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Gestión Financiera Reyes F.F.1
TEMA 7:RENTAS CONSTANTES, ANUALES, TEMPORALES Y
PERPETUAS
1.- INTRODUCCIÓN
1.1.- CONCEPTO DE RENTA:
Una renta es un conjunto de capitales financieros convencimientos equidistantes de tiempo.
El concepto de renta exige, por tanto:
La existencia de varios capitales Que los vencimientos sean equidistantes, es decir, que los capitales venzan cada
año, cada mes, cada trimestre, cada dos años, … pero siempre con la mismaperiodicidad.
Un ejemplo de renta es un plan de pensiones. En ellos, mediante un proceso decapitalización, por medio de pagos periódicos a instituciones financieras, éstas nosentregan determinadas cantidades en el momento de la jubilación, fruto de los pagosrealizados y de los intereses generados por los mismos.
A cada uno de los capitales se le denomina término.
Al tiempo transcurrido entre dos términos consecutivos periodo.El origen de una renta es la fecha de comienzo de la misma y la duración, el intervaloentre el principio y el final de la operación financiera.
C1
0
C3 C2 Cn
1 2 3 n
n términos
Periodo
origen final
Duración
-
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Gestión Financiera Reyes F.F.2
1.2.- CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS:
1. Según la naturaleza de los capitales que la componen:a. Constantes: aquellas en las que todos los capitales tienen la misma cuantía
b. Variables: aquellas cuyos capitales son distintos unos respecto de otros. La variaciónpuede seguir un orden preestablecido o no, destacando las rentas variables enprogresión aritmética y las variables en progresión geométrica.
2. Según la duración de los periodos:a. Anuales: Los capitales vencen cada añob. Fraccionadas: los capitales vencen con periodicidad inferior al año. Ejemplo: renta
mensual, trimestral, etc.
c. Con periodicidad superior al año: el periodo que transcurre entre vencimiento yvencimiento es mayor que año. Ejemplo: renta bianual, trianual, etc.
3. Por el vencimiento de los términos: a. Pospagables: los términos vencen al final de cada periodo.b. Prepagables: los términos vencen al principio de cada periodo.
4. Por el comienzo y finalización de la renta:a. Inmediatas: El primer periodo de la renta comienza en el momento de constitución
de la misma, y el último término se encuentra en el último periodo de la renta.
b. Diferidas: el primer término comienza cierto tiempo después del momento deconstitución de la renta.
c. Anticipadas: el último periodo está cierto tiempo después del momento devencimiento del último término de la renta.
5. Por la duración de la renta:a. Temporales: tienen un número finito de términos.b. Perpetuas: constan de infinitos términos.
Por la naturalezadel término
Por la duraciónde los periodos
Por elvencimiento delos términos
Por el comienzoy final de la
renta
Por la duraciónde la renta
Constantes
Variables
Anuales
Fraccionadas
Con periodicidad
superior al año
Pospagables
Prepagables
Inmediatas
Diferidas
Anticipadas
Temporales
Perpetuas
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2.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES INMEDIATAS
2.1.- POSPAGABLES:
Estamos hablando de rentas:1. ANUALES: cuyos términos vencen cada año.2. CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía.3. TEMPORALES: Tienen un número finito de términos.4. INMEDIATA POSTAPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al finalizar el
periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento 1
Para calcular los valores actuales y finales de una renta de este tipo, vamos a tener encuenta el caso de una renta cuyo término vale 1€.
2.1.1- VALOR ACTUAL
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos lostérminos de esta renta
unitaria y se le llama:
1
0 1 2 3 n
1
1 1
Pospagable
C1
0
C3 C2 Cn
1 2 3 n
-
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Gestión Financiera Reyes F.F.4
Si observas la última expresión, en el denominador queda: que también podemos
expresar de la siguiente forma: , de forma que podamos simplificar con el
numerador:
Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valoractual de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y pospagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.
2.1.2.- VALOR FINAL
En el numerador hemos
sacado factor común a
En el denominador hemos
hecho la diferencia defracciones
Valor actual de una renta temporal,
constante, unitaria y pospagable
El valor final será la suma
de los valorescapitalizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama:
1 1
1
0 1 2 3 n
1 1
-
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Gestión Financiera Reyes F.F.5
Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valorfinal de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y pospagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.
2.1.3.- RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
0 1 2 n
1 1 1
Ejercicios1 a 13
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2.2.- PREPAGABLES:
1. ANUALES: cuyos términos vencen cada año.2. CONSTANTES: la cuantía de los términos no varía.3.
TEMPORALES: Tienen un número finito de términos.4. INMEDIATA PREPAGABLE: porque el primer pago tiene lugar al comienzo del
primer periodo en que se constituye la renta, es decir, en el momento 0
2.2.1.- VALOR ACTUAL
Seguiremos tomando como ejemplo una renta constante unitaria.
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos lostérminos de esta renta
unitaria y se le llama:
0 1 2 n-1 n
1
1
1
1
1
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
prepagable
C1
0
C3 C2 Cn
1 2 n-1 n
-
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Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valoractual de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor actual de una renta temporal, constante y prepagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.
RELACIÓN ENTRE EL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA POSPAGABLE Y UNA PREPAGABLE
Como puedes observar, entre el valor actual de una renta unitaria constante anualpospagable y el de una prepagable:
Existe la siguiente relación:
De forma que bien podemos decir:
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2.2.2.- VALOR FINAL
Cuando la renta no es unitaria sino que tiene un término constante de cuantía C, el valorfinal de la misma, sería:
Que nos permitirá calcular el valor final de una renta temporal, constante y prepagable de“n” términos de “C” unidades monetarias cada uno, valorados al tanto “i” de interéscompuesto.
Suma de los términos de serie en progresión geométrica decreciente.Para sumar los términos de esta serie usamos la fórmula:
donde:
El valor final será la suma
de los valores
capitalizados de todos lostérminos de esta renta
unitaria y se le llama:
1
1
0 1 2n-1 n
1
1
-
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RELACIÓN ENTRE EL VALOR FINAL DE UNA RENTA POSPAGABLE YUNA PREPAGABLE
Como puedes observar, entre el valor final de una renta unitaria constante anual pospagable y el de una prepagable:
Existe la siguiente relación:
De forma que bien podemos decir:
2.2.3.- RELACIÓN ENTRE VALOR ACTUAL Y FINAL:
Es decir que:
0 1 2 n
1 1 1
Ejercicios14 a 17
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RELACIONES ENTRE LOS VALORES ACTUALES Y FINALES DE RENTAS
UNITARIAS, CONSTANTES, TEMPORALES, INMEDIATAS, POSPAGABLES YPREPAGABLES:
Como se puede observar, si se conoce el valor actual de una renta unitaria, constante,temporal, inmediata y posgable:
Se puede conocer el valor actual y final de cualquier otra renta:
Valor actual de una renta constante, temporal,inmediata y pospagable, cuyo término vale C
Valor final de la renta anterior
Valor actual de una renta constante, temporal,inmediata y prepagable, cuyo término vale C
Valor final de la renta anterior
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3.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES DIFERIDAS
Son rentas diferidas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos “d” anteriores al origen. A esos periodos se les denomina “diferimiento” y SÓLO afecta a losvalores actuales
3.1.- POSPAGABLES:
3.1.1.- VALOR ACTUAL
Para calcularlo sólo hemos de actualizar todos los términos al momento cero. Ese valor seráel mismo de una renta inmediata pospagable pero actualizada durante los “d” periodos deldiferimiento. Tomemos como ejemplo una renta unitaria:
GRAFICAMENTE:
ANALÍTICAMENTE:
d
C2 C1 Cn
d+1 d+2 d+n1 30……
Momento de valoración.Valor actual:
Momento de valoración.
Valor final:
Diferimiento
Esto es
d
11 1
d+1 d+2 d+n1 30……
Diferimiento
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Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
3.1.2.- VALOR FINAL
El valor final de una renta diferida es el mismo que el de una renta inmediata pues el
diferimiento no le afecta, por tanto:
3.2.- PREPAGABLES:
3.2.1.- VALOR ACTUAL
Siguiendo con el ejemplo de una renta unitaria:
Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
Diferimiento
d
11 1
d+1 d+n-1 d+n1 30……
Esto es
Sacamos factorcomún a:
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3.2.2.- VALOR FINAL
Al igual que en el caso de las pospagables, el diferimiento no afecta al valor final, que seráel mismo que en el caso de las rentas inmediatas, es decir:
RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE YPREPAGABLE:
Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes, es decir:
Valor actual de una renta constante, temporal,
pospagable y diferida, cuyo término vale C
El valor final de la renta diferida coincide con elde una inmediata
Valor actual de una renta constante, temporal,prepagable y diferida, cuyo término vale C
El valor final de la renta diferida coincide con elde una inmediata
4.- RENTAS ANUALES TEMPORALES CONSTANTES ANTICIPADAS
Son rentas anticipadas aquellas cuyo momento de valoración es una serie de periodos “h”posteriores al final de la renta. A esos periodos se les denomina “anticipación” y SÓLOafecta a los valores finales
4.1.- POSPAGABLES:
Momento de valoración.Valor actual:
Momento de valoración.Valor final:
Periodo de antici ación
0
C2 C1 Cn
1 2 n n+2 n+hn+1….
Ejercicios
18 a 23
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4.1.1.- VALOR ACTUALEl valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el
periodo de anticipación no le afecta.
4.1.2.- VALOR FINAL
Tal y como venimos haciendo hasta ahora, tomemos como ejemplo el caso de una rentaunitaria:
Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale “C” u.m.:
4.2.- PREPAGABLES:
4.2.1.- VALOR ACTUAL
El valor actual de una renta de este tipo coincide con el de una renta inmediata, pues el
periodo de anticipación no le afecta.
Periodo de antici ación
0
11 1
1 2 n n+2 n+hn+1 ….
Esto es
Sacamos factorcomún a:
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4.2.2.- VALOR FINAL
Cuando el término de la renta no es unitario, sino que vale “C” u.m.:
RELACIÓN ENTRE VALORES ACTUAL Y FINAL, POSPAGABLE YPREPAGABLE:
Las relaciones son las mismas que en las rentas constantes, es decir:
El valor actual de una renta constante,anticipada coincide con el de una inmediata.
Valor final de una renta constante, temporal,pospagable y anticipada, cuyo término vale C
El valor actual de una renta constante,
anticipada coincide con el de una inmediata.
Valor final de una renta constante, temporal,prepagable y anticipada, cuyo término vale C
…. n
Periodo de antici ación
n+2 n+hn+10
11 1
1 2 n-1
1
Esto es
Sacamos factorcomún a:
Ejercicio24
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5.- RENTAS ANUALES PERPETUAS
Son rentas que tienen un número infinito de términos.
En este tipo de rentas, el problema es calcular el valor final, ya que NUNCA se llega a él, esdecir, no tienen valor final.
5.1.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS EINMEDIATAS
5.1.1.- VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES:
Seguimos tomando como ejemplo el caso de una renta unitaria
Como se trata de una renta perpetua , luego
Por tanto:
5.1.2.- VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES:
……
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos los
términos de esta rentaunitaria y se le llama:
1
0 1 2 3
1 1
1 1 1
El valor actual será la
suma de los valores
actualizados de todos los
términos de esta renta
unitaria y se le llama: 1
01
2………...
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Como se trata de una renta perpetua , luego
Por tanto:
5.2.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS
5.2.1.- VALOR ACTUAL DE LAS POSPAGABLES:
Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta queuna renta diferida se valora “d” periodos antes de su origen.
Así pues si el valor actual de una renta diferida, temporal, constante, anual y pospagableera:
En caso de que la renta fuera perpetua:
Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
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5.2.2.- VALOR ACTUAL DE LAS PREPAGABLES:
Procederemos igual que se ha hecho con las rentas inmediatas pero, teniendo en cuenta queuna renta diferida se valora “d” periodos antes de su origen.
Así pues si el valor actual de una renta diferida, anual, constante, prepagable y temporalera:
En caso de que la renta fuera perpetua:
Cuando los términos de la renta no son unitarios sino que valen “C” unidades monetarias:
Ejercicios
25 y 26
-
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1. INTRODUCCIÓN1.1.-Concepto de renta1.2.-Clasificación de las rentas.
2.
RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, INMEDIATAS.
2.1.- POSPAGABLES1.1.1.- Valor actual1.1.2.- Valor final1.1.3.- Relación entre el valor actual y final
2.2.- PREPAGABLES2.2.1.- Valor actual2.2.2.- Valor final2.2.3.- Relación entre el valor actual y final.
3. RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, DIFERIDAS.3.1.- POSPAGABLES
3.1.1.- Valor actual3.1.2.- Valor final
3.2.- PREPAGABLES3.2.1.- Valor actual
3.2.2.- Valor final
4. RENTAS ANUALES, TEMPORALES, CONSTANTES, ANTICIPADAS.4.1.- POSPAGABLES
4.1.1.- Valor actual4.1.2.- Valor final
4.2.- PREPAGABLES4.2.1.- Valor actual4.2.2.- Valor final
5. RENTAS ANUALES, PERPETUAS5.1.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS E INMEDIATAS
5.1.1.- Valor actual de las pospagables5.1.2.-Valor actual de las prepagables
5.2.- RENTAS ANUALES, CONSTANTES, PERPETUAS Y DIFERIDAS5.2.1.-Valor actual de las pospagables
5.2.2.-Valor actual de las prepagables.
BIBLIOGRAFÍA:
“Gestión Financiera” Edit Thomson Paraninfo
“Gestión Financiera” Edit. McGrawHill
“Matematicas Financieras” Teoría y 950 ejercicios de Concepción Delgado y Juan Palomero.