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Curso avanzado de posicionamiento por satélite Madrid, noviembre 2009

TEMA 9. Modelos matemáticos para el posicionamiento

1. Introducción.

Dependiendo del tipo de aplicación y el nivel de precisión que se quiera obtener usando

el GPS, existen importantes ventajas y desventajas formando ciertas combinaciones

lineales de las ecuaciones básicas de pseudodistancias y fase de la portadora.

Utilizando el GPS, se puede realizar bien posicionamiento puntual o absoluto, bien

posicionamiento relativo entre puntos. Debido a las incertidumbres en la posición de

los satélites, el comportamiento de los relojes y los retardos en la propagación de las

señales, el posicionamiento absoluto sólo alcanza precisiones próximas a algunos

metros. Para la mayoría de las necesidades en aplicaciones geodésicas o

geodinámicas, es necesario utilizar el GPS en posicionamiento relativo. Las fuentes de

error que afectan a la señal GPS, órbitas de satélites, relojes de los satélites y

receptores, errores debidos a la propagación atmosférica muestran algún tipo de

correlación entre señales recibidas en varias estaciones que se encuentren recibiendo

la señal de varios satélites simultáneamente.

La finalidad del posicionamiento diferencial es aprovechar estas correlaciones para

mejorar la precisión de las posiciones relativas. El uso de las medidas de código y de

fase de la portadora para el posicionamiento relativo consiste en realizar diferencias

entre dichas medidas, de forma que el efecto de varios de estos errores comunes en

ambas medidas, desaparecen o se minimizan en gran medida, en el proceso de

diferenciar las medidas.

Las diferencias entre las medidas GPS pueden realizarse bien entre receptores, bien

entre satélites comunes, entre épocas o combinando las anteriores. Vamos a ver las

más comunes, diferencias entre receptores, entre satélites y entre épocas.

Tema 9 - 330


Tema 9 - 331

2. Posicionamiento absoluto.

El posicionamiento absoluto se puede llevar a cabo utilizando los datos de

pseudodistancias obtenidas con código, con fase de la portadora o con datos Doppler.

A continuación vemos los tres casos.

2.1. Posicionamiento absoluto con medidas de código

Las pseudodistancias de código en una época determinada t puede escribirse como:

)()()( tcttR iii δρ Δ⋅+= jjj

j

j

)

donde es la medida de pseudodistancia de código entre el observador i y el

satélite j, es la distancia geométrica entre el satélite y el observador, y c es la

velocidad de la luz. El último término, , es el error combinado de los relojes del

receptor i y el satélite j.

)(tRi

jiρ )(t

)(tiδΔ

Si examinamos la ecuación anterior, las coordenadas del observador (nuestras incógnitas) se

encuentran de forma implícita en la distancia geométrica puesto que:

( ) ( ) ( 222

jjj

ZYX ,,j

)()()()( ij

ij

ijj

i ZtZYtYXtXt −+−+−=ρ

donde son las componentes del vector de posición geocéntrico

(coordenadas) del satélite en la época t y son las tres incógnitas de las

coordenadas del observador. Si consideramos el término para una época, cada

satélite contribuye con una incógnita en el estado del reloj. Si por un momento

omitimos el error en el reloj del receptor del observador, la ecuación de

pseudodistancias tiene cuatro incógnitas, las tres coordenadas del observador más el

error del reloj del satélite. Cada satélite adicional genera una ecuación más con las

mismas coordenadas del observador como incógnitas, más otra incógnita del error de

su propio reloj, de manera que siempre obtenemos más incógnitas que ecuaciones.

Incluyendo una época adicional, los nuevos errores en los relojes de los satélites se

pueden modelar con su deriva. Afortunadamente, la información de los relojes de los

)(),(),( tZtYtX

iii

)(tiδΔ


Tema 9 - 332

satélites son conocidos y se transmiten vía el mensaje de navegación en forma de tres

coeficientes de a0, a1 y a2 respecto a una época t0, así

2j

jj

jjj

)(t

02010 )()()( ttattaat −+−+=δ

que nos permite el cálculo del error del satélite para una época cualquiera t. Este

polinomio elimina la mayor parte del error debido al reloj del satélite, si bien una

pequeña parte siempre permanece presente.

El término del error combinado se separa en dos partes:

)()()( ttt iδδδ −=Δ

donde la parte relacionada con el satélite la consideramos ya conocida, y el término

relacionado con el receptor sigue siendo incógnita. Substituyendo la última igualdad:

)()()()( tctcttR iii δδρ −+=

Ahora las incógnitas son cuatro, las tres coordenadas del observador y el error del reloj

del receptor iδ . De manera que las incógnitas se pueden calcular de forma

inmediata si se observan cuatro satélites de forma simultánea.

Si llamamos ahora al número de satélites, al número de épocas, el producto

nos da el número de ecuaciones de observación de que se dispone. Para

obtener una única solución, el número de incógnitas no puede ser mayor que el

número de ecuaciones de observación. Si colocamos las incógnitas en el lado derecho

de la igualdad, tenem

jn n

nn ⋅

os:

jjj

nnn +≥⋅ 3

1=n 4=n

t

tj

)()()()( tcttctR iii δρδ −=−

con lo que la condición se convierte en que:

ttj

que es la condición que para una época , nos da la condición de que .

Cabe destacar que cada época puede ser considerada independientemente y la

t j


Tema 9 - 333

posición del observador i y los errores de los relojes para cada época pueden calcularse

si se tienen observaciones simultáneas, por lo que se puede incluir la posición del

observador i como variable, es decir, en movimiento. Este es el caso de las

aplicaciones GPS cinemáticas, en las que se buscan la posición de un móvil en una

época determinada.

En los casos de aplicaciones estáticas en las que la posición del observador i es

estática durante el periodo de observación, la situación es ligeramente diferente. La

observación simultánea de cuatro satélites como mínimo no es necesaria. Así, por

ejemplo, si consideramos tres satélites y lo aplicamos a nuestra condición:

tt 32 nn +≥⋅ ⇔ ≥ n 3t

luego la observación de dos satélites en tres épocas diferentes nos daría una solución.

En la práctica, esta situación mínima nos daría soluciones poco fiables o el cálculo

podría fallar debido a un sistema de ecuaciones de observación mal condicionado.

2.2. Posicionamiento absoluto con medidas de fase de la portadora

Como ya vimos, las pseudodistancias se pueden obtener también a partir de las

medidas de fase. El modelo matemático para estas medidas era:

)()()( tfNtt ji

jji

ji

ji δρ

λφ Δ++= 1

j

Aquí, es la fase portadora medida expresada en ciclos, )(tiφ λ es la longitud de onda,

y es la misma distancia que para el modelo de distancia código, es decir, la

distancia geométrica entre el satélite y el receptor. La ambigüedad fase, ,

independiente del tiempo es un número entero y, por lo tanto, a menudo es llamado

ambigüedad entera o incógnita entera. El término denota la frecuencia de la señal

del satélite en ciclos por segundo, y es el sesgo del receptor del reloj y el

satélite combinado, que si lo sustituimos en la ecuación, queda:

)(tj

j

j

j

iρ

iN

f

)(tiδΔ

)()()()( tftfNtt ijjjj

ij

ij

i δδρλ

φ −++= 1


Tema 9 - 334

ecuación en la que se vuelve a suponer conocido el error en el reloj del satélite. Así,

para satélites, épocas y un observador i, tenemos otra vez posibles

medidas (ecuaciones). Teniendo en cuenta que la ambigüedad entera es una incógnita

para cada satélite, la condición para que se obtenga una única solución se transforma

ahora en:

jn n nn ⋅

nnnn ++≥⋅ 3

1=n

2=n 5=n

3≥

••

j

•

•

t tj

tjtj

de manera que para una sóla época , sólo existe solución si se omite el número

de ambigüedades, lo que nos llevaría al caso del modelo de pseudodistancias a partir

del código y por lo tanto el número mínimo de satélites sería 4. Este caso significa que

el modelo de posicionamiento absoluto mediante medidas de fase de la portadora se

puede usar para aplicaciones cinemáticas siempre y cuando las ambigüedades se

hayan resuelto con observaciones iniciales (de forma estática). Cuando las

ambigüedades tienen que ser resueltas, el número mínimo de satélites a observar es

, lo que nos lleva a un número mínimo de , si bien un número de 4

satélites nos da un resultado razonable y es una situación normal debido a la

configuración de los satélites y en este caso, el número mínimo de épocas a observar

sería .

t

j

n

t

t

2.3. Posicionamiento absoluto con medidas Doppler

Vimos también que las pseudodistancias se pueden obtener también a partir de las

medidas de datos Doppler. El modelo matemático para estas medidas era:

)()()( tcttD ji

ji

ji Δ⋅+= δρ

Esta ecuación se puede considerar como una derivada respecto al tiempo de la

pseudodistancia de código o de fase de la portadora. En ella, es el

desplazamiento Doppler observado, es la velocidad radial instantánea entre el

satélite y el receptor, y es la derivada respecto al tiempo del error combinado

de los relojes del satélite y el receptor.

)(tDi

)(tjiρ

)(tjiΔδ


Tema 9 - 335

La velocidad radial para un receptor estacionario se escribe como:

)()(

)()( t

t

tt j

ij

i

ij

iji

•

•

•

⋅−

−= ρ

ρρ

ρρρ•

y relaciona la posición incógnita del receptor con la posición y velocidad instantánea

del satélite. Éstos últimos se pueden calcular a partir de las efemérides de los satélites

obtenidas del mensaje de navegación.

La contribución del error del satélite al término se puede obtener derivando el

modelo lineal para el error en el estado del reloj que vimos en el posicionamiento

absoluto con medidas de código, así:

)(tjiΔδ•

•

)(2)( 021 ttaatj −+=δ

de manera que lo podemos considerar conocido. De esta manera, la ecuación del

modelo contiene cuatro incógnitas, las coordenadas del observador, iρ•

y la derivada

con el tiempo del error del reloj del observador . Por lo tanto, si comparamos el

modelo de pseudodistancias mediante medida de código con el Doppler, éste último

sólo contiene la variación del error del reloj del receptor en vez del propio error.

)(tiδ

3. Posicionamiento relativo.

El objetivo del posicionamiento relativo es determinar la coordenadas de un punto

desconocido con respecto a otro de coordenadas conocidas, es decir, permite la

determinación del vector entre dos puntos, normalmente llamado baselínea.

Supongamos un punto de referencia A de coordenadas conocidas, un punto B de

coordenadas desconocidas y el vector baselínea ABb . Denotemos además sus

correspondientes vectores de posición AX y BX de forma que se puede escribir:


Tema 9 - 336

ABAB bXX +=

siendo las componentes del vector baselínea:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

Δ

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

AB

AB

AB

AB

AB

AB

AB

Z

Y

X

ZZ

YY

XX

b

Los modelos matemáticos para el código y la fase de la portadora que ya hemos visto

se pueden aplicar de forma análoga con la única diferencia de que ahora existen las

coordenadas conocidas del punto de referencia.

El posicionamiento relativo es mas efectivo cuando se realizan observaciones

simultáneas entre el punto de referencia de coordenadas conocidas y el punto a

calcular. La observación simultánea en los puntos A y B a los satélites j y k nos va a

permitir generar lo que se viene llamando simples diferencias, dobles diferencias y

triples diferencias.

3.1. Diferencias de fase

Vamos a ver los modelos matemáticos para el posicionamiento relativo que se pueden

obtener por medio de la combinación de las ecuaciones de observación para el

posicionamiento absoluto.

− Simples diferencias:

Vamos a suponer que tenemos dos puntos observando a un mismo satélite. Llamemos

a los puntos A y B y al satélite j.


Tema 9 - 337

Podemos escribir para cada observador su ecuación de observación para la fase, así:

)()()()( tfNttft Ajj

AjA

jjjA δρ

λδ −+=−Φ 1

)()()()( tfNttft Bjj

Bj

Bjjj

B δρλ

δ −+=−Φ 1

y la diferencia de ambas ecuaciones nos da:

[ ] [ ] [ ])()()()()()( ttfNNtttt ABjj

Aj

BjA

jB

jA

jB δδρρ

λ−−−+−=Φ−Φ 1

jjj

jjj

jjj

jjj

que nos da la ecuación de simples diferencias. Si nos fijamos en las incógnitas del lado

derecho de la igualdad, existe un problema respecto a la obtención de la solución. Al

tener las ambigüedades y los errores de los relojes los mismos coeficientes, obtenemos

una matriz deficiente de rango pues existen columnas con los mismos valores (nos

lleva a un determinante nulo y por lo tanto matriz no invertible). Para evitar este

problema, se incluyen ahora las cantidades relativas:

ABAB NNN −=

)()()( ttt ABAB δδδ −=

y para el resto de la ecuación utilizamos la notación:

)()()( ttt ABAB Φ−Φ=Φ

)()()( ttt ABAB ρρρ −=


Tema 9 - 338

de forma que la ecuación de simples diferencias queda como:

)()()( tfNtt ABjj

ABjAB

jAB δρ

λ−+=Φ 1

Si nos fijamos en la ecuación, los errores del reloj del satélite han desaparecido. Las

simples diferencias entre receptores eliminan o reducen los efectos asociados con los

satélites como son los errores de los relojes y gran parte de los errores orbitales

siempre que el vector entre los puntos sea menor que la distancia geocéntrica del

satélite.

La ecuación de simples diferencias se puede formar también considerando un solo

punto A y dos satélites j y k, lo que nos llevaría a la ecuación:

)()()( tfNtt jkjjkA

jkA

jkA δρ

λ−+=Φ 1

en la que hemos supuesto que las frecuencias de ambos satélites son iguales. La

ventaja de este modelo es que se elimina el error del reloj del observador, si bien,

como estamos hablando de posicionamiento relativo entre dos puntos, no tiene mucho

sentido.

− Dobles diferencias:

Si ahora suponemos dos puntos A y B y dos satélites j y k, podemos formar dos

simples diferencias, bien entre dos receptores, bien entre dos satélites si bien la

ecuación de dobles diferencias que obtendríamos sería la misma.


Tema 9 - 339

Supongamos entonces dos simples diferencias entres dos puntos y a dos satélites.

)()()( tfNtt ABjj

ABjAB

jAB δρ

λ−+=Φ 1

)()()( tfNtt ABkk

ABkAB

kAB δρ

λ−+=Φ 1

kj

y para obtener la doble diferencia, las restamos. Si suponemos que las frecuencias de

los satélites son iguales obtenemos: ff =

[ ] [ jAB

kAB

jAB

kAB

jAB

kAB NNtttt −+−=Φ−Φ )()()()( ρρ

λ]1

y usando una notación análoga al caso de las simples diferencias obtenemos la forma

final de la ecuación de dobles diferencias:

jkAB

jkAB

jkAB Ntt +=Φ )()( ρ

λ1

Si nos fijamos en la ecuación, el error del reloj del receptor se ha cancelado, y esta es

la principal razón de que se usen las dobles diferencias. La eliminación de este error en

el reloj del receptor es consecuencia de las hipótesis de simultaneidad en la

observación y la igualdad en la frecuencia de las señales de los satélites.

La notación que hemos usado:


Tema 9 - 340

jkjk

∗ Φ

ABABAB ∗−∗=∗

en la que podemos sustituir por , ρ o . Hay que tener en cuenta que los

términos que hemos utilizado como notación, comprenden cuatro términos, así:

N

jkjkjkjk

jkjkjk

jkjkjk

jkjkjk

AABBABABAB ∗+∗−∗−∗=∗−∗=∗

y por lo tanto, los términos desarrollados quedan como:

)()()()()( ttttt AABBAB Φ+Φ−Φ−Φ=Φ

)()()()()( ttttt AABBAB ρρρρρ +−−=

AABBAB NNNNN +−−=

− Triples diferencias:

Hasta ahora sólo hemos considerado una época t. Si recordamos, las ambigüedades

son constantes y por lo tanto independientes del tiempo.

Consideremos entonces dos épocas t1 y t2 y sus correspondientes dobles diferencias:

jkAB

jkAB

jkAB Ntt +=Φ )()( 11 ρ

λ1


Tema 9 - 341

jkAB

jkAB

jkAB Ntt +=Φ )()( 22 ρ

λ1

y las restamos obteniendo:

[ ])()()()( 1212 tttt jkAB

jkAB

jkAB

jkAB ρρ

λ−=Φ−Φ 1

que podemos escribir de forma simplificada como:

)()( 1212 tt jkAB

jkAB ρ

λ=Φ 1

que es la ecuación de triples diferencias en la que hemos usado la notación:

)()()( ttt ∗−∗=∗

jkjkjk

jkjkjk

1212

de forma que los términos de la ecuación de triples diferencias estén formados por

ocho términos:

)()()()()()()()()(

1111

222212

tttt

tttttjA

kA

jB

kB

AABBAB

Φ+Φ−Φ−Φ−

−Φ+Φ−Φ−Φ=Φ

y

)()()()(

)()()()()(

1111

222212

tttt

tttttjA

kA

jB

kB

AABBAB

ρρρρρρρρρ

+−−−

−+−−=

Las dos principales ventajas de las triples diferencias es que el efecto de las

ambigüedades desaparece y por lo tanto son independientes de los cambios en el valor

de las ambigüedades, es decir, de las pérdidas de ciclo.

3.2. Correlación de las combinaciones de fase

En general hay dos tipos de correlación:

− La correlación física y


Tema 9 - 342

− La correlación matemática.

La correlación física se debe a que la señal que emite un satélite se recibe en varias

estaciones al mismo tiempo, o bien que la misma señal emitida por un satélite se

recibe en varios puntos. Normalmente no se tiene en cuenta si se calcula en modo de

baselíneas aisladas, pero si se tiene en cuenta si el cálculo se realiza en modo

multibaselínea o multiestación. Sin embargo, se han obtenido excelentes resultados

aún obviando esta correlación.

Vamos a estudiar la correlación matemática considerando que los errores de fase

presentan una distribución Normal de media 0 y varianza , N(0, ) y que las

fases medidas son linealmente independientes o incorreladas. Sea

2 2σ σ

Φ el vector que

contiene las fases medidas y

( ) I⋅=Φcov σ 2

siendo I la matriz de varianzas-covarianzas para las fases ( I es la matriz identidad al

ser las fases incorreladas).

− Correlación de las Simples Diferencias

Haciendo las simples diferencias para dos puntos estación A y B, un satélite j, en una

época t tenemos la simple diferencia:

)()()( ttt ABAB Φ−Φ=Φ jjj

kkk

Formando otra simple diferencia para otro satélite k: )()()( ttt ABAB Φ−Φ=Φ

y ambas simples diferencias se pueden expresar mediante la notación matricial:

Φ⋅= CSD

siendo:


Tema 9 - 343

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Φ

Φ=

)(

)(

t

tSD

kAB

ABj

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

1100

0011C

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ

Φ

Φ

Φ

=Φ

)(

)(

)(

)(

t

t

t

t

kB

kA

jB

Aj

de modo que si le aplicamos la ley de covarianzas a nuestra igualdad:

( ) ( ) TCCSD ⋅Φ⋅= covcov

y sustituyendo la covarianza de las fases:

( ) TT 22 CCCICSD ⋅=⋅⋅⋅=cov σσ

y sustituyendo los valores de C nos da:

( ) I C C SD T

⋅ ⋅ = ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎣

⎡ ⋅ ⋅ =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

−

−

⋅ ⎥ ⎥ ⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎣

⎡

−

− ⋅ = ⋅ = 2 22 2 2

10

012

10

10

01

01

1100

0011 cov σ σ σ σ

es decir, que la matriz es diagonal:

( ) ISD ⋅⋅= 2cov σ 2

lo que demuestra que las ecuaciones de observación de simples diferencias están

incorreladas puesto que la matriz de varianzas-covarianzas es diagonal. Este resultado

es independiente del número de simples diferencias que consideremos puesto que si

consideramos más épocas, la matriz de varianzas covarianzas sigue siendo diagonal

con una dimensión igual al número de ecuaciones que hayamos considerado

inicialmente.


Tema 9 - 344

− Correlación de las Dobles Diferencias

Consideremos dos puntos de observación A y B, y tres satélites j, k, l. Vamos a

considerar el satélite j como referencia para las dos dobles diferencias. Las dos dobles

diferencias que se pueden formar para una época t son:

)()()( ttt ABABAB Φ−Φ=Φ jkjk

jljl

)()()( ttt ABABAB Φ−Φ=Φ

que escritas como antes en forma matricial:

SDCDD ⋅=

donde:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Φ

Φ=

)(

)(

t

tDD

jlAB

ABjk

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

101

011C

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ

Φ

Φ

=

)(

)(

)(

t

t

t

SDlAB

kAB

ABj

La matriz de varianzas-covarianzas para las dobles diferencias es:

( ) ( ) TCSDCDD ⋅⋅= covcov

si sustituimos la matriz de covarianzas que hemos obtenido para las simples

diferencias:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅⋅⋅=

21

1222cov 22 σσ

TCCDD


Tema 9 - 345

lo que demuestra que las dobles diferencias están correladas. El peso de la matriz de

correlación )(tP se obtiene como la matriz inversa de la de covarianzas:

( )[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−==

−

21

1231

21cov)( 2

1

σDDtP

En general, cuando hacemos dobles diferencias para una época t, la matriz de

covarianzas es una matriz de tamaño de la forma:

Dn

DD xnn

( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

211

121

112

.2cov 2σDD

y la matriz de pesos:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−

+=

D

D

D

D

n

n

n

ntP

11

11

11

11

.21)( 2σ

− Correlación de las Triples Diferencias

Consideramos dos puntos de observación A y B, tres satélites j, k, l en dos épocas de

observación t1 y t2. Tomando el satélite j como referencia, formamos las dos triples

diferencias:

)()()()()( 112212 ttttt ABABABABAB Φ+Φ−Φ−Φ=Φ jkjkjk

jljljl

)()()()()( 112212 ttttt ABABABABAB Φ+Φ−Φ−Φ=Φ

que escritas en forma matricial como antes queda:


Tema 9 - 346

SDCTD ⋅=

donde:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Φ

Φ=

)(

)(

12

12

t

tTD

jlAB

ABjk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−=

101101

011011C

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

=

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

2

2

1

1

1

t

t

t

t

t

t

SD

lAB

kAB

jAB

lAB

kAB

ABj

La matriz de varianzas-covarianzas para las triples diferencias es:

( ) ( ) TCSDCTD ⋅⋅= covcov

si sustituimos la matriz de covarianzas que hemos obtenido para las simples

diferencias:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅⋅⋅=

42

2422cov 22 σσ

TCCDD

por lo que las triples diferencias están más correladas entre si que las dobles

diferencias. De forma análoga, la matriz de pesos se obtiene como inversa de la de

covarianzas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−== −

42

24121

.21)][cov()( 2

1

σTDtP


Tema 9 - 347

4. Cálculo completo de una posición mediante código. Introducción al cálculo de una posición con fase. Ambigüedades flotantes y fija

4.2. Modelo de Pseudoistancias con Código

Partimos de ecuaciones de observación para medidas de GPS no lineales. El código de

la seudodistancia en una época t puede ser modelado por

)()()( tcttR iii δρ Δ+= jjj

j

j

j

j

Aquí, es el código pseudodistancia medida entre el lugar de observación i y el

satélite j, es la distancia geométrica entre el satélite y el punto de observación,

y c es la velocidad de la luz. El ultimo elemento , es el sesgo del reloj que

representa el desfase del reloj combinado del satélite y el receptor del reloj con

respecto al tiempo GPS.

)(tRi

ρ )(ti

)(tiδΔ

Examinando la ecuación, las coordenadas del punto deseado para ser determinado son

implícitamente la distancia , que puede ser escrita explícitamente como )(tiρ

222 ))(())(())(()( i

ji

ji

jji ZtZYtYXtXt −+−+−=ρ

donde , , son los componentes de la posición vector geocéntrico del

satélite en la época t, y ,Yi , son los tres incógnitas ECEF coordenadas del lugar

observando. Ahora, el sesgo reloj debe ser resuelto.

)(tX j j j

Zij

)(tY )(tZ

IX

)(tiδΔ

Por el momento consideramos una época simple; automáticamente es aplicada una

posición simple i. Cada satélite contribuye a una incógnita del sesgo del reloj que

puede ser reconocido por el superíndice j en el término reloj.

Olvidando, de momento, el sesgo del reloj del sitio i, la ecuación pseudodistancia para

el primer satélite debería tener cuatro incógnitas. Las tres coordenadas del punto y


Tema 9 - 348

una del sesgo del reloj de este satélite. Por lo tanto, hay más incógnitas que medidas.

Incluso, cuando una época adicional es considerada, nuevos sesgos del reloj del

satélite deben ser modelados debido a la fluctuación del reloj. Afortunadamente, la

información del reloj del satélite es conocida y transmitida por medio de la transmisión

del mensaje de navegación en la forma de tres coeficientes polinomiales a con

el tiempo de referencia t . Por lo tanto la ecuación

210 ,, aa

2j

jj

jjj

c

210 )()()( cc ttattaat −+−+=δ

realiza el cálculo del sesgo del satélite en la época t. Podemos observar que el

polinomio anterior elimina una gran cantidad del sesgo del reloj del satélite, sin

embargo permanece todavía una pequeña cantidad de errores.

El término del sesgo combinado es separado en dos partes por

)()()( ttt iδδδ −=Δ

donde la parte relacionada con el satélite es conocida por la ecuación polinómica arriba

citada y el término relacionado con el receptor sigue siendo incógnita. Substituyendo la

ecuación y cambiando el sesgo del reloj del satélite al lado izquierdo de la ecuación

queda:

)()()()( tcttctR iii δρδ −=−

Como podemos ver el lado izquierdo de la ecuación contiene las cantidades observadas

o conocidas, mientras que el lado derecho son las incógnitas.

4.3. Modelos en dobles diferencias

Los modelos de posicionamiento empleados anteriormente, tienen un término incógnita

ρ que no es lineal. En esta sección linealizaremos . La ecuación de

peudodistancias es

)(tjiρ


),())(())(())(()(

,

222

iii

ij

ij

ijj

i

ZYXfZtZYtYXtXt

≡−+−+−=ρ

en la que las incógnitas del punto de coordenadas tienen una forma no

lineal. Si asumimos como los valores aproximados para las incógnitas, la

distancia aproximada puede ser calculada

iii ZYX ,,

00,0 , iii ZYX

)(0 tjiρ

),())(())(())(()(

00,0

20

20

200

iii

ij

ij

ijj

i

ZYXfZtZYtYXtXt

≡−+−+−=ρ

Utilizando valores aproximados, las incógnitas se pueden descomponer

mediante

iii ZYX ,,

iii

iii

iii

ZZZYYY

XXX

Δ+=Δ+=

Δ+=

0

0

0

donde son ahora las incógnitas. Las incógnitas han sido separadas en

dos partes, la parte conocida representado or y la parte de las

incógnitas .

iii ZYX ΔΔΔ ,,

ii YX ΔΔΔ ,,

),( 00,0 iii ZYX

iZ

Si aplicamos las serie de Taylor respecto al punto aproximado, nos queda:

ii

iiii

i

iii

ii

iiiiii

iiiiiiiii

ZZ

ZYXfY

YZYXf

XX

ZYXfZYXf

ZZYYXXfZYXf

Δ∂

∂+Δ

∂∂

+Δ∂

∂+=

Δ+Δ+Δ+≡ΔΔΔ

0

000

0

000

0

000000

000

),,(),,(

),,(),,(

),,(),,(

Las derivadas parciales son obtenidas a partir de

Tema 9 - 349


Tema 9 - 350

)()(),,(

)()(),,(

)()(),,(

0

0

0

000

0

0

0

000

0

0

0

000

tZtZ

ZZYXf

tYtY

YZYXf

tXtX

XZYXf

ji

ij

i

iii

ji

ij

i

iii

ji

ij

i

iii

ρ

ρ

ρ

−−=

∂∂

−−=

∂∂

−−=

∂∂

Y son los componentes del vector unitario de posicionamiento del satélite hacia

el lugar aproximado. La expresión de una pseudodistancia linealizada queda como

sigue:

iji

ij

iji

ij

iji

ij

ji

ji

ZtZtZ

YtYtY

XtXtX

t

Δ−

−

Δ−

−Δ−

−=

)()(

)()(

)()(

)(

0

0

0

0

0

00

ρ

ρρρρ

donde se ha utilizado la equivalencia de de la ecuación de . Esta

ecuación es ahora lineal con respecto a las incógnitas .

),( , iii ZYXf )(0 tjiρ

iii ZYX ΔΔΔ ,,

4.3. Modelo Lineal para el Posicionamiento Relativo

Para el modelo lineal del posicionamiento relativo, la investigación se restringe al uso

de las mediciones por fase. Además la linealización y comienzo de las ecuaciones

lineales se mantiene, en principio, el mismo número de fases y combinaciones de fases

y podrá ser representado análogamente para cada modelo.

El modelo para las ecuaciones de dobles diferencias, multiplicado por λ es:

jkjkjkABABAB Ntt λρλφ += )()(


Tema 9 - 351

donde el término que contiene la geometría de la época está compuesto de la

siguiente forma:

)(tABρ jk

jkjkjk )()()()()( ttttt AABBAB ρρρρρ +−−=

la cual refleja cuatro mediciones por dobles diferencias

iji

iij

i

iij

i

iji

ji Z

tZtZ

YtYtY

XtXtX

t Δ−

−Δ−

−Δ−

−=)(

)()(

)()(

)()(

0

0

0

0

0

00 ρρρ

ρρjjj

donde resulta la siguiente expresión

BjB

Bj

BjB

Bj

BjB

Bj

jB

BKB

BK

BKB

BBK

B

BKB

jkAB

ZtZtZ

YtYtY

XtXtX

t

ZtZtZ

YtYtY

XtXtX

t

Δ−

+

Δ−

+Δ−

−−

Δ−

−

Δ−

−Δ−

−=

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

)()(

)()(

)(

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

00

ρ

ρρρ

ρ

ρρρρ

KK

AjA

Aj

AjA

Aj

AjA

Aj

jA

AKA

AK

AKA

AAK

A

AKA

ZtZtZ

YtYtY

XtXtX

t

ZtZtZ

YtYtY

XtXtX

t

Δ−

−

Δ−

−Δ−

−+

Δ−

+

Δ−

+Δ−

+−

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

)()(

)()(

)(

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

00

ρ

ρρρ

ρ

ρρρ

KK

(5.9)


Tema 9 - 352

donde son las coordenadas aproximadas de B y es la

pseudodistancia calculada del satélite j. Además, se supone conocidas las coordenadas

de A y el satélite k que es elegido como referencia.

00,0 , BBB ZYX jB0ρ

Substituyendo la ecuación (5.9) en (5.7) y reordenando nos lleva a la ecuación de

observación lineal

jkABB

jkZA

jkYA

jkX

AZAYAXAB

NZtaYtaXta

ZtaYtaXtatl

BBB

AAA

λ+Δ+Δ+Δ+

Δ+Δ+Δ=

)()()(

)()()()( jkjkjkjk

Jkjkjkjk

(5.10)

donde el lado izquierdo es

)()()()()()( 0000 ttttttl AABBABAB ρρρρλφ −++−= (5.11)

comprende todas las mediciones y todos los términos calculados de los valores

aproximados. Las abreviaturas de la parte derecha de la ecuación corresponden a

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)()()(

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

tZtZ

tZtZta

tYtY

tYtYta

tXtX

tXtXta

tZtZ

tZtZta

tYtY

tYtYta

tXtX

tXtXta

jB

Bj

KB

BK

jkZ

jB

Bj

KB

BK

jkY

jB

Bj

KB

BK

jkX

jA

Aj

KA

BK

jkZ

jA

Aj

KA

BK

jkY

jA

AKA

AjkX

B

B

B

A

A

A

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

−+−−=

−+−−=

−+−−=

−−−=

−−−=

−−−=jK

(5.12)


Tema 9 - 353

Observamos que las coordenadas del punto A deben ser conocidas para el

posicionamiento relativo. Especificamente, el punto conocido A reduce tres incógnitas

debido a que . Esto produce un ligero cambio en el lado

izquierdo del término de la ecuación

0=Δ=Δ=Δ AAA ZYX

)()()()()()( 00 ttttttl AABBABAB ρρρρλφ −++−= Jkjkjkjk

(5.13)

La ecuación (5.10) configurará la matriz de diseño A, de la forma Ax-k=R en el modelo

de mínimos cuadrados.

Asumiendo ahora cuatro satélites y dos épocas el sistema de matrices es el siguiente:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡

=

) (

) (

) (

) (

) (

) (

2

2

2

1

1

1

t l

t l

t l

t l

t l

t l

l

jm AB

jl AB

jk AB

jm AB

jl AB

jk AB

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

=

jmAB

jlAB

jkAB

B

B

B

N

N

N

XXX

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

λλ

λλ

λλ

00)()()(

00)()()(

00)()()(

00)()()(

00)()()(

00)()()(

111

111

111

111

111

111

tatata

tatata

tatata

tatata

tatata

tatata

A

jmZB

jmYB

jmXB

jlXB

jlXB

jlXB

jkZB

jkYB

jkXB

jmZB

jmYB

jmXB

jlZB

jlYB

jlXB

jkZB

jkYB

jkXB


Tema 9 - 354

El sistema de ecuaciones queda de esta forma

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)()()()()()(

00)()()(

00)()()(

00)()()(

00)()()(00)()()(

00)()()(

2

2

2

1

1

1

111

111

111

111

111

111

tltltltltltl

N

N

N

XXX

tatata

tatata

tatata

tatata

tatata

tatata

jmAB

jlAB

jkAB

jmAB

jlAB

jkAB

jmAB

jlAB

jkAB

B

B

B

jmZB

jmYB

jmXB

jlXB

jlXB

jlXB

jkZB

jkYB

jkXB

jmZB

jmYB

jmXB

jlZB

jlYB

jlXB

ZBYBXB

λλ

λλ

λλjkjkjk

T

TT −1

1−

jjj

jjj

Planteamiento de la matriz de pesos

El principio del ajuste mínimo necesita de una matriz de pesos P para la

solución. Como la solución por mínimos cuadrados es , siendo la

matriz de covarianza .

=Pnn

2= Poσ

xPKAPAA =)(

Σ

La matriz de pesos generalmente es diagonal, sien embargo en las dobles diferencias,

la matriz varianza se deduce de la ley de propagación de varianzas-covarianzas.

Si tenemos tres puntos A, B, C, un satélite j, y se considera una época simple t, se

pueden definir dos líneas base independientes. Si elegimos A como referencia, las dos

simples diferencias para las líneas bases A-B y A-C

)()()( ttt ABAB φφφ −= (5.15)

)()()( ttt ACAC φφφ −=

pueden ser fijadas para un satélite en una época t. Escribiremos esta ecuación de

forma matricial, introduciendo el vector SD para las simples diferencias, el vector φ

para las fases, y una matriz C


Tema 9 - 355

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

tt

SD jAC

jAB

φφ

; ; (5.16) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=101011

C⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)()()(

ttt

jC

jB

A

φφφ

φ

j

j

Así, nos queda

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

)()()(

101011

)()(

ttt

tt

jC

jB

A

jAC

jAB

φφφ

φφ

(5.17)

Para encontrar la correlación, aplicaremos la ley de propagación a esta relación

SD=Cφ , dandonos la siguiente expresión SDΣ =C CT. Sabemos que la varianza a

priori, que resulta de la experimentación más empírica es , luego

tenemos que

φΣ

22

T2

2

)1( cmo =σ

(5.18) SD CCσ=Σ

debido a que . Sustituyendo la matriz C de la ecuación (5.16) y calculando

el producto de matrices nos da

ISD σ=Σ

(5.19) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Σ

21122σSD

lo que muestra, como era de esperar, las simples diferencias de dos líneas bases con

un punto en común están correladas. Sin embargo, recordamos que las simples

diferencias de una sola línea base son no correladas.

A continuación, explicaremos la correlación para las dobles diferencias. Asumimos dos

puntos A y B, y 4 satélites j, k, l y m.


Tema 9 - 356

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()(

ttttt

ttttt

ttttt

jA

mA

jB

mB

jmAB

jA

LA

jB

LB

jLAB

AABBAB

φφφφφφφφφφφφφφφ

+−−=

+−−=

+−−= jkjkjk

T

T2

T

(5.20)

Ahora nos queda la matriz C

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=100110010101010100110011

C

(5.21)

La matriz de Pesos P se obtiene de la matriz inversa de la covarianza Σ , donde

ahora la matriz varianza es . Sustituyendo en esta expresión nos queda

.

DD

SDDD CCΣ=Σ

DD CC2σ=Σ

La matrizCC resultante para nuestro caso es la siguiente

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

422242224

TCC

(5.22)

y la matriz covarianza nos queda (5.23)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==Σ

422242224

22 22 σσ TDD CC

La matriz de pesos P

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=Σ= −

311131113

41

21)( 2

1

σSDtP (5.24)

La expresión general para la matriz de pesos P


Tema 9 - 357

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

+=

DD

DD

DD

DD

DD

n

nn

n

ntP

......111

...111

11

21)( 2σ

(5.25)

Para varias épocas t1, t2,..., tn la matriz correlación se convierte en una matriz bloque

diagonal.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)()(

)(

)( 3

2

1

ntP

tPtP

tP

tP

Luego, no es posible resolver el sistema mediante mínimos cuadrados, ya que la matriz

de pesos no es diagonal y la resolución del ajuste mínimos cuadrados supone no

correlados los observables. La solución es decorrelar la matriz para formar de nuevo el

sistema.

La solución consiste en la búsqueda de una matriz T, tal que se cumpla que

A’=TA

(A’)TA’=ATTTTA=ATPA (5.26)

con lo que TT

1−

T debe ser la matriz de pesos, es decir la inversa de la matriz covarianza,

=Σ P .

Ahora, descomponemos la matriz mediante la descomposición de Cholesky, si

R=chol(w) entonces R TR=w, siendo R una matriz triangular superior.

Σ

R=chol(Σ )

R TR= P=Σ−1 (5.27)


Tema 9 - 358

Si llamamos la matriz de transformación T a R , entonces las matrices A’=TA y k’=Tk,

y el sistema de ecuaciones sería A’x-k’=R’ de matriz de pesos diagonal e igual a la

unidad I, que es equivalente al sistema anterior.

(A’)TA’x=(A’)Tk’ (5.28)

desarrollando:

(TA) TTAx=(TA) TTk

ATTTTAx=ATT

TT −1 T

TTk (5.29)

A TPAx= A TPk

Estas son las ecuaciones normales decorreladas cuya solución es

, y quedando los términos , xPKAPAA =)( PAA PKAT y x invariables.

Luego, resulta idéntico resolver el primer sistema o este otro sistema.

Formación del sistema de ecuaciones normales

Sea el ejemplo siguiente donde queremos ajustar un plano a una nube de puntos.

Donde tenemos los siguientes datos:

Observables: x1,x2,x3,x4

Y1,y2,y3,y4

Incógnitas: a,b,c

Modelo Matemático: y=ax+by+c

Ecuaciones:

Y1=ax1+by1+c

Y2=ax2+by2+c

Y3=ax3+by3+c

Y4=ax4+by4+c


Tema 9 - 359

Siendo las matrices A , las siguientes: k

TT −1

T

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44

33

22

11

yxyxyxyx

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

cycycycy

k

4

3

2

1

Realizaremos el ajuste por mínimos cuadrados donde conocemos que la solución viene

expresada de este modo , donde la matriz de pesos P la

consideramos como la matriz unidad I. Y recordando la Teoría de los corchetes de

Gauss, la matriz nos queda de la siguiente forma:

xPKAPAA =)(

AA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++++++

==4433221144332211

44332211443322111 yyyyyyyyyxyxyxyx

yxyxyxyxxxxxxxxxAAA T

(5.30)

Identicamente para KAT

A A

.

(5.31) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++

=44332211

44332211

kykykykykxkxkxkx

kAT

Si ahora añadimos dos puntos más, bastaría hacer una nueva matriz solo con las

nuevas ecuaciones de los nuevos puntos observados 5 y 6, y como resultado

obtendriamos una matriz como la suma de la matriz anteriormente formada y la

nueva matriz.

2 1

(5.32) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

+=66556655

6655665512 yyyyyxyx

yxyxxxxxAA

4.4. Resumen de Actuación para la Inserción de Mediciones GPS

Para añadir nuevas épocas GPS utilizaremos este método.


Tema 9 - 360

1. Calcular las matrices A y k según (5.14)

2. Plantear la matriz de pesos según (5.23)

3. Decorrelar el sistema de ecuaciones con el método de Cholesky (5.27)

4. Formar la matriz PAAT , PKAT para la primera época

5. Ir formando las sucesivas épocas tT PAA )( , t

T PKA )(

6. La matriz final será ( )1PAAT +...+ nT PAA )( para n épocas

7. Resolver y

1−

1)(

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∑n

ii

T PAA ∑=

n

ii

T kA1

)(

4.5. Notas importantes en observaciones de corto y largo periodo

Utilizando el método de fijado de ambigüedades LAMBDA se sacan las siguientes

conclusiones: en periodos cortos el grado de correlación es mayor, ya que tenemos

menos observaciones y por lo tanto menos ecuaciones, tal como cabía esperar de la

teoría geodésica y las ambigüedades float están lejos de los valores de las

ambigüedades enteras fijadas.


Figura 8.1 Resultados del programa de Resolución de Ambigüedades de Dobles

Diferencias por el Método LAMBDA para observaciones en un tiempo corto.

Tema 9 - 361


En el segundo ejemplo correspondiente a un periodo largo de observación de 39

minutos correspondiente a 2340 épocas y 5 satélites se han resuelto 9360 ecuaciones

en un tiempo de cálculo de 340 segundos. (Pentium III 800MHz). A continuación se

muestra en la figura siguiente.

Figura 8.2.Resultados del programa de Resolución de Dobles Diferencias por el Método

LAMBDA para observaciones en un tiempo largo.

Si comparamos esta observación larga con la anterior observación corta comprobamos

que en periodos largos de observación el grado de correlación es menor, puesto hemos

observado muchas más observaciones y por lo tanto, el tiempo de cálculo es mayor.

Además, las ambigüedades float tienen valores muy cercanos a las ambigüedades

enteras.

Cuando tenemos tiempos de observaciones cortos, de hecho tenemos . Esto

explica porque los satélites GPS tienen órbitas a una gran altura, sus posiciones

relativas con respecto a los receptores cambian lentamente, lo que implica que en

tiempos de observaciones cortos, las ambigüedades si son tratadas como números

reales son de mala calidad para la distinción de las coordenadas de la línea base. Y

bb QQ ˆ<<

Tema 9 - 362


como resultado, la lineal base estimada será bastante mala. Sin embargo, cuando

resolvemos ambigüedades de valores enteros, los observables fase de alta precisión

empezarán a actuar como si fueran observables de pseudodistancias de alta precisión.

Como resultado, las coordenadas de la línea base se convierten estimables con una

alta precisión comparable y se cumple . bb QQ ˆ<<

Tema 9 - 363


4.6. Ejemplo de cálculo

Práctica sobre posicionamiento con código C/A

RINEX de OBSERVACIÓN 2 OBSERVATION DATA G (GPS) RINEX VERSION / TYPE TerraSat GeoGenius GPS+GLONASS Decoder 11-Aug-00 12:02:32 PGM / RUN BY / DATE IGN2 MARKER NAME OBSERVER / AGENCY Unknown Ashtech RD00 REC # / TYPE / VERS 13 LEAP SECONDS COMMENT 3600 LOCAL TIME OFFSET IN SEC COMMENT Default ANT # / TYPE 4851139.7520 -314513.8190 4116284.9980 APPROX POSITION XYZ 0.0000 0.0000 0.0000 ANTENNA: DELTA H/E/N 1 1 0 WAVELENGTH FACT L1/2 7 C1 P1 P2 L1 L2 D1 D2 # / TYPES OF OBSERV 15 INTERVAL 2000 8 11 0 0 0.000000 GPS TIME OF FIRST OBS 2000 8 11 0 59 45.000000 GPS TIME OF LAST OBS 8 # OF SATELLITES G05 240 240 240 240 240 240 240 PRN / # OF OBS G06 240 240 240 240 240 240 240 PRN / # OF OBS G17 171 171 171 171 171 171 171 PRN / # OF OBS G22 65 65 65 65 65 65 65 PRN / # OF OBS G24 194 194 194 194 194 194 194 PRN / # OF OBS G25 240 240 240 240 240 240 240 PRN / # OF OBS G29 235 235 235 235 235 235 235 PRN / # OF OBS G30 240 240 240 240 240 240 240 PRN / # OF OBS END OF HEADER 0 8 11 0 0 0.0000000 0 6G30G29G06G25G24G05 20659421.934 20659422.566 20659427.103 -20509640.46707 -15709887.24307 -657.502 -512.339 22593311.156 22593311.253 22593318.543 -8380699.32806 -6495059.46406 -2362.044 -1840.559 20715592.849 20715592.929 20715598.111 -19120030.31307 -14615861.18307 1017.674 792.993 22754237.972 22754238.147 22754243.199 -11167178.82006 -8449024.42906 2936.621 2288.275 23879970.586 23879970.690 23879977.045 -3915643.17005 -3023012.92305 -961.868 -749.507 22487453.168 22487453.093 22487458.480 -7990702.03006 -5951049.08406 -2162.017 -1684.690

Rinex de NAVEGACIÓN 30 00 8 11 2 0 0.0-3.275135532022D-05-1.477928890381D-12 0.000000000000D+00 4.000000000000D+01-6.093750000000D+00 5.169858202488D-09 1.362239438238D+00 -4.190951585770D-07 5.362690542825D-03 6.673857569695D-06 5.153622058868D+03 4.392000000000D+05-1.043081283569D-07-1.538901799997D+00-7.823109626770D-08 9.436444989925D-01 2.411562500000D+02 1.445954310898D+00-8.276059016792D-09 -3.171560679661D-10 0.000000000000D+00 1.074000000000D+03 0.000000000000D+00 1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-7.450580596924D-09 2.960000000000D+02 4.392000000000D+05 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00

Tema 9 - 364


Cálculo de las posiciones de los satélites Tenemos la época de referencia tomada por el receptor y materializada en el fichero RINEX de observación, 0 8 11 0 0 0.0000000 , el día 8 de Noviembre de 2000, a las 12:00:00. Debemos calcular el tiempo transcurrido desde principio de semana GPS, para ello, procedemos de la siguiente manera (Kai Borre). 1-Cálculo del día Juliano (Hoffman-Wellenhof)

if m <= 2 y = y-1; m = m+12; end jd = floor(365.25*y)+floor(30.6001*(m+1))+d+h/24+1720981.5;

(donde floor implica redondeo hacia el menor entero) y año con 4 dígitos m mes h hora Para la época de observación: 2451767.5 2- Cálculo de la semana GPS y de los segundos transcurridos desde el principio de semana Gps.

a = floor(julday+.5); b = a+1537; c = floor((b-122.1)/365.25); e = floor(365.25*c); f = floor((b-e)/30.6001); d = b-e-floor(30.6001*f)+rem(julday+.5,1); day_of_week = rem(floor(julday+.5),7); week = floor((julday-2444244.5)/7); sec_of_week = (rem(d,1)+day_of_week+1)*86400;

Se obtiene para la época deseada , semana 1074 y segundo de semana 432000 Calculemos la posición del satélite 30, el Toe, o tiempo de referencia de las efemérides es el segundo Gps de referencia. Corresponde a la tercera línea, primera columna, segundo 439200.

En consecuencia el intervalo de tiempo transcurrido es de 432000-439200 = -7200 segundos. Por otra parte ,la pseudodistancia del sat. 30 es de 20659421.934 metros, si dividimos su valor por la velocidad de la luz (299792458 m/s)tenemos el tiempo que ha tardado la señal en viajar, 0.06891241384732 segundos, por tanto el intervalo de tiempo desde Toe es de -7200.069 segundos.

Tema 9 - 365


Obtengamos a continuación los valores del Rinex para aplicar el algoritmo de efemérides. svprn 30.00000000000000000000 af2 0.00000000000000000000 M0 1.36223943823800000000 roota 5153.62205886800000000000 deltan 0.00000000516985820249 ecc 0.00536269054282500000 omega 1.44595431089800000000 cuc -0.00000041909515857700 cus 0.00000667385756969500 crc 241.15625000000000000000 crs -6.09375000000000000000 i0 0.94364449899250000000 idot -0.00000000031715606797 cic -0.00000010430812835690 cis -0.00000007823109626770 Omega0 -1.53890179999700000000 Omegadot -0.00000000827605901679 toe 439200.00000000000000000000 af0 -0.00003275135532022000 af1 -0.00000000000147792889 toc 439200.00000000000000000000

y utilizando el algoritmo (ver Tabla 3.5), paso a paso tenemos que GM = 3.986005e14 Constante de gravitación universal Omegae_dot = 7.2921151467e-5 Aceleración de la Tierra (Wgs84) a= 2.655982032565084e+007 Semieje mayor n0 = 1.458583245017110e-004 Movimiento medio calculado tk = -7.200068912413844e+003 Intervalo desde Toe n = 1.458634943599135e-004 Movimiento medio corregido M = 0.31201222704113 Anomalía media E = 0.31366687806927 Anomalía excéntrica v = 0.31532577168381 Anomalía verdadera phi = 1.76128008258181 Argumento de la latitud u = 1.76127799016444 Argumento de la latitud corregido r = 2.642411609505970e+007 Radio vector i = 0.94364690845563 Inclinación Omega = -1.62484808447525 Longitud del nodo ascentente corregida xk= 1.54742833873780e+7 Coordenadas en tierra fija yk= 0.41730167179566e+7 " " zk= 2.10087219155275e+7 " "

Tema 9 - 366


Tema 9 - 367


Estas coordenadas satélite obtenidas están referidas al instante en que se envía la señal desde el satélite. Hasta que se recibe en el receptor del usuario la Tierra rota una cantidad determinada, para cada satélite es:

al=-Omegae_dot*tr con: Omegae_dot = 7.2921151467e-5; % earth rotation rate, rad/s y tr=ps(f)/c; Para rotar las coordenadas del satélite durante el tiempo de viaje de la señal

empleamos una simple rotación de Z.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

ZrYrXr

ZYX

1000cossen0sencos

αααα

Obteniendo para el caso que nos ocupa:

xk= 1.54743043573117 e+7 yk= 0.41729389569595 e+7 zk= 2.10087219155275 e+7

distancia 80.5389 metros entre posiciónes

Cálculo de las pseudodistancias corregidas 1. Cálculo de la corrección por reloj del satélite. Los coeficientes del reloj para el instante en el que estamos trabajando son: af0 = -3.2751e-005, af1 = -1.4779e-012, af2 = 0 El instante de cálculo para toe = 439200 y segundo de semana= 432000 es tk = -7200 El polinomio corrector es (af0+af1*(tk)+af2*(tk)^2)*c =-9.8154e+003 metros 2. Cálculo de la corrección troposférica En primer lugar se ha de calcular la elevación aproximada del satélite, dado que se conocen las coordenadas aproximadas del satélite y del receptor es posible calcular las componentes NEU del satélite y deducir la elevación. Ejemplo: Coordenadas del receptor: 4851139.752 -314513.819 4116284.998 Coordenadas del satélite 30: 15474304.357 4172938.957 21008721.916 Azimut 44.3904 (gra) Altura 66 50 27.961523 La corrección se puede realizar mediante: 2.312/sin(sqrt(ele*ele+1.904e-3))+0.084/sin(sqrt(ele*ele+0.6854e-3)) con "ele", elevación en radianes y 2.6051 de resultado para la corrección 3. Cálculo de la corrección por ionosfera Este fichero Rinex no tiene los coeficientes de la corrección, por el momento no la hacemos

Tema 9 - 368


Formación de la matriz de diseño y solución del sistema Una vez obtenidas las coordenadas del satélite y las pseudodistancias corregidas podemos formular las ecuaciones de observación, prácticamente idénticas a las ecuaciones en distancia en una red clásica.

o en forma matricial:

Siendo c la velocidad de la luz (299792458 m/s) y la notación la siguiente:

Superíndice: denota el satélite Subíndice: la estación o receptor

Se puede evaluar como incógnita conjunta cdtk y evitar que la matriz esté mal equilibrada a la hora de invertirla. La primera fila de la matriz A quedaría: -0.51938273672095 -0.21939841754108 -0.82589703182463 -1.00000000000000 y la del término independiente: pseudo+dReloj-dTropo-distancia= 1.961620560436994e+005 La solución mínimo cuadrática nos dará: X 5.1166623925 Y -4.3440337093 Z 5.2999997402

Tema 9 - 369


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cdt -196168.2209311274 y las coordenadas de la estación quedan 4851144.869 -314518.163 4116290.298 Con estas coordenadas se itera de nuevo hasta llegar a unas correcciones pequeñas, por ejemplo: Correcciones -0.0000093984 0.0000083462 -0.0000077541 -196168.2209198036 y unas coordenadas calculadas finales: ϕ 40º 26' 45.062482" λ -3º 42' 34.241244"

4.7. Algunas notas adicionales sobre las ambiguedades

La resolución de la ambigüedad GPS es el proceso de resolver las ambigüedades del

ciclo desconocidas de la doble diferencia de datos de la fase portadora como enteros.

Los modelos GPS se basan en la resolución de la ambigüedad, éstos puede ser vistos

mediante las siguientes ecuaciones de observación linealizadas.

{ } eBbAayE ++=

Donde y es el vector de los datos GPS dado, a y son los vectores del parámetro

incógnita de orden n y p respectivamente, y donde e es el vector del ruido de orden

m. Las Matrices A y B son las matrices de diseño correspondiente de orden m x n y m

x p respectivamente.

b

a

El vector de los términos independientes generalmente consiste en datos "observados

menos calculados" de observaciones fase de simple frecuencia o doble frecuencia y/ o

observaciones código o pseudodistancia.

Los valores del vector son entonces las ambigüedades de la fase de la portadora,

expresado en unidades de ciclos en lugar de distancia. Estos valores son conocidos de

ser enteros.


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Los datos de entrada del vector b consistirán en los parámetros incógnitas restantes,

así como por ejemplo los componentes de la línea base (coordenadas) así mismo

pueden incluir parámetros de retardo atmosférico (troposférico, ionosférico).

El procedimiento que usualmente se sigue para resolver el sobre modelo se puede

dividir en tres pasos.

En el primer paso simplemente se despreocupa de los constreñimientos del entero en

las ambigüedades y realiza un ajuste estándar. Como resultado se obtiene la

estimación (valor real) mínimos cuadrados de y b , junto con su matriz varianza-

covarianza. Esta solución se denomina a menudo

a

solución float, y se denota por y

. Las correspondientes matrices varianza-covarianza son denotadas por y .

a

b aQ ˆ bQ

En el segundo paso la ambigüedad float estimada a se emplea con el cálculo de la

estimación de la ambigüedad entera correspondiente. Esto implica una representación

, del espacio de los reales al espacio entero de n dimensiones.

ˆ

nn ZRF →:

Una vez que se calculan las ambigüedades enteras, se usan en el tercer paso para

finalmente corregir la estimación float de , utilizando la siguiente ecuación: b

baaabbb

aab

QQQQQ

aaQQbb

ˆˆ1

ˆˆˆˆ

1ˆˆˆ )ˆ(ˆ

−

−

−=

−−=

El resultado b y su correspondiente Q están referidas a la solución fijada.

Observamos que la matriz varianza-covarianza resultante está basada en la suposición

que después del paso de obtener la solución fijada las ambigüedades son cantidades

conocidas. Si es una suposición aceptable o no, depende de la situación real, y queda

al criterio del usuario.

b

4.8. Estimación de Mínimos Cuadrados Enteros

En el párrafo anterior menciona la representación del espacio de n dimensiones de los

números reales al espacio de los números enteros. Existen numerosas

representaciones posibles, desde un simple redondeo de cada elemento del vector


Tema 9 - 372

ambigüedad a su entero más cercano, a representaciones mucho más complicadas

como la estimación de mínimos cuadrados enteros.

Recientemente se ha probado que el uso de la estimación de mínimos cuadrados

Desgraciadamente no existen ecuaciones de forma cerrada que resuelvan este

allada por medio de un procedimiento

adecuado de búsqueda.

e precisión de estos elementos, sería muy embarazoso

realizar el proceso. Mediante la reparametrización de las ambigüedades, podemos

umentar la precisión de los elementos del vector ambigüedad y al mismo tiempo la

correlación entre ellos decrece.

el elipsoide alargado es

transformado en casi un esferoide. El número de candidatos se mantiene, pero pueden

er encontrados más fácilmente. Como observamos la transformación del área se

conserva (o en dimensiones mayores, el volumen).

enteros es óptima en el sentido de que este estimador maximiza la probabilidad que

realmente se hallan los enteros correctos.

problema. En cambio la solución puede ser h

4.9. Decorrelación de las Ambigüedades

En teoría podríamos ejecutar la búsqueda como se mencionó en la anterior sección con

las ambigüedades en dobles diferencias originales. Sin embargo, debido a que

normalmente hay una alta correlación entre los elementos del vector de la

ambigüedad, así como una pobr

a

Gráficamente, comprobamos que el elipsoide de búsqueda de la ambigüedad es

extremadamente alargado, por lo tanto la búsqueda lleva mucho tiempo. Realizando

una reparametrización multi-canal de las ambigüedades,

s


Tema 9 - 373

Figura 6.1. El efecto de decorrelación de las ambigüedades en la búsqueda del

elipsoide en este ejemplo de dos dimensiones.

Esta reparamerización se refiere a la transformación Z que transforma las

ambigüedades de doble diferencia originales en un nuevo conjunto de

ambigüedades . La matriz varianza-covarianza correspondiente es

tran ZQZQ az ˆ*

ˆ = . La matriz Z, o matriz de transformación depende de la

matriz varianza-covarianza de las ambigüedades float

aZz =

en

*

sformada

.

5. Tendencias de Investigación

En la década pasada, las técnicas de resolución de la ambigüedad han mejorado,

gracias a los procesos de búsqueda de la ambigüedad, que son cada vez más eficientes

en la obtención de técnicas de resolución de ambigüedades prácticas. De hecho, las

técnicas de resolución de la ambigüedad han apuntado a la eficiencia computacional.

Desdichadamente, la competición para conseguir los algoritmos de búsqueda de la

ambigüedad más eficiente parece ya saturada porque los logros en eficiencia

computacional parecen suficientes para muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo,

algunas técnicas como FASF, LAMBDA y OMEGA proveen soluciones de ambigüedad y

de posicionamiento de alrededor de los diez milisegundos. De esta manera, la

velocidad es más que satisfactoria para muchas aplicaciones.


Aunque muchas de las técnicas actuales disponibles son bastante eficientes, esto no

significa que sean innecesarias las investigaciones para buscar algoritmos de búsqueda

mejores.

Por el contrario, las técnicas de resolución de la ambigüedad no han sido normalmente

descritas en términos de un procedimiento generalizado (o estándar) que incluya:

• Un modelo funcional (o determinístico) que describe las relaciones entre

observaciones y parámetros incógnitas.

• un modelo estocástico que representa las características del ruido de las

observaciones.

• un esquema de control de calidad que maneja pérdida de ciclos.

• un esquema de estimación de parámetros que determina los parámetros

de la ambigüedad así como soluciones de navegación.

Como resultado, no está claro si los rendimientos descritos en los informes tratan de

casos aislados (“mejores”) o pueden estar reproducidos en cualquier lugar, en

cualquier instante y bajo cualquier configuración.

Desdichadamente, la falta de un procedimiento generalizado está todavía presente

aunque se haya realizado un progreso. Además, no hay un acuerdo general en la

forma de llevar a cabo este procedimiento generalizado hasta ahora.

Como mencionamos anteriormente, el objetivo general de las técnicas de resolución de

la ambigüedad incluye el "rendimiento" (o proporción de éxito) de la resolución de la

ambigüedad.

Las cuestiones relacionadas con el “rendimiento” son dos:

1. ¿Cómo incrementamos el éxito en el rendimiento?

2. ¿Cómo evaluamos el rendimiento?

La primera cuestión está involucrada con la realización cualitativa del rendimiento,

mientras la segunda está relacionada con la evaluación cuantitativa del rendimiento.

Tema 9 - 374


Para obtener soluciones óptimas en la estimación de mínimos cuadrados, deberían ser

especificados apropiadamente un modelo funcional y un modelo estocástico. En

cuanto los modelos son corregidos, en principio, las soluciones óptimas no están

sesgadas, podemos obtener las soluciones correctas. Esto también se cumple para la

estimación paramétrica de la ambigüedad porque está basada en la teoría de

estimación de mínimos cuadrados entera. Por lo tanto, la obtención de un alto

rendimiento (es decir, la determinación de los valores paramétricos de la ambigüedad

correcta) depende en como podamos establecer correctamente los modelos

funcionales y estocásticos. Con respecto a la función modelo, el error específico

modelado y el modelado paramétrico para las fuentes de error (retraso ionosférico,

retraso troposférico, error orbital del satélite multicamino...) Aunque la investigación

se ha centrado intensivamente en esta área, el interés es todavía creciente,

particularmente para las aplicaciones que requieren tiempo-real, largas líneas bases y

soluciones cinemáticas. Por otro lado, el modelado estocástico ha recibido menos

atención que el modelado funcional. La obtención de los modelos estocásticos más

realistas está en pleno auge en este momento.

Hay dos aproximaciones para la evaluación del rendimiento:

1. El planteamiento de la función evaluación del rendimiento

2. El planteamiento de la función discriminación

La primera aproximación intenta evaluar el rendimiento de los parámetros de la

ambigüedad entera utilizando propiedades probabilísticas de los estimadores de la

ambigüedad entera. Teunissen, ha propuesto la función evaluación particularmente en

la técnica bootstraping entera (es decir, el redondeo entero condicional secuencial) que

es adoptada por el método LAMBDA. Por el otro lado, la segunda aproximación intenta

medir el poder de discriminación entre el candidato con la ambigüedad mejor y la

segunda mejor.

Comparado con las actividades para la realización cualitativa mencionada

anteriormente, la investigación en la evaluación cuantitativa ha sido menos intensa

hasta ahora. Sin embargo, este tema está empezando a cambiar.

Tema 9 - 375


Tema 9 - 376

Con un nivel creciente en investigación en recientes aplicaciones en tiempo-real de

largas líneas bases (cinemáticas), algunas de estas investigaciones se han mostrado

en el campo de la resolución de la ambigüedad. Aunque hemos notado ya la amplia

investigación de la resolución de la ambigüedad en la época pasada, esta investigación

normalmente fue dirigida hacia aplicaciones de post-proceso y estáticas. Sin embargo,

los temas mencionados anteriormente como eficiencia computacional, fiabilidad y

rendimiento están inherentes en las aplicaciones en tiempo-real, líneas bases largas o

cinemáticas.

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