x

x d) xx

xx

55

12

2

2

+

++ e) xxx

xx

16122

62

23

2

+!

! f) xx

xx

55

363

2

2

+

++

40. Simplifica les fraccions de polinomis (fraccions algebraiques), si és possible:

a) 33

22

+

+

x

x b) xx

x

32+

c) x

xx 32+ d)

42

)2(

+

+!

x

xx e) 22

3

)2(6

)2()2(18

+

!"+"

xx

xxx f)

22

3

)2(6

2)2(18

+

!+

xx

x

41. Utilitzant l’assistent matemàtic WIRIS realitza els càlculs següents: a) Troba el valor numèric del polinomi 32)( 4

+!!= xxxP en 2=x . Ajuda: escriu )(xP i després )2(P

b) Daus els polinomis 2353)( 23+!!= xxxxP ; 342)( 23

!!+!= xxxxQ ; calcula: )()( xQxP + i )()( xQxP !

c) Simplifica 12)]1()3(3[ 2!"!"+! xxxxx

d) Desenrotlla 2)35( a! .

e) Factoriza 1442

++ xx . Ajuda: escriu )144( 2++ xxfactorizar

f) Simplifica la fracció algebraica 22

3

)2(6

)2()2(18

+

!"+"

xx

xxx


–15–


SOLUCIONS: 1. (Veure video) 2. (Veure video) 3. a) 3a/0,69; b) 26+3x (Veure video) 4. a) 3x; b) (x–1)/2; c) x+3; d) (x+3)/2; e) 3(x+5); f)

3x+5 (Veure video) 5. a) 2x; b) 2x+1; c) 2(x+1) d) 3(x/2) (Veure video) 6. 1-c; 2-b; 3-a; 4-d (Veure video) 7. a) 0,8x; b) 1,8x; c) 13,6x (Veure video) 8. (Veure video) 9. (Veure video) 10. (Veure video) 11. Rosa: x+2; Mare: x+25; Pare: 4x; Equació: 4x=x+30;

Edat Rosa: 10 años (Veure video)

12. a) xx

32

15=

+ ; es 3=x ; b) 3353 +=+ xx ;

anysx 19= (Veure video) 13. La b. (Veure video) 14. a-4; b-1; c-2; d-3(Veure video) 15. M-b; N-d; P-c; Q-a (Veure video) 16. a) La b ó la d; b) Marta: 7,34; Javier: 6,75 c) Marta:7;

Javier: 7 (Veure video) 17. a) 80,0)(50,8 !"+=

ANTACLLI ; b) La b; c) 67,40 €

(Veure video) 18. 25,1)1525( !++= hMI (Veure video) 19. a) 963,90 €; b) 170,10 € (Veure video) 20. 2, 7/2, 5, 13/2, 8 (Veure video) 21. a) cba 330300 ++ ; b) x2 ; 12 !x ;

42222 ++++ xxx ; 2x ; 3

x c) )20( xx !" ; 64 cm2 (Veure video)

22. a) aP 4= ; 2aA = ;b) baP 22 += ; baA != ; c)

cbaP ++= ; 2

hbA

!= ; d) cbP 22 += ; baA != ;

e) aP 4= ; 2

dDA

+= ; f) dcbBP +++= ;

2

)( abBA

!+= ; g) lnP != ; n

alA !

!=2

h) RP !2= ;

2RA != (Veure video)

23. (Veure video) 24. a) 3

4b ; b) 0; c) a5 ; d) x5 ; e) 27 !x ; f) 22!x ; g) –

3; h) 4322

!+ xx (Veure video)

25. a) 23x ; b) ) 3

20a! ; c) 33x ; d) 4

3

2x ; e) 3

2

5x! ; f)

yx2

15 ; g) 238 ba! ; h) 2

3

16ab

! ; i) 22

9

4ba ; j)

24ba! (Veure video)

26. a) x2 ; b) 2/1 ; c) x3 ; d) x

2 ; e) x2! ; f) 2

1

x

; g) 4!

(Veure video) 27. (Veure video)

28. a) –19; b) –17; c) 0 (Veure video)a) 3; –9; 0; 4; b) 8; c) 1 y –2; d) –13 (Veure video)

29. (Veure video) 30. a) 14

23!!! xxx ; b) 5295

23+!! xxx ; c)

529523

!++! xxx d) 365823

!!! xxx e) 44

23+!!! xxx (Veure video)

31. a) 446223

++! xxx ; b) 23431215 xxx !! ; c)

xx 6103+! ; d) 32

2!! xx ; e) 51024

23+!! xxx ; f)

4127323

!!! xxx ; g) 26235

+!+! xxxx ; h) 31791142

2345!!!++! xxxxx (Veure video)

32. a) 5x+6; b) 5x+1; c) 181123623

!!+! xxx ; d) 4737 !! x ; e) 182

23!+!! xxx ; f)

11242234!+!! xxx (Veure video)

33. a) 44 !x ; b) 14 !x ; c) 13 !x ; d) xx 422! ; e)

3/44 !x (Veure video) 34. a) x2 ; b) 2

x ; c) x2 ; d) x5 ; e) 22x ; f) x8 ; g)

xx +2

2 ; h) 7x ; i) 4

12x ; j) yx3

4 ; k)

xyx 1030142!! ; l) 55

2!xy ; m) 2

23 bab ! ; n)

bbab 44152+! ; ñ) 5

2

1 2++ xyyx ;(Veure video)

35. a) 962

++ xx ; b) 269 aa ++ ; c) 2

34

9xx +! ; d)

36122

+! aa ; e) 1442

++ xx ; f) 293025 aa +! ; g)

2

4

9

2

15

4

25aa +! ; h) 25

2!x ; i) 259

2!x ; j)

2516

9 2!x (Veure video)

36. a) 2)3( !x ; b) 2)4( !x ; c) 2)1( +x ; d) 2)12( +x ; e) )2)(2( +! xx ; f) )21)(21( xx +! ; g)

)32)(32( 22xx +! (Veure video)

37. a) )(4 zyx ++ ; b) )362( zyx +! ; c) )3( +aa ; d)

)2(3 ba ! ; e) )32(2 zyx ++ ; f) )321(4 2xxx +! ; g)

)1(9 aa + ; h) )52( 22aaa +! ; i) )32(2 !xy ; j)

)14(12 7+x ; k) 344

23+! xx ; l) )2(6 2

xyzy ! (Veure video)

38. a)3

3

!

+

x

x ; b) 3

5

+x ; c)

1

1

!x; d)

x

x

5

1+ ; e) 86

3

2+!

!

xx

x ;

f) x

x

5

33 + (Veure video)

39. a) 3

2 ; b) 3

5

+x; c) ;3+x d)

2

x ; e) x

xx )2)(2(3 !+ ; f)

22

3

)2(3

1)2(9

+

!+

xx

x (Veure video)

40. (Veure video)

Tema 7 Polinomis - ieslaasuncion.org · Un monomi és una expressió algebraica formada pel...

Documents

Transcript of Tema 7 Polinomis - ieslaasuncion.org · Un monomi és una expressió algebraica formada pel...