Tema 9 Distribuciones bidimensional Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 1

TEMA 9 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES NUBES DE PUNTOS Y COEFICIENTES DE CORRELACIN EJERCICIO 1 : Las notas de 10 alumnos y alumnas de una clase en Matemticas y en Fsica han sido las siguientes:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cul de estos valores te parece ms apropiado para el coeficiente de correlacin: 0,23; 0,94; 0,37; 0,94. Solucin:

Viendo la representacin, observamos que el coeficiente de correlacin es positivo y alto. Por tanto, r 0,94.

EJERCICIO 2 : Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposicin. Anotaron el nmero de horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la nota obtenida en la prueba. La informacin se recoge en la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cul de estos valores te parece ms apropiado para el coeficiente de correlacin: 0,92; 0,44; 0,92; 0,44. Solucin:

Observando la representacin, vemos que el coeficiente de correlacin es positivo y bajo. Por tanto, r 0,44.

EJERCICIO 3 : En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en das, que anunciaban en los productos y el plazo real, tambin en das, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cul de estos nmeros te parece ms apropiado para el coeficiente de correlacin: 0,87; 0,2; 0,87; 0,2. Solucin:

Vemos que la relacin entre las variables es ligeramente positiva, pero muy baja. Por tanto, r 0,2.

Tema 9 Distribuciones bidimensional Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 2 EJERCICIO 4 : Considera la siguiente distribucin:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cul de estos valores te parece ms apropiado para el coeficiente de correlacin: 0,99; 0,4; 0,83; 0,4. Solucin:

Vemos que hay una relacin positiva entre las variables, pero es baja. Por tanto, r 0,4.

COVARIANZA, COEFICIENTE DE CORRELACIN EJERCICIO 5 : En un reconocimiento mdico a los nios de un colegio, se les ha pesado, en kilogramos, y se les ha medido, en centmetros. Aqu tienes los datos de los primeros seis nios:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlacin. Cmo es la relacin entre las dos variables? Solucin:

x i y i x i2 y i

2 x iy i120 25 14400 625 3000110 30 12100 900 3300

140 35 19600 1225 4900130 25 16900 625 3250125 20 15625 400 2500115 20 13225 400 2300

740 155 91850 4175 19250

Medias: 83,25

6155y

33,1236

740x

Desviaciones tpicas:

35,564,2883,25

64175

90,904,9833,1236

91850

2y

2x

Covarianza: 72,2272,2283,2533,1236

19250xyxy

Coeficiente de correlacin: 43,0r43,035,590,9

72,22ryx

xy

La relacin entre las variables es positiva, pero dbil. EJERCICIO 6 : En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el nmero 42) y su precio, en euros. La informacin obtenida se recoge en esta tabla:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlacin. Cmo es la relacin entre las dos variables? Solucin:

Medias:67,61

6370y

33,6336

3800x

Desviaciones tpicas:

Tema 9 Distribuciones bidimensional Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 3

02,2314,53067,616

26000

32,1578,23433,6336

050.2408

2y

2x

Covarianza: 87,5087,5067,6133,6336

234650xyxy

Coeficiente de correlacin: 14,0r14,002,2332,15

87,50r

La relacin entre las variables es muy dbil. Podemos decir que no estn relacionadas. EJERCICIO 7 : Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obtenindose los siguientes resultados:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlacin. Cmo es la relacin entre las dos variables? Solucin:

Medias: 15,9

69,54y

846

504x

D.T: 18,139,115,9

667,510

08,1167,122846

43072

2y

2x

Covarianza: 17,917,915,9846

6,4666xyxy

Coeficiente de correlacin: 70,0r70,018,108,11

17,9r

Hay una relacin positiva y relativamente alta entre las variables. EJERCICIO 8 : Se ha realizado una encuesta preguntando por el nmero de personas que habitan el hogar familiar y el nmero de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la informacin obtenida:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlacin. Cmo es la relacin entre las dos variables? Solucin:

Medias:17,3

619y

5,46

27x

D.T: 67,045,017,3

663

96,092,05,46

127

2y

2x

Covarianza: 40,040,017,35,46

88xyxy

Coeficiente de correlacin: 62,0r62,067,096,0

40,0r

Hay una relacin positiva, aunque no demasiado fuerte, entre las variables.

Tema 9 Distribuciones bidimensional Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 4 EJERCICIO 9 : Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntan de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlacin. Cmo es la relacin entre las variables? Solucin:

Medias:33,3

620y

83,3623x

D.T:76,058,033,3

670

08,116,183,36

95

2y

2x

Covarianza: 079,0079,033,383,36

77xyxy

Coeficiente de correlacin: 096,0r096,076,008,1

079,0r

La relacin entre las variables es prcticamente nula. RECTAS DE REGRESIN, ESTIMACIONES EJERCICIO 10 : Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenan, as como las kilocaloras por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:

a) Halla la recta de regresin de Y sobre X.

0,85).que(Sabemoses?estimacionestasvlidasSon.10e52,Calculab) ryy Solucin: a)

Medias:17,62

6373y

37,26

2,14x

Varianza de X: 23,037,2606,35 22

x

Covarianza: 47,317,6237,26

9,904xy

Coeficiente de regresin: 1,1523,047,3

2 x

xyyxm

Ecuacin de la recta de regresin de Y sobre X: 38,26x1,15y37,2x1,1517,62y kcal 13,6438,265,21,155,2yb) ; kcal 38,17738,26101,1510y

Como la correlacin es alta, r 0,85, es razonable hacer estimaciones dentro del intervalo de datos. Para un porcentaje del 2,5 de grasa, las kilocaloras sern, aproximadamente, 64,13. Sin embargo, la segunda estimacin no es vlida porque x 10 est muy alejado del intervalo de datos que hemos considerado. EJERCICIO 11 : Se ha medido el peso, en kilogramos, y el volumen, en litros, de distintos tipos de maletas, obteniendo los resultados que se recogen en esta tabla:

a) Halla la recta de regresin de Y sobre X.

0,79). que (Sabemos ?estimacin estafiable Es120Calculab) ry .

Tema 9 Distribuciones bidimensional Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 5 Solucin: a)

Medias:67,6

640y

33,986

590x

Varianza de X: 54,2533,986

58166 22x

Covarianza: 89,167,633,986

5,3946xy

Coeficiente de regresin: 07,054,25

89,1m2x

xyyx

Ecuacin de la recta de regresin de Y sobre x: 21,0x07,0y33,98x07,067,6y 19,821,012007,0120yb)

Como x 120 est alejado del intervalo que estamos considerando, la estimacin no es fiable. EJERCICIO 12 : En distintos modelos de aspiradores se ha medido el peso, en kilogramos, y la capacidad til de la bolsa, en litros, obteniendo los siguientes resultados:

a) Halla la recta de regresin de Y sobre X.

0,85). que (Sabemos ?estimacin esta fiable Es .6Calculab) r y Solucin: a)

Medias:58,2

65,15y

28,66

7,37x

Varianza de X: 39,028,66

97,238 22x

Covarianza: 52,058,228,66

35,100xy

Coeficiente de regresin: 33,139,052,0m

2x

xyyx

Ecuacin de la recta de regresin de Y sobre X: 77,5x33,1y28,6x33,158,2y 21,277,5633,16yb)

S es fiable, puesto que la correlacin es fuerte, r 0,85, y x 6 est dentro del intervalo de datos que estamos considerando. Para un peso de 6 kg la capacidad de la bolsa ser, aproximadamente, de 2,21 litros. EJERCICIO 13 : En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1 de bachillerato en Matemticas y en Ingls, obtenindose la informacin que se recoge en la siguiente tabla:

a) Halla la recta de regresin de Y sobre X.

0,87). que (Sabemos ?estimacin esta fiable Es .55,Calculab) ry

Tema 9 Distribuciones bidimensional Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 6 Solucin: a)

Medias: 92,5

65,35y

2,66

2,37x

Varianza de X: 32,02,66

54,232 22x

Covarianza: 46,092,52,66

223xy

Coeficiente de regresin: 44,132,046,0m

2x

xyyx

Ecuacin de la recta de regresin de Y sobre X: 3x44,1y2,6x44,192,5y 92,435,544,15,5yb)

S es fiable la estimacin, puesto que la correlacin es fuerte, r 0,87, y x 5,5 est dentro del intervalo de valores que estamos considerando. Por tanto, estimamos que si la nota de Matemticas es 5,5, la de Ingls ser muy probablemente 4,9. EJERCICIO 14 : Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresin y represntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, cmo crees que ser la correlacin entre las dos variables?

Solucin:

Medias:83,3

623y