Tema 8 - La verdad en las matemáticas y en las ciencias empíricas

8/13/2019 Tema 8 - La verdad en las matemticas y en las ciencias empricas

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LA VERDAD EN LAS MATEMTICAS Y EN LAS CIENCIAS EMPRICAS(NATURALES Y SOCIALES)

Contenido

1. Definicin y teoras de la verdad ........................................................................................ 2

1.1 Teora de la verdad como correspondencia .................................................................. 31.1.1 La correspondencia como semejanza: la teora russelliana de la verdad comorelacin mltiple ............................................................................................................. 5

1.1.2 Austin: la correspondencia como correlacin convencional ................................. 6

1.1.3 Husserl: verdad como cumplimiento ..................................................................... 8

1.2 Teoras pragmticas de la verdad ................................................................................. 9

1.2.1 El pragmatismo de Peirce ...................................................................................... 9

1.2.2 James ................................................................................................................... 10

1.2.3 La teora consensual de Habermas ...................................................................... 101.3 Teoras de la coherencia ............................................................................................. 13

1.3.1 La teora de Brand Blanshard .............................................................................. 14

1.3.2 La teora de la coherencia de Carnap y Neurath .................................................. 15

1.4 Teora semntica de la verdad .................................................................................... 16

1.4.1 Adecuacin material: el esquema V .................................................................... 16

1.4.2 Correccin formal: la paradoja del mentiroso ..................................................... 18

1.4.3 Predicados y satisfaccin ..................................................................................... 19

1.4.4 Definicin recursiva de satisfaccin y verdad ..................................................... 201.5 Teoras deflacionarias ................................................................................................. 23

1.5.1 La teora de la redundancia .................................................................................. 23

1.5.2 La teora prooracional .......................................................................................... 24

2. La verdad en las matemticas ........................................................................................... 26

2.1 El formalismo matemtico.......................................................................................... 27

2.1.1 El mtodo axiomtico .......................................................................................... 28

2.1.2 El problema de la consistencia ............................................................................ 29

2.2 El intuicionismo de Brouwer ...................................................................................... 33

2.3 El logicismo de Russell .............................................................................................. 34

2.4 La filosofa de las matemticas de Lakatos ................................................................ 34

2.5 Verdad en matemticas? ........................................................................................... 36

3. La verdad en las ciencias empricas ................................................................................. 37

3.1 Las leyes fsicas .......................................................................................................... 38


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3.2 Las leyes de la biologa y las ciencias humanas ......................................................... 38

3.3 El problema de la distincin entre ciencias naturales y ciencias sociales .................. 39

3.4 La verdad en las ciencias naturales: Popper y el Crculo de Viena ............................ 41

3.5 La verdad en las ciencias sociales .............................................................................. 46

4. Bibliografa ....................................................................................................................... 50

1. Definicin y teoras de la verdad

Al tratar la cuestin de la verdad, suele sealarse la distincin existente entre las acepcioneshebrea y griega. La voz hebrea para designar verdad es 'emeth, cuyo radical ('aman)significa "sostener algo firmemente para que no caiga". Entre los sinnimos queacompaan y sustituyen a 'emeth, el principal es 'emunah(fidelidad, afianzamiento, sitio endonde se puede uno apoyar). Por su parte, el trmino griego correspondiente a verdad esaltheia que -mediante su a privativa- indica la condicin de des-velamiento, des-cubrimiento o des-ocultamiento del ser. As, altheiaremite a una dualidad: lo que apareceante nosotros y el fundamento de lo que aparece o, en otros trminos, la autntica verdad.De modo que la nocin griega de verdad remite a lo permanente, mientras que la hebrearefiere a un aspecto ms bien dinmico. Por eso, para indicar la verdad, el griego dice dealgo que es, y el hebreo amn(as es).

A lo largo de la historia de la filosofa, el trmino verdad se ha usado en dos sentidos:

para referirse a una proposicin: la proposicin es verdadera, a diferencia de falsa para referirse a una realidad: una realidad es verdadera, a diferencia de otra que es

aparente, ilusoria, etc.

Los filsofos griegos comenzaron por buscar lo verdadero frente a la falsedad, la ilusin, laapariencia, etc. La verdad era idntica a la realidad. El griego concibe la verdad comodescubrimiento del ser, es decir, como la visin de la forma o perfil de lo que esverdaderamente, pero que se halla oculto por el velo de la apariencia.

Los griegos se ocuparon tambin de la verdad como propiedad de ciertos enunciados, de loscuales se dice que son verdaderos. As, para Aristteles, "decir de lo que es que no es, o delo que no es que es, es lo falso; decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es loverdadero" (Metafsica, , 7, 1011b 26-8). Para Aristteles no hay verdad sin enunciado.Para que un enunciado sea verdadero es menester que haya algo de lo cual se afirme que esverdadero (o que no haya algo de lo cual se afirme que no es verdad .

Para los escolsticos, la verdad es una propiedad trascendental del ente. La verdad comoverdad trascendental es definida como la conformidad o conveniencia del ente con lamente. Pero la verdad puede entenderse as mismo como la conformidad o conveniencia dela mente con la cosa, o adecuacin de la mente con la cosa (verdad lgica).
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Para los racionalistas y los empiristas, las verdades son fundamentalmente "verdades dehecho".

Para Kant, si el objeto del conocimiento es la materia de la experiencia ordenada por lascategoras, la adecuacin entre el entendimiento y la cosa se hallar en la conformidad entre

el entendimiento y las categoras del entendimiento. La verdad es entonces primordialmenteverdad del conocimiento, coincidente con la verdad del ser conocido. Pues si hayefectivamente cosas en s, stas son inaccesibles y, por tanto, no puede hablarse de otroconocimiento verdadero que el conocimiento de dicha verdad trascendental.

Con respecto a la verdad se han mantenido diversas teoras, de las cuales las msimportantes son: teora de la verdad como correspondencia, teora pragmtica de la verdad,teora de la coherencia, teora semntica de la verdad y teora de la verdad comoredundancia.

1.1 Teora de la verdad como correspondencia

La concepcin de la verdad como correspondencia es la ms extendida e importante de lasconcepciones de la verdad; hasta el punto de que el resto de las concepciones parten de ellao la presuponen, incluso cuando la critican. La formulacin clsica procede de Aristteles:

Decir de lo que no es que es, o de lo que es que no es, es falso; y decir de loque es que es, y de lo que no es que no es, es verdadero; de suerte que el quedice que algo es o que no es, dir verdad o mentira (Metafsica, IV, 7)

Puesto que [...] se ajusta a la verdad el que piensa que lo separado estseparado, y que lo junto est junto, y yerra aquel cuyo pensamiento est encontradiccin con las cosas, cundo existe o no existe lo que llamamosverdad o falsedad? Debemos, en efecto, considerar qu es lo que decimos.Pues t no eres blanco porque nosotros pensemos verdaderamente que loeres, sino que, porque t eres blanco, nosotros, los que lo afirmamos, nosajustamos a la verdad (Metafsica, IX, 10)

La verdad es, pues, el "ajuste" del pensamiento a la realidad. Si pensamos que las cosas soncomo realmente son, nuestros pensamiento -y nuestro decir- es verdadero. El segundo textoexplica a qu clase de ajuste se referira Aristteles. Si en la realidad a una cosa lepertenece una propiedad, en el pensamiento debe decirse eso mismo. Hay, pues, unparalelismo:

realidad: cosa-propiedad (relacin real de pertenencia) pensamiento: sujeto-predicado (relacin lgica de predicacin)

De aqu deriva la famosa definicin medieval como adecuacin:


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Adecuacin del entendimiento a la cosa, segn que el intelecto afirma ser loque es, y no ser lo que no es (Sto. Toms de Aquino, Suma contra gentiles,I, 49)

Esta teora de la verdad plantea mltiples problemas. El primero de ellos es el siguiente: es

sta la concepcin originaria de la verdad, o deriva de otra an ms originaria? La respuestade Heidegger es:

"Una proposicin es verdadera" significa: descubre al ente en s mismo.Propone, muestra, permite ver el ente en su "estado de descubierto". El "serverdadero" del a proposicin ha de entenderse como un ser descubridora. Laverdad no tiene, pues, en absoluto la estructura de una concordancia entre elconocer y el objeto, en el sentido de una adecuacin de un ente (sujeto) aotro (objeto) (Ser y tiempo, pargrafo 44)

Es decir, la nocin de verdad como correspondencia deriva de otra nocin ms primitiva, lade verdad como aletheia, como revelacin del ser de las cosas. El mostrarse de la cosa es laverdad originaria, anterior al juicio, y, por tanto, anterior a la idea de correspondencia. Laverdad originalmente est ligada al ser; la prioridad la tienen las cosas, en las que estamosineludiblemente instalados y cuya verdad se nos hace presente y nos interpela. Todo otrosentido de la verdad est referido a ste.

No es este, no obstante, el nico problema, ni el ms grave, de los que plantea estaconcepcin de la verdad. Siempre podemos preguntar: qu significa que haycorrespondencia o adecuacin? Podramos responder que convencionalmente se hanasignado unos signos determinados a unos objetos determinados, de modo que, cuandoaparecen estos signos, nuestra mente se representa este objeto. Pero, en qu consiste unarepresentacin del objeto?

An ms, en esta concepcin de la verdad hay subyacente otra teora filosfica que tambinha sido discutida: el realismo, el cual supone que existe una realidad independiente denuestra mente y que esa realidad es bsicamente tal como se representa en ella. Larepresentacin consiste en la captacin de la "forma" de la realidad.

Para las teoras de la correspondencia, la verdad de una proposicin consiste, no en susrelaciones con otras proposiciones, sino en su relacin con el mundo, en su correspondenciacon los hechos. En este sentido, la definicin aristotlica vista ms arriba se englobaradentro de una teora de la verdad como correspondencia, pues al emitir un juicio este serverdadero si aquello que afirmamos en el juicio se corresponde con lo que existe en larealidad.

Ahora bien, qu es esta correspondencia con la realidad?. La relacin de correspondenciase explica no en trminos de un isomorfismo estructural entre proposicin y hecho, sino entrminos de relaciones puramente convencionales entre las palabras y el mundo. Lacorrespondencia se explica mediante dos tipos de "correlacin":

i. "convenciones descriptivas" que correlacionan palabras con tiposde situacin, y


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ii. "convenciones demostrativas" que correlacionan palabras con situacionesespecficas

La idea es que en el caso de un enunciado tal como "tengo prisa", proferido por sen t, lasconvenciones descriptivas correlacionan las palabras con situaciones en las cuales alguien

tiene prisa, y las convenciones demostrativas correlacionan las palabras con el estado de sen t, y el enunciado es verdadero si la situacin especfica correlacionada con las palabraspor (ii) es del tipo correlacionado con las palabras por (i).

Desde este punto de vista, Austin subraya el carcter convencional de las correlaciones;pues cualquier palabra se podra correlacionar con cualquier situacin; la correlacin nodepende en modo alguno del isomorfismo entre palabras y mundo.

Austin localiza la verdad del enunciado de que "p" no en su correspondencia con el hechode que "p", sino ms bien en que los hechos sean como dice "p", o, segn lo expresaAustin, en las convenciones demostrativas que correlacionan "p" con una situacin que esdel tipo con el que las convenciones descriptivas lo correlacionan.

La idea de la verdad como correspondencia es una nocin realista pues distingue,realistamente, entre una teora y los hechos que describe, y hace posible decir que esverdadera o falsa si concuerda o no concuerda con ellos.

1.1.1 La correspondencia como semejanza: la teora russelliana de la verdad comorelacin mltiple

En todos los actos cognitivos la mente se halla en alguna relacin -dudar, creer, percibir,etc.- con objetos distintos de ella misma. Si la creencia fuera una relacin didica entre lamente y un objeto nico -lo juzgado o credo-, entonces tendramos que aceptar que cuandoOtelo cree que Desdmona ama a Casio o bien no cree nada o cree una falsedad objetiva.

Llamemos a los objetos de los juicios y las creencias objetivos. Dado que Otelo creefalsamente que Desdmona ama a Casio, cul es el objetivo del juicio 'Desdmona ama aCasio? Tendremos que admitir que hay falsedades objetivas. Pero Russell cree que estohace inexplicable la diferencia entre verdad y falsedad:

Cuando juzgamos con verdad, ha de encontrarse fuera de nuestro juicioalguna entidad que de algn modo le "corresponda"; mientras que cuandojuzgamos con falsedad no existe tal entidad correspondiente (Ensayosfilosficos, p. 221)

No cabe la escapatoria de decir que los juicios verdaderos tienen objetivos mientras que losfalsos carecen de ellos. La teora relacional nos obliga a admitir que, dado que hay juiciosfalsos y que una relacin requiere un relatum, tanto los juicios verdaderos como los falsostienen objetivos.


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La salida de la dificultad, segn Russell, consiste en mantener que lo que creemos ojuzgamos no es una sola cosa. Cuando Otelo cree que Desdmona ama a Casio, no puedetener ante la mente un objeto simple, la falsedad objetiva el amor de Desdmona por Casio.Por el contrario, el juicio o la creencia es una relacin entre unsujeto(la mente que juzga ocree) y varios objetos(los trminos sobre los que se juzga o cree). El sujeto y los objetos

son las partes constitutivas del juicio o creencia. Como toda relacin, la de juzgar o creer,tiene una direccin. As la creencia anterior de Otelo difiere de su creencia de que Casioama a Desdmona, a pesar de que consta de las mismas partes constituyentes. Uno de losobjetos de la creencia ha de ser un objeto-relacin que "entreteja" los otros objetos (larelacin 'amor' en nuestro caso). Pero esta relacin no es la que crea la unidad del complejototal formado por el sujeto y los objetos. La relacin 'amar' es uno de los objetos de lacreencia, uno de los ladrillos del complejo total. El cemento es la relacin 'creer'. As,podemos representar la creencia de Otelo de este modo:

Creer.

Russell define entonces la nocin de verdad:

Si tomamos una creencia como 'Otelo cree que Desdmona ama a Casio',denominados a Desdmona y Casio los objetos-trminoy a 'amar' el objeto-relacin. Si existe una unidad compleja como 'el amor de Desdmona aCasio', constituida por los objetos-trmino enlazados por el objeto-relacin,esta unidad compleja se denomina el hecho correspondiente a la creencia.As una creencia es verdadera cuando hay una hecho correspondiente, yfalsa cuando no hay un hecho correspondiente (Los problemas de lafilosofa, p. 112)

La verdad se entiende entonces como una relacin de congruencia entre dos entidadescomplejas: la secuencia de cuatro trminos formada por Otelo, Desdmona, amar y Casio,en este orden, y la secuencia de tres trminos formada por Desdmona, amar y Casio, eneste orden. Si hay esa secuencia de tres trminos enlazados por el objeto-relacin en ladireccin adecuada, entonces la creencia es verdadera. Si no la hay o su direccin no es lamisma que se da en la secuencia de cuatro trminos, entonces es falsa.

1.1.2 Austin: la correspondencia como correlacin convencional

Austin distingue entre "oracin" y "aseveracin" o "juicio". La oracin es un conjunto designos que pertenece a un idioma especfico, la aseveracin es un acto dbala que afirma,juzga algo con una oracin. Distintas oraciones dichas por la misma persona puedenaseverar lo mismo. Tambin una misma oracin puede ser usada para hacer aseveracionesdistintas. Porque la pretensin de verdad corresponde a lo aseverado en un tiempo yocasin determinados, por un sujeto determinado. Una oracin est hecha depalabras, unenunciado se hace conpalabras [...] Los enunciados se hacen, las palabras o las oracionesse usan (Austin, "Verdad", p. 121). Verdad y falsedad se refieren a las oraciones slo en lamedida en que son usadas por una persona en cierta ocasin para afirmar un estado decosas. No se aplican, pues, al significado de las oraciones, sino a lo que se hace con ellas.


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Pues nunca decimos 'El significado (o sentido) de esta oracin (o de estas palabras) esverdadero' (p. 120).

Por lo tanto, "verdad" y "falsedad" no son nociones semnticas, corresponden a actos dehabla que cumplen una funcin especfica: designar una situacin en el mundo y

describirla. No todas las oraciones de un lenguaje cumplen esa funcin y, por ende, notodas pueden ser verdaderas o falsas.

Las aseveraciones enuncian algo sobre el mundo, pero su relacin con los hechos queenuncian es puramente convencional. Hay convenciones descriptivas que relacionan lasoraciones usadas con situaciones distintas del mundo, y convenciones demostrativas querefieren las palabras a esas situaciones.

Un enunciado se dice que es verdadero cuando el estado de cosas histricocon el que est correlacionado por las convenciones demostrativas (aquel alque 'se refiere') es de un tipo con el que la oracin usada al hacerlo estcorrelacionada por las convenciones descriptivas (p. 123)

En esta definicin se mantiene la idea de la verdad como correspondencia; pero sta noconsiste en alguna forma de congruencia entre dos cosas, una lingstica y otra real, sino enreglas convencionales que rigen el uso de las oraciones para describir el mundo y referirse al. No tiene sentido, entonces, representarse la correspondencia al modo de una figura,plano o esquema de los hechos. Cualquier signo y relacin entre signos, en un lenguaje,puede estar relacionado, por convenciones, con cualquier situacin objetiva; para establecerla relacin entre uno y otra slo precisamos conocer las convenciones lingsticas.

La aseveracin, para ser verdadera, requiere referirse a algo existente fuera del lenguajemismo. Condicin del a aseveracin, frente a la simple oracin, es la pretensin de que loaseverado existe efectivamente. No cabe, por lo tanto, suprimir, por redundante, la nocinde verdad. Wittgenstein y Ramsey pretendieron que "pes verdadero" no dice nada ms que"p". La nocin de "verdad", concluyeron, no aadira nada a la proposicin afirmativa.Austin rechaza ese anlisis. Si alguien pone en cuestin "p", es necesario afirmar "p esverdadera"; con ello indicamos que no tomamos "p" en su puro significado, sino que "p" serefiere efectivamente a algo en el mundo y la usamos para hacer esa referencia. En otraspalabras: decir que una aseveracin es verdadera no es superfluo, porque dice justamenteque la aseveracin tiene la pretensin de que lo aseverado existe efectivamente en elmundo.

Aquello cuya existencia aseveramos es, sin duda, un hecho. Pero, puesto que la relacin delas aseveraciones con los hechos es convencional, los hechos no estn ah en el mundo conindependencia del lenguaje, pues la manera como son descritos depende de nuestrasconvenciones lingsticas. Podramos decir que si bien los hechos existen conindependencia del lenguaje, la manera como son referidosy descritosdepende del lenguaje.

Strawson critic la concepcin de la verdad de Austin en base a dos objeciones:


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1. La aseveracin puede significar lo que digo o mi acto de decirlo. Verdadero o falsoes lo primero, no el acto de habla. "Decir la verdad no es una manera de decir, esdecir algo verdadero". No es, pues, un acontecimiento fechable, como pareceindicar el anlisis de Austin, sino algo sin fecha, comn a muchas oraciones, dichasen distintos momentos y ocasiones; tenemos la misma aseveracin cuando

aplicamos la misma descripcin al mismo referente. La "proposicin" es elcontenido comn aseverado en varias oraciones cuando tienen el mismo sentido. Loaseverado seria entonces la proposicin, pero considerada en su uso para referirnosa algo y describirlo.

2. Strawson critica la idea de Austin de que el correlato de la aseveracin verdadera esun hecho del mundo. Admite que lo que hace verdadera una aseveracin es el hechoaseverado, pero sostiene que "el hecho que asevera no es algo en el mundo".Strawson piensa que el mundo est compuesto de cosas y de relaciones entre cosas,no de hechos. Las aseveraciones verdaderas seran sobre objetos (cosas) que estnen el mundo, pero lo que asevera son hechos y el mundo no est constituido porellos.

Strawson piensa que, dadas las dificultades de la nocin de verdad como correspondencia,lo mejor es abandonarla.

1.1.3 Husserl: verdad como cumplimiento

No puede haber "adecuacin" entre intelecto y objeto ms que en el seno de una previareferencia del sujeto a la cosa y de una apertura de la cosa al sujeto. La fenomenologaentiende esa referencia bsica como "intencionalidad". En la "actitud natural" concebimosel sujeto como una cosa entre cosas, con un "interior", y el mundo real como "exterior" aese sujeto que, sin embargo, es una cosa ms en l. sa es la que llama Husserl "tesis derealidad". Concebir la verdad como una correlacin entre cosas corresponde a esa actitud.Pero, en la actitud fenomenolgica, suspendemos aquella tesis y vemos, con evidencia,cmo la relacin entre el sujeto y sus objetos nos es dada, antes de cualquier supuesto, enuna estructura abierta, sin un "dentro" ni un "fuera". El sujeto es el foco de un conjunto deactos dirigidos a objetos o situaciones objetivas; stos no son "externos" a esos actos sino,justamente, sus correlatos. La intencionalidad es la peculiaridad de los actos de concienciade ser conciencia dealgo, de estar referidos a un objeto. Es tambin la caracterstica de losobjetos de estar presentes, abiertos al sujeto. As, el problema no consiste en saber cmo seponen en relacin dos cosas previamente separadas; en la intencionalidad se da, de hecho,ya esa relacin. El juicio verdadero supone, a la vez, la pretensin de existencia de lasituacin objetiva juzgada, es decir, la "posicin" de la existencia del objeto por el sujeto, yla presencia del objeto ante el sujeto, en el que se da por s mismo. La relacin de"adecuacin" slo tiene sentido en la estructura de la intencionalidad. En la adecuacin, laobjetividad significada y "puesta como existente" ("aseverada" en otra terminologa), estella misma presente, en el mismo sentido en que est significada. La verdad es una relacinentre la intencin significativa que pone el objeto y el darse de ste ante esa intencin. Aldarse el objeto se "cumple" la intencin significativa. La verdad es el cumplimiento en laintuicin de lo significado: es una "sntesis de identificacin" entre lo significado y lo dadotal como es significado. No hay dos objetos, uno significado y otro dado; en la verdad, elmismoobjeto o situacin objetiva que est significado est tambin dado. La verdad no es


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pues una correlacin entre dos objetos o situaciones, sino el darse de un mismo objeto osituacin que es juzgado (aseverado).

Esta interpretacin de la verdad implica la nocin del "darse por s mismo" del objeto. Laverdad reside en el juicio, pero hay que distinguir entre "juicios mediatos", que justifican su

verdad en otros juicios y "juicios inmediatos", cuya justificacin consiste en sucumplimiento en la intuicin. As, la verdad predicativa remite a una verdad "ante-predicativa", fundada en la evidencia. "En la justificacin verdadera, los juicios demuestrassu 'exactitud', su 'acuerdo', es decir, el acuerdo de nuestro juicio con la cosa juzgada ellamisma". El acto de juzgar es una pretensin de la existencia de un estado de cosas. "En laevidencia la cosa o el hecho no es solamente presunto sino est presente l mismo". Lanocin dela verdad como adecuacin entre lo significado en el juicio y lo dado en laevidencia supone la nocin de verdad como presencia del objeto. En un sentido originariola verdad exige la patencia del ente.

1.2 Teoras pragmticas de la verdad

La teorapragmatistaguarda afinidades tanto con la teora de la coherencia como con la dela correspondencia, admitiendo que la verdad de una creencia deriva de su correspondenciacon la realidad, pero insistiendo tambin en que la verdad de una creencia se manifiesta porla supervivencia ante la prueba de la experiencia, su coherencia con otras creencias.

De acuerdo con "la mxima pragmtica", el significado de un concepto viene dado por lareferencia a las consecuencias "prcticas" o "experimentales" de su aplicacin. As elenfoque que los pragmatistas hacen de la verdad consiste en preguntar por la diferencia queintroduce el que una creencia sea verdadera.

1.2.1 El pragmatismo de Peirce

Peirce concibe la verdad como el trmino de la investigacin. Una proposicin verdadera esaquella que sera objeto de acuerdo por parte de todos los que usan el mtodo cientfico, sipersistiesen en su investigacin durante bastante tiempo. Peirce no cree que ningn mtodo,salvo el mtodo cientfico, pueda lograr alcanzar y sustentar indefinidamente un consensode opinin. Los dems mtodos slo pueden alcanzar un acuerdo temporal. Sin embargo,una conclusin consensuada no es verdadera porque es alcanzada por la experiencia y elmtodo cientfico. Es verdadera por ser objeto de concordancia universal.

Por qu Peirce tiene tanta confianza en que todos los investigadores llegarn a un acuerdoy por qu cree que el mtodo cientfico es tan apropiado para este fin? Peirce considera quela creencia es una disposicin a la accin y que la duda es una interrupcin de esadisposicin debida a una experiencia recalcitrante. La investigacin es propulsada por laduda, que es un estado desagradable que tratamos de reemplazar con una creencia fijada.Algunos mtodos de adquirir creencias -el mtodo de la tenacidad, el mtodo de laautoridad, el mtodo a priori- son inherentemente inestables, pero el mtodo cientfico nospermite adquirir creencias estables. Pues el mtodo cientfico se basa en la experiencia deuna realidad objetiva. La realidad es objetiva porque no podemos controlar nuestraspercepciones. As la realidad objetiva nos acerca progresivamente a conclusiones que


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reflejan correctamente esa realidad. La verdad es, pues, correspondencia con la realidad,pero la verdad es tambin lo que es satisfactorio creer, en el sentido de que es estable, librede la perturbacin de la duda.

1.2.2 James

James acepta definir una creencia verdadera como aquella que "concuerda con la realidad",pero insiste en que esta expresin es doblemente ambigua: no nos dice qu se entiende por'realidad' ni nos dice qu tipo de relacin es la concordancia. James cree que la realidad, oal menos la realidad con la que deben concordar las creencias verdaderas, depende de lamente. Nuestras mentes organizan y estructuran la experiencia por medio de categoras yconceptos. Pero James no cree que estos esquemas estn incorporados innatamente ennuestras mentes. Son el descubrimiento inductivo de nuestros antecesores. Por qudecidieron estructurar el mundo con estos rasgos y no con otros? La respuesta de James esque encontraron ms tilorganizar el mundo de esta manera.

James cree que una manera en que una idea puede concordar con la realidad es copiandolas cosas sensibles. Pero las nicas ideas que pueden copiar la realidad son las ideasobtenidas por familiaridad o trato directo intuitivo. La mayora de las ideas, en cambio, slopueden concordar con la realidad en el sentido de resultar tiles a quienes las creen. Enotras formulaciones de su posicin, James hace equivaler lo verdadero con la creencia cuyaadopcin tiene "buenas" consecuencias prcticas, o con aquella que es "eficaz".

'Lo verdadero', expresndolo muy brevemente, es slo lo eficaz en nuestromodo de pensar, al igual que 'lo correcto' es slo lo eficaz en nuestro modode comportarnos

1.2.3 La teora consensual de Habermas

La teora de la verdad de Habermas es una versin de la teora consensual de Peirce: laopinin que est llamada a que se pongan de acuerdo en ella todos los que investigan, es loque entendemos por verdad. La versin de Habermas es:

puedo atribuir un predicado a un sujeto si y slo si cualquier otro quepudiera entrar en un dilogo conmigo atribuyera el mismo predicado almismo objeto. Para distinguir los enunciados verdaderos de los falsos hagoreferencia al juicio de otros -al juicio de todos los otros con los que yopudiera entrar en un dilogo (incluyendo aqu contrafcticamente a todos losoponentes que pudiera encontrar si mi vida fuera coextensivas con la historiadel mundo humano). La condicin de la verdad de los enunciados es elasentimiento potencial de todos los otros ("Wahrheitstheorien", enWirklichkeit und Reflexion: Festschrift fr Walter Schulz, Pfullingen, 1973,p. 219)

Habermas rechaza las teoras semnticas de la verdad, las cuales consideran comopropiamente verdaderas o falsas las oraciones ms bien que los enunciados o las aserciones.La verdad y la falsedad se predican de los enunciados no en el sentido de "eventos


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histricos" o "episodios lingsticos" particulares (emisiones), sino en el sentido de lo quees dicho en los actos de habla constatativos.

La verdad tiene que ser considerada en un contexto pragmtico como una pretensin devalidez que vinculamos a los enunciados al afirmarlos; pretendemos que los enunciados

afirmados son verdaderos. Lo que es menester clarificar, pues, es el "significado de verdad,implicado en la pragmtica de las aserciones". Y con este fin es necesario examinar no slolas condiciones bajo las que los enunciados son verdaderos, sino las condiciones bajo lascuales est justificada nuestra pretensin de que los enunciados son verdaderos. Unenunciado que yo afirmo puede ser verdadero sin que yo sea capaz de aducir ningnargumento racional para sostener que es verdadero. En este caso yo estoy planteando unapretensin que no puedo justificar; no soy capaz de mostrar que merece ser reconocida porlos dems. En este sentido mi pretensin es injustificada, infundada, carece de garanta.

Segn Habermas no tiene sentido separar los criterios de verdad de los criterios de asercingarantizada de pretensiones de validez, pues las experiencias de certeza se caracterizan poruna "privacidad" que contrasta con la intersubjetividad de las pretensiones de validez.

Las pretensiones de validez se distinguen de las experiencias de certeza porsu intersubjetividad; no tiene sentido afirmar que un enunciado es verdaderosolamente para un determinado individuo [...] En cambio, la certeza de unapercepcin, paradigma de las certezas en general, es algo que slo se da parael sujeto perceptor y para nadie ms. Ciertamente que varios sujetos puedencompartir la certeza de que han tenido una determinada percepcin; peroentonces tienen que decirlo, esto es, hacer la misma afirmacin. Unapretensin de validez es algo que yo presento como intersubjetivamentecomprobable; una certeza slo puedo manifestarla como algo subjetivo,aunque pueda ser ocasin para poner en cuestin pretensiones de validezdisonantes; una pretensin de validez es algo que planteo; la certeza es algoque tengo(Ibd., p. 223)

La separacin de la verdad respecto del discurso terico podra tambin mantenerse sobrela base de alguna de las versiones de la teora de la verdad como correspondencia. En estecaso tendra sentido decir que p es verdadero (que p "concuerda" con la realidad) auncuando fuera imposible obtener un reconocimiento intersubjetivo de su verdad en ladiscusin crtica. Pero, argumenta Habermas, las teoras de la verdad como correspondenciaestn cargadas de dificultades insuperables: tratan en vano de romper, y de salirse de, laesfera del lenguaje. Los hechos con que los enunciados verdaderos se corresponden no soncosas o sucesos en la faz del globo, presenciados u odos o vistos; son lo que losenunciados (cuando son verdaderos) enuncian y como tales estn ligados a clusulas "que".La "correspondencia" de los enunciados con los hechos no es una correspondencia entreenunciados lingsticamente estructurados y una realidad en s, lingsticamente desnuda.Por supuesto que un enunciado pes verdadero si es el caso que p. Ambos trminos de larelacin pertenecen a "la esfera del lenguaje" -"el hecho de que p" tiene la misma estructuracategorial que p. Esto no significa decir que los enunciados versen (o tengan que versar)sobre el lenguaje. Aquello sobre que un enunciado versa viene determinado por sucomponente denotativo. De ah que los enunciados versen (o puedan versar) sobre "cosas o


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sucesos en la faz del globo". Pero lo que enuncian es "que" la cosa o suceso al que serefieren posee las propiedades, rasgos o relaciones que predicativamente se le adscriben. Ylas operaciones de predicacin, no menos que las de denotacin, son operaciones en ellenguaje. Esas operaciones tendrn xito, en un nivel, si las convenciones que gobiernan ellenguaje en cuestin son adecuadamente observadas. Y tendrn xito, en otro nivel, si el

lenguaje resulta apropiado o adecuado para el mbito objetual en cuestin. Las teoras de laverdad como correspondencia no solamente son incapaces de suministrar un criterio deverdad (qu enunciados corresponden a la realidad?), independiente de la discusin crtica;tampoco son capaces de dar una explicacin coherente, ni de la "realidad en s" con que sedice que se corresponden los enunciados verdaderos ni de la relacin de "correspondencia"de que se habla.

Para Habermas no puede haber separacin entre los criterios de verdad y los criterios dedesempeo argumentativo de pretensiones de verdad. La cuestin, bajo qu condiciones esun enunciado verdadero? Es inseparable de la cuestin, bajo qu condiciones estjustificada la asercin de ese enunciado?. La idea de verdad slo puede desarrollarse porreferencia al desempeo discursivo de pretensiones de validez. De acuerdo con esto, lalgica de la verdad de Habermas adopta la forma de una lgica del discurso terico, esto es,de un examen de las condiciones (pragmticas) de posibilidad de alcanzar un consensoracional mediante argumentacin.

A la teora consensual de la verdad se le puede objetar que parece basarse en una"confusin categorial", en una confusin entre el significado de "verdad" y los mtodospara llegar a enunciados verdaderos. El significado de "es verdadero", cuando se predica deun enunciado, no parece ser idntico al significado de "existe (o puede existir) un consensoracional (es decir, argumentativamente fundado) acerca de que el enunciado es verdadero".Habermas responde a esta crtica sealando que l no est ligando el significado de laverdad a mtodos o estrategias particulares de obtencin de la verdad sino a las"condiciones pragmticas universales" del discurso en general. El significado de "esverdadero" s es idntico al significado de "existe un consenso racional acerca de que elenunciado es verdadero". La razn es la siguiente: desde un punto de vista pragmtico, elobjeto de anlisis es el trmino "verdadero" pero entendido no como un predicado de losenunciados, sino como la pretensin que planteo cuando afirmo enunciados. Lo que est encuestin, entonces, no es el significado semntico de un trmino, sino el significadopragmtico de un acto, del acto de plantear una pretensin de verdad. Y el significado deuna pretensin tiene que ser analizado en trminos del modo en que puede resolverse sobreella, del modo en que puede ser justificada.

Otra objecin a las teoras consensuales es que la "verdad" es un concepto normativo y portanto no puede ligarse a la obtencin de un consenso de facto: no cualquier consenso que sealcance puede servir como garanta de verdad. Cmo distinguir un acuerdo alcanzadodiscursivamente, un acuerdo "racional", de una mera apariencia de racionalidad? Culesson los criterios de un consenso "verdadero" por oposicin a uno "falso"? Si no existencriterios fiables para decidir esta cuestin, la teora del discurso de Habermas no habrahecho ms que cambiar de sitio el problema de la verdad, pero sin contribuirsustancialmente a su clarificacin. Adems, si los criterios que sirven para distinguir unconsenso "fundado" de un consenso ilusorio exigen una justificacin discursiva, nos


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estamos moviendo en un crculo; y si no hay crculo, es que hemos trascendido el marco delconsenso al establecer ese marco. La nica forma de escapar a este dilema, segnHabermas, es recurrir a una caracterizacin del consenso "racionalmente motivado" -unconsenso alcanzado slo en virtud de la "fuerza del mejor argumento"- enteramente entrminos de las "propiedades formales del discurso". La idea rectora es que un consenso

est "racionalmente motivado" o es un "consenso fundado" si slo se debe a la fuerza de losargumentos empleados (y no, por ejemplo, a las coacciones externas ejercidas sobre eldiscurso o a las coacciones "internas" incrustadas en la propia estructura del discurso).

1.3 Teoras de la coherencia

Para las teoras de la coherencia, la verdad consiste en las relaciones de coherencia entre unconjunto de creencias. Esta teora se aplica, ante todo, en las ciencias formales, y suelellamarse consistencia. Tambin se aplica en las ciencias empricas: un enunciado esaceptado como cientfico si puede integrarse en el cuerpo vigente de conocimientoscientficos.

Segn esta teora una proposicin no es verdadera porque se corresponda con la realidad,sino porque es coherente (o consistente) con todas las dems proposiciones que seconsideran verdaderas. Es decir, el criterio de verdad es la coherencia del dato oproposicin con el resto del saber ya aceptado, y dotado, a su vez, de coherencia interna.

La debilidad de la teora de la correspondencia es que intenta establecer la verdad sobredatos seguros, fijos, y bien probados que sirven de fundamento, y, sin embargo, esemomento de fundamentacin siempre acaba mostrando su fragilidad. Por eso loscoherentistas proponen no acudir a bases supuestamente seguras, sino considerar verdaderauna proposicin cuando puede insertarse en un conjunto de proposiciones que se tienen yapor verdaderas.

Se trata, por tanto, de un criterio contextual, en virtud del cual nada es verdadero o falsoaisladamente, sino que cada dato est esencialmente referido y conectado con el resto delsistema de saberes en que se integra. Slo as cobra sentido y valor de verdad. A esterespecto, dice Hegel:

Lo verdadero es el todo; pero el todo es la esencia que se realiza a travs desu desarrollo. Es preciso afirmar que el Absoluto es esencialmente resultado,que slo el final es lo que es en verdad. En esto precisamente consiste sunaturaleza: ser real, sujeto al desarrollo de s mismo (Fenomenologa delespritu)

Tampoco esta teora est libre de problemas:

1. El hecho de que un conjunto de proposiciones no se contradigan y se apoyen sologarantiza, como mximo, que si una es verdadera, lo sean las dems. Pero podra serfalso todo el conjunto. La consistencia es, por tanto, un requisito necesario para queun conjunto de proposiciones sea verdadero, pero no suficiente.


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2. En un sistema axiomtico la verdad de una proposicin depende de a verdad de losaxiomas; pero, cmo saber que estos son verdaderos?

3. Un sistema formal, adems de consistente, ha de ser completo; pero el teorema deGdel muestra en los sistemas formales no se pueden satisfacer a la vez losrequisitos de consistencia y el de completud.

4.

La coherencia puede ser un buen criterio de verdad para los sistemas de creencias.Lo que distingue una teora de la coherencia es simplemente la ideade que nada puede contar como una razn para sostener una creenciaexcepto otra creencia. El defensor de esta idea rechaza porininteligible la demanda de fundamentos o fuentes de justificacin deuna especie distinta (Davidson, D., Mente, mundo y accin, Paids,p. 79)

La cuestin estriba en cmo saber que el conjunto de creencias es verdadero:

Hay una presuncin a favor de la veracidad general de las creenciasde cualquiera, incluyendo las nuestras. Por lo tanto, resulta vano quealguien exija una seguridad adicional, pues ello no hara sinoincrementar el conjunto de sus creencias. Todo lo que se requiere esque la creencia sea verdica por su propia naturaleza [...] Todas lascreencias estn justificadas en el siguiente sentido: estn apoyadaspor muchas otras creencias [...] y la presuncin se incrementa cuantoms amplio e importante sea el cuerpo de creencias con el que lacreencia en cuestin es coherente (Ibd., p. 87 y 96)

Para Davidson, la coherencia no es una definicin de la verdad.

La verdad es correspondencia con el modo como son las cosas. Siuna teora de la coherencia acerca de la verdad es aceptable, ha deestar de acuerdo con una teora de la correspondencia (Ibd., p. 77)

Por eso, la coherencia es slo un criterio de aceptabilidadde una proposicin comoverdadera. Lo cual no implica que necesariamente lo sea.

1.3.1 La teora de Brand Blanshard

Si la realidad fuera algo completamente externo a la mente, no tendramos ningnconocimiento, excepto por mera suerte, y nos veramos obligados a aceptar el escepticismogeneral. Para evitar esto debemos postular que los pensamientos de nuestras mentes no soncompletamente distintos de las cosas del mundo en que pensamos. Pensar algo es tenerlo enalgn grado en la mente. As, con el supuesto adicional de que el mundo es coherente,parece seguirse que nuestras creencias son probablemente verdaderas en la medida en quesean ellas mismas coherentes. La coherencia de la creencia es evidencia de su verdad.


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Aunque el trmino 'coherencia' es usado de diversas maneras, podemos decir que unconjunto de creencias es coherente si, y slo si, (1) es un conjunto consistente, y (2) cadamiembro del conjunto es implicado (deductiva o inductivamente) por todos los dems enconjuncin o, segn algunas versiones, por cada uno de los dems individualmente. Laverdad pura sera un conjunto de creencias plenamente coherente, entendiendo por tal un

sistema de creencias que satisficiera (1) y (2) en su versin ms fuerte. Aunque nuncalograremos realmente el ideal de mutuo entraamiento entre creencias individuales, a vecesnos acercamos a l.

Hay una objecin persistente a las teoras coherentistas: puede existir un nmeroindeterminado de sistemas de creencias o proposiciones que sean internamente consistentespero incompatibles entre s. Al ser mutuamente incompatibles no podran ser todosverdaderos. A fin de excluir la posibilidad de que hubiera dos sistemas as, Blanshard diceque sera verdadero aqul "en el que todo lo real y lo posible est incluido coherentemente".Es decir, el sistema verdadero es aqul que nos da una imagen completa del universo.

Puesto que Blanshard no cree que se alcance jams la verdad pura, ofrece una teora de losgrados de verdad. Un juicio dado es verdadero en el gradoen el que su contenido podramantenerse a la luz de un sistema completo de conocimiento, falso en elgradoen el que suaparicin all exigira transformacin.

1.3.2 La teora de la coherencia de Carnap y Neurath

Neurath y Carnap no negaban la posibilidad de proposiciones verdaderas lgicamenteindependientes entre s, pero, convencidos de que no tena sentido comparar proposicionescon hechos, concluyeron que la verdad debe consistir en alguna relacin que lasproposiciones guardan entre s.

Neurath y Carnap sostuvieron que, si las proposiciones bsicas deban servir como losfundamentos intersubjetivos de la ciencia, tendran que referirse, no a experienciasprivadas, incomunicables, sino a objetos y eventos pblicos, fsicos. Los enunciados que aprimera vista se refieren a fenmenos mentales deben ser reducibles a enunciados sobrefenmenos fsicos. Esta es la tesis fisicista aplicada a la filosofa de la mente. El criterio deNeurath y Carnap despojaba a los enunciados bsicos de su posicin privilegiada: dejabande ser incorregibles. Como afirma Neurath:

No hay forma de tomar oraciones protocolares concluyentemente

establecidas como punto de partida de las ciencias. No hay una tabula rasa.Somos como navegantes que tienen que transformar su nave en pleno mar,sin jams poder desmantelarla en un dique de carena y reconstruirla con losmejores materiales (Neurath, O., "Proposiciones protocolares", en Ayer,A.J.,El positivismo lgico, pp. 205-214, p. 206)

Para Neurath y Carnap era metafsico hablar de comparar los enunciados con los hechos, ocon la realidad, o con la experiencia. Qu podra ser dicha comparacin sino una relacinlgica? Pero la nica cosa con la que un enunciado puede estar en una relacin lgica esotro enunciado. La verdad debe consistir, pues, en alguna relacin lgica entre las


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proposiciones: independencia lgica, entraamiento o incompatibilidad. Concluyeron asque para que un enunciado sea verdadero es necesario y suficiente que forme parte de unsistema consistente.

Pero cmo responder a la objecin de que podra haber ms de un sistema de

proposiciones, todos internamente consistentes, pero todos incompatibles entre s? Y en talcaso, cmo saber cul es el verdadero?

Segn Carnap, el sistema verdadero es el aceptado por los cientficos de nuestro mundocivilizado. Lo que Carnap quiere decir no es que ese sistema incluira la proposiciones deque l es el sistema aceptado por los cientficos de nuestra civilizacin. Pues cada sistemapodra incluir sin contradiccin esa proposicin. Lo que Carnap quiere decir es quesolamente uno de esos sistemas sera aceptado de hechopor los cientficos. En realidad, lasolucin de Carnap era una desviacin hacia el pragmatismo, pues las teoras pragmticasde la verdad se caracterizan por definir la verdad en trminos de aceptacin.

1.4 Teora semntica de la verdadTarski propuso una concepcin de la verdad a la que denomin "concepcin semntica dela verdad". La llam as por la verdad se define en la teora en trminos de otros conceptossemnticos, especialmente el de satisfaccin. Tarski define la semntica como el estudio deciertas relaciones que se dan entre las expresiones de un lenguaje y los objetos a los que serefieren. Los conceptos semnticos, como los de designacin, satisfaccin y el propioconcepto de verdad, ponen en relacin expresiones y objetos.

Tarski comparta con muchos de los positivistas lgicos el ideal del fisicismo: la creenciaen que todos los conceptos deban ser reducibles a conceptos de la lgica, la matemtica yla fsica. As su proyecto era definir todos los conceptos semnticos, salvo el desatisfaccin, en trminos del concepto de verdad, definir la verdad en trminos desatisfaccin y, por ltimo, definir satisfaccin en trminos fsicos y lgico-matemticos.

Tarski considera que una definicin satisfactoria de la verdad debe cumplir dos requisitos:debe ser materialmente adecuada y formalmente correcta. La primera exigencia ponelmites al contenido posible de cualquier definicin satisfactoria; la segunda pone lmites asu forma posible.

1.4.1 Adecuacin material: el esquema V

Tarski propone "captar el significado de una vieja nocin" que llama "la concepcinaristotlica clsica de la verdad", tal como se expresa en laMetafsicade Aristteles:

Decir de lo que es que no es o de lo que no es que es, es falso, mientras quedecir de lo que es que es o de lo que no es que no es, es verdadero (1011b26)

Como condicin de adecuacin material propone que cualquier definicin aceptable de laverdad debe tener como consecuencia todas las ejemplificaciones del esquema:


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(V) oes verdadera si, y slo si, p,

donde 'p' es reemplazable por cualquier oracin del lenguaje al que se refiere la palabra'verdadera' y 'o' es reemplazable por un nombre de esa oracin.

Tarski subraya que ni el esquema V -que no es una oracin sino slo un esquema deoracin- ni caso particular alguno del esquema pueden considerarse una definicin de laverdad. El esquema V sirve para fijar la extensin, no es significado o intencin, delpredicado "verdadera". Acta como un filtro, excluyendo cualquier definicin que noentrae todos los casos particulares del esquema, todas las V-oraciones.

Cada equivalencia de la forma V puede considerarse una definicin parcial de la verdad yla conjuncin lgica de todas las equivalencias constituira una definicin general. Sinembargo, tal definicin slo sera alcanzable en un lenguaje que contuviera un nmerofinito de oraciones. Pero si tenemos infinitas oraciones, la definicin tendra que serinfinitamente larga, lo cual es imposible. Tampoco podra convertirse el esquema V en unadefinicin de la verdad por generalizacin universal. La expresin:

p ('p' es verdadera sii p)

est mal formada, ya que no podemos cuantificar en el interior de comillas.

La solucin que Tarski arbitra consiste en apelar a la tcnica de la recursin. Supongamosque tuviramos un lenguaje con un nmero finito de oraciones (para simplificar laexposicin supondremos slo dos oraciones):

La nieve es blanca

La hierba es verdeUna definicin de la verdad para este lenguaje sera una conjuncin de las dos V-oracionesrespectivas:

'La nieve es blanca' es verdadera sii la nieve es blanca'La hierba es verde' es verdadera sii la hierba es verde.

Si a este lenguaje simple le aadimos las conectivas veritativo-funcionales 'no', 'y', 'o', 'si ...entonces', tendremos un nmero infinito de oraciones, dado que estas conectivas puedenaplicarse reiteradamente. La solucin es definir recursivamente la verdad, aadiendo a las

dos V-oraciones anteriores las clusulas:i. Si 'A' es cualquier oracin, 'no A' es verdadera sii 'A' no es verdadera

ii. Si 'A' y 'B' son cualesquiera oraciones, 'A y B' es verdadera sii 'A' es verdadera y 'B'es verdadera

iii. Si 'A' y 'B' son cualesquiera oraciones, 'A o B' es verdadera sii 'A' es verdadera o 'B'es verdadera


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iv. Si 'A' y 'B' son cualesquiera oraciones, 'si A, entonces B' es verdadera sii 'A' no esverdadera o 'B' es verdadera.

1.4.2 Correccin formal: la paradoja del mentiroso

Tarski considera que cualquier definicin adecuada de verdad debe hacer frente a laparadoja del mentiroso, y, tambin, que los conceptos semnticos incorporados al lenguajecotidiano se resisten a cualquier intento de caracterizacin exacta y dan lugar a paradojas.De ah la necesidad de especificar la estructura formal y el vocabulario del lenguaje en elque se den esos conceptos.

Para describir algunas de las condiciones ms especficas que deben satisfacer los lenguajesen que (o para los que) se da la definicin de la verdad, Tarski expone la paradoja delmentiroso en versin de Lukasiewicz:

(1) La oracin escrita en esta la lnea 4 de esta pgina no es verdadera.

Si abreviamos esta oracin con el nombre 'o', de acuerdo con el esquema V tenemos:

(2) 'o' es verdadera sii la oracin escrita en la lnea 4 de esta pgina no es verdadera.

Pero teniendo en cuenta la abreviatura acordada, establecemos la siguiente identidad:

(3) 'o' es idntica a la oracin impresa en la lnea 4 de esta pgina.

Y por sustitutividad de los idnticos, podemos insertar, en virtud de (3), 'o' en el lugar de suidntica en (2), obteniendo la contradiccin

(4) 'o' es verdadera sii 'o' no es verdadera.

Tarski seala que hay dos supuestos esenciales que conducen a la paradoja:

i. Que el lenguaje es semnticamente cerrado, i.e., que el lenguaje usado contiene,adems de sus expresiones, los nombres de estas expresiones, as como los trminossemnticos -como 'verdadero'- referidos a las oraciones de este lenguaje; y quetodas las oraciones que determinan el uso adecuado de este trmino puedenafirmarse en el lenguaje.

ii. Que en este lenguaje valen las leyes usuales de la lgicaTodo lenguaje que satisfaga (i) y (ii) es inconsistente. Tarski considera que no se deberechazar (ii) y, por tanto, afirma que hay que rechazar (i). Esto significa que hemos deutilizar lenguajes distintos al tratar los problemas semnticos y, en particular, al definir laverdad: el lenguaje-objeto a cuyas oraciones se aplica la definicin que buscamos y elmetalenguaje en cuyos trminos debemos construir la definicin para aqul. As, ladefinicin de la verdad ser relativa a un lenguaje. La paradoja del mentiroso quedaneutralizada. La oracin mentirosa ser ahora del tipo:


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Esta oracin no es verdadera-en-el-lenguaje-objeto.

Pero esta ltima oracin es una expresin del metalenguaje. Ahora bien, las oraciones delmetalenguaje no son verdaderas o falsas en el lenguaje objeto, porque no estn en ellenguaje objeto. As la oracin mentirosa no tiene la propiedad que afirma tener. Por tanto,

es falsa. Exactamente es falsa-en-el-metalenguaje.La definicin de la verdad y de todas las V-oraciones entraadas por ella han de formularseen el metalenguaje. En cambio, el smbolo 'p' del esquema V representa una oracincualquiera del lenguaje-objeto. Toda oracin que figure en el lenguaje-objeto debe figurartambin en el metalenguaje, i.e., el metalenguaje debe contener el lenguaje-objeto comoparte propia. En el esquema V el smbolo 'o' representa el nombre de la oracinrepresentada por 'p'. As el metalenguaje debe ser lo suficientemente rico para permitir laconstruccin de un nombre de cada una de las oraciones del lenguaje-objeto. Adems, elmetalenguaje debe contener trminos lgicos, tales como 'sii'. Finalmente, es deseable quelos trminos semnticos se introduzcan en el metalenguaje slo por definicin.

1.4.3 Predicados y satisfaccin

Ms arriba se dijo que Tarski utilizaba, en su definicin de la verdad, tcnicas recursivas.Qu consigue con la recursin, aparte de la posibilidad de construir infinitas oraciones conun nmero finito de elementos? Lo que se consigue por medio de ella es dar cuenta delmodo en que la estructura de las oraciones compuestas repercute en sus condiciones deverdad. Intentemos aplicar la recursin a la siguiente oracin:

Alguien fuma y bebe

sta es una oracin compuesta, pero no equivale a

Alguien fuma y alguien bebe

La primera implica a la segunda, pero la segunda no implica a la primera. Lo que lasegunda omite y la primera asevera es que al menos una misma persona rene ambosvicios. Esto muestra que hay oraciones compuestas cuyos componentes no son ellosmismos oraciones. Ms bien ocurre que la oracin original se forma a partir de oracionesabiertas:

xfuma

y

xbebe

que son unidas por conjuncin:

xfuma yx bebe;


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y luego el resultado es cuantificado existencialmente:

Para algnx,xfuma yxbebe.

Ahora bien, las oraciones abiertas no son verdaderas ni falsas. La idea de Tarski fue

introducir un concepto semntico ms general que el de verdad, definirlo recursivamente, yen trminos de l definir la verdad. Ese es el concepto de satisfaccin.

Satisfaccin es a oraciones abiertas lo que verdad es a oraciones cerradas. Lo que satisfacea una oracin abierta con una sola variable son objetos y lo que satisface a una oracinabierta con n variables son n-tuplas de objetos. Dados que las frmulas pueden contenercualquier nmero de variables libres, y en el caso extremo de las oraciones cerradas nocontienen variables libres, Tarski define la relacin de satisfaccin como algo que se da, noentre objetos y frmulas o entre n-tuplas de objetos y frmulas, sino entre secuenciasinfinitas de objetos y frmulas. Las secuencias difieren de los conjuntos en que sonordenadas. As el conjunto es idntico al conjunto , pero la secuencia noes idntica a la secuencia . La razn de la ordenacin es asegurar que haya unacorrespondencia uno-a-uno entre los miembros de las secuencias y las variables, que habrnsido numeradas u ordenadas de algn modo. Esto no impide que el mismo objeto aparezcavarias veces en la misma secuencia. Por otro lado, de cada secuencia slo nos importan losprimeros nobjetos, donde nes el nmero de variables distintas libres que aparecen en lafrmula que estamos considerando. El resto de los miembros de la secuencia sonignorables.

1.4.4 Definicin recursiva de satisfaccin y verdad

Aunque Tarski dio su definicin para un lenguaje ms simple de teora de conjuntos, sepueden definir satisfaccin y verdad para un lenguaje de primer orden L

1:

Sintaxis de L1

A. Vocabulario:Constantes individuales: a, b, c, ...Variables individuales: x1, x2, x3, ...Letras predicativas: F, G, H, ...Conectivas: , &.Cuantificadores: ,

B. Definicin de frmula1. Una letra predicativa de nlugares seguida de nconstantes o variables

individuales es una frmula atmica2. Si 'A' es una frmula, 'A' tambin lo es3. Si 'A' y 'B' son frmulas, 'A & B' es una frmula4. Si 'A' es una frmula y 'vk' es una variable, entonces 'vkA' y 'vkA'

son frmulas


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Definicin recursiva de verdad

A. Axiomas de referencia y denotacin'a' se refiere a Churchill'b' se refiere a Juan Pablo II

................................. (hasta completas todos los objetos de nuestro lenguaje)'F' denota la propiedad de fumar'G' denota la propiedad de beber'H' denota la propiedad de amar................................. (hasta completar todas las propiedades de nuestro lenguaje)

B. Definicin de satisfaccin y verdad1. Una secuencia S satisface 'A1... n' (donde 'A' es un predicado n-

dico seguido de nconstantes individuales) sii los objetos a los quese refieren '1',..., 'n' estn relacionados en A.

2. Una secuencia S satisface 'Av1 ... vn' (donde 'A' es un predicado n-dico seguido de n variables individuales) sii los miembros de lasecuencia s1... snestn en la relacin A.

3. Una secuencia S satisface 'A' sii no satisface 'A'.4. Una secuencia S satisface 'A & B' sii satisface 'A' y satisface 'B'5. Una secuencia S satisface 'vkA' sii 'A' es satisfecha por al menos

una secuencia S' que difiere de S en a lo sumo el k-simo trmino.6. Una secuencia S satisface 'vkA' sii 'A' es satisfecha por toda

secuencia S' que difiere de S en a lo sumo el k-simo trmino.7. Una oracin es verdadera sii es satisfecha por todas las secuencias y

falsa si no es satisfecha por ninguna.

La clusula (1) se aplica a oraciones atmicas cerradas. Dado que no contienen variableslibres, estas oraciones son satisfechas por todas las secuencias o por ninguna. La secuenciadada S es irrelevante; no importa cules sean sus miembros ni cul sea su orden. En estecaso, lo mismo podramos igualar la verdad a satisfaccin por todas las secuencias que asatisfaccin por ninguna. La decisin adoptada est determinada por las clusulassiguientes y el deseo de mantener la uniformidad. En el caso mondico, 'Fa' es satisfechapor una (y por tanto por toda) secuencia cuando el objeto al que se refiere el nombre 'a'tiene la propiedad denotada por 'F'. (En nuestro caso, cuando Churchill fuma).

La clusula (2) est diseada para oraciones atmicas abiertas. Aqu las variables libresestn en correlacin biunvoca con los objetos de la secuencia y por tanto nos importa

decisivamente sta. As, 'Fx2' es satisfecha por porque elsegundo miembro de la secuencia fuma, pero no es satisfecha por la secuencia porque el segundo miembro de la secuencia no fuma. Como podemoscolocar cualquier objeto en cualquier lugar de las secuencias, una oracin abierta slopodra ser satisfecha por todas las secuencias si todo objeto del mundo tuviera la propiedaddenotada por el predicado.


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Las clusulas (3) y (4) son obvias. La clusula (5) se aplica a oraciones cerradas porcuantificacin existencial. El procedimiento produce de nuevo condiciones de todo o nada.Sea la oracin:

Alguien fuma y bebe,

que podemos traducir como:

x1 (Fx1 & Gx1).

Y sea la secuencia S

.

S satisface aquella oracin ya que hay una secuencia S' que difiere de S slo en el primerlugar y que satisface 'Fx1 & Gx1', a saber:

.

Lo que se exige es que S' difiera de S en a lo sumo el primer lugar, pero no necesitahacerlo, en cuyo caso S' = S. Ahora bien, si S satisface la oracin, toda secuencia lasatisface. Obsrvese que nada depende del lugar que se le haya asignado a la variable en elordenamiento. Si tuviese otro ndice, siempre habra una secuencia que tendra a Churchillen el lugar apropiado, ya que nada impide la repeticin de un objeto en la secuencia.

La clusula (6) se aplica a oraciones cerradas por cuantificacin universal. Sea la oracin:

Todos los fumadores son bebedores,que podemos traducir as:

x1(Fx1& Gx1)

haciendo uso de la equivalencia ' A B' =def'(A & B)'. Y sea la secuencia S:


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que sea como S excepto en a lo sumo el primer lugar lo haga tambin. Tomemos lasecuencia S'


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advertir que la oracin 'Huelo el aroma de violetas' tiene justamente el mismo contenidoque la oracin 'Es verdad que huelo el aroma de violetas'. As parece que nada se aade alpensamiento porque yo le adscriba la propiedad de la verdad. La formulacin ms concisase encuentra en lasInvestigaciones filosficasde Wittgenstein:

'p' es verdadera = p'p' es falsa = no p (136)

La primera formulacin elaborada de la teora de la redundancia se debe a Ramsey. Lostericos de la redundancia no afirman que el predicado 'es verdadera' repite lo que ya hasido dicho en la oracin a la que se aplica. Lo que afirma es que ese predicado es vacuoporque no dice nada nuevo. Decir que una proposicin es verdadera equivale a aseverar laproposicin misma. 'Verdad' o 'verdadero' no tiene un significado aseverativoindependiente. Las teoras tradicionales que conciben la verdad con una propiedad o unarelacin van descaminadas. Cualquier cosa que pueda decirse con el predicado 'es verdad'puede decirse tambin sin l. Por ello es redundante. Ramsey afirma que las palabras'hecho' y 'verdadero', en su uso primario, son inseparables de las expresiones adverbiales'verdaderamente', 'de hecho', 'es un hecho que' y 'es verdadero que'; y stas unidas a unaoracin no dicen ms que lo que dice esta oracin por s misma. As no slo no hayfalsedades sino que tampoco hay verdades o hechos, de la misma manera que no hay unaentidad llamada 'el caso' asociada a la expresin sinnima 'es el caso que'. El efecto de lascomillas de cita y del predicado 'es verdadera' se cancelan mutuamente. El predicadoveritativo tiene un efecto desentrecomillador.

Pero un terico de la redundancia tiene que admitir que el predicado 'verdad' no es siempredesentrecomillador en sentido literal, porque a veces adscribimos la verdad "ciegamente",i.e., sin citar o sin conocer la proposicin en cuestin. Entre estos usos ciegos tenemos, porejemplo, 'Todo lo que el Papa dice es verdadero'. Ramsey es consciente del problema yanaliza 'Todo lo que el Papa dice es verdadero' as:

(1) Para todo a, R, b, si el Papa asevera aRb, entonces aRb.

Si admitimos la cuantificacin de segundo orden sobre proposicin, podemos reescribir (1)como:

(2) p (si el Papa dice que p, entonces p).

1.5.2 La teora prooracional

La teora de la redundancia tiene que hacer uso de la cuantificacin de segundo orden sobrevariables proposicionales. A este tipo de cuantificacin se han hecho dos tipos deobjeciones. La primera viene de quienes, como Quine, estn en contra de la cuantificacinde segundo orden en general porque creen que nos compromete ontolgicamente conentidades abstractas indeseables. Un recurso para evitar la queja de Quine es interpretarsubstitucionalmente los cuantificadores que toman como ndices oraciones. As, 'p (Juancree que p') sera verdadera si, y slo si, hay al menos una oracin tal que cuando se


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elimina el prefijo 'p' y se reemplaza 'p' por esa oracin, el resultado es verdadero. De esemodo, no hay compromiso con proposiciones, entendidas como entidades abstractas, comolo habra si interpretramos objetualmente el cuantificador.

Volvamos a

(2) p (si el Papa dice que p, entonces p)

Para mostrar el segundo tipo de objecin.

Ramsey advierte que hay algo extrao en este anlisis, pues tendemos a pensar que hacefalta un 'es verdadera' final para convertir la 'p' ltima en una oracin autntica. Esteobstculo queda superado, en su opinin, cuando advertimos que 'p' es ella misma unaoracin y ya contiene un verbo. Pero el problema es real. Si entendemos objetualmente elcuantificador de (2), las pes son sintcticamente como trminos singulares y parece que la'p' final tiene que ser entendida elpticamente, como conteniendo implcitamente un

predicado que la convierta en una oracin capaz de jugar el papel por consiguiente. Algoas como:

(3) p (si el Papa dice que p, entonces p es verdadero).

Pero si el anlisis es ste, entonces el predicado 'es verdadera' no es redundante en realidad.

Fue Prior el primero que se enfrent con esta dificultad. Segn l, el problema surge de unadeficiencia de los lenguajes naturales para leer los cuantificadores de segundo orden. Y elremedio estara en ampliar los lenguajes naturales por procedimientos anlogos a los que yaencontramos en ellos para formar cuantificadores coloquiales a partir de palabras que

introducen preguntas. As, en espaol tenemos el cuantificador nominal 'quienquiera' apartir de 'quien' y los no nominales 'comoquiera' y 'dondequiera' a partir de 'cmo' y 'dnde'.Pues bien, propone Prior, podramos forjar los cuantificadores 'cualquiersi', 'todosi' y'algnsi', y traducir (2) por:

(4) Si el Papa dice cualquiersi, entonces esi,

donde los cuantificadores acabados en 'si' se forman a partir de la partcula 'si' usada paraintroducir y describir preguntas s/no.

Grover, Camp y Belnap concuerdan con Prior en que la dificultad se debe a la falta de

recursos expresivos de los lenguajes naturales. En ellos tenemos pronombres que puedenusarse anafricamente para referirse al mismo objeto que su antecedente, como sucede en'Juan ama a Mara, pero elladetesta a Juan'; tenemos tambin proadjetivos, como 'tal' en 'Laciudad prodigiosa ya no era tal'; y tenemos proverbos, como 'hacer' en 'Antes bailbamos,pero ya no lo hacemos'. Siguiendo una sugerencia de Brentano, Grover, Camp y Belnapindican que hay tambin prooraciones, como 'as' en 'Pienso as'. Las prooraciones sonproformas que pueden ocupar las posiciones que podran ocupar las oraciones, de la mismamanera que los pronombres pueden ocupar posiciones ocupables por pronombres, y


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cumplen un papel anafrico similar. Es ms, afirman que 'Es verdadero' y 'Eso esverdadero', a pesar de su forma superficial de sujeto-predicado, son en realidadprooraciones. Para explicar el uso de 'Es verdadero' trazan la analoga con un lenguaje quefuera como el espaol salvo en que contuviese la prooracin atmica 'esso', que es siempreanafrica de algn antecedente. 'Esso' puede funcionar de anfora de pereza, como en:

A: Hay habitantes en Marte

B: Si esso, entonces tienen antenas.

Pero tambin tiene usos cuantificacionales. Por ejemplo, (2) se leera as:

(5) Para toda proposicin, si el Papa dice esso, entonces esso.

'Es verdadero' y 'Eso es verdadero' funcionan en espaol como 'esso' en ese lenguajeimaginario. Cada una de esas expresiones debe considerarse holsticamente como una

prooracin en la que las partes no tienen significado independiente.As, las expresiones en las que aparece 'es verdadero' con la apariencia de un predicadoseparable tienen una forma superficial desorientadora. Por ejemplo, la estructura profundade 'Todo lo que el Papa dice ser verdadero' es 'Para toda proposicin, si el Papa dice quees verdadera, entonces ser-verdadero-que-es-verdadera', donde de nuevo 'es verdadera' esuna prooracin.

2. La verdad en las matemticas

Entre las definiciones que se han dado de la matemtica caben destacar cuatro:

1. La matemtica como ciencia de la cantidad: segn esta concepcin, la matemticaprescinde las cualidades sensibles, y se atiene a la abstraccin, limitndose aconsiderar nicamente la cantidady la continuidad.

2. La matemtica como cienci a de las relaciones: en este sentido, la matemtica iraestrechamente vinculada a la lgica. En esta tradicin se inscribe el logicismo deRussell, quien ve la coincidencia entre matemtica y lgica en el mbito de la teorade las relaciones; matemtica y lgica coinciden en la "forma de los enunciados", esdecir, lo que permanece invariable cuando un componente de un enunciado essustituido por otro. Para el positivismo del Crculo de Viena, representado porCarnap, los clculos matemticos son un gnero de los clculos lgicos. De estaforma, se pretende construir una lgica exacta merced a dos cosas: a) definir todoslos conceptos de la matemtica en los trminos de los conceptos de la lgica; b)deducir de estas definiciones (mediante las reglas lgicas, incluyendo los axiomas)todos los teoremas matemticos.

3. La matemtica como la ciencia de lo posible: segn el formalismo, la matemticano es una parte de la lgica, y ni siquiera la presupone. La matemtica es un simpleclculo, que no exige ninguna interpretacin, por lo que resulta un sistemaaxiomtico, donde: a) todos los conceptos de base y todas las relaciones


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fundamentales estn enumerados y se debe remitir a ellos, mediante lasdefiniciones, para cualquier concepto ulterior; b) se enumeran por completo losaxiomas y de ellos se deducen todos los dems enunciados, atendiendo a lasrelaciones de base. De este modo, la matemtica es un sistema deductivoperfectamente autnomo. Segn el formalismo, la demostracin matemtica sera

un procedimiento meramente mecnico de derivacin de frmulas. Adems, seaade a la matemtica formal unametamatemtica, constituida por razonamientosformales en torno a la matemtica.

4. La matemtica como ciencia de la posibi l idad de la construccin: est originadaen la concepcin kantiana de la matemtica como "construccin de conceptos". Estacorriente es denominada intuicionismo. La matemtica se identifica con la parteexacta del pensamiento humano; no presupone ciencia alguna, ni siquiera la lgica.Pero s exige una intuicin que permita apresar la evidencia de los conceptos y delas conclusiones. stas no son derivadas en virtud de reglas fijas normales, sino quedebe estar directamente controlado por su propia evidencia.

2.1 El formalismo matemtico

Por lo general, se considera que dejando de lado la lgica, la verdad y el razonamientomatemticos estn fundamentados sobre bases ms seguras que las que sostienen la verdady el razonamiento en otras disciplinas. La aparente seguridad de la matemtica y el deseode conseguir algo similar en otras disciplinas es una de las principales razones que hacendel anlisis del pensamiento matemtico, y por lo tanto de la naturaleza de la verdad y elrazonamiento matemticos, una de las ms antiguas tareas de la filosofa.

Una de las causas de la especial estima de que goza la matemtica, por encima de todas lasotras ciencias, es el hecho de que sus proposiciones son absolutamente ciertas eindiscutibles, en tanto que las de todas las otras ciencias son, hasta cierto punto, rebatibles ycorren el riesgo constante de ser invalidadas por el descubrimiento de nuevos hechos. Aqu deben las matemticas este privilegio? A la razn de que, tanto las matemticas comola lgica, no tratan en absoluto de la realidad, sino que sus construcciones sonconstrucciones totalmente a priori; es decir, totalmente independientes de la experiencia. Sino fuera porque la matemtica es una ciencia totalmente a priori no gozara de esta ventajasobre el resto de las ciencias. Como dice Einstein: "En la medida en que se refieren a larealidad, las proposiciones de la matemtica no son seguras y, viceversa, en la medida enque son seguras, no se refieren a la realidad". As pues, gran parte de la fuerza de lamatemtica radica en que la matemtica es una ciencia independiente de la realidad, lomismo que la lgica.

De este hecho se ha sacado la conclusin de que la matemtica es una rama de la lgica queutiliza el mismo mtodo que esta: el mtodo axiomtico. El primero en llegar a estaconcepcin fue Frege. En la Introduccin aLas leyes fundamentales de la AritmticaafirmaFrege:

En misFundamentos de la aritmticatrat de hacer plausible la idea de quela aritmtica es una rama de la lgica y que no necesita ser fundamentada nien la experiencia ni en la intuicin.


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Esta concepcin fue confirmada por Whitehead y Russell (a pesar de que ellos no defendanel formalismo), cuando se dieron a la tarea de su desarrollo sistemtico. Se mostr que todoconcepto matemtico puede derivarse de los conceptos fundamentales de la lgica y quetoda proposicin matemtica puede derivarse de las proposiciones fundamentales de lalgica. En "Atomismo lgico" afirma Russell:

Creo que nadie que la haya ledo (la obra de Russell y Whitehead PrincipaMathemathica) pondr en duda su principal afirmacin, a saber, que a partirde determinadas ideas y axiomas de la lgica formal, con el concurso de lalgica de relaciones, es posible deducir la totalidad de la matemtica pura,sin necesidad de alguna idea nueva ni de proposiciones indemostradas.

En qu consiste el mtodo axiomtico?

2.1.1 El mtodo axiomtico

El mtodo axiomtico consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas opostulados (por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos slo puede trazarse una lnearecta), y en derivar luego de esos axiomas todas las dems proposiciones del sistema, encalidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; los teoremasson la "superestructura", y se obtienen a partir de los axiomas sirvindose, exclusivamente,de los principios de la lgica. Este mtodo presenta la ventaja de que si puede demostrarsede alguna manera la verdad de los axiomas, quedan automticamente garantizadas tanto laverdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Todo sistema axiomtico debecumplir tres requisitos bsicos: a saber, ha de ser completo, ha de ser decidible y ha deserconsistente. Un sistema formal axiomtico es consistente cuando dentro del propiosistema no pueden deducirse contradicciones; es decir, cuando a partir de los axiomas nopodemos deducir teoremas que se contradigan entre s; un sistema formal es completocuando todas las frmulas bien formadas verdaderas que podemos construir dentro delsistema pueden ser demostradas; y un sistema formal es decidiblecuando no existe ningunaproposicin bien formada dentro del sistema que no sea demostrable.

La matemtica, en sus dos grandes ramas (aritmtica y geometra) ha sido esencialmenteuna ciencia que se ha basado en el mtodo axiomtico. Los axiomas de la geometra yafueron enunciados en la antigedad griega por Euclides, mientras que los axiomas de laaritmtica fueron formulados en el s. XIX por el matemtico italiano G. Peano.

Pero, a pesar de estas formulaciones axiomticas de ramas de la matemtica, el mtodoaxiomtico no alcanz pleno vigor hasta el s. XX con la persona de D. Hilbert, el cual seerigi en defensor y mximo representante del formalismo.

Hilbert, en su obra Los fundamentos de la geometra estableci de modo insuperable lasbases para la axiomtica de todas las disciplinas matemticas y, en general, todas lascientficas. No resultara exagerado decir que en sus pginas han aprendido a pensar"axiomticamente" todos los matemticos modernos.


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Para los formalistas la matemtica no puede ser reducida a lgica, pues abarcaproposiciones sintticas que son descripciones verdaderas de situaciones perceptibles muysimples. Los formalistas dividen la matemtica clsica en dos partes: la matemtica"finitista" y la matemtica "infinitista". La primera es en gran medida idntica a la parte dela matemtica que los intuicionistas consideran con sentido. La matemtica finitista

excluye, en particular, las totalidades infinitas, la ley del tercio excluso y otros principios deella dependientes. Tan slo admite aquellas proposiciones que describen agregados finitosde distintos objetos concretos y las secuencias efectuadas sobre tal tipo de agregados. Sinembargo, no se rechaza la matemtica infinitista, aceptndosela en la medida en que noocasione contradicciones al ser incorporada a la matemtica finitista.

Segn Hilbert, el objetivo del formalismo deba alcanzarse en dos etapas: 1) la"formalizacin completa" de la matemtica, y 2) la demostracin de que el sistema formalresultante era "formalmente consistente". Formalizar una teora equivale a hacer explcitastodas sus afirmaciones y reglas de inferencia, considerando tan slo su forma al margen decualquier contenido concreto. Las reglas de inferencia son convertidas en reglas deinferencia formales, es decir, reglas que sirven para transformar ciertos modelos en otros.

Una teora se halla completamente formalizada s, y slo si cada axioma o teorema de lamisma corresponde sin ambigedad alguna a un axioma o teorema formal de su rplicaformalizada y viceversa.

Hilbert pensaba que la matemtica clsica -finitista e infinitista- poda ser completamenteformalizada, como lo est la lgica proposicional ordinaria, y que se poda demostrar queera formalmente consistente mediante puro razonamiento finitista. La formalizacinreducira el conjunto de la matemtica clsica a unas cadenas finitas de smbolos y a lasoperaciones sobre ellos efectuadas; por otro lado, la prueba de su consistencia formal nohara uso de ningn presupuesto infinitista, ya que slo debera referirse a cadenas desmbolos y a las operaciones efectuadas sobre ellos. Un matemtico puro que aparte de laconsistencia formal no plantease ninguna otra exigencia lgica podra permitirse con todatranquilidad dar libre curso a su imaginacin matemtica sobre todo el dominio de lamatemtica clsica, dejando para los filsofos cualquier preocupacin acerca de lospresupuestos infinitistas.

Para el formalista, "la exactitud de la matemtica reside slo en el desarrollo de la sucesinde relaciones y es independiente de la significacin que se podra querer dar a estasrelaciones o a las entidades que ellas mismas vinculan"(Brouwer: "Intuicionism andFormalism",Bulletin of the American Mathematical Society, 20, 1933, pp. 81-96).

El sueo formalista tuvo un desgraciado y triste fin; este fin le vino dado por la aparicin delo que se conoce con el nombre de Teorema de Gdel, pero el teorema de Gdel, que porcierto es una de las obras cumbres de la matemtica de todos los tiempos, no surgi de lanada, sino que se fue gestando lentamente sobre la base de los problemas subyacentes a lamisma idea formalista. Estos aparecen en las nociones clave del sistema formalista y son elproblema de la consistenciay elproblema de la completud.

2.1.2 El problema de la consistencia


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En el s. XIX, y como consecuencia del intento de desmontar el quinto axioma de lageometra de Euclides, se llega a una concepcin totalmente nueva de la matemtica. Segnesta concepcin, la tarea propia del matemtico puro es deducir teoremas a partir dehiptesis postuladas. Al matemtico, en cuanto tal, no le atae la cuestin de decidir si losaxiomas que acepta son realmente verdaderos o no.

Segn esto, la antigua concepcin de las matemticas como ciencia de la cantidad esequivocada, adems de engaosa. La matemtica es simplemente la disciplina porexcelencia que extrae las conclusiones lgicamente implicadas en cualquier conjunto dadode axiomas o postulados. La validez de una deduccin matemtica no depende en absolutode ningn significado especial que pueda estar asociado con los trminos o expresionescontenidos en los postulados. Las matemticas son algo mucho ms abstracto y formal delo que tradicionalmente se ha supuesto; ms abstracto, porque las afirmaciones matemticaspueden ser hechas en principio sobre cualquier objeto sin estar esencialmente circunscritasa un determinado conjunto de objetos o de propiedades de objeto, y ms formal, porque lavalidez de las demostraciones matemticas se asienta en la estructura de las afirmacionesms que en la naturaleza especial de su contenido.. La nica cuestin con la que se enfrentael matemtico puro no es si los postulados de que parte o las conclusiones que de ellosdeduce son verdaderos, sino si las conclusiones obtenidas son realmente las consecuenciaslgicas necesariasde las hiptesis iniciales.

Es en este sentido en que ms arriba se deca que la matemtica es una ciencia similar a lalgica: en el sentido de que tanto una como otra no tienen en cuenta los hechos sobre losque tratan, slo tienen en cuenta las "proposiciones". No sera cierto si se hubierapretendido afirmar que para los formalistas la matemtica es reducible a lgica, ya queestos sostenan la hiptesis contraria.

Segn Hilbert, mientras estemos interesados en la fundamental labor matemtica deexplicar las relaciones estrictamente lgicas de dependencia entre afirmaciones debemosprescindir de las connotaciones familiares de los trminos primitivos, y los nicos"significados" que se deben asociar con ellos son los que se hallan determinados por losaxiomas en que estn contenidos. A esto es a lo que se refiere el famoso epigrama deRussell: la matemtica pura es la ciencia en la que no sabemos de qu estamos hablando nisi lo que estamos diciendo es verdadero.

La consecuencia ms inmediata del formalismo fue la creciente abstraccin de lasmatemticas y esto dio lugar a un problema mucho ms serio -que a la postre sera eldetonante de la muerte del formalismo-; el problema en cuestin es saber si un determinadoconjunto de postulados erigidos como bases de un sistema es internamente consistente detal modo que no puedan deducirse teoremas mutuamente contradictorios a partir de esospostulados. Es, en definitiva, el problema de la consistencia.

Todo sistema formal axiomtico que pretenda tener unos mnimos visos de validez ha de iracompaado de una prueba de consistencia. Cmo se consigue una prueba deconsistencia?. La idea subyacente a toda prueba de consistencia de un sistema formal esintentar encontrar un "modelo" para los postulados abstractos del sistema, de tal modo quecada postulado se convierta en una afirmacin verdadera respecto del modelo.


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Ahora bien, esta forma de demostrar la consistencia de un sistema tiene un defecto: estedefecto estriba en el hecho de que al encontrar la prueba de consistencia para un modelo,este modelo ha de ser remitido a otro modelo, este nuevo modelo a otro y as sucesivamentehasta el infinito. Ahora bien, no hay una forma de parar de una vez en la jerarqua demodelos y encontrar una prueba de consistencia absoluta para cualquier sistema

axiomtico?. El problema, por tanto, no radica en encontrar la prueba de consistencia de unmodelo, sino en encontrar una prueba de consistencia absoluta. Esto fue lo que trato dehacer Hilbert: trat de construir pruebas de consistencia absolutas con las que pudierademostrarse la consistencia de los sistemas sin necesidad de dar por supuesta laconsistencia de ningn otro sistema.

El primer paso para esto la completa formalizacin del sistema deductivo, lo cual implica laextraccin de todo significado de las expresiones existentes dentro del sistemaconsiderando a stas como signos vacos. La forma en que se deben manipular y combinarestos signos ha de ser plasmada en un conjunto de reglas enunciadas con toda precisinpara as conseguir un sistema de signos que no oculte nada y que solamente contenga lo quese halle expuesto en l. Los postulados y los teoremas del sistema completamenteformalizado son "hileras" de signos carentes de significado construidas conforme a lasreglas establecidas para combinar los signos elementales del sistema hasta formar msamplios conjuntos.

Cuando un sistema ha sido completamente formalizado, la derivacin de teoremas a partirde los postulados se limita, simplemente, a la transformacin de un conjunto de "hileras" enotro conjunto de "hileras".

La ventaja que supone la formalizacin es que cuando ha sido formalizado un sistema,quedan a la vista las relaciones lgicas existentes entre las proposiciones matemticas;pueden verse los mdulos estructurales de las diversas "hileras" de signos "carentes designificado", cmo permanecen unidas, cmo se combinan, cmo se alojan una en otra, etc.

Una pgina cubierta con signos carentes de significado no afirma nada; sin embargo, esposible hacer afirmaciones acerca de ella. Tales afirmaciones "significativas" acerca de unsistema formal carente de significado constituyen lo que Hilbert denomin"metamatemtica" (lenguaje que se formula acerca de las matemticas). Las expresionesmetamatemticas contienen los nombres de las expresiones y smbolos matemticos, perono los smbolos o expresiones matemticos.

Hilbert bas su idea de encontrar una demostracin absoluta de consistencia en la distincinpor l introducida entre matemtica y metamatemtica; es decir, en la distincin entre unclculo formal y su descripcin.

Hilbert crea posible presentar cualquier clculo matemtico como una especie de esquema"geomtrico" de frmulas, en el que las frmulas se relacionaran mutuamente en un nmerofinito de relaciones estructurales. Esperaba demostrar, examinando exhaustivamente estaspropiedades estructurales de las expresiones encerradas en un sistema, que no puedenobtenerse frmulas formalmente contradictorias a partir de los axiomas de clculos dados.Requisito esencial de este programa era que las demostraciones de consistenc

Tema 8 - La verdad en las matemáticas y en las ciencias empíricas

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