Tema 9. CombinatoriaTema 9. Combina · PDF fileCombinatoria 1. Definición de...

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  • Tema 9. CombinatoriaTema 9. CombinatoriaTema 9. CombinatoriaTema 9. Combinatoria

    1. Definicin de combinatoria

    2. Estrategias de resolucin

    2.1. Estrategia del producto y la suma

    2.2. Diagrama de rbol

    3. Variaciones y permutaciones

    3.1. Variaciones simples u ordinarias

    3.2. Permutaciones

    3.3. Variaciones con repeticin

    4. Combinaciones

    5. Factorial y nmeros combinatorios. Propiedades

    6. El Binomio de Newton

  • Tema 9. Combinatoria

    Pgina 2 de 25 Tema elaborado por Jos Luis Lorente ([email protected])

    1. Definicin de combinatoria La combinatoria es la ciencia que estudia el nmero de soluciones que tiene un

    problema dado.

    Ejemplos:

    1. Nmero de posibles quinielas distintas

    2. Nmero de bonolotos posibles

    3. Nmero de partidos de futbol en la liga

    ()

    2. Estrategias de resolucin En este apartado vamos a ver tres estrategias que nos van a permitir obtener el

    nmero de soluciones a un problema dado.

    2.1. Estrategia del producto y la suma

    Estrategia del producto: si un problema dado podemos plantearlo con diferentes niveles independientes entre s, el primero con n1 posibilidades, el segundo con n2,El nmero de diferentes soluciones al problema planteado es igual al producto de las posibilidades en cada nivel.

    N soluciones=N=n1n2

    Ejemplo: vamos a cenar y tenemos 6 primeros y 3 segundos para elegir cuntos mens diferentes se pueden confeccionar?

    A1={primeros platos} n1=6

    A2={segundos platos}n2=3

    Son independientes, ya que podemos elegir cualquier segundo indistintamente del primero elegido.

    N soluciones=n1n2=63=18

    Segundo primero 1 2 3 4 5 6

    A 1A 2A 3A 4A 5A 6A

    B 1B 2B 3B 4B 5B 5B

    C 1C 2C 3C 4C 5C 6C

    Ejercicio: Calcular el nmero de matrculas con 4 dgitos y 3 letras que hay.

    Distinguimos 4 niveles independientes entre si:

    A1={1 letra} n1=27

    A2={2 letra} n2=27

    A3={3 letra} n3=27

    A4={nmero de 4 dgitos} n4=10000

    Luego en total hay N=n1 n3 n3 n4=27310000=196.830.000 matrculas diferentes

  • Tema 9. Combinatoria

    Pgina 3 de 25 Tema elaborado por Jos Luis Lorente ([email protected])

    Ejercicio: Juan tiene 4 pantalones, 5 camisetas y 3 zapatos. De cuantas formas diferentes puede vestir?

    Tres prendas puede elegir, y son independientes puede ponerse cualquier zapato con cualquier pantaln y camiseta.

    A1={zapatos} n1=3

    A2={camiseta} n2=5

    A3={pantalones} n3=4

    Nmero de formas diferentes de vestir =N=n1n2n3=60

    Estrategia de la suma: cuando queremos ver el nmero de soluciones a un problema en donde tenemos varias formas de obtener la solucin, tal que estas formas no tienen elementos en comn entonces el nmero de soluciones totales es igual a la suma de las soluciones de cada una de las formas.

    Ejemplo: ver el nmero de posibles alumnos que han sacado ms de un 6 en mate

    A1={alumnos con 7} n1=0

    A2={alumnos con 8} n2=3

    A3={alumnos con 9} n3=1

    Son soluciones que no tienen elementos en comn, nadie saca un 7 y un 8

    N=n1+ n2+ n3=0+3+1=4

    2.2. Mtodo del diagrama de rbol

    Se utiliza en problemas con diferentes niveles (estrategia del producto) y con diferentes formas de alcanzar la solucin (estrategia de la suma). Cada nivel nuevo ser una rama del anterior. Todas las soluciones se distribuyen en estructura de rbol con su tronco y sus ramas, hasta la solucin final que son las hojas del rbol.

    Veamos los ejemplos anteriores en forma de diagrama de rbol

    1

    A

    B

    C

    2

    A

    B

    C

    3

    A

    B

    C

    4

    A

    B

    C

    5

    A

    B

    C

    6

    A

    B

    C

    1er plato 2 plato

  • Tema 9. Combinatoria

    Pgina 4 de 25 Tema elaborado por Jos Luis Lorente ([email protected])

    Ejercicio: Tenemos una bolsa con 5 bolas de diferentes colores. De cuantas formas podemos extraer 3 bolas.

    a) Con reemplazamiento

    b) Sin reemplazamiento

    a) Tres niveles independientes, pues al introducir la bola sacada la siguiente no depende del color de la sacada con anterioridad:

    1 bola n1=5

    2 bola n2=5

    3 bola n3=5

    N= n1n2n3=53=125 soluciones

    b) Ahora la bola sacada en 2 posicin si depende de la sacada en la 1 por ejemplo si esta la primera es roja, no puede ocurrir que la segunda vuelva a ser roja. Podemos ver el nmero de soluciones por diagrama de rbol

    N=n1n2n3=543=60

    3

    bola

    2

    bola

    1

    bola

    1

    2

    3

    4

    5

    3

    2

    4

    5

    4

    2

    3

    5

    5

    2

    3

    4

    5

    1

    2

    3

    4

    2

    1

    3

    4

    3

    1

    2

    4

    4

    1

    3

    2

  • Tema 9. Combinatoria

    Pgina 5 de 25 Tema elaborado por Jos Luis Lorente ([email protected])

    En la Eurocopa del 2008 los equipos clasificados en semifinales son Espaa, Francia, Italia, Portugal. Estudiar las posibles clasificaciones por diagrama de rbol.

    N=24 posibilidades

    Ejercicios

    3 pag 221. Tres nietos Alberto, Beatriz y Claudia van a ver a sus abuelos y este les dice Escoged cada uno el libro que queris de estos 10. Cuntas formas distintas pueden hacer la eleccin?

    Supongamos que elige

    1 Alberto: 10 posibilidades

    2 Beatriz: 9 posibilidades

    3 Claudia: 8 posibilidades

    Podemos hacer el diagrama de rbol y tendremos 3 niveles con 10, 9 y 8 posibilidades.

    N=1098=720 soluciones

    E

    IP F

    F P

    PI F

    F I

    FI P

    P I

    I

    EP F

    F P

    PF E

    E F

    FE P

    P E

    P

    EI F

    F I

    IE F

    F E

    FI E

    E I

    F

    EP I

    I P

    IE p

    P E

    PE P

    P E

    1 2 3 4

  • Tema 9. Combinatoria

    Pgina 6 de 25 Tema elaborado por Jos Luis Lorente ([email protected])

    4 pag 222. Luis, Carlos, Gonzalo, Paco y Jorge han quedado en encontrarse con Carmen, Elena, Marta y Cristina. Al encontrarse se saludan dndose 2 besos entre un chico y una chica. Cuntos besos se dan?

    Podemos distinguir 5 niveles que son distintas formas de obtener la solucin:

    A1={besos de Luis} n1=24=8

    A2={besos de Carlos} n2=24=8

    A3={besos de Gonzalo} n3=24=8

    A4={besos de Paco} n4=24=8

    A5={besos de Jorge} n5=24=8

    Aplicando la estrategia de la suma N=n1+ n2+ n3+ n4+ n5=58=40 besos

    5 pag 222. Cuntos partidos de Primera Divisin se juegan con una temporada de Liga Espaola de Futbol?

    Consideremos slo la primera vuelta y luego multiplicamos por 2.

    1. El primer equipo juega 19 partidos (contra los otros 19 equipos) 19

    2. El 2 juega 19 pero de uno lo juega con el 1 que ya est contado18

    3. El 3 17 partidos

    19. El 19 1 partido

    20. El 20 ya ha jugado todos en los anteriores

    N=19+18+17++2+1= 200202

    191 =+ (regla de la suma)

    Luego ida y vuelta son 400 partidos

    Otra forma diferente: Cada jornada son 10 partidos, como son 40 jornadas el nmero de partidos son N=1040=400 (regla del producto)

    7 pag 222 Tenemos tres colores verde, rojo y azul para pintar una diana con tres zonas A, B y C. Cada zona debe tener un color diferente. Y si tenemos 6 colores?

    a) Por diagrama de rbol

    N=321=6 posibilidades

    b) Si tenemos 6 colores N=654=120

  • Tema 9. Combinatoria

    Pgina 7 de 25 Tema elaborado por Jos Luis Lorente ([email protected])

    azul

    rojo amarillo

    amarillo rojo

    amarillorojo azul

    azul rojo

    8. pag 222. En un bar tienen 5 tipo de zumos de fruta y 3 de caf. Cuntas combinaciones distintas se pueden hacer eligiendo un zumo y un caf?. Si adems aades elegir un bombn y tienen de dos sabores. cuntas combinaciones tenemos ahora?.

    a) Por la regla del producto, son 2 elecciones independientes: N=n1n2=53=15

    b) Igual pero con tres elecciones: N=n1n2n3=532=30

    10. pag 222. En un bar hay 6 ventanas que pueden estar abiertas (A) o cerrada (C) indistintamente. Cuntas posiciones distintas pueden estar las ventanas?

    Son 6 elecciones independientes, pues la posicin de una ventana es independiente de la posicin de otra. Como hay dos posibilidades, Abierto o Cerrado, el nmero de soluciones son por la regla del producto:

    N=n1n2n3n4n5n6=26=64 posibilidades

    zona Czona BzonaA

    rojo

    azul amarillo

    amarillo azul

  • Tema 9. Combinatoria

    Pgina 8 de 25 Tema elaborado por Jos Luis Lorente ([email protected])

    0

    0

    1

    2

    1

    0

    1

    2

    2

    0

    1

    2

    1-0

    1-12-1 2-2

    1-2 2-2

    2-0 2-1 2-2

    14. pag 223.a) Se ha jugado un partido de futbol y sabemos que el resultado fue de empate a 2 goles (2-2). Cul ser el resultado del partido en el descanso?.Escribir todas posibilidades:

    N=33=9

    b) Si el descaso el resultado era de 1-0 de cuantas formas pudo ir variando el resultado hasta llegar el 2-2?

    3 formas diferente

    16. pag 223. cuntos nmeros capicas de tres cifras existen?. y de cuatro? y de cinco?

    a) De tres: ____A_____ ____B____ ______A_____

    Son dos nmeros que tenemos que elegir para hacer uno capica, el de la posicin central y el de los extremos. Son independientes entre si, ya que la dependencia la hemos puesto haciendo que el inicial y el final sean el mismo.

    A1={cifra A} n1=9 posibilidades (el cero no