TEMA 7: TENSIONES

ANTONIO DELGADO TRUJILLOENRIQUE DE JUSTO MOSCARDÓMARTA MOLINA HUELVAANTONIA FERNÁNDEZ SERRANOMARÍA CONCEPCIÓN BASCÓN HURTADO

Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería de Terreno. E. T. S. de Arquitectura. Universidad de Sevilla.

ESTRUCTURAS 1

[0] OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

[1] DEFINICIONES [1.1]Viga, Rebanada y Elemento Diferencial [1.2]Esfuerzo y Tensión [1.3]Parámetros que intervienen en el cálculo de tensiones [1.4]Ejemplos

[2] DISTRIBUCIÓN [2.1]Tensiones Normales - Tensiones Tangenciales [2.2]Distribución de tensiones en la rebanada

[3] AXIL [3.1]Tensiones debidas al axil

[4] CORTANTE [4.1]Tensiones debidas al cortante

[5] FLECTOR [5.1]Tensiones debidas al flector

[6] FLEXIÓN COMPUESTA [6.1]Definición: N+M

[7] FLEXIÓN ESVIADA [7.1]Definición: My+Mz

[8] FLEXIÓN COMPUESTA ESVIADA [8.1]Definición: N+My+Mz

[9] RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES [9.1]Axil [9.2]Flector

[10] CASO DE FLEXIÓN COMPUESTA [10.1]Ejemplo

ÍNDICE1

• Dibujar la distribución de tensiones en una sección sometida a tracción o compresión simple, indicando su valor.

• Dibujar la distribución de tensiones normales y tangenciales en una sección sometida a flexión simple, indicando sus valores máximos.

• Dibujar la distribución de tensiones en secciones sometidas a flexión compuesta y flexión esviada y flexión compuesta esviada, indicando sus valores máximos.

• Elegir las secciones más adecuadas para una barra en función de la solicitación que recibe.

0_OBJETIVOS DE APRENDIZAJE2

[1.1] VIGA, REBANADA Y ELEMENTO DIFERENCIAL:

VIGA

REBANADA

ELEMENTO DIFERENCIAL

P

P

31_DEFINICIONES

[1.1] VIGA, REBANADA Y ELEMENTO DIFERENCIAL:

1_DEFINICIONES

VIGA

REBANADA

ELEMENTO DIFERENCIAL

NESFUERZO

σ

SOBRE LA REBANADA:

TENSIONES

SOBRE EL ELEMENTO DIFERENCIAL:

FUERZAS

SOBRE LA VIGA:

N σ

[1.2] ESFUERZO Y TENSIÓN:

LA TENSIÓN ES LA FUERZA QUE ACTÚA SOBRE CADA ELEMENTO DIFERENCIAL DE

LA BARRA COMO CONSECUENCIA DE LA ACCIÓN DE LAS FUERZAS EXTERIORES.

SU UNIDAD DE MEDIDA SEGÚN EL S.I. ES [ N/mm²]

P

σ

ESFUERZO TENSIÓN

FUERZATENSIÓN

PP

P

P

P

EL ESFUERZO ES LA RESULTANTE DE LAS TENSIONES SOBRE LA REBANADA.SE MIDE EN [kN] - AXIL Y CORTANTE- O EN [kN·M] - FLECTOR

4

[1.3] PARÁMETROS QUE INTERVIENEN EN EL CÁLCULO DE TENSIONES

1_DEFINICIONES5

• Área de la sección transversal A

Las tensiones que aparecen en vigas solicitadas a esfuerzo axil dependen del área de la sección transversal de la

barra.

Las tensiones serán menores cuanto mayor sea la sección transversal.

Por ejemplo, en una barra de sección rectangular de ancho b y canto h, el área de la sección transversal será 2A = b·h (en mm ).

• Módulo resistente W

Las tensiones máximas que aparecen en vigas solicitadas a flector dependen del Módulo Resistente de la sección.1 El valor del Módulo Resistente W en secciones simétricas es igual al momento de inercia de la sección dividido

3por la mitad del canto W = I/(h/2). Se mide en mm .

Las tensiones serán menores cuanto mayor sea el módulo resistente.

El Módulo Resistente, al igual que el momento de Inercia, depende fundamentalmente del canto h de la sección.

• Área del alma Aa

En secciones en doble T, las tensiones tangenciales debidas al cortante dependen del área del alma de la sección.

•

1NOTA: EN SECCIONES NO SIMÉTRICAS (EJ: SECCIÓN EN T), EL MÓDULO RESISTENTE ES IGUAL A LA INERCIA DIVIDIDA POR LA DISTANCIA DE LA FIBRA DE MÁXIMA TENSIÓN AL

CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SECCIÓN.

Elección del eje de Inercia:

Tanto la Inercia como el Módulo Resistente de la sección son parámetros que implican distancias respecto a un eje.

Por tanto, dependen del eje de cálculo. Hay dos posibilidades:

• Inercia y módulo resistente respecto al eje y (Iy,Wy).

• Inercia y módulo resistente respecto al eje z (Iz,Wz).

¿Qué eje de Inercia debemos tomar? El mismo eje respecto al que actúe el momento flector.

En el caso de vigas, lo habitual es que la flexión se produzca respecto del eje Y (My) de la sección, por tanto,

tomaremos Iy y Wy.

1_DEFINICIONES6

REBANADA

eje Y

b

h

SECCIÓN

eje Y

[1.4] EJEMPLOS

• SECCIÓN RECTANGULAR

Área de la sección transversal A = b·h

Módulo resistente respecto al eje y → Wy = Iy/(h/2)3 2Iy = b·h /12 → Wy = b·h /6

eje Y

eje Z

eje Y

My

1_DEFINICIONES7

[1.4] EJEMPLOS

• SECCIÓN EN DOBLE T

SECCIÓN

h

b

eje y

eje y

Área del alma

Cálculo de parámetros

El cálculo a mano del Área, Momento de Inercia y Módulo

Resistente de la sección es complejo en secciones en doble T

(IPE, HEB...), debido a la geometría de la sección.

No obstante, los valores de A, A , I y W pueden consultarse alma

en los catálogos de perfiles editados por los fabricantes.

A Iy Wel.y Wpl.y iy Avz Iz Wel.z Wpl.z iz

mm2

mm4 mm3 mm3 mm mm2 mm4 mm3 mm3 mm

x102 x104 x103 x103 x10 x102 x104 x103 x103 x10

IPE 80* 7.64 80.14 20.03 23.22 3.24 3.58 8.49 3.69 5.82 1.05

IPE 100* 10.3 171 34.2 39.41 4.07 5.08 15.92 5.79 9.15 1.24

Perfiles I de alas paralelas (Perfil europeo) IPE

Fuente: Arcelor Commercial

Propiedades del perfil / Section properties

eje fuerte y-y eje débil z-zDenominac.

[2.1] TENSIONES NORMALES- TENSIONES TANGENCIALES:

2_DISTRIBUCIÓN

VIGA

REBANADA N

[2.2] DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN LA SECCIÓN:

DE FORMA GENERAL LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN LA SECCIÓN PUEDE SER CONSTANTE, LINEAL O PARABÓLICA.

AXIL:

DISTRIBUCIÓN CONSTANTE

MOMENTO FLECTOR:

DISTRIBUCIÓN LINEAL

MF

CORTANTE:

DISTRIBUCIÓN PARABÓLICA

EN EL CASO ANTERIOR LA TENSIÓN ES NORMAL A LA SECCIÓN DE LA BARRA.NO OBSTANTE, LA TENSIÓN PUEDE SER TAMBIÉN TANGENTE ALA SECCIÓN.

VIGA

REBANADA

σ

TENSIÓN TANGENCIAL

TENSIÓN NORMALσ

M

P

P

P

ELEMENTO DIFERENCIAL

ELEMENTO DIFERENCIAL

P

8

[3.1] TENSIONES DEBIDAS AL AXIL:

3_AXIL

1. SON TENSIONES NORMALES (PERPENDICULARES A LA SECCIÓN).

2. SON CONSTANTES EN TODA LA SECCIÓN.

SECCIÓN RECTANGULAR

DIAGRAMA DE AXIL (N)

P

ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES

N= Esfuerzo AxilA= Área de la sección (bxh)

N

A

CÁLCULO DE LA

σN

b

h

SECCIÓN

N σ

9

[4.1] TENSIONES DEBIDAS AL CORTANTE:

4_CORTANTE

1. SON TENSIONES TANGENCIALES (TANGENTES A LA SECCIÓN).

2. TIENEN UNA DISTRIBUCIÓN PARABÓLICA.

3. EN LAS SECCIONES MÁS COMUNES, SON NULAS EN LOS BORDES DE LA SECCIÓN Y MÁXIMAS EN EL CDG.

DIAGRAMA DE CORTANTE (V)

SECCIÓN RECTANGULAR

ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES

V

CÁLCULO DE LA

V= CortanteA= Área de la sección (bxh)

VÁLIDA SOLO PARA SECCIÓN RECTANGULAR

V

A

3

2

b

h

SECCIÓN

V

10

[4.1] TENSIONES DEBIDAS AL CORTANTE:

4_CORTANTE

ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES

DIAGRAMA DE CORTANTE (V)

SECCIÓN EN DOBLE T (SIMÉTRICA)

V= CortanteAa= Área del Alma

Siendo aproximadamente constante en el alma y aproximadamente 0 en las alas, se aplica la siguiente expresión:V

Aa

CÁLCULO DE LA

V

eje neutro

V

SECCIÓN

11

MF = P·L

P

5_FLECTOR

[5.1] TENSIONES DEBIDAS AL FLECTOR:

MF EJE NEUTRO

ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES

MF=q·L /8²

MF = Momento FlectorI = Inercia de la sección respecto al eje neutroz = Distancia al eje neutro

W = Módulo resistente = I/zmax

MF

Iz

MF

W

σ

SECCIÓN RECTANGULAR (SIMÉTRICA)

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (MF)

CÁLCULO DE LAeje

neutro

eje neu

tro

1. SON TENSIONES NORMALES (PERPENDICULARES A LA SECCIÓN).

2. TIENEN UNA DISTRIBUCIÓN LINEAL.

3. SON NULAS EN EL EJE NEUTRO (QUE COINCIDE CON EL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SECCIÓN).

4. SON MÁXIMAS EN LOS BORDES DE LA SECCIÓN.

5. SI EL FLECTOR ES POSITIVO, LAS FIBRAS SUPERIORES ESTARÁN COMPRIMIDAS, Y LAS INFERIORES TRACCIONADAS.

[NOTA]Si el MF es negativo, cambia el signo de la distribución de tensiones:-las fibras superiores están a tracción-las fibras inferiores están a compresión

MF

z

12

[5.1] TENSIONES DEBIDAS AL FLECTOR:

MF EJE NEUTRO

ESFUERZO DEFORMACIÓN TENSIONES

MF=q·L /8²

σSECCIÓN RECTANGULAR (NO SIMÉTRICA)

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (MF)

CÁLCULO DE LA

MF = Momento FlectorI = Inercia de la secciónrespecto al eje neutroz = Distancia al eje neutro

Wc = Módulo resistente a compresión = I/zmax c

Wt = Módulo resistente a tracción = I/zmax t

MF

Iz

MF

Wc

MF

Wt

eje neutro

eje neutroz

135_FLECTOR

Ny

yz

z

My

y

yz

z

Ny

yz

z

My

+

+

σN σMσMax = σN + σM

=

=

6_FLEXIÓN COMPUESTA

σN =A

N

σM =Wy

My

N= Esfuerzo AxilA= Área de la sección

My= Momento flector Wy= Módulo resistente [Wy=Iy/zmax]

σMax = σN + σM

ESFUERZOS

TENSIONES

[6.1] DEFINICIÓN : M+N

σMax

σN σM

e.ne.n

CÁLCULO DE LA σMAX

UNA BARRA ESTÁ SOLICITADA A FLEXIÓN COMPUESTA CUANDO SOBRE

ELLA ACTÚAN UN AXIL Y UN FLECTOR.

AXIL EXCÉNTRICO = AXIL + FLECTOR

LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN UNA SECCIÓN SOMETIDA A FLEXIÓN COMPUESTA ES LA SUMA DE LAS TENSIONES DEL AXIL Y LAS DEL FLECTOR.

LA TENSIÓN MÁXIMA ES LA SUMA DE LA TENSIÓN DEL AXIL Y LA MÁXIMA DEL FLECTOR.

14

Una viga con apoyo excéntrico sobre el pilar le transmite a éste una carga vertical y un momento.

y

yz

z

My

y

yz

z

+

σMax,C = σ1,máxC + σ2,máxC

σMax,T = σ1,máxT + σ2,máxT

=

7_FLEXIÓN ESVIADA

ESFUERZOS

TENSIONES

[7.1] DEFINICIÓN: My + Mz

yz

MzMz

Myyz

σ1 =Iy

My

σ2 =Iz

Mz

σMax,C =

·z

·y

Wy

My+

Wz

Mz

σMax,T = Wy

My+

Wz

Mz

CÁLCULO DE LA σMAX

M= Momento flectorIy= Inercia de la sección respecto al eje yIz= Inercia de la sección respecto al eje zz= Distancia al eje yy= Distancia al eje z

LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN UNA SECCIÓN SOMETIDA A FLEXIÓN ESVIADA ES LA SUMA DE LAS TENSIONES DEBIDAS A My (σ1) Y LAS DEBIDAS A Mz (σ2).

LA TENSIÓN MÁXIMA ES LA SUMA DE LA TENSIÓN MÁXIMA DEBIDA A My Y LA MÁXIMA DEBIDA A Mz.

UNA BARRA ESTÁ SOLICITADA A FLEXIÓN ESVIADA CUANDO SOBRE ELLA ACTÚAN DOS MOMENTOS FLECTORES.

My = FLECTOR RESPECTO AL EJE y

Mz = FLECTOR RESPECTO AL EJE z

Wy= Módulo resistente respecto al eje y [Wy=Iy/zmax]

Wz= Módulo resistente respecto al eje z [Wz=Iz/ymax]

σMax,T

σMax,C

e.n

σ1 σ2

σ1 σ2

e.ne.n

+=

A A

15

8_FLEXIÓN COMPUESTA ESVIADA

y

yz

z

My

y

yz

z

+

σ1 σ2σMax,C = σ1,C + σ2,C +σN

σMax,T = σ1,T + σ2,T - σN

=

ESFUERZOS

TENSIONES

yz

MzMz

Myyz

σMax,T

σMax,C

e.n

σ1 σ2

e.ne.n

+=

Ny

yz

z

N

+

σN

σN

+CÁLCULO DE LA σMAX

σ1 =Iy

My

σ2 =Iz

Mz

σMax,C =

·z

·y

Wz

Mz+

A

N

σN =A

N

σMax,T = Wz

Mz -A

N

+Wy

My

Wy

My+ LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN UNA SECCIÓN SOMETIDA A FLEXIÓN COMPUESTA ESVIADA ES LA SUMA DE LAS TENSIONES

DEBIDAS AL AXIL Y LAS DEBIDAS A My (σ1) Y A Mz (σ2).

[8.1] DEFINICIÓN: N + My + Mz

UNA BARRA ESTÁ SOLICITADA A FLEXIÓN COMPUESTA ESVIADA CUANDO SOBRE ELLA ACTÚAN UN AXIL Y DOS MOMENTOS FLECTORES.

N = AXIL

My = FLECTOR RESPECTO AL EJE y

Mz = FLECTOR RESPECTO AL EJE z

16

9_RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

σ

- TODAS LAS FIBRAS SE ACORTAN LO MISMO LA TENSIÓN QUE SOPORTAN ES CONSTANTE, DE COMPRESIÓN, EN TODA LA SECCIÓN

- LAS TENSIONES SON PROPORCIONALES A LAS DEFORMACIONES σ= E·ε

ESFUERZO SOBRE LA REBANADA

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES

DE AXIL

DEFORMACIÓN DE LA REBANADA

CON AXIL

N ε

[9.1] AXIL:

17

9_ RELACIÓN ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES

MF σ

- LAS FIBRAS SUPERIORES SE ACORTAN SOPORTAN TENSIONES DE COMPRESIÓN

- LAS FIBRAS INFERIORES SE ALARGAN SOPORTAN TENSIONES DE TRACCIÓN

- LAS FIBRAS CENTRALES NI SE ALARGAN NI SE ACORTAN NO SOPORTAN TENSIONES

- LAS TENSIONES SON PROPORCIONALES A LAS DEFORMACIONES σ= E·ε

ε

ESFUERZO SOBRE LA REBANADA

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES

EN FLEXIÓN

DEFORMACIÓN DE LA REBANADA

EN FLEXIÓN

Eje Neutro

Eje Neutro

- EL EJE NEUTRO PASA POR EL CDG DE LA SECCIÓN- EN EL EJE NEUTRO, LAS TENSIONES SON NULAS

Eje Neutro

Eje Neutro

CDG

CDG

ε

ESFUERZO SOBRE LA REBANADA

DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES

EN FLEXIÓN

DEFORMACIÓN DE LA REBANADA

EN FLEXIÓN

MF σ

[9.2] FLECTOR:

LA SECCIÓN GIRA

NOTA: EN ESTRUCTURAS DE BARRAS SE CUMPLE LA HIPÓTESIS DE NAVIER. LAS SECCIONES PLANAS DE LA BARRA PERMANECEN PLANAS AL DEFORMARSE.

18

30 20

e

e e

3 m

5 m

q= 30KN/m

LA VIGA DE LA FIGURA APOYA SOBRE LOS DOS PILARES CON UNA EXCENTRICIDAD e = 10 cm.

¿SE PRODUCIRÁN TENSIONES DE TRACCIÓN EN LOS PILARES?

DIBUJA LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN EL PILAR IZQUIERDO, INDICANDO SUS VALORES MÁXIMOS.

10_ CASO DE FLEXIÓN COMPUESTA 19

[10.1] EJEMPLO:

0,1m

q= 30KN/m

75 KN 75 KN

75 KN 75 KN

75 KN

7,5 KN·m

75 KN

7,5 KN·m

(N)

75 KN 7,5 KN·m

A

(M)

σN

+ =

σM σMAX

σMax,C =

σMax,T =

σN + σMmax = 0,2·0,3

75+

1/6·0,2·0,3

75·0,12

σMmax - σN = -1/6·0,2·0,3

75·0,12

0,2·0,3

75

TENSIONES EN EL PILAR

LOS PILARES SE ENCUENTRAN SOLICITADOS A FLEXIÓN COMPUESTA

(AXIL + FLECTOR).

LA DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN EL PILAR SERÁ, POR TANTO, IGUAL

A LA SUMA DE LAS DISTRIBUCIONES DE AXIL Y DE FLECTOR.

σ = σ + σ N M

DIVIDIR LA ESTRUCTURA EN PARTES

LA VIGA LE TRANSMITE A CADA PILAR UNA CARGA PUNTUAL DE 75kN, IGUAL A LA REACCIÓN

DEL PILAR SOBRE LA VIGA. DICHA CARGA TIENE UNA EXCENTRICIDAD DE 0.1 m RESPECTO

AL EJE DEL PILAR

LA CARGA EXCÉNTRICA SOBRE EL PILAR EQUIVALE

A UNA CARGA CENTRADA + UN MOMENTO.

DIAGRAMAS DE

ESFUERZOS DEL PILAR

AL SER CONSTANTES EL AXIL Y EL FLECTOR EN EL PILAR, LA DISTRIBUCIÓN

DE TENSIONES ES IDÉNTICA EN TODAS LAS REBANADAS DE ÉSTE.

10_ CASO DE FLEXIÓN COMPUESTA 20

0,1m

TENSIONES MÁXIMAS

= 3750kN/m²

=1250kN/m²

3750kN/m²1250kN/m²