TEMA 8. Fuentes de error en GPS y...

Curso avanzado de posicionamiento por satélite Madrid, noviembre 2009

Tema 8 – 285

TEMA 8. Fuentes de error en GPS y modelización

1. Introducción.

Como en toda observación geodésica o topográfica que se haga, cualquier observación

con GPS está sometida a varias fuentes de error. Lo importante de ello son dos

aspectos: por un lado saber las causas y la forma de minimizar estos errores, si no se

pueden eliminar completamente y por otro lado, en este último caso de que no se

puedan anular o modelizar, saber sus magnitudes.

En este capítulo se analizan las causas del error que tradicionalmente se contemplan,

sin tener en cuenta los condicionantes de tiempos de observación, equipo,

metodología, software, etc... Se suelen agrupar en tres causas diferentes: satélite,

propagación de la señal y equipo de medida, según la tabla siguiente.

ELEMENTO FUENTE DE ERROR

Errores en el oscilador (reloj)

Satélite

Errores o variaciones en los parámetros orbitales (efemérides transmitidas)

S/A. Disponibilidad Selectiva

Anti-spoofing (AS) Efecto relativista Refracción ionosférica

Propagación de la señal Refracción troposférica Pérdidas de ciclos Multipath Errores en el oscilador (reloj)

Error en las coordenadas del punto de referencia

Equipo Error en el estacionamiento y manipulación Ruido e incertidumbre de medida

Retardos instrumentales

Variación y desfase del centro de la antena

Tabla 1. Fuentes de error

Algunos de estos errores sistemáticos pueden ser modelados e incluso eliminados

utilizando combinaciones apropiadas de los observables a partir de una o dos

frecuencias, o trabajando en modo diferencial, utilizando dos receptores.


Tema 8 – 286

Dentro de cada apartado se contemplarán los aspectos que nos interesan: causa,

modelización, corrección o minimización del error y por último, la cuantía del mismo.

El modelado de estos términos en pseudodistancias entre un receptor i y un satélite j contiene los términos:

jP

jP

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji ii

MKITreldtdtcP,1,1

1)(1 1 εαρ ++++++−+=

Pseudodistancia o distancia euclídea sat-receptor j

iρ)( j

i dtdtc − Corrección por diferencia de estados de reloj j

irel Corrección relativista j

iT Retardo troposférico j

iI1α Retardo ionosférico jiK1 Retardos instrumentales j

P iM

,1 Multipath

jP i,1

ε Ruido

2. Errores dependientes del satélite.

2.1. Error en el reloj de satélite.

2.1.1. Causa.

Desfase que tiene el reloj del satélite respecto al Tiempo GPS. Los satélites llevan

relojes atómicos con osciladores de cesio o de rubidio, sin embargo ningún reloj,

incluso el atómico es perfecto.

2.1.2. Corrección

Los errores en los osciladores de los satélites pueden eliminarse mediante las

correcciones enviadas en el mensaje de navegación que recibe cada receptor, las

cuales son calculadas, enviadas y actualizadas por las estaciones de seguimiento. Esto

se hace corrigiendo la deriva con más de 10 relojes atómicos en tierra muy precisos.

Para cada reloj de satélite se determina el desfase respecto a una época inicial y los

coeficientes de la marcha o deriva del estado del reloj.


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Generalmente lo que suele ocurrir es un adelanto del reloj debido a que el satélite está

situado en un campo gravitatorio más débil. Por esto se diseñan los relojes de tal

forma que en la superficie terrestre atrasen y al ponerlos en órbita funcionen bien,

pero es evidente que no se consigue totalmente y existe una deriva de 1 ns cada tres

horas.

En cualquier caso, la corrección de esta fuente de error es casi total. Aún así, sigue

permaneciendo un pequeño error residual estimado en unos pocos ns (hasta 10) y que

es debido a la imposibilidad de predecir exactamente la marcha del estado del reloj del

satélite.

2.1.3. Cuantía

Si no se hiciese ninguna corrección (por metodología), al final, en un posicionamiento

simple con un receptor de código, se puede estimar el error producido por esta fuente

en 1 m. Hay que tener en cuenta que un error de 1 nanosegundo de imprecisión en el

reloj del satélite produce 30 cm en la pseudodistancia.

2.1.4. Modelado del estado de los relojes.

• El offset del reloj del receptor (dti) se estima al mismo tiempo que sus coordenadas. • El offset de los relojes de los satélites (dtj) se calcula a partir de los valores a0, a1, a2 y t0 que se transmiten en el mensaje de navegación, de acuerdo a (pseudodistancia): dtj = a0 + a1 (t – t0) + a2 (t - t0)2

Donde: a0 = deriva del reloj (clock drift) a1 = evolución de la deriva (clock drift rate) t0 = tiempo del reloj de satélite

2.2.Efecto relativista (relacionado con estados de reloj). Adelanto del reloj debido a:

1. El satélite está situado en un campo gravitatorio más débil (relatividad general) 2. Velocidad relativa entre ambos (relatividad especial)


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Modelado del efecto relativista

- Una componente constante que depende del valor del semieje mayor de la órbita (valor de corrección de la frecuencia del oscilador ~ -4,464 · 10-10)

- Una componente periódica debida a la excentricidad de la órbita (a corregir por el receptor):

metroscvrrel ⋅= 2

2.3. Errores en los parámetros orbitales del satélite.

2.3.1.Causa

Las estaciones de seguimiento registran datos de pseudodistancia y medidas de fase

que mandan a la Estación de Control principal, donde se calculan las futuras posiciones

orbitales de los satélites. Estas serán transmitidas a los receptores, a través de las

efemérides. Pero las efemérides transmitidas por los satélites tendrán asociado un

error, a causa de que es imposible predecir exactamente sus posiciones.

Los satélites se desvían de las órbitas calculadas por diferentes razones, entre las que

se pueden citar:

Variación del campo gravitatorio.

Variaciones en la presión de radiación solar (coeficientes de variación).

Fricción del satélite con moléculas libres.

Se han diseñado en función de estas fuentes unos algoritmos basados en datos

empíricos (experimentales), los cuales se transmiten en el mensaje de navegación

para que se reduzca el error.

Las leyes de Kepler sobre la rotación de un cuerpo en una órbita están idealizadas para

un campo gravitatorio esférico. Para cualquier satélite orbitando entorno a la Tierra no

se da el caso ideal y la posición kepleriana se verá afectada por esas fuerzas

perturbadoras.

En primer lugar, la Tierra no es una esfera perfecta y por otro lado, tampoco su

distribución de masas es homogénea. El efecto que tiene en el campo gravitacional ya


Tema 8 – 289

vimos que se representaba por armónicos esféricos a través del potencial perturbador

en un punto concreto. El coeficiente más grande es el J2 (o C20), que representa el

achatamiento terrestre en el campo gravitacional. Este coeficiente es 1000 veces más

grande que el resto, aunque en el cálculo de órbitas se usan hasta los coeficientes de

orden y grado (m y n) 36, aunque para el GPS es suficiente llegar a la modelización

con grado y orden 8.

Fig. 1. Fuerzas perturbadoras.

Otros planetas (en particular el Sol y la Luna) ejercen atracción sobre el satélite. Esto

es conocido como el efecto del tercer cuerpo. La atracción gravitacional del tercer

cuerpo tiene efecto adicional en la órbita del satélite, ya que causan además las

mareas terrestres y oceánicas. El cambio de la distribución de masas de la Tierra y la

forma altera el campo de gravedad y también las fuerzas actuando sobre cualquier

otro cuerpo en órbita. De todas formas, las magnitudes de estas fuerzas están

perfectamente modeladas y sus efectos son bien predichos y reducidos.

Por otro lado, el satélite no está viajando por un perfecto "vacío" y experimentará

fricciones atmosféricas. Esto es función de la densidad atmosférica y la altura orbital,

en el caso del GPS, a 20180 km, es notable.

Finalmente, como última causa de perturbación de la órbita se puede citar el impacto

de fotones de luz emitidas por el sol directa e indirectamente (efecto albedo). Esto es

conocido como presión de radiación solar y será función del área efectiva del satélite


Tema 8 – 290

(área normal expuesta a la radiación), la superficie de reflectividad, la luminosidad del

Sol y la distancia al Sol. Para satélites GPS esta fuente no se puede ignorar y además

es bastante difícil su modelización, lo cual hace que sea la principal fuente de error en

el desconocimiento de la órbita del satélite en tiempo real. En software de alto nivel

(GAMIT, Bernese...) se introducen en el cálculo de órbitas, en las efemérides precisas,

coeficientes de radiación de presión.

La mayoría de todos estos efectos son modelados, aunque es difícil en el caso de la

presión de radiación solar y las fuerzas perturbadoras "de albedo". Todas las fuerzas

perturbadoras que actúan de empuje sobre el satélite son cuantificadas en términos de

sus aceleraciones perturbadoras. Estos parámetros de perturbación son:

Corrección al movimiento medio calculado.

Magnitud del cambio de la ascensión recta.

Magnitud del cambio de la inclinación.

Términos de corrección en forma de seno y coseno del argumento de la latitud.

Términos de corrección en forma de seno y coseno del radio geocéntrico.

Términos de corrección en forma de seno y coseno de la inclinación del plano

orbital.

2.3.2. Corrección

Es evidente que los errores en los parámetros orbitales se pueden eliminar

trabajando con las efemérides precisas, donde aparecen las verdaderas

posiciones de los satélites.

Cuando trabajamos en modo diferencial podemos eliminar casi todos los errores

relativos a los satélites, ya que afectan de forma casi igual a ambos receptores.

En un trabajo normal en modo diferencial ocurrirá esto, pero para líneas base

largas los errores en los parámetros orbitales no se eliminan del todo, porque

los errores que provocan en la seudodistancia a un satélite en un punto no son

los mismos que los que se producen en el otro punto para el mismo satélite e

instante. El error depende de la orientación del vector error para cada uno de

los puntos.


Tema 8 – 291

En cualquier caso, en postproceso, se recomienda utilizar efemérides precisas

en baselíneas > 10 Km (según tiempo de observación y método elegido).

Ya hemos visto que las efemérides precisas pueden ser descargadas desde varios

sitios. Normalmente se utilizan las calculadas por el IGS (International for

Geodynamics and GPS Service), que son una combinación de las calculadas por 7

centros. (ftp://igscb.jpl.nasa.gov/components/prods_cb.htm). El formato estándar es

igsXXXXY.SP3, donde XXXX es la semana GPS e Y el día de la semana (0=dom,

6=sáb).

Es un fichero ascii con unos datos de cabecera y un listado con las coordenadas de

cada satélite cada 15 minutos (en Km), en el (ITRF00), y el estado del reloj en ese

momento (en microseg).

/* FINAL ORBIT COMBINATION FROM WEIGHTED AVERAGE OF: /* cod emr esa gfz jpl ngs sio /* REFERENCED TO GPS CLOCK AND TO WEIGHTED MEAN POLE: /* CLK ANT Z-OFFSET (M): II/IIA 1.023; IIR 0.000 * 2000 12 23 0 0 0.00000000 P 1 25009.229226 -1038.379027 -8783.781739 157.623480 P 2 5929.057474 -23003.501053 11964.266325 -315.218438 P 3 18749.526629 12904.610597 -13780.068354 68.678197 P 4 -4920.995246 -25539.899034 4815.595853 621.135986 P 5 -20024.093758 6772.442608 15979.174875 278.625625

Tabla 2. Efemérides precisas.

2.4. Disponibilidad Selectiva (SA) - antes de 01/05/2000.

El Gobierno de los EEUU definió el Posicionamiento GPS estándar: "SPS (Standar

Positioning Service) es el servicio de posicionamiento y tiempo, compuesto por la

frecuencia L1. La frecuencia L1, transmitida por todos los satélites contiene un código

C/A (Coarse Acquisition) y un mensaje de navegación. El SPS es la capacidad de

proveer a un usuario de un código básico C/A, no estando disponibles el código P y la

frecuencia L2 a los usuarios SPS. Las precisiones están garantizadas a los usuarios SPS

mejor que (DoD, 1995):

100 m en posición horizontal 95% del tiempo

156 m en la componente vertical 95% del tiempo


Tema 8 – 292

300 m en posición horizontal 99.99% del tiempo

500 m en la componente vertical 99.99% del tiempo

340 nanosegundos de precisión en t 95% del tiempo

En orden a mantener o limitar estas precisiones el US DoD ha implementado la SA

(Selective Availability- Disponibilidad selectiva) para reducir las capacidades de

posicionamiento horizontal a aproximadamente entre 20 y 100 m y el AS (Anti-

Spoofing) para denegar el código P".

2.4.1. Causa

Como vemos, consiste en una degradación intencionada de la señal por parte del

Department of Defense (DoD) para el usuario civil. En esta degradación de la señal se

actuaba sobre los estados de los relojes (dither) y los parámetros orbitales (epsilon).

"Dither" es una manipulación intencionada de la frecuencia del reloj del satélite, de tal

forma que en la generación de la onda portadora y los códigos se varían las longitudes

de onda de la portadora. En otras palabras, bajo la SA, la distancia entre cada chip

código C/A puede variar, no siendo los 293 metros diseñados. La réplica generada en

el receptor asume la longitud nominal y las

medidas de pseudodistancia están basadas en

ello. Los errores típicos para satélites con la

SA activada estaban en los 100 metros, para

usuarios estándar, no de PPS.

La componente "epsilon" de la SA se refiere a

un error en las efemérides transmitidas, es

decir, en la posición del satélite. Para

posicionamiento, las coordenadas de los

satélites estaban alteradas usando

información incorrecta y los errores en esas

coordenadas se propagaban al receptor.

Fig. 2. Componentes de la SA


Tema 8 – 293

El 1 de Mayo de 2000, Clinton anunció el fin de la degradación intencionada de la señal

GPS, llamada SA o Selective Availability. Esto significaba que los usuarios civiles

podían determinar coordenadas 10 veces más precisas que antes (unos 10 metros).

Fig. 3. Momento de desactivación de la SA en altura, posiciones independientes.

Fig.4. Momento de desactivación de la SA, planimetría, posiciones independientes.


Tema 8 – 294

2.4.2. Corrección.

En GPS diferencial, con líneas base no demasiado grandes, el error introducido en

ambos receptores era similar, con lo cual este error se elimina.

Para aplicaciones geodésicas y topográficas no ha supuesto apenas mejora, puesto

que el método de trabajo aplicado siempre ha sido diferencial.

2.4.3.Cuantía

Los errores típicos que se introducían eran de ± 35 m. (según algunos autores, 100

m).

2.5. Anti-Spoofing.

2.5.1. Causa

Este método de degradación de la señal consiste en encriptar el código P mediante el

uso del llamado codigo protegido Y, mezclando P+W de tal forma que solamente

usuarios autorizados tienen acceso al código P.

2.5.2. Solución

Algunos receptores tienen desarrolladas técnicas para hacer medidas de código P con

sólo añadir un poco de ruido: técnicas de correlación cruzada (Talbot, 1992 o Ashjaee

y Lorenz, 1992).

Fig.5. Correlación cruzada.

La correlación cruzada se basa en el principio de que el código Y transmitido por un

satélite es el mismo en ambas frecuencias. Por lo tanto, correlando los dos códigos Y

en L1 y L2, la diferencia entre los respectivos tiempos de viaje puede ser deducida.

Esta diferencia es igual al tiempo de retardo que la frecuencia sufre cuando pasa por la


Tema 8 – 295

ionosfera. Sumando la diferencia de retrasos de tiempo a la medida de código C/A de

la L1 resulta una medida de pseudorango conteniendo la misma información que la

medida de código P en L2.

3. Errores dependientes de la propagación de la señal.

Las principales fuentes de error pueden ser predecibles (por ejemplo, las causadas por

la geometría) aunque hay otras de naturaleza aleatoria (como las turbulencias

atmosféricas).

La ionosfera y la troposfera causan demoras en la señal de GPS que se traducen en

errores de posicionamiento. Algunos errores se pueden corregir mediante modelación y

correcciones matemáticas. El GPS Diferencial puede eliminar casi todos los errores.

La velocidad de propagación de la señal es crítica para cualquier sistema de medida de

distancias. Esta velocidad multiplicada por el intervalo de tiempo en que se propagó la

señal nos da una medida de la distancia. Si una onda electromagnética se propaga por

el vacío, su velocidad de propagación, sea cual sea su frecuencia es la velocidad de la

luz (c). Sin embargo, en el caso de observaciones GPS, las señales deben atravesar las

capas de la atmósfera hasta llegar al receptor posicionado sobre la superficie de la

tierra. Las señales interaccionan con partículas cargadas, que provocan un cambio en

la velocidad y dirección de propagación, es decir, las señales son refractadas. Cuando

la señal viaja por un medio que no es el vacío, ésta sufre un retardo debido a que la

velocidad de propagación es menor, y a que la trayectoria aumenta su longitud al

curvarse por refracción, si el medio no es isótropo.

3.0. Fundamentos: velocidad de fase y grupo.

Un medio en el cual la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas

dependen de las frecuencias es un medio dispersivo. En tal medio la refractividad

depende de la frecuencia o la longitud de onda. El efecto de dispersión es causado por

interacciones electromagnéticas entre un campo cargado eléctricamente del medio y

un campo externo de ondas penetrantes.

Se deben distinguir:


Tema 8 – 296

• velocidad de propagación de la fase de una onda particular con longitud de

onda uniforme (velocidad de fase vph).

• velocidad de propagación de un grupo de ondas, generada por la superposición

de ondas diferentes de diferente longitud de onda (velocidad de grupo vgr).

Considerando una onda electromagnética simple propagándose en el espacio con una

longitud de onda λ y frecuencia f, la velocidad de su fase será:

vph = λ f

En GPS, la portadora de las ondas L1 y L2 se propagan con esta velocidad (es decir, la

fase).

Para un grupo de ondas con frecuencias ligeramente diferentes, la propagación de la

energía resultante es definida por la velocidad de grupo:

2λλd

dfvgr −=

Esta es la velocidad que hay que considerar en GPS para las observaciones de código.

Esto implica que las observaciones de código y las de fase se van a comportar de

forma diferente en su propagación por el mismo medio.

La relación entre ambas velocidades viene dada por la ecuación de Rayleigh:

λλ

ddv

vv phphgr −=

Como vemos, esta ecuación contiene ya implícitamente el concepto de la dispersión,

ya que vemos que la velocidad de fase depende de la longitud de onda (o la

frecuencia). La velocidad de fase y grupo son iguales en un medio no dispersivo y se

corresponde con la velocidad de la luz en el vacío.

Si lo relacionamos con el índice de refracción n, sabemos que la velocidad de

propagación en cualquier medio es:

ncv =

Evidentemente, aplicando esta relación a las velocidades de fase y grupo:

phph n

cv = gr

gr ncv =


Tema 8 – 297

y aplicando estas relaciones a la anterior ecuación de Rayleigh, queda la relación entre

los índices de refracción en la forma (ecuación modificada de Rayleigh):

λλ

ddn

nn phphgr −=

Esta ecuación también resulta muy útil expresándola en función de la frecuencia, en

lugar de la longitud de onda, para lo cual hay que derivar la relación c = λf con

respecto a λ y f:

fdfd −=

λλ

y sustituyendo esta relación en la ecuación modificada de Rayleigh:

dfdn

fnn phphgr +=

3.1. Ionosfera

3.1.1. Causa

La Ionosfera es aquella región de la atmósfera comprendida entre 100 y 1000 Km de

altitud, donde las radiaciones solares y otras radiaciones ionizan una porción de las

moléculas gaseosas liberando electrones, que interfieren en la propagación de ondas

de radio.

La Ionosfera es un medio dispersivo para ondas de radio, por lo tanto su índice de

refracción es función de la frecuencia de la onda.

Este error es negativo para la medida de fase (se produce un avance de la portadora y

se miden distancias más pequeñas), y positivo para las pseudodistancias (se produce

un retardo y se miden distancias más largas), pero tienen el mismo valor absoluto.

En otras palabras, el código GPS es retrasado resultando las pseudodistancias de

código más largas comparadas con la distancia geométrica al satélite y las de fase,

más cortas:

λΦ = ρ + c Δδ + λN - ΔIono(f)


Tema 8 – 298

R = ρ + cΔδ + ΔIono(f)

El índice de refracción de una onda simple (fase) refractiva puede ser expresado en

forma de series:

.....1 44

33

22 ++++=

fffnph

ccc

Los coeficientes c2, c3, c4 no dependen de la frecuencia, sino de la cantidad Ne que

denota el número de electrones por metro cúbico (densidad de electrones) a lo largo

del camino de propagación. Usando una aproximación por eliminación de las series de

expansión a partir del término cuadrático, tenemos:

221

fcnph +=

diferenciando esta ecuación:

dffcdnph 3

22−=

y sustituyendo esta y la anterior en df

dnfnn ph

phgr += resulta:

22

32

22 121

fc

fcf

fcngr −=−+=

Luego aquí ya vemos que el índice de refracción del grupo y la fase tienen signo

diferente respecto a la unidad (índice de refracción en el vacío).

Si se estima c2=-40.3 Ne, entonces resulta que ngr> nph y también vgr< vph y por tanto

se demuestra lo que se dijo anteriormente: el grupo se retrasa (código) y la fase se

adelanta ⇒ las distancias de código son medidas demasiado largas y las distancias de

fase son medidas demasiado cortas comparadas con la distancia geométrica real

satélite-receptor. La cantidad es la misma en ambos casos.

Evaluando estas relaciones con respecto a la distancia geométrica satélite-receptor (s0)

se obtiene que los retardos ionosféricos son:


Tema 8 – 299

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ o

Ionoph ds

fc

2

2 ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ o

Ionogr ds

fc

2

2

cuyo resultado puede ser escrito también como:

∫−=Δ oeIono

ph dsNf 2

3,40 ∫−=Δ oeIono

gr dsNf 2

3,40

Definiendo el contenido total de electrones (TEC) como:

∫= oedsNTEC

Y sustituyendo en cada una de las expresiones anteriores:

TECf

Ionoph 2

3,40−=Δ TECf

Ionogr 2

3,40=Δ

Expresados de esta forma los retardos ionosféricos, tienen dimensiones de longitud. El

TEC es medido en unidades de 1016 electrones por m2 (TECU). En un ejemplo

numérico, para el código C/A, tomando TEC=1, ΔIonogr= 0,16 m.

Al introducir el TEC, se está suponiendo una columna de 1 m2 de sección entre satélite

y receptor, pero lógicamente, habrá que tener en cuenta la inclinación de esta

dirección, por lo que lo que se modela es el TVEC (Total Vertical Electron Content) o

TEC para satélites en el cenit. Para otras direcciones, habrá que tener en cuenta el

ángulo cenital del satélite según la figura mediante:

TVECfz

Ionoph 2

3,40'cos

1−=Δ TVECfz

Ionogr 2

3,40'cos

1=Δ


Tema 8 – 300

Fig. 6. Geometría del retardo ionosférico

En esta figura se representa un modelo muy simple de una capa en el que a partir de

una determinada altura hm se encuentra la ionosfera y el ángulo z’ (cenital en la base

de la ionosfera) se puede deducir a partir del ángulo z0 en la superficie de la Tierra con

la relación:

0sin'sin zhR

RzmE

E

+=

La altura hm de modelo que suele tomarse está entre 300 y 400 km. La importancia de

esta cifra radica en la altura de los satélites (cuanto más bajos sean, más influencia

tiene en el resultado).

El error es proporcional a la densidad de electrones (TEC-Total Electron Content) a lo

largo del camino seguido por la señal y éste depende de cinco factores

fundamentalmente:

Latitud geomagnética del receptor.

La hora del día

Elevación del satélite.


Tema 8 – 301

Variaciones estacionales y diurnas.

Actividad del Sol (ciclos de 11 años).

Se producen grandes retardos para señales emitidas desde satélites con baja

elevación, ya que viajan a lo largo de una gran sección de la ionosfera, produciéndose

un pico durante las horas centrales del día y bajando mucho durante la noche

(importancia de observaciones nocturnas), debido a la radiación solar. En regiones

cerca del ecuador geomagnético o de los polos, también el retardo es mucho mayor.

Se pueden utilizar modelos ionosféricos, como el de Klobuchar (1986) que establecen

la distribución del TEC, pero estas concentraciones de electrones son irregulares y poco

predecibles, por lo que cualquier modelo ionosférico es sólo una aproximación. Los

receptores de una frecuencia utilizan este modelo: ocho parámetros eran transmitidos

con las efemérides correspondientes al modelo y son usados en forma de polinomio de

tercer grado, dependientes también de la hora del día y de la latitud geomagnética del

lugar de observación. Estos polinomios hacen una estimación del retardo ionosférico

vertical, el cual es entonces combinado con un factor de oblicuidad dependiente de la

elevación del satélite, produciendo un retardo satélite-receptor de la señal. El valor

final provee una estimación dentro de un 50% del retardo real (entre 5 m por la noche

y 30 m por el día, horas centrales para satélites con baja elevación y de 3 a 5 m para

satélites con alta elevación en latitudes medias).

En definitiva, la solución pasa por tres opciones que vamos a analizar:

1. Medir el TEC.

Algunos organismos (como el CODE, Center Orbit Determination in Europe), calculan

modelos en tiempo casi real a partir de observaciones y los ponen a disposición pública

(cada 2 horas).


Tema 8 – 302

Fig. 7. Evolución diaria del TEC (CODE)

2. Calcular el efecto del TEC usando un modelo.

El citado modelo de Klobuchar (1986) da como resultado el retardo para medidas de

código en una línea vertical satélite-receptor. Este modelo es de gran importancia, ya

que se usó durante mucho tiempo al transmitirse los coeficientes en el mensaje de

navegación. El modelo es:


Tema 8 – 303

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=Δ

4

321

)(2cos

AAt

AAT ionov

π

donde:

• A1= 5*10-9 s = 5 ns

• 34

mIP 2mm

2mm

3212 )()( IPIPA ϕαϕαϕαα +++=

• A3= 14h de tiempo local

• 34

mIP 3214 )()( IPIPA ϕβϕβϕββ +++=

Los coeficientes αi y βi para i=1,2,3,4 son los que venían en el fichero de navegación

de los satélites. El parámetro t es el tiempo local en el punto ionosférico (IP), que

puede hallarse mediante:

UTIP tt +=

15λ

donde λIP es la longitud geomagnética del IP (en grados) y tUT es el Tiempo Universal

de la época de observación.

Finalmente, es la latitud geomagnética del punto IP. Considerando ϕP, λP las

coordenadas geográficas del Polo geomagnético y ϕIP, λIP las del punto IP, se

puede obtener mediante la relación coordenadas geomagnéticas-coordenadas

geográficas:

m

m

m

IPϕ

IPϕ

)cos(coscossinsincos PIPPIPPIPIP λλϕϕϕϕϕ −+=

donde en la época actual ϕP=78.3º N y λP=291.0º E.

3. Eliminar el efecto del TEC (doble frecuencia, libre ionosfera).

Es sin duda, el método más eficiente y preciso, mediante la utilización de las dos

observaciones de doble frecuencia. Es la principal razón también de que la señal GPS

tenga dos portadoras L1 y L2 y el método que se utiliza en observaciones de precisión

para geodesia y topografía.


Tema 8 – 304

Para observaciones de fase, recordamos que el modelo de observación teniendo en

cuenta el retardo ionosférico se puede escribir en términos de distancia como (1 hace

referencia a la observación con L1 y 2, con L2):

iono

iono

Nc Δ−+Δ⋅+=Φ 11111 λδρλ

Nc Δ−+Δ⋅+=Φ 22222 λδρλ

Dividiendo por las correspondientes longitudes de onda:

11

111 λλ

δλρ Nc Δ−+Δ⋅+=Φ

iono

22

222 λλ

δλρ Nc Δ−+Δ⋅+=Φ

iono

Usando la relación c=fλ y por tanto f

=λ c , sustituimos λ y obtenemos:

cfNf

cf Δ⋅

−+Δ⋅+⋅

=Φ 111

11 δρ iono

cfNf

cf Δ⋅

−+Δ⋅+⋅

=Φ 222

22 δρ iono

Introduciendo los términos:

δρ Δ+=c

a

iono

cfb Δ=

2

en las expresiones anteriores, estas quedan como:

1111 f

Nfa −+⋅=Φ b


Tema 8 – 305

2222 f

Nfa −+⋅=Φ b

22

22

en donde b incluye el término del retardo ionosférico. Este se puede eliminar

multiplicando la primera ecuación por f1 y la segunda por f2 y restando la primera

menos la segunda:

bfNfabfNfaff +⋅−⋅−−⋅+⋅=Φ−Φ 2221112211

2211212211 )( fNfNffaff ⋅−⋅+−⋅=Φ−Φ

donde el término b ha desaparecido y por tanto el retardo ionosférico. La combinación

libre ionosfera finalmente se obtiene multiplicando la ecuación por 22

21

1

ff −f

y

reordenando términos:

22

21

12

1

2112

22

1

12

1

21 ff

fNffNfa

fff

ff

−⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Φ⋅−Φ

22

Como vemos en esta combinación desaparece la naturaleza entera de las

ambigüedades.

3.1.2. Cuantía

Puede llegar a ser de hasta 100 m en pseudodistancia. Normalmente 10 m.

El retardo ionosférico es menor en el cenit, aumentando cuando disminuye el ángulo

de elevación (de ahí la máscara de elevación en una observación).

Por la noche el TEC también es menor (antiguamente obs nocturnas).

Aún aplicando un modelo, quedará un error residual que afectará mayormente a la

altitud y al cálculo del estado del reloj del receptor. De ahí también que el error

altimétrico sea mayor que el planimétrico.

3.1.3. Corrección o mitigación


Tema 8 – 306

Para eliminar el retardo ionosférico se utilizan dos señales de diferentes

frecuencias. Como hemos dicho que el retardo depende de la frecuencia, será

distinto para cada una y se podrá observar un retardo diferencial entre ambas,

siendo por tanto este retardo deducible. Esta es una de las razones por la que

los receptores de precisión utilizan dos frecuencias (L1 y L2).

La combinación lineal que elimina el efecto es la llamada "libre ionosfera" o L3:

( )22

212

122

21

3 LfLfff

L −−

= 1

También es evidente que trabajando en modo diferencial, el retardo afectará

por igual a estaciones, pero siempre que estén cercanas. Esto no tiene porqué

cumplirse en líneas base largas. De hecho, la combinación libre ionosfera se

recomienda aplicar en líneas base a partir de 10 km.

La observación nocturna minimiza el error, cuando el TEC es menor.

Incrementar la máscara de observación (15º normalmente) minimiza el error

que se introduce al tener en cuenta observaciones de satélites a baja altura, las

cuales atraviesan la ionosfera durante mayor recorrido.

3.2. Troposfera

3.2.1. Causa

De la misma forma, la capa más baja de la atmósfera, contiene vapor de agua, con lo

cual el índice de refracción para un área parcial es función de su temperatura, de la

presión y del vapor de agua.

La Troposfera es la última zona o capa de la atmósfera (hasta unos 80 Km, pero sólo

en los últimos 40 se producen retardos significativos), donde se produce retardo y

donde las temperaturas decrecen con el incremento de altura. El espesor de la

Troposfera no es el mismo en todas las zonas. La presencia de átomos y moléculas

neutros en la Troposfera afecta a las señales de propagación electromagnética. El

índice de refracción para un área parcial es función de su temperatura, de la presión

de los gases secos y del vapor de agua.


Tema 8 – 307

Esta atmósfera neutra es un medio no disperso con respecto a las ondas de radio de

frecuencias superiores a 15 GHz, por lo tanto, la propagación es independiente de la

frecuencia, y esto precisamente hace que el tratamiento y la eliminación del retardo

troposférico no se pueda realizar como en la ionosfera, con diferentes frecuencias.

El retardo troposférico experimentado por una señal que va desde un satélite a un

punto en la superficie, puede ser expresado en primera aproximación por la siguiente

integral a lo largo del camino recorrido por la señal, s (distancia geométrica satélite-

receptor):

∫ −=Δ dsn )1(trop

6trop

Usualmente, en lugar del índice de refracción se utiliza la refractividad:

)1(10 −= nN

con lo cual:

∫− troptrop 6=Δ dsN10

Esta integral puede ser evaluada conociendo el índice de refracción, o puede ser

aproximada por funciones analíticas. Pero lo más normal es utilizar aproximaciones

basadas en modelos atmosféricos simplificados. Algunos de estos modelos son: el

modelo de Hopfield (1969), modelo de Saastamoinen (1972), modelo de Hopfield

modificado, Goad y Goodman (1974), Black (1978), Robinson (1986), etc.

Por otro lado, se han realizado numerosos proyectos para calcular el contenido de

vapor de agua de la troposfera a partir de medidas GPS: meteorología con GPS,

aprovechando la información obtenida del retardo troposférico, es decir, sería invertir

el camino, conocido el retardo, calcular el índice de refracción, y a partir de ahí, el

contenido de vapor de agua en la troposfera.

En la mayoría de los casos, se considera por separado la componente seca y la

componente húmeda :

En este caso:

NTrop = NdTrop + Nw

Trop


Tema 8 – 308

∫−=Δ dsN Tropd

Tropd

610

∫−=Δ dsN Tropw

Tropw

610

y por tanto el retardo troposférico total:

∫∫ −− TropTropTropTropTrop 66 +=Δ+Δ=Δ dsNdsN wdwd 1010

Se ha estudiado mucho el problema de si se puede mejorar el cálculo del retardo

troposférico tomando datos meteorológicos en el lugar de observación, pero esto es

algo que normalmente no se ha utilizado y cuyos resultados no han sido satisfactorios.

La componente húmeda varia espacialmente y temporalmente, mientras que la seca

permanece más estable. La componente seca es la causante de un 90% del total del

retardo y puede ser obtenida con precisión de algunos milímetros a partir de medidas

de presión en superficie. La componente húmeda es función del vapor de agua a lo

largo del camino de la señal, y es difícilmente evaluable.

El gradiente térmico admite modelación con precisión aceptable, pero el principal

problema está en la forma de modelar el vapor de agua, que tiene una irregular

distribución. El simple uso de medidas meteorológicas en superficie no puede dar la

precisión alcanzable con los radiómetros de vapor de agua. Estos instrumentos miden

la radiación basal que se recibe desde el espacio en la dirección de la observación, y

son capaces de medir el contenido de vapor de agua en la atmósfera.

En la práctica, se introducen modelos de refractividad para la componente seca y la

húmeda, bien conocidos desde hace mucho tiempo (ejemplo, modelo de Essen y

Froome, 1951). La correspondiente a la componente seca es:

,10, TcN Trop

d =_ p 1

1 64,77 −= Kmbc

donde p es la presión atmosférica en milibares (mb) y T la temperatura en grados

kelvin (º K).

La componente húmeda es:


Tema 8 – 309

,2

_

3

_

20, Tec

TecN Trop

w += 12 96,12 −−= Kmbc

1253 10718,3 −⋅= mbKc

donde e es la presión parcial de vapor de agua en mb y T es la temperatura en Kelvin

de nuevo. Los valores 21 ,cc y 3c se determinan empíricamente.

1. Modelo de Hopfield.

Usando datos empíricos que cubrían toda la Tierra, Hopfield (1969) desarrolló este

modelo, dando una refractividad seca como función de la altura:

4

)16.273(72.14840136 −⋅+= Th

0,)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

d

dtropd

tropd h

hhNhN

asumiendo una capa que afecta al retardo troposférico seco con espesor:

d metros

es decir, algo más de 40 km. Operando y sustituyendo en la expresión del retardo

troposférico resulta:

dtropd

tropd hN ⋅=Δ 0,5

10−6

En cuanto a la parte húmeda, como se ha dicho, resulta más complicado debido a la

fuerte variación en el tiempo y el espacio, resultando análogamente:

4

0,)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

w

wtropw

tropw h

hhNhN

donde se usa el valor medio hw=11000 metros, aunque se usan otros valores,

normalmente para la componente húmeda entre 10 y 13 km. Análogamente:

wtropw

tropw hN ⋅=Δ 0,5

10−6


Tema 8 – 310

y el retardo troposférico total será:

ddww hNhN ⋅+⋅=Δ 0,0,[5

troptroptrop−610

expresado en metros.

Evidentemente, el modelo expresa el retardo troposférico en el cenit. Hay que tener en

cuenta la trayectoria real teniendo en cuenta el ángulo cenital, lo cual se expresa como

“función de mapeado” (mapping function). Introduciendo esto el retardo queda como:

))()((5 0,0, EmhNEmhN dddwww ⋅⋅+⋅⋅=Δ 10 6

troptroptrop−

donde m(E) es la correspondiente función de mapeado. Siendo E la elevación del

satélite en la estación:

25.6sin)(

2 +=

EEmd

1

25.2sin)(

2 +=

EEmw

1

Hay otras funciones de mapeado mucho más complicadas, aunque más efectivas. La

más conocida y usada es la función de Niell (1996):

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+

++

+

−+

++

+

++

+

=

h

h

h

h

h

h

czb

z

az

cb

a

zkmh

czbz

az

cb

a

zm

coscos

cos

11

1

cos1)(

coscos

cos

11

1

)(

Los coeficientes a, b, c... son listados en dos tablas en función de la latitud (una para

la componente seca y otra para la húmeda).


Tema 8 – 311

Una mejora a este modelo (Hopfield) lo constituye el de Hopfield modificado, en el que

se asumen diferentes capas concéntricas expresados en forma de integral entre

r=radio de la Tierra hasta r=rd o r=rw.

2. Modelo de Saastamoinen.

La refractividad se deduce de las leyes de los gases, siendo en total:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=Δ ze

Tp

ztrop 2tan05.01255

cos002277.0

donde:

• z es el ángulo cenital del satélite

• p la presión atmosférica en mb

• T la temperatura en º K

• e la presión parcial de vapor de agua en mb.

Usando parámetros de una atmósfera estándar al nivel del mar, resulta el retardo

troposférico en el cenit de 2.3 metros.

Otro modelo modificado de Saastamoinen añade dos términos correctores, uno

dependiente de la altura de la estación y otro que depende de la altura de la estación

en combinación con la altura cenital del satélite:

RzBeT

pz

trop δ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=Δ 2tan05.01255

cos002277.0

donde los términos B y δR se interpolan de tablas.

3.2.2. Solución

Como se ha dicho, lo que se hace es utilizar modelos atmosféricos

simplificados: Hopfield (1969), Saastamonien (1972), Hopfield modificado,

Goad y Goodman (1974), Black (1978), Essen y Froome (1986), etc. Todos los

software del mercado pueden resolver el problema de esta forma, con

numerosos modelos troposféricos.


Tema 8 – 312

Estimación de los "zenith path delays" (ZPD), introduciéndolos como incógnitas

en el sistema de ecuaciones o una vez determinadas las ambigüedades.

Normalmente se estiman los ZPD’s diferentes cada hora y en cada estación.

Trabajando una vez más en modo diferencial, el retardo puede eliminarse, ya

que puede ser aproximadamente el mismo en una y otra estación.

Observaciones a baja altura, incrementarán proporcionalmente al coseno del

ángulo cenital el error (mínimo con z=90, cos 90 = 0).

Se puede mejorar el cálculo del retardo troposférico tomando datos

meteorológicos (en teoría)???

3.2.3. Cuantía

El retardo troposférico causa un error de 1.9 - 2.5 m en la dirección cenital y se

incrementa cuando decrece el ángulo, llegando a ser de 20 - 28 m a unos 5º

(volvemos a recalcar la importancia de la máscara de elevación en una observación).

Los modelos que se introducen pueden llegar a corregir el error hasta dejarlo en 1 – 5

cm.

3.2.4. Modelado de la troposfera en observaciones de código.

En un 90% se puede modelar con:

- ddry es el retardo vertical debido a la componente seca (O y N en equilibrio

hidrostático)

)()( elevmddT wetdryj

i ⋅+=

- dwet es el retardo vertical debido a la componente húmeda (vapor de agua)

m 0,1d

m 2,3d

wet

H)100,116(dry

3

=

= ⋅⋅− −

H, altura s.n.m, en m

Y el factor de oblicuidad para proyectar el retardo vertical en la dirección sat-receptor:


Tema 8 – 313

)(sen0,002001m(elev)

2 elev+= 1,001

3.3. Pérdidas de ciclo.

3.3.1. Causa

Las pérdidas de ciclos o "cycle slip" suponen un salto en el registro de las medidas de

fase por:

interrupción o pérdida de la señal enviada por el satélite (árboles, edificios,

montañas...), sin duda es la causa más frecuente.

baja calidad de la señal, SNR (calidad señal-ruido) debido a una baja elevación

del satélite, malas condiciones ionosféricas, multipath, etc.

fallo en el software del receptor, que lleva a un procesamiento incorrecto de la

señal.

mal funcionamiento del oscilador del satélite (menos probable).

Los receptores, lo que miden es la diferencia entre la fase de la portadora transmitida

del satélite y la fase de la señal réplica que genera el receptor. Esta medida puede

estar entre 0 y 1 ciclo (0 y 2π). Durante el registro, el contador se incrementa en una

unidad cuando la fase (fraccional) cambia de 2π a 0.

El número entero inicial de ciclos entre el satélite y el receptor no se conoce y tiene

que ser calculado (ambigüedad). Esta cantidad o ambigüedad inicial de fase

permanece siempre que no exista pérdida de señal. Una pérdida de señal causa un

salto en la fase acumulada de un número entero de ciclos entre un tiempo t1 y un

tiempo t2. Obviamente, esto afecta únicamente a las medidas de fase.

La representación gráfica de un salto de ciclo puede verse en la siguiente figura.

Cuando se representa gráficamente las medidas de fase con respecto al tiempo, esta

queda representada por una curva suave. Cuando hay un salto de ciclo, aparece una

discontinuidad en la función.


Tema 8 – 314

Fig. 8. Salto de ciclo.

3.3.2. Corrección

El problema es sencillo y también su solución, siempre que el salto de ciclo o

pérdida no sea muy grande.

La detección es sencilla por medio de un chequeo. Una vez detectado que hay

un salto de ciclo y el tamaño de la pérdida de ciclo, la reparación se hace

corrigiendo a todas las observaciones de fase siguientes para este satélite,

según una cantidad fija.

También el software interno del receptor es capaz de detectar y corregir estas

pérdidas.

La detección y corrección de saltos de ciclo se puede llevar a cabo mediante un sencillo

algoritmo en dos pasos:

1. Chequear todas las observaciones y encontrar los intervalos de tiempo con saltos de

ciclo, chequeando que las dobles diferencias de fase estén dentro de una función

suavizada de tiempo que pueda ser representada por un polinomio de grado pequeño

(q), calculando las q+1 primeras derivadas y chequeando si dentro o no de esta

cantidad se encuentra el error medio cuadrático esperado.

2. Si es posible, reparar los saltos de ciclo, corrigiendo todas las observaciones a

partir de la primera época en la que encuentra el salto de ciclo. Si no es posible


Tema 8 – 315

reconstruir la señal, esas épocas tienen que marcarse como "outlier" e introducir una

nueva incógnita de ambigüedad en las ecuaciones.

En realidad la formulación para la detección y reparación de saltos de ciclo es bastante

amplia e incluye observaciones de código y de fase para su detección. El chequeo se

hace con fase (L1 o L2), combinaciones de fases, combinaciones de código y fase o

combinaciones de fase con frecuencia Doppler. El chequeo “in situ” es muy importante

porque permite detectar el salto y corregirlo mediante un software interno en el

receptor para una estación. Cuando hay dos estaciones involucradas, se chequean las

simples, dobles y triples diferencias.

Una opción buena para el chequeo es también la combinación denominada “residuo

ionosférico” de ambas medidas de fase:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=Φ−Φ 2

2

1

12

2

112

2

11 1

ff

fbN

ffN

ff 2

En condiciones ionosféricas normales, si no hay saltos de ciclo, las variaciones

temporales del residuo ionosférico debería ser pequeño. Los indicadores de saltos de

ciclo son pequeños saltos en los sucesivos valores de este residuo ionosférico. Para la

investigación de si el salto fue en L1, L2 o en ambos, existen otras combinaciones con

código.

3.4. Multipath o Multitrayectoria.

3.4.1. Causa

Este efecto es causado por múltiples reflexiones de la señal emitida por el satélite en

superficies cercanas a la antena. La consecuencia es que las señales recorren un

camino más largo y puede distorsionar la amplitud y forma de la onda.

El efecto multipath depende de la frecuencia de la portadora. Por lo tanto, las medidas

de fase se verán menos afectadas que las medidas de código, donde el efecto

multipath puede alcanzar hasta el nivel de metro.


Tema 8 – 316

Fig. 8. Multipath.

La dificultad proviene de que las técnicas de GPS diferencial no eliminan los efectos de

multipath, puesto que es dependiente del sitio de observación, sin embargo el

equipamiento y la elección de un buen sitio de estación sí que evitan que se produzca

este indeseado efecto en una observación GPS.

Se pueden agrupar los errores de multipath en tres clases diferentes:

• Difusión proveniente de un área grande (por ejemplo, si la señal pasa a través

de una tela metálica).

• Reflexión especular en objetos bien definidos o superficies reflectantes al lado

de la antena.

• Fluctuaciones de muy baja frecuencia asociados generalmente con reflexión en

la superficie del agua.

3.4.2. Solución

Elegir puntos protegidos de reflexiones de edificios, vehículos, árboles,

plataformas reflectantes metálicas...

Imponer una vez más la máscara de elevación, ya que con señales procedentes

de satélites a baja altura, el efecto será mayor o más fácil que pueda darse.


Tema 8 – 317

También el diseño de la antena reduce considerablemente el efecto, mediante

antenas tipo “choke ring” o "anillos de choque" se reducen las interferencias de

señales con baja elevación o procedentes de multipath.

Fig. 9. Esquema y antena "choke ring".

El plano de tierra combinado con anillos circulares están diseñados para rechazar el

multipath en las frecuencias de GPS. Este es uno de los aspectos más investigados

en los últimos años y en el que muchos fabricantes han avanzado, desarrollando

técnicas de detección y corrección, sobre todo para equipos de gama alta,

geodésicos, estaciones permanentes, etc. Se basa en discrimar la onda secundaria

procedente de un multipath o rebote y eliminarla: Si la Amplitud de la onda

primaria = Amplitud onda secundaria, pero la diferencia de fase = 180º, la señal

reflejada se cancela, permaneciendo la directa.

Fig. 10. Dispersión de medidas en un antena con y sin choke rings (fuente: Leica)

Utilizando antenas con "plano de tierra", ground plane, para evitar ondas que

provengan de la parte inferior de la antena. Esta es una alternativa a la

utilización de antenas con anillos de choque. Suele ser el plano un disco

metálico donde está el cuerpo de la antena.


Tema 8 – 318

Incrementando el t de observación también se reduce el efecto, puesto que el

ángulo SV-receptor cambia. Por ello, también, al cambiar el ángulo, el efecto

multipath permanecerá por periodos más o menos cortos y el efecto se

enmascarará. Para aplicaciones geodésicas suelen utilizarse periodos de más de

dos horas. Para controles topográficos será conveniente ante la sospecha de

elementos que puedan causar multipath, la elección de periodos de observación

más largos que los recomendados.

Utilizando materiales radioabsorventes alrededor de la antena, suele hacerse en

estaciones permanentes GPS.

3.4.3. Cuantía

El efecto depende de la frecuencia y por ello las medidas de fase están menos

afectadas que las de código, donde pueden llegar a 1 m. Incluso en observaciones de

código pueden ser del orden de hasta 10-20 m e incluso 100 m en las cercanías de

edificios. Casos extremos de multipath producen pérdidas de ciclo o señal.

En el caso de observaciones de fase para posicionamiento relativo con líneas base

cortas y buena geometría de satélites y un cierto tiempo de observación, el multipath

no debería tener efectos mayores que 1 cm. Efectuando observaciones más o menos

largas, periodos intermitentes de multipath no son un problema, por ejemplo cuando el

receptor es estacionado al lado de una autopista y grandes camiones pasan cerca de la

antena. En este caso, observaciones en estático rápido o cinemático se ven más

afectadas por el mutipath.

3.4.4. Modelo matemático

La consecuencia del multipath es que la señal recibida tiene un error en la fase relativa

(phase offset).

No existe un modelo general para el efecto multipath debido a la arbitrariedad de las

diferentes situaciones geométricas que se pueden dar. Sin embargo, su influencia se

puede estimar utilizando una combinación de medidas de código y fase L1 y L2. El

principio está basado en el hecho de que la troposfera, errores de reloj y efectos

relativistas tienen las misma magnitud en la fase y en el código. Sin embargo esto no

sucede con la refracción ionosférica y el multipath, ya que como hemos dicho

anteriormente, dependen de la frecuencia.


Tema 8 – 319

Tomando medidas de código y fase con la combinación libre ionosfera y formando las

correspondientes diferencias, los efectos mencionados desaparecen excepto el

multipath. Los residuos (quitando un bajo nivel de ruido) corresponden al efecto

multipath.

El efecto del multipath en la fase puede ser estimada teniendo en cuenta que la señal

directa e indirecta que llega al centro de la antena puede representarse como:

Señal directa: ϕcos⋅

)cos(

a

Señal reflejada o indirecta: ϕϕβ Δ+⋅⋅ a

)cos(cos

Donde a es la amplitud y ϕ la fase de la señal directa. La amplitud de la señal indirecta

es reducida por el término β debido a la reflexión en una superficie. También la fase de

la señal indirecta es retardada en la cantidad Δϕ, que es función de la configuración

geométrica. La superposición de las señales se representa como:

ϕϕβϕ Δ+⋅⋅+⋅ aa

Desarrollando esa expresión se llega la expresión para ΔϕM (M=multipath) que

corresponde a:

ϕβϕβϕΔ⋅+

=Δcos1

tan MΔ⋅ sin

El factor β puede variar entre 0 y 1. Si β=0 (entonces no hay señal reflejada ni

multipath) el resultado es que ΔϕM=0, o sea, la señal resultante es igual a la directa.

La reflexión más fuerte que puede darse es si β=1, con lo cual resulta ΔϕM = 0,5 Δϕ.

Evidentemente, Δϕ se puede expresar en función de la distancia como una función del

camino extra recorrido por la señal, Δs. En el caso de un reflector horizontal (suelo),

según la figura, expresando la deriva de la fase Δϕ en ciclos:

Es sinλλ

ϕ =Δ=Δ h21

donde h es la altura de antena al suelo, E la elevación del satélite.


Tema 8 – 320

Fig. 11. Geometría del multipath.

4. Errores dependientes del receptor.

4.1. Estado de reloj de receptor

4.1.1. Causa

Igual que el error de reloj en el satélite, cuando el receptor recibe una señal, en ese

momento su reloj interno tendrá un desfase respecto a la escala de tiempo.

El oscilador del GPS se usa para generar la señal réplica. Sin embargo, este error

afectará por igual a todas las medidas de los satélites de los que están registrando

simultáneamente. Para determinar la posición se necesitan 3 SV y uno más para

determinar el error de reloj del receptor.

Se podría mejorar instalando en los receptores GPS relojes atómicos, mucho más

precisos, sin embargo, no es práctico, puesto que la relación coste/beneficio no

resultaría nada rentable. La observación de un cuarto satélite hace que se resuelva el

estado del reloj del receptor de una manera más cómoda. Esto hará que se pueda

ajustar el reloj de nuestro receptor con una precisión como si fuera atómico. Los

receptores corrigen su reloj cada segundo siguiendo una observación a un satélite, por

eso se emplean receptores GPS simplemente para tener una referencia precisa de

tiempos.

4.1.2. Solución


Tema 8 – 321

Se eliminarán trabajando con posicionamiento relativo por medidas de fase,

planteando las ecuaciones de dobles diferencias.

En receptores geodésicos o topográficos estos errores se minimizan, debido a la

mayor precisión de sus relojes.

4.2. Variación del centro de fase de la antena.

4.2.1. Causa

Este error se debe a la falta de coincidencia entre el centro radioeléctrico o punto al

que realmente llega la señal y el centro mecánico o físico, generando un error residual

por excentricidad que puede ser de unos milímetros. Es similar a las correcciones

introducidas en un distanciómetro para la constante del prisma, por falta de

coincidencia entre el eje y el centro del prisma.

Además, este centro de fase varía en función de la altura de los satélites de

observación.

Fig. 12. Excentricidad del centro de fase de antena.

Para receptores de doble frecuencia, habrá dos centros de fase, para L1 y L2, con sus

diferentes variaciones y su valor es variable, dependiendo del tipo de antena en el

mercado.

4.2.2. Corrección

En los software de cálculo diferencial, se incluyen ficheros para esta corrección (mm),

en forma de tablas como la que se muestra a continuación, donde se incluyen los


Tema 8 – 322

incrementos en la altura de antena en función de la elevación de los satélites

(PHAS_IG.01- PCV, Phase Center Variation):

RECEIVER TYPE ANTENNA TYPE FROM TO TYP D(Z) D(A) ******************** ******************** ****** ****** *** *** *** TRIMBLE 4000SSI TRM23903.00 0 999999 1 5 360 A\Z 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 L1 0 0.00 4.90 9.30 13.10 16.10 18.40 19.90 20.50 20.40 19.60 L2 0 0.00 0.10 0.50 1.00 1.60 2.10 2.50 2.80 2.80 2.70

Como se puede ver, la L2 es mucho más estable.

Todas las antenas del mercado tienen su calibración con los correspondientes valores

de PCV.

Al trabajar en modo diferencial, se han de orientar todas las antenas hacia el

mismo punto aproximadamente (convencionalmente, el norte), ya que en fábrica se

montan todas las antenas con la misma orientación en la carcasa. Este error es

calibrado en función de la altura de horizonte de cada satélite, y aunque afecta

mayormente a la componente vertical, también existe un desplazamiento horizontal.

Fig. 13. PCV en una antena Trimble.

4.3. Incertidumbre de medida

4.3.1. Causa

Cualquier medida electrónica está sujeta a un error de medida aleatorio (o ruido).


Tema 8 – 323

El error aleatorio es considerado como la desviación con respecto a cero de las

medidas hechas.

4.3.2. Cuantía

Para la mayoría de los receptores de precisión, la incertidumbre en la medida de fase

es de unos 2 mm o incluso 1 mm en condiciones ideales (geometría satélites, actividad

atmosférica, obstáculos...) y de algún centímetro para medidas de código, aunque

lógicamente dependerá de la calidad del receptor GPS.

4.4. Retardos instrumentales.

Causa Antenas, cables y filtros utilizados en receptores y satélites Modelado

Se descompone en un retardo del satélite y otro del receptor.

- Receptor: Se modela incluyéndolo en el offset del reloj del receptor

- Satélite: se transmite en el mensaje de navegación (Total Group Delay) de

cada satélite.

En receptores de doble frecuencia se incluye y elimina un término (TGD) en la

combinación libre ionosfera (acuerdo de ICD GPS-2000)

4.5. Otros errores en los equipos.

Otro grupo de errores que se nos pueden presentar pueden ser debidos a:

• Desconocimiento de las coordenadas aproximadas correctas de la estación,

imprescindibles para la linealización de las relaciones de observación.

• Error en el estacionamiento de la antena.

• Error en la medida de la altura de antena. Aunque parezca una perogrullada, no es

así y muchos problemas vienen por este motivo. Sobre todo, es frecuente la

indeterminación en saber dónde se refiere la altura (centro de fase, plano de tierra,

parte inferior de la antena) y el modo (vertical, inclinada). Es de vital importancia


Tema 8 – 324

anotar y referenciar claramente este aspecto en cualquier observación, ya que, aunque

de todos es sabido que hay que hacerlo, muchos errores en el postproceso se deben a

confusiones de este tipo.

• Errores en la manipulación de los equipos. Por ejemplo, comenzar una observación

sin que se hayan sincronizado perfectamente los relojes (se introduciría ruido en la

observación).

5. Niveles de precisión en GPS.

5.1. Anulando errores con DGPS.

La forma de evitar la mayoría de los errores es trabajar en modo diferencial.

Asumiendo que los dos receptores no están demasiado lejanos uno del otro, los errores

debidos al reloj del satélite, orbital, ionosférico, troposférico y la SA afectará a ambos

receptores de la misma forma y con la misma magnitud. Si conocemos exactamente la

posición de uno de los receptores, los errores incidentes en ese punto se pueden

extrapolar al punto de coordenadas no conocidas y compensar en modo diferencial.

Ahora bien, debido al movimiento de los satélites y los cambios en sus relojes, las

correcciones pueden cambiar rápidamente con el tiempo. Trabajando con correcciones

en tiempo real es importante la rapidez en la transmisión de las correcciones.

Por otro lado, a medida que crece la longitud de la línea base, la correlación entre los

errores en ambos puntos disminuye. En otras palabras, habrá errores residuales en la

posición calculada del punto a determinar que depende de la proximidad a la base. Un

valor típico es el de 1 mm por Km, trabajando con receptores de doble frecuencia (1

ppm). Para receptores de una frecuencia, el error puede crecer el doble, 2 ppm.

Como vemos en la tabla siguiente, el modo diferencial anulará la mayoría de los

errores excepto los errores del receptor y el multipath. Estos errores son locales en

cada receptor y no podrán ser anulados en modo diferencial.


Tema 8 – 325

Fig.14. Tablas de errores estándar con GPS y DGPS código C/A (Según las fuentes, los

valores pueden variar significativamente)

El error de receptor (o ruido) es típicamente de 10 cm para receptores de código y de

1 mm para fase. En receptores de alta calidad, estos errores son más pequeños aún. El

error de multipath puede ser de varios metros para código y algunos centímetros para

la fase. Es decir, si evitamos el multipath, podemos llegar a obtener precisiones

milimétricas con fase y decimétricas con código.

5.2. Diferentes receptores.

Básicamente podemos encontrar tres tipos de receptores en base al observable que

colectan y por tanto, a su precisión (y directamente el precio):

5.2.1. Receptores código C/A.

Los receptores de código proporcionan precisiones típicas de 1 a 5 metros en modo

diferencial y entre 15 - 25 m en modo absoluto. Es evidente que para aplicaciones de

navegación o actualización de cartografía a pequeñas escalas esta precisión es

suficiente.

Esta precisión de 1 - 5 m en la posición podría ser para ocupaciones de una sola época.

Con tiempos de ocupación mayores (3 minutos), nos darán precisiones dentro del

metro e incluso menos, aunque depende de muchos factores (distancia a la base,

configuración, hora...).


Tema 8 – 326

5.2.2. Receptores con observaciones de fase.

Los receptores con observaciones de fase proporcionan una precisión dentro de los 10

- 30 cm en modo diferencial, suficientes para actualización de todo tipo de cartografía,

por grande que sea la escala.

Estos receptores "cuentan" el número de ondas que contiene la señal C/A, desde el

satélite al receptor, dando una precisión mayor. Sin embargo, requiere una ocupación

mucho mayor para obtener 10-30 cm. Inicializando un trabajo con observaciones de

fase en un punto de coordenadas conocidas requiere una ocupación mínima de 5

minutos. Otros requerimientos adicionales en función del método de observación,

como por ejemplo la necesidad de cercanía a la base o la necesidad de mantener la

constelación de satélites durante el trabajo, serán siempre limitadores.

5.2.3. Receptores de doble frecuencia.

Estos receptores proveen precisión subcentimétrica en modo diferencial, para

aplicaciones geodésicas o trabajos topográficos de precisión.

Fig. 15. Precisión de los equipos GPS según el modo de trabajo y el tipo de receptor.


Tema 8 – 327

5.3. Indicadores de Precisión

5.3.1. Error equivalente al usuario (UERE)

Un parámetro que aglutina y engloba a todos los errores vistos y dan un indicador al

usuario es el UERE.

• UERE (User Equivalent Range Error): es el error equivalente en distancia al usuario.

Se define como un vector sobre la línea vista entre el satélite y el usuario resultado de

proyectar sobre ella todos los errores del sistema:

- incertidumbres en las efemérides

- errores de propagación (ion, trop,...)

- errores de tiempo de los relojes

- ruido del receptor GPS.

• Este error es equivalente para todos los satélites.

• Se trata de un error cuadrático medio.

5.3.2. Dilution of Precision (DOP)

El indicador de precisión que normalmente se maneja es el DOP (Dilution Of Precision).

- El DOP es la contribución puramente geométrica a la incertidumbre de un

posicionamiento.

- Las mediciones de los satélites pueden ser mejores o peores dependiendo de qué

satélites se empleen para efectuar una medición de posición, ya que dependiendo de

los ángulos relativos en el espacio la geometría puede aumentar o disminuir la

incertidumbre.

- Así, el lugar geométrico de puntos a una determinada distancia del satélite es en

realidad una esfera "difusa". Como la posición del usuario quedaba definida por la

intersección de dichas esferas ya no será un único punto sino un cierto volumen.

- Es inversamente proporcional al volumen de la figura generada entre SV y receptor.


Tema 8 – 328

- En general existe buena configuración para DOP´s < 4.

El DOP se puede dividir en varios términos:

• GDOP (Geometric DOP), suministra una incertidumbre como consecuencia de la

posición geométrica de los satélites y de la precisión temporal.

• PDOP (Position DOP), incertidumbre en la posición debido únicamente a la posición

geométrica de los satélites.

• HDOP (Horizontal DOP), incertidumbre en la posición horizontal que se nos dá del

usuario.

• VDOP (Vertical DOP), suministra una información sobre la incertidumbre en la

posición vertical del usuario.

• TDOP (Time DOP), precisión transmitida en el tiempo.

Algunas consideraciones sobre el DOP:

• DOP sirve mayormente para navegación diferencial, pues se elige la mejor

configuración de 4 satélites que puedan ver al mismo tiempo las dos estaciones.

• DOP es de poco interés en geodesia y topografía: prácticamente todos los satélites

visibles son seguidos por los receptores y es posteriormente el ajuste el que da el

resultado con los errores.

• DOP se puede utilizar para planificación y control particularmente en métodos como

cinemático o estatico rápido.

5.3.3. Otros indicadores de precisión.

• Existe un parámetro semejante al UERE pero que no es el mismo, se trata de la URA

(User Range Accuracy) o precisión en la distancia para el usuario, que es transmitido

por los satélites e informa al usuario de la fiabilidad que se puede obtener en las

medidas.

Otros Parámetros estadísticos:

• CEP (Circular Error Probable) que indica el radio de error al 50% de las medidas.

buen GDOP mal GDOP


Tema 8 – 329

• R95, lo mismo para el 95%.

• 1s o RMS (Root Mean Squared) que proporciona un 67% de probabilidad de que las

medidas estén en el radio especificado.

• 2s proporciona el error máximo en el 95% de los casos.

• 2drms, dos veces el error medio cuadrático en distancia (radialmente a la posición

verdadera).

Otra forma de expresar la desviación estandar en la posición es como el producto de

UERE y DOP (vertical u horizontal).

Fig.16. Relación entre CEP, 2dmrs, R95 y 2σ.

TEMA 8. Fuentes de error en GPS y...

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