TEma 7 Sistemas de ecuaciones simultáneas

UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA ECONOMETRIA I

LIC. FERNANDO ESCOBAR

SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

1. Introducción

2. El problema de identificación

3. Estimación de modelos de ecuaciones simultáneas

1. Introducción

En la primera parte del curso vimos la estimación de modelos uniecuacionales. Veamos

algunos ejemplos un tanto distintos, modelos denominados de ecuaciones simultáneas.

1. Consideremos la siguiente función de consumo y la identidad de cuentas nacionales

ttt YC (1)

ttt ZCY (2)

Las ecuaciones (1) y (2) es el sistema de ecuaciones en su forma estructural, donde:

tC Es el gasto de consumo agregado

tY Es el ingreso nacional

tZ Gasto que no representa consumo (inversión, gasto de gobierno, etc.)

t Perturbación estocástica

En este sistema, tC e tY representan variables endógenas y tZ es la variable exógena

del modelo. Los parámetros de las ecuaciones son denominados parámetros

estructurales.

Hagamos los siguientes supuestos:

a) ),0( 2 INt

b) tZ y t son independientes

Reemplazando la ecuación (2) en (1), obtenemos:

ttt

tttt

ZC

CC

)1(

)(

111

t

tt ZC (3)



y

ttt ZCY

11

1

1

t

tt ZY (4)

A las ecuaciones (3) y (4) se les denomina ecuaciones en su forma reducida. Las

variables endógenas se expresan en función de variables predeterminadas del modelo

(exógenas o endógenas rezagadas) y de la perturbación estocástica del modelo.

Sea

1

t

tv

Si los errores en el modelo original no están correlacionados y son homoscedásticos,

INv

2

2

)1(,0

De la ecuación (4), se puede demostrar que:

)1(),(

2

ttYCov

Habíamos vistos que bajo los supuestos del modelo lineal clásico, para obtener

estimadores con propiedades deseables (insesgados y consistentes) los errores no

deberían están correlacionados con ninguna de las variables explicativas del modelo.

Por tanto, dado que el ingreso está correlacionado con la perturbación estocástica,

concluimos que si aplicamos MCO a la ecuación (1) (es decir, a la función de

consumo), obtendríamos estimadores sesgados e inconsistentes.

2. Consideremos el caso en que ambas ecuaciones son estocásticas:

ttt yy 1112121 (5)

ttt yy 2212121 (6)

En lo que sigue, se utilizará la letra y para denotar variables endógenas y la x para las

variables predeterminadas (las variables no están en desviaciones a la media).

Imponiendo las restricciones 012 y 021 , denotando 1y como el precio e 2y

como la cantidad, podríamos interpretar el sistema como uno de una recta de demanda y

una recta de oferta, respectivamente. A fin de que el intercepto de la demanda sea

positivo, desearíamos imponer la restricción 011

Si 021 tt , el modelo podría ser representado como en la figura 1 donde *1y e

*2y representan el precio y la cantidad de equilibrio, respectivamente.



Figura 1 (Tarea Dibujar el sistema)

Errores aleatorios, distintos de cero harán desplazarse a la curva de demanda y oferta

generando una nube de puntos ),( 21 yy alrededor del equilibrio ( E )

La pregunta que surge es ¿cómo estimar 2 funciones (oferta y demanda) por separado

conociendo sólo una nube de puntos ( 21 , yy )?. Dicho problema se llama el problema de

identificación.

Éste se refiere a si una ecuación específica de un modelo de ecuaciones simultáneas

puede ser estimada. En particular, si los parámetros estructurales de una de las

ecuaciones que constituye el sistema de ecuaciones simultáneas pueden ser estimados.

Para investigar el problema de identificación en las ecuaciones anteriores, tenemos que

mirar la forma reducida del modelo (expresar las variables endógenas del modelo en

términos de los errores del modelo y las variables predeterminadas).

tttt yy 111221121121 )(

(reemplazando la ecuación (6) en (5))

))(1

12121211211

2112

1 ttty

Y por lo tanto,

))(1

12121211121

2112

2 ttty

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:

tt vy 111 (7)

tt vy 222 (8)

Donde

211211

1

211121

2

tt

tv2121

1

2112

2121

2

1

tt

tv



Si imponemos:

2221

1211

2

1

)'(

0

0)(

tt

t

t

t

E

EE

Entonces:

0)( tvE

2

12211222121121

2121

2

12212211

2

212

22

2

121222

2

12112

11

)1()(),(

2)()var(

2)()var(

tttt

tt

tt

vvEvvCov

vEv

vEv

Se sigue de (7) y (8) que:

),cov(),(

),var()var()var()var()()(

212º1

22112211

vvyyCov

vyvyyEyE

(9)

Utilizando datos muestrales de 1y y 2y podemos estimar los 5 parámetros de la forma

reducida ( ),cov(),var(),var(,, 212121 vvvv ). Sin embargo, éstos son funciones de los

7 parámetros estructurales del modelo: 12221121112112 ,,,,,, . Por lo tanto, los

parámetros estructurales no son identificables.

Hay 3 vías que básicamente pueden ayudar a identificar una o ambas ecuaciones del

modelo: (1) restricciones en los parámetros estructurales s' y s' , (2) restricciones en

la matriz y (3) reespecificaciones del modelo que incorporen variables adicionales.

Veamos un ejemplo del caso (1) Supongamos en particular, que 021 . Esto reduce el

número de parámetros estructurales a 6, pero el número de parámetros de forma

reducida sigue siendo 5. Aparentemente, los parámetros estructurales siguen no

identificados. Pero si sustituimos la restricción en 1 y 2 obtenemos:



1

2

21

1121

2

11

1

Lo anterior implica que 21 puede ser estimado como 1

2

21ˆ

y

y (¿Por qué? R. Las

estimaciones MCO de 1 y 2 en (7) y (8) son las medias muestrales de las variables

dependientes). Esto permite identificar la ecuación de oferta pero la ecuación de

demanda sigue sin ser identificada.

Supongamos ahora una restricción del tipo (2), la cual establece que

0)var( 111 t

Esto implica que 012 puesto que t1 es no estocástico.

Ahora las ecuaciones se reducen a:

2

2212

21

2

22

2

2

22

2

12

1

),cov(

)var(

)var(

yy

y

y

Es decir, 3 ecuaciones con 3 incógnitas, de modo que:

),cov(

)var(

)var(

),cov(

)var(

)var(

21

1

2

21

2

1

12yy

y

y

yy

y

y

Ello implica que la pendiente de la función de demanda está identificada.

Tomando la esperanza en (5) da:

212111

11 también es identificable

Lo anterior puede ser graficado como:



Movimientos de la curva de oferta permiten identificar la curva de demanda

Consideremos reespecificar el modelo incluyendo variables exógenas (tercera

forma).

t

t

xxxyy

xxyy

24243231212121

12121112121

Con 012 y 021

La forma reducida del modelo es:

(10)

2

1

4

3

2

1

24231221211121

2412231212211211

2

1

(

)(1

v

v

x

x

x

x

y

y

Donde 21121 y las sv' son aquellas dadas en las ecuaciones (7) y (8)

Las ecuaciones en (10) pueden ser reescritas como:

2

1

4

3

2

1

24232221

41312111

2

1 1

v

v

x

x

x

x

y

y (11)

Ello implica que 24

14

23

13

12

12

22

21 ,

Una vez que encontramos los s' , los s' pueden ser encontrados de 11 y 21 .

Vemos que hay 8 parámetros de forma reducida pero sólo 7 parámetros estructurales.

Ello proviene del hecho que existen dos estimadores posibles para 12 . A priori, no hay

razón por la cual estas estimaciones sean iguales (el sistema está sobreidentificado).



2. Problema de identificación

Asumamos un modelo lineal que contiene G ecuaciones, cada una con t observaciones.

La avai ecuación se puede escribir como:

TtGi

XXYY itKTiKtitGtiGiti

...2,1...2,1

....... 11

(13)

Las variables itY son las variables endógenas en t y las itX indican variables

predeterminadas (corrientes o en rezagos) que puede incluir rezagos de las sY ' .

El modelo anterior puede ser escrito matricialmente como:

Tt

xy ttt

,....2,1

donde de dimensión GxG , es la matriz de los coeficientes de las variables

endógenas, de dimensión GxK es la matriz de coeficientes de las variables

predeterminadas. tt y, y tx son vectores columnas de dimensiones 1Gx , 1Gx y 1Kx

respectivamente. Esto es:

GGGG

G

G

...

...

...

21

22221

11211

GKGG

K

K

...

...

...

21

22221

11211

Gt

t

t

Kt

t

t

t

Gt

t

t

t

X

X

X

x

Y

Y

Y

y

.........

2

1

2

1

2

1

Asumimos que es invertible, de otra forma existirían ecuaciones en el sistema que

serían meras combinaciones lineales de otras ecuaciones.

Por lo tanto, si 1 existe, el modelo en forma reducida es:



Ttxy ttt ,...2,1 (14)

Con tt 11

La matriz es GxK .

El problema de identificación surge porque con una muestra de tx y ty ),...2,1( Tt a

lo más podemos conocer los elementos de y los elementos de la matriz varianza-

covarianza del vector . A fin de identificar los parámetros estructurales en y es

necesario incorporar información adicional al modelo. Tal información usualmente

toma la forma de restricciones en los elementos de y y, a veces, en los elementos

de (matriz de varianzas-covarianzas de los errores estructurales del modelo)

Restricciones de los coeficientes estructurales

El modelo estructural en (13) puede ser escrito como:

t

t

t

tx

yAz

(15)

con A , matriz de todos los coeficientes estructurales,

t

t

tx

yz vector de

observaciones de todas las variables en t .

Consideremos la identificación de la primera ecuación. El procedimiento de

identificación es equivalente para el resto de las ecuaciones.

Sea 1 la primera fila de A . Entonces la primera ecuación estructural puede ser escrita

como:

ttz 11

La mayoría de las restricciones son de exclusión. Por ejemplo la variable tY3 no aparece

en la primera ecuación. Por lo tanto, 013 Esta restricción se puede escribir como:

0

0

0

0

0

1

0

0

...... 111131211

K



Por ejemplo, si además 1211 , tenemos que

0

0

0

0

0

0

1

1

...... 111131211

K

Si estas son las únicas restricciones a priori sobre 1 , éstas pueden ser resumidas en:

01 (16)

Con

00

......

00

01

10

10

En este caso, es de dimensión 2)( xKG .

Además de las restricciones en (16), existen relaciones entre los coeficientes

estructurales y aquellos de la forma reducida:

0

0AW

con:

A y

IW

Por lo tanto, las restricciones sobre los coeficientes estructurales de la primera ecuación

son:

01 W (17)

combinando las dos restricciones anteriores:

01 W (18)



Si los elementos de son conocidos, el conjunto de restricciones es un conjunto de

ecuaciones de RK ecuaciones en KG incógnitas.

A fin de identificar la primera ecuación, el rango de W debe ser 1 KG . De

otra forma, 001

1

W ),( W . En este caso, existirían múltiples soluciones

para 1 que pasan por el origen 0 ( es decir, 0 es solución de (18))

Si imponemos 111 (normalización) determinamos 1 de forma única.

Por lo tanto, tenemos la siguiente condición de rango

1 KGWrango (19)

Es una condición necesaria y suficiente para identificar la primera ecuación. (en general,

para la ecuación i-ava debe cumplirse la condición de rango anterior)

En la práctica la condición de rango es difícil de comprobar porque requiere construir

.

Por lo tanto, uno primero chequea condiciones necesarias para la identificación. Dado

que W tiene RK , una condición necesaria para que se dé es que:

1

1

GR

KGRK (20)

es la condición de orden.

Esta establece que el número de restricciones a priori no debe ser inferior al número de

ecuaciones en el modelo menos 1. Si hay sólo restricciones de exclusión, la condición

de orden es que el número de variables excluidas de la ecuación debe ser al menos tan

grande como el número de ecuaciones en el modelo menos 1.

Finalmente, podemos expresar R como:

kKgGR

Entonces la condición, 1GR queda como:

1

1

gkK

GkKgG

kKgGR



El número de variables predeterminadas excluidas de la ecuación debe ser al menos tan

grande como el número de variables endógenas incluidas menos 1.

Si 1GR , la primera ecuación está exactamente identificada.

Si 1GR se dice que la ecuación está sobreidentificada (esto es, hay más

restricciones que las necesarias para la identificación).

La condición de rango se puede reescribir como:

11 GArangoKGWrango (21)

la forma 1 GArango solo involucra los coeficientes estructurales.

Ejemplo:

Supongamos un sistema de 2 ecuaciones:

ttettt

ttttt

XXYY

XXYY

222121222121

1212111212111

Supongamos que imponemos las restricciones:

00 2112 (restricciones de exclusión)

Para la primera ecuación:

22212221

12111211

1

0

0

0

A

1121)(0

2222

12

GArangoA

Si 022 . Por lo tanto, la primera ecuación está identificada.

Para la segunda ecuación,

0

1

0

0



1121)(0

11

GArangoA

. Si 011 también está identificada.



3. Estimación de ecuaciones simultáneas

Mínimos cuadrados indirectos

Este método es factible para una ecuación que está exactamente identificada. El primer

paso consiste en estimar los coeficientes del modelo reducido por MCO ecuación por

ecuación. Luego obtenemos los parámetros del modelo estructural de relaciones

algebraicas entre estos y los del modelo reducido.

El modelo estructural en t puede ser escrito como:

Tt

xy ttt

,....2,1

(22)

Con

Kt

t

t

t

Gt

t

t

t

X

X

X

x

Y

Y

Y

y......

2

1

2

1

Sea:

'

T

'

2

'

1

'

T

'

2

'

1

x

...

x

x

x

y

...

y

y

y

T observaciones

(Por ejemplo 1G2111

'

1 Y...YYy , 1K21111 X...XX'x )

Dado T observaciones, el modelo estructural puede ser escrito como:

'' xy (23)

GTTT

G

G

...

............

...

...

21

22212

12111

El modelo en forma reducida es:



1

1

)'(

)'('

'

v

vxy

Entonces, la estimación MCO de la forma reducida es:

yxxx ')'('ˆ 1

Supongamos que estamos interesados en estimar la i-ava ecuación:

i1111i xyY

La cual puede ser reescrita como:

i

1

111i

1

xyY

o

i

1

1

2121i

0

0

1

xxyyY

donde 2y y 2x son matrices de gG y kK variables endógenas y predeterminadas

respectivamente, excluidas de la ecuación:

Sabemos además que:

00

1

'

'''

'

1

1

Sabemos que yxxx ')'(ˆ 1 Por lo tanto,



0

'ˆ

0

ˆ

1

y'x)x'x( 1

1

1

o

0

'ˆ

0

ˆ

1

yyY'x)x'x( 1

121i

1

entonces:

0

ˆˆxy)x'x(Y'x)x'x(

'

1

11

1

i

1

Sea:

0

ˆ)x'x(ˆxyY'x

'

1

11i

Entonces obtenemos:

i2ILS,112ILS,112

i1ILS,111ILS,111

Y'xˆ)x'x(ˆ)y'x(

Y'xˆ)x'x(ˆ)y'x(

Este es un sistema de K ecuaciones con kg 1 incógnitas. Dado que para tener

identificación de la ecuación bajo consideración requerimos 1 gkK , tenemos el

mismo número de ecuaciones que de incógnitas. En consecuencia, existe una solución

única para y .

Notemos que el método anterior puede interpretarse como un método de variables

instrumentales. La ecuación estructural bajo consideración es:

i1111i xyY

Sabemos que 1y está correlacionado con i , por lo que MCO es inconsistente.

Dado que 2x no está correlacionada con i pero sí está correlacionada con 1y (ver

sistema en la forma reducida). Podemos usar 21 xx como instrumentos de 11 yx



i

1

2

1

11

1

2

IV,1

IV,1Y

'x

'xxy

'x

'x

ˆ

ˆ

que es idéntica a la solución anterior.

Mínimos cuadrado en dos etapas

En la práctica no es común encontrar ecuaciones que estén exactamente identificadas.

Mínimos cuadrados en dos etapas es un método de estimación ampliamente usado que

sirve para ecuaciones que están exactamente identificadas o sobreidentificadas.

Consideremos la ecuación:

i1111T1 xyY

Sabemos que la condición necesaria para identificar es que 1 gkK . MCO

aplicado a la ecuación anterior da estimadores inconsistentes. MC2E reemplaza 1y por

1y

Donde este último es computado como:

1

1

1 ')'(ˆ yxxxxy

Es decir, se corre una regresión de cada variable en 1y en todas las variables

predeterminadas del modelo.

En el segundo paso, corremos la regresión de TY1 en 1y y 1x lo que da:

T11

T11

E2MC,1

E2MC,1

1111

1111

Y'x

Y'y

ˆ

ˆ

x'xy'x

xyyy

Se puede demostrar que el estimador es consistente.

En este caso, el estimador de Mínimos Cuadrados en dos etapas, también puede ser

interpretado como un método de variables instrumentales donde la matriz de

instrumentos para 11 xy es 11ˆ xy

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