Tema 8 Dinámica ELDinámica_EL.

Robtica Industrial. Captulo 5

Robtica IndustrialMODELADO CINEMTICO

La base de estas transparencias han sido preparadas por A. Barrientos como complemento didctico al libro Fundamentos de Robtica 2 edicin (McGraw-Hill 2007). Algunas diapositivas han sido editadas para el curso de Robtica de la Maestria en Controles IndustrialesEstas transparencias han sido preparadas por A. Barrientos como complemento didctico al libro Fundamentos de Robtica 2 edicin (McGraw-Hill 2007)Modelado dinmicoDISAM-UPM (Antonio Barrientos)Doctorado en Automatizacin y Robtica0Modelo dinmico de un robotObjetivo: conocer la relacin entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismoRelacin matemtica entre:La localizacin del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localizacin de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleracin.Las fuerzas y pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot).Los parmetros dimensionales del robot, como longitud, masas e inercias de sus elementos.Modelado dinmico1Modelos dinmicos directo e inverso de un robotModelo dinmico directoExpresa la evolucin temporal de las coordenadas articulares del robot en funcin de las fuerzas y pares que intervienen q(t)=f((t))

Modelo dinmico inversoExpresa las fuerzas y pares que intervienen en funcin de la evolucin de las coordenadas articulares y sus derivadas (t)=f(q(t))

Modelado dinmico5Formulaciones del modelo dinmico de un robotFormulacin de LagrangeBasada en el balance energtico

L: Funcin Lagrangiana.Ec: energa cintica.Ep: energa potencial.i: fuerza o pares aplicado sobre qi.qi: coordenadas generalizadas (articulares).Modelado dinmico6Utilidad del modelo dinmico de un robotSimulacin del movimiento del robotDiseo y evaluacin de la estructura mecnica del robotDimensionamiento de los actuadoresDiseo y evaluacin del control dinmico del robot Formar parte del propio algoritmo de control (en lnea)Modelado dinmico4Formulacin de Lagrange. Ejemplo robot 1 gdl

Modelado dinmico7Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot polar 2 gdl (1)Coordenadas y velocidades de la masa m2:

Robot Polar en disposicin tumbada (con m1=0)

Modelado dinmico8Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot polar 2 gdl (2)

Energa cintica:

Energa potencial:

Lagrangiana:

Modelado dinmico9En la energia potencial no es y2 sino x2

Derivadas respecto de y sus derivadas respecto del tiempo:

Derivadas respecto de

Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot polar 2 gdl (3)

Modelado dinmico10

En forma matricial:

Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot polar 2 gdl (4)Modelado dinmico11Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot articular 2 gdl (1)

Coordenadas y velocidades de los centros de masas:

Masa elemento 1:Masa elemento 2:

Modelado dinmico12Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot articular 2 gdl (2)

Energa cintica:

Energa potencial:

Lagrangiana:

Modelado dinmico13Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot articular 2 gdl (3)

Derivadas respecto de y sus derivadas respecto del tiempo:

Lagrangiana:Modelado dinmico14Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot articular 2 gdl (4)

Derivadas respecto de

Lagrangiana:Modelado dinmico15Formulacin de Lagrange.Ejemplo robot articular 2 gdl (5)

Expresin de Lagrange

En forma matricial:Modelado dinmico16Ecuacin dinmica de un robot multiarticular

Expresin general del modelo dinmico de un robot:Con:

Nota: El trmino de fuerzas de Coriolis puede expresarse alternativamente como Vector (nx1) o como producto de una Matriz (nxn) por el Vector de velocidades (nx1)Modelado dinmico17Ejemplo: Modelo dinmico de un robot de 2 grados de libertad

O con el trmino de Coriolis expresado matricialmente:

Modelado dinmico18Algoritmos computacionalesLagrangeBasado en la representacin de D-HPoca eficiencia computacional: O(n4) (n=n GDL)Ecuaciones finales bien estructuradas (D,H,C por separado)Para robots con ms de 3 gdl la deduccin analtica se hace excesivamente compleja.Alternativamente se han desarrollado algoritmos que permiten obtener el valor del par a partir de q(t) en pasos incrementalesModelado dinmico19Algoritmo computacional de LagrangeAsignar a cada barra un sistema de referencia de acuerdo D-H.

Articulacinidiaii1100-9020d200Modelado dinmico20Algoritmo computacional de Lagrange2. Obtener las matrices de transformacin 0Ai para cada barra i.

Modelado dinmico21Algoritmo computacional de Lagrange3. Obtener las matrices Uij definidas por:




Modelado dinmico25Algoritmo computacional de Lagrange4. Obtener las matrices Uijk definidas por







Modelado dinmico32Algoritmo computacional de LagrangeObtener las matrices de PseudoInercias Ji para cada barra i.

Expresin alternativa

Donde:Modelado dinmico33Algoritmo computacional de LagrangeObtener las matrices de PseudoInercias Ji para cada barra i.

Elemento 1Modelado dinmico34Algoritmo computacional de LagrangeObtener las matrices de PseudoInercias Ji para cada barra i.

Elemento 2

Debido a que la masa se considera concentrada en el centro de masas y el origen del sistema de coordenadas del elemento 2 se toma en el mismo centro:Modelado dinmico35Algoritmo computacional de Lagrange6. Obtener la matriz de Inercia D cuyos elementos vienen definidos por:

Modelado dinmico36Algoritmo computacional de Lagrange6. Obtener la matriz de Inercia D cuyos elementos vienen definidos por:





Modelado dinmico41Algoritmo computacional de Lagrange7. Obtener los trmino hikm definidos por








Modelado dinmico49revisarAlgoritmo computacional de Lagrange7. Obtener los trmino hikm definidos por

Modelado dinmico50Algoritmo computacional de Lagrange8. Obtener el vector columna H de fuerzas de Coriolis y Centrifugas, cuyos elementos son

Modelado dinmico51Algoritmo computacional de Lagrange8. Obtener el vector columna H de fuerzas de Coriolis y Centrifugas, cuyos elementos son

Modelado dinmico52Algoritmo computacional de Lagrangeg: es el vector de gravedad expresado en el sistema de la base {S0} y viene expresado por (gx0 , gy0 , gz0 , 0)irj: es el vector de coordenadas homogneas del centro de masas del elemento j expresado en el sistema de referencia del elemento i.9. Obtener el vector columna C de Fuerzas de Gravedad, cuyos elementos son:

Modelado dinmico53Algoritmo computacional de Lagrange9. Obtener el vector columna C de Fuerzas de Gravedad, cuyos elementos son:

El vector de gravedad expresado en el sistema de la base del robot {S0}

Los vectores de coordenadas homogneas de posicin del centro de masas del eslabn j expresado en el sistema {Sj}Modelado dinmico54Algoritmo computacional de Lagrange9. Obtener el vector columna C de Fuerzas de Gravedad, cuyos elementos son:

Modelado dinmico55Algoritmo computacional de Lagrange9. Obtener el vector columna C de Fuerzas de Gravedad, cuyos elementos son:

Por tanto:

Modelado dinmico56La ecuacin del modelo Dinmico es:

Algoritmo computacional de Lagrange

Modelado dinmico57 Utiliza el lgebra matricial, implicando un elevado nmero de operaciones O(n4)En la solucin parecen explcitamente los trminos de Inercia, Coriolis y Gravedad Esto permite que si se desea se puede prescindir del trmino H (fuerzas de coriolis y centrifugas) (por ejemplo si las velocidades son lentas)Caractersticas del mtodo computacional de LagrangeModelado dinmico58 VNCULO CDraw5 A:\\book5\\fig51.cdr \a \p

m1

m2

x0

y0

m1

x0

y0

m1

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