-Repaso: Fuerza entre cargas: Ley de Coulomb. Campo eléctrico y potencial creadopor una carga.-Campo eléctrico en el vacío-Campo eléctrico y potencial creado por una distribución de cargas.-Ley de Gauss en el vacío.-El dipolo eléctrico. Momento dipolar de una distribución de cargas.-Propiedades eléctricas de los medios materiales-Conductores y dieléctricos. Relación de estas propiedades con la estructura del medio.-Respuesta de un medio conductor a un campo eléctrico.-Respuesta de un medio dieléctrico a un campo eléctrico: Polarización. Densidades decarga de polarización.-Ley de Gauss en un medio dieléctrico. El vector desplazamiento.-Medios dieléctricos lineales: susceptibilidad y constante dieléctrica.-Polarizabilidad atómica y molecular.-Energía electrostática.-Energía electrostática de una distribución de carga. Densidad de energía .-La energía electrostática en la mecánica cuántica: átomos y moléculas.

- Problemas propuestos

Tema I Campo Eléctrico en medios materiales

(Charles A. Coulomb 1736-1806)

r F 1,2 = Ke

q1q2r r 1 -

r r 23

r r 1 -r r 2( )

Ley de Coulomb

La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas enreposo es una fuerza central, proporcional a sus cargas einversamente proporcional al cuadrado de la distancia entreellas, siendo atractiva entre cargas de signo contrario yrepulsiva entre cargas del mismo signo

FUERZA ELECTROSTÁTICA

El origen de la interacción es la CARGAUnidades en el SI Coulomb (C)

¡magnitudfísica nueva!

Ke =8.9874 ¥ 109 m2kg s -2C2S.I.:

†

Ke =1

4pe0

†

e0 = 8.854 10-12 C2

N m2 permitividad del vacio

r F 1,2 = Ke

q1q2r r 1 -

r r 23

r r 1 -r r 2( )

1e=1.6021765 10-19 C fi C unidad muy grande en química

Millikan (~1900): La Carga esta cuantificada: q = n x 1.6021765 10-19 C

La Carga se conserva

COMPARACIÓN ENTRE ELECTROSTÁTICA YGRAVEDAD

r F 1,2 = Ke

q1q2r r 1 -

r r 23

r r 1 -r r 2( )Fuerza electrostática

†

r F 1,2 = -g

m1m2r r 1 -

r r 23

r r 1 -r r 2( )Fuerza gravitatoria

¿Por qué en sistemas macroscópicos la gravitación es mayor?

Hay carga positiva y negativa que se atraen fi cuerpos neutros (átomos, moléculasetc.)El campo eléctrico es una forma de energía, de forma que el estado de menorenergía electrostática de un sistema es un sistema neutro.La interacción eléctrica es determinante de la estructura de la materia, y en losprocesos químicos se tiende a minimizar la energía total del sistema, y por lo tantola electrostática del sistema

En el átomo de hidrogeno

†

Felec

Fgrav

=Ke

ge2

mpme

ª 1020 fi Felec >> Fgrav

r r 1

r r 2

r r 2 -

r r 1†

q1

O

CAMPO ELÉCTRICO

esta ecuación puede interpretarse como consecuencia de que la carga q1 ‘perturba’ elespacio que la rodea

Campo eléctrico: caracteriza la‘perturbación’ en cada punto del espacio yexiste por la presencia de q1 (aunque noexista fuerza eléctrica)

existiría en ausencia de q’

†

r E 1(

r r )

†

r F 2,1 = Ke

q1r r 2 -

r r 13

r r 2 -r r 1( ) q2 = q2

r E 1(

r r 2)

†

r E 1

r r ( ) = Keq1

r r - r r 13

r r - r r 1( )

†

r E 1

r r 2( ) = limq 'Æ0

r F (r r 2)

q'

Unidad S.I.: N C-1 (ó V m)

r r 1

r r 2

r r 2 -

r r 1†

q1

O

POTENCIAL ELECTROSTÁTICO

la ‘perturbación’ del espacio también se puedecaracterizarmediante un escalar: Potencial electrostático

†

rot E(r ) ≡ 0 ¤ E(r ) = -grad f(r )

†

f1r r 2( )

Unidad S.I.: Voltio (V) J C-1

†

f(r ) = - E (r )Ú dr =1

4pe0

q1r - r1

+ cte

†

r E = -

r — j

Líneas de campo y superficies equipotenciales

Líneas de campo

líneas equipotenciales

Distribuciones de cargasEn el caso mas general la fuente del campo no son cargas puntuales.

Están distribuidas sobre la materia.

r

En superficies: densidad de carga superficial s(r)

Ejemplo:Orbitales electrónicos

†

r(r) = ey(r) 2orbital f,0

dVdq

†

r(r) =dqdV

¤ dq = r(r) dV

r

En volumen: densidad de carga r(r)

dsdq

†

s(r) =dqds

¤ dq = s (r) ds

Campo creado por una distribución de cargasTomando elementos infinitesimales de superficie y volumen se descompone ladistribución en una serie de cargas puntuales infinitesimales.El campo creado es la suma de sus contribuciones fi Integrales

r’ dV

r’’

ds

r

r-r’

r-r’’

Potencial creado por la distribución

†

f(r) =1

4pe0

s (r ')dsr - r 'S

Ú +1

4pe0

r(r ' ')dVr - r ' 'V

Ú

Campo creado por la distribución

†

E(r) =1

4pe0

s (r ')dsr - r ' 3

SÚ (r - r ')

+1

4pe0

r(r ' ')dVr - r ' ' 3

VÚ (r - r ' ')

Aplicación: Ecuaciones de Hartree

en átomos con Z electrones, la energía potencial del electrón i-ésimo es

Interacción e- - núcleo Interacción los otros e-

Se ha eliminado la contribución del propio electrón (autoenergía), al considerar elpotencial creado por los electrones (j≠i en la suma)

†

-h2

2m—2yi (r ) + -

14pe0

Ze2

r+

14pe0 j≠i

 dVe2 y j (r' )

r - r'

2

ÚÈ

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙ yi (r ) = Eyi (r )

La ecuación de Schrödinger

†

-h2

2m—2yi (r) +V(r)y i (r) = Ey i (r)

†

V(r) = eF(r)

= e -1

4pe0

Zer

+1

4pe0 j≠i dV

ey j (r' )r - r'

2

ÚÈ

Î Í Í

˘

˚ ˙ ˙

Hay una ecuación para cada electrón.Es un sistema de ecuaciones acopladas: la función de ondas yi(r), depende de las

funciones yj(r) del resto de los electrones. Ecuaciones de Hartree

LEY DE GAUSS EN EL VACIO

Esta ley es absolutamente equivalente a laley de Coulomb.

Sentido físicoLa contribución Eds=Eds cos J al flujo F es:

negativa si cos J <0 fi el campo “entra” J >p/2

ds

En torno a una carga positiva qint >0 el flujo saliente (positivo) ha de ser mayor que elentrante. fi El campo eléctrico se origina en las cargas positivas. (Fuentes del campo)

En torno a una carga negativa,el F total ha de ser negativo, esto indica que entra mas delque sale fi El campo eléctrico desaparece en las cargas negativas. (Sumideros del campo)

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la cantidadtotal de carga encerrada por la superficie:

positiva, si cos J >0 fi el campo “sale” J <p/2

ds

†

E dsSÚ =

qint

e0

Esta es la forma integral de escribir la Ley de Gauss.

Forma diferencial de la Ley de Gauss en el vacío

†

ESÚ ds =

qint

e0Hemos visto la forma integral

Aplicamos la definición de divergencia enuna superficie cerrada S,

†

div E = limDV Æ01

DVds E(r )

SÚ

donde Dqint es la carga -infinitesimal- contenida en el interior de la superficieS, y DV el volumen interior.

†

divE =r

e0

r(r) es la densidad volumétrica de carga en el punto r, definido por la superficie

†

limDV Æ0Dqint

DV= r(r)†

= limDV Æ01

DVDqint

e0

= limDV Æ01e0

Dqint

DV

Dqint

Sr

Cuando se intenta utilizar la ley de Gauss paraobtener el campo eléctrico hay que encontraruna superficie en la que todos los puntos seanequivalentes.Eso requiere que la distribución de carga tengauna gran simetría.

r

En nuestro caso elegimos una superficieesférica S de radio arbitrario r.

S

Por simetría, el campo E, en ese punto es también radial, y constante sobre S

E

E ˜˜ ds

†

Eds =SÚ Eds

SÚ

E cte en S

†

= E dsSÚ

†

=qe0

†

= E .4pr2

Áreaesfera

†

E =1

4pe0

qr2

Ley deCoulomb

Tomamos un elemento de superficie ds. Este vector es radial.

ds

Aplicación: Campo creado por una carga puntual q

q

Observaciones

La ley de Gauss es valida y se puede aplicar en cualquier superficiecerrada.Sin embargo solo permite calcular el campo en distribuciones de cargamuy simétricas, donde es posible encontrar superficies de integracióndonde el campo sea constante. (Ver problemas)

Es incorrecto interpretar esta ley, como si el campo lo crearan sólo lascargas internas a S.El campo eléctrico lo crean todas las cargas del universo, pero al flujo deeste campo solo contribuyen los campos creados por las cargas interiores.El flujo de las cargas que están fuera es nulo.

Problema propuestoCalcular el campo eléctrico creado por un hilo cargado, con densidadlineal de carga (es decir carga por unidad de longitud) l.

Notas:En la figura se sugiere la superficie a utilizar al aplicar Gauss.La simetría del problema implica que el campo es radial (como se muestra en lafigura). Eso hace que el flujo del campo sobre las tapa laterales se anule.

Esta resuelto en el libro Física II (3ª edición) de Paul A. Tipler pg. 637)

Problemas propuestosCalcular el campo eléctrico creado pora) Una esfera de radio R uniformemente cargadab) Un plano infinito cargado con densidad superficial constante s

Notas:En las figuras se sugiere las superficies a utilizar al aplicar Gauss.

Están resueltos en el libro Física II (3ª edición) de Paul A. Tipler pg. 636 y 642)

El dipolo eléctricoEs un sistema neutro, formado por dos cargasiguales de signo contrario.Potencial creado por el dipolo en un punto distante r.Aproximación dipolar: suponemos que la distanciaentre l las cargas es pequeña comparada a ladistancia a la que se observa el sistema l<<r.

†

f(r) =1

4pe0

-qr

+1

4pe0

qr - l

desarrollando el 2º tno (ver apéndice I)

J es el ángulo que forman los vectores r y l.

†

f(r) ª1

4pe0

qlcosJr2 + 0 l

rÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

†

f(r) =1

4pe0

prr3 =

14pe0

pcosJr2

Este resultado se puede escribir en función de un nuevo vector p=q.l llamadomomento dipolar.

Unidades S.I. C.m

+q

-q

lr

r-l

J

Campo creado por un dipolo eléctricoA partir del potencial

†

f(r) =1

4pe0

prr3 =

14pe0

px x + py y + pzz

x2 + y2 + z2[ ]3/ 2

donde (x,y,z) son las coordenadas cartesianasdel vector de posición r, se puede fácilmenteobtener el campo E=-grad f = -— f

†

E(r) =1

4pe0

3(pr)r5 r -

pr3

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

En la figura las líneas azules representan las líneas de campo, mientras que las rojas son lassuperficies equipotenciales

Dependencia con la distancia de los camposcreados por el dipolo

Comparando los campos con los creados por una carga puntual

los campos del dipolo decrecen a largas distancias más rápidamente que loscreados por las cargas puntuales.Es la expresión matemática del hecho de que al alejarnos del dipolo, lo vemoscomo un punto cuya carga neta es nula.

Sin embargo a cortas distancias las expresiones del dipolo divergen másrápidamente que las correspondientes a cargas puntuales.Esa divergencia no tiene sentido físico; se debe a que a cortas distancias (r≤l) eldesarrollo multipolar realizado (ver página siguiente) es incorrecto, y por lo tanto nopueden aplicarse las expresiones para el campo y el potencial eléctrico

Carga puntual Dipolo

Campo eléctrico µ r-2 µ r-3

Potencial µ r-1 µ r-2

Apéndice IDesarrollo del potencial del dipolo

en el último paso se ha utilizado

†

11+ e

=1-12

e +38

e2 -1548

e3 + 0(e4 ) e <1

en nuestro caso el infinitésimo

†

e = -2lr

cosJ +lr

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

En la obtención del potencial creado por el dipolo se ha desarrollado el terminocreado por la carga positiva:

†

1r - l

=1

r2 - 2lr cosJ + l 2=

1

r 1-2lr

cosJ +lr

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

2ª

ª1r

1+lr

cosJ +lr

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

2 32

cos2 J -12

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ + 0 l

rÊ Ë Á

ˆ ¯ ˜

3È

Î Í

˘

˚ ˙

definición de gradiente

Energía de un dipolo en un campo eléctricoexterno Supongamos un dipolo p=q l en una región de

espacio donde hay un campo eléctrico E.

La configuración de mínima energía potencial ocurre cuando cos b=1, es decircuando ambos vectores E y p son paralelos.Los dipolos en un campo eléctrico tienden a orientarse paralelos al campo.

†

U = -qf(r) + qf(r + l) =

= q f(r + l) - f(r)[ ]

La energía potencial del dipolo es la suma de la deambas cargas.

q

-q

l

r

r+l

Eb

F(r) es el potencial del campo externo

†

U = -qEl = -pE

donde b es el ángulo que forman E y p

†

U = -pE = -pE cos b

Si l es pequeño:

†

f(r + l) -f(r) = gradf l + 0(l 2) ª -E l

Desarrollo multipolar del potencial creado por unadistribución de carga

Potencial creado por la distribución en r

†

f(r) =1

4pe0

r(r ')dVr - r 'V

Ú

dV

r’

r

r-r’rComo r es constante en la integral,

†

f(r) =1

4pe0

1r

r(r ')dV +VÚ 1

4pe0

rr3 r'r(r ')dV

VÚ

È

Î Í

˘

˚ ˙ +

+1

4pe0

1r5

12j

Âi

 rirj 3ri 'rj '-dij r'2{ }r(r')dV +VÚ ...

J es el ángulo que forman r y r’.

†

cosJ =rr'rr'

=1rr'

rir'ii=1

3

Â

†

dij =0 i ≠ j1 i = j

Ï Ì Ó

es la delta de krönecker

Tomando el origen centrado en la distribución, r’<r, se puede utilizar la mismaexpansión multipolar vista en el dipolo:

†

1

r - r'ª

1r

1+r'r

cosJ +r'r

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

2 32

cos2 J -12

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ + 0 r'

rÊ Ë Á

ˆ ¯ ˜

3Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

†

r(r' )dV = qtotalVÚ Es la carga total de la distribución.

Cuando existe (sistemas cargados) es el termino dominante a largasdistancias, donde

fi a grandes distancias la distribución se ve como un punto cargado.

†

f(r ) ª1

4pe0

qtotr

†

r' r(r' )dVVÚ = p Es el vector momento dipolar de la distribución.

En distribuciones neutras es independiente de la elección delorigen de coordenadas. Demostrarlo (Reitz Milford)El el término dominante en distribuciones neutras, donde

fi a grandes distancias la distribución se ve como un dipolo.

†

f(r) ª1

4pe0

prr3

Las integrales anteriores contienen la información sobre la distribución de carga

†

3ri' r j' -d ij r'2{ }r(r' )dV

VÚ Es el tensor momento cuadrupolar de la distribución.

Sólo es relevante en sistemas sin carga ni momento dipolar.

qj

q1q2

rj

En una distribución de cargas puntuales qidonde ri es el vector de posición de la carga qi.

†

p = qirii

Â

El momento dipolar en ciencia de materialesSe ha visto que una misma magnitud, el momento dipolar p, describe tanto elcampo creado por un sistema neutro de cargas, como los efectos de un campoeléctrico externo sobre el propio sistema.Es decir describe completamente las propiedades eléctricas del sistema.

En consecuencia, en los problemas de interacciones eléctricas representaremosel sistema complejo de cargas, por una magnitud simple p

Esto es especialmente útil en el estudio de interacciones entre moléculas, ya que ladistancia entre las cargas constituyentes es muy pequeña comparada a la distanciaentre ellas, de forma que la aproximación dipolar está plenamente justificada.

Esto implica que puede haber interacciones entre partículas neutras. En el casode la físico-química son las llamadas fuerzas de Van der Waals, que juegan unpapel importante en las propiedades de los gases y líquidos. Estas fuerzas sonmucho más débiles que las de Coulomb, y consiguientemente sus energíaspequeñas comparadas con las energías de enlace.

Importante: La definición de momento dipolar usada en los libros de texto defísica p=ql, (l definido de la carga negativa a la positiva) es la contraria a laconvención usada en química

Explicación: el modelo clásico sobreestima la distancia d, al no considerar que loselectrones de valencia están en orbitales compartidos, lo que hace que la distanciaefectiva de separación de las cargas sea menor.

Aplicación: Momento dipolar de la molécula de agua.En un modelo clásico, la molécula de agua se puede representar tal como semuestra en el esquema.

Los valores experimentales de la longitud de enlacey del ángulo J son:

d=0.958 10-10 m J=104.5º

El momento dipolar del sistema

†

p = qirii

ÂO-2

H+1

H+1

d1

d2

J se calcula, en un triedro centrado en el O-2

X

Y

†

p = 2ed cos J2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ ux

p

e= 1.602177 10-19 C fi pteórico= 1.879 10-29 C.m

El valor experimental es pexp= 6.1 10-30 C.m, tres veces menor que el teórico.

Aunque los medios materiales estén generalmente descargados, estáncompuestos por cargas, y por lo tanto estas sentirán los efectos del campoaplicado.

Como consecuencia de las fuerzas que el campo ejerce sobre losconstituyentes, el estado del medio se apartara de la configuración deequilibrio.

La respuesta del medio al campo eléctrico aplicado, dependerá delestado de las cargas del medio, es decir, de las fuerzas que mantenganligadas a las cargas.

Aunque todas las cargas del medio contribuyen a la respuesta del medio,la mayor contribución proviene de los electrones de valencia, que al estardébilmente ligados, se apartan más de la configuración de equilibrio que loselectrones internos. Los núcleos debido a su mayor masa también tienenefectos mucho más débiles.

La respuesta es pues característica de los electrones del medio. Estopermite utilizar el campo eléctrico como sonda, para obtener informaciónsobre la estructura del medio.

Es la base de numerosas técnicas espectroscópicas.

Campo Eléctrico en medios materiales

Conductores.- MetalesSon materiales que tienen portadores de carga que pueden desplazarse libremente, yque por consiguiente cuando se aplica un campo eléctrico se origina una corriente.Hay varios tipos: electrolíticos, metálicos y superconductores.

Cationesen una estructura cristalina

Los e- de valencia se muevenlibremente por el metal.Gas de electrones

Al aplicar un campo externo, los electrones de valencia semueven hasta llegar al equilibrio fi Eint=0

E

Es un proceso dinámico.

Sin embargo los tiempo característicos de estos procesos en metales es 10-13 -10-14 sfi si el campo externo varia mucho mas lentamente se puede considerar instantáneo.

Apantallamiento de cargas en metales

El potencial en un conductor es constante. (Las cargas pueden moverselibremente, fi el trabajo para ir entre dos puntos del conductor es nulo)

qext>0

s>0 E=0 fi Q=0 fi ApantallamientoLa carga es apantallada por el gas de e-.

Alrededor de la carga se acumula carga de signo contrarioque la neutraliza.

l ~ Å

En las proximidades de la carga el potencial es elpotencial de Thomas Fermi:

†

sÚ Eds = 0 =

qinte0

A distancias mayores r>> l

†

E = -gradf ¤ df = -Edr = 0 fi f = cte

La superficie es una superficie equipotencial fi E normal a la superficie

La cargas en un conductor se encuentran en la superficie.

†

f(r) =qext

4pe0

e-r / l

r

Aplicación:Obtener el campo creado por una carga q(>0) colocada en el centro de

una esfera metálica de radio a.Calcular la densidad de carga inducida en la superficie.

El problema tiene simetría esférica, luego podemos aplicar el teorema de Gauss,tal como hemos visto.

q

a

Si tomamos una gaussiana r<a

En un metal E=0 fi qint= 0

Si tomamos una gaussiana r>a qint= q fi

†

E =1

4pe0

qr2

que es el campo creado por la densidad superficial de carga

La carga q ha sido apantallada totalmente por una carga-q. La superficie queda cargada positivamente.

†

s =q

4pa2

qint= carga interior a la superficiegaussiana.

†

Eds =qinte0S

Ú

q

a

La densidad superficial se puede obtener también aplicando el teorema de Gauss, enla superficie.Elegimos una superficie cerrada tipo pastillero tal como muestra la figura.

DS1

DS2

Eint es nulo, por estar dentro del metal

el flujo lateral se anula ya que la altura delpastillero es infinitesimal

†

SÚ Eds = EextDs1 =

Dqe0

fi s =DqDs

= e0Eext =q

4pa2

Se ha utilizado que Eext y DS1 son paralelos

†

SÚ Eds = EextDs1 + EintDs2 + E Dslateral

†

s =q

4pa2

Medios dieléctricos.Son materiales cuyos electrones de valencia están en estados localizados, sin

movilidad. (cristales iónicos, covalentes, gases y líquidos).Por consiguiente cuando se les aplica un campo eléctrico no hay desplazamiento

de carga. Son AISLANTES.

Microscópicamente, en ausencia de campo, los centros de las cargaspositivas y negativas coinciden, de forma que además de ser neutros, el momentodipolar de cualquier elemento de volumen que se considere es nulo.

- En gases y líquidos polares (H2O, ClH,…), donde las moléculas tienen unmomento dipolar intrínseco, es debido a que los dipolos están orientados de formaaleatoria, de forma que su suma en un volumen es nula.

- En los cristales (iónicos o covalentes), y en gases o líquidos apolares (H2,

N2, O2, CO2, C6H6, gases nobles, etc) esto es debido la simetría del sistema, ya quesus unidades estructurales (celdas unidad, átomos o moléculas) no tienen momentodipolar.

Al aplicar un campo externo a un medio dieléctrico, los centros de lascargas positivas y negativas de un volumen dado dejan de ser coincidentes, ypor lo tanto en el medio se origina un momento dipolar.

A este fenómeno se le llama POLARIZACION

POLARIZACIÓN

El mecanismo de creación de momentos dipolares es diferente segúnel carácter polar o no-polar de las unidades estructurales del medio.

En todos los casos el polarizar un medio supone sacarlo del estado deequilibrio, -mínima energía- lo cual supone que el campo externo hace eltrabajo necesario para vencer las fuerzas que mantienen las cargas en suestado.

En medios no-polares las fuerzas a vencer son las de enlace. Estasson fuerzas entre cargas y el trabajo para deformar la distribución de cargases muy alto.

En gases y líquidos dipolares, la polarización se produce básicamenteorientando los dipolos preexistentes en la dirección del campo. Aquí, lasfuerzas son fuerzas dipolo-dipolo, que son más débiles que las de enlace.

La Polarización depende de la intensidad de las fuerzas quemantienen en equilibrio a las unidades estructurales del dieléctrico.

El vector polarización P

Un medio dieléctrico en ausencia de campo está despolarizado.

Al aplicarle un campo eléctrico, loscentros de las cargas positiva y negativa seseparan, apareciendo momentos dipolares en lasunidades estructurales

E

El momento dipolar inducido depende delvolumen de muestra que se considere.

DV1

DV2

Para caracterizar el estado de polarización del medio, se define en cadapunto el vector POLARIZACIÓN como:

Donde Dp es el momento dipolar inducido en el volumen infinitesimal DV.Es la densidad volumétrica de momento dipolar.

†

P(r ) =dpDV

= limDV Æ0DpDV

En un volumen arbitrario DV en el punto r, el momento inducido será Dp=P(r) DV

Las dimensiones de P son las de una densidad superficial: carga/superficie.En el S.I. sus unidades son C m-2.

Densidades de carga de polarizaciónEn un medio polarizado la carga total de polarización es nula, ya que en

este fenómeno sólo se distorsiona la distribución de carga.Sin embargo, el efecto macroscópico de la polarización es la formación de

densidades de carga de polarización.Estas densidades de carga aparecen en la superficiey el volumen del medio.

- en la superficie externa del dieléctrico aparece una densidad

superficial de carga de polarización sp : spol=Pun

un

un un vector normal a la superficie.

En un elemento ds =ds un se induce la carga dq= sp ds=P ds

- en el volumen del dieléctrico aparece una densidad

volumétrica de carga de polarización rp : rpol=- div P

La carga total inducidaes cero, ya que sólo sehan creado dipolos:

se anula por el Tma. de la divergencia.

†

qind = s polds +VÚ

SÚ r poldV =

= Pds -VÚ

SÚ divPdV = 0

Densidad superficial de carga de polarización

P

+-

†

s p = PunHemos visto que

De forma que si el ánguloformado por ambos vectores P yun es:

P

un

<p/2 fi+-

+-+-

sp >0

sp < 0+-+-

+-

>p/2 fi

un

P

y cuando son ortogonales fi

un

P+- +-

sp = 0

El origen de la densidad superficial de polarización está en la discontinuidadentre los dos medios; la carga de los dipolos inducidos no se compensa,como ocurre en una superficie (no física) interna.En un medio polarizado siempre hay densidad superficial de carga.

Densidad volumétrica de carga de polarización

Si la polarización varia suavemente, lacarga inducida en cualquier volumen esnula.

X

En este caso la polarización disminuye alaumentar x

†

∂P∂x

< 0 fi divP < 0 fi r p > 0

En la figura se ve que en el volumen DVhay una carga neta positiva Dq.La densidad de carga inducida es Dq/DV

DV

+-

+-

P

P

Si consideramos ahora el sistema

Según hemos visto:

†

r pol = -div P

Este efecto ocurre con cualquier otrasuperficie.

Apantallamiento de cargas en un medio dieléctrico

q

En un medio isótropo, los dipolos inducidos por una carga puntual q seorientan radialmente (en la dirección del campo creado por la carga)

Dado que el campo eléctrico se debilita con la distancia, la polarización serámas intensa alrededor de q.

†

Eds =qinte0S

ÚAplicamos la ley de Gauss

en una superficie esférica S de radior, centrada en q.

r

†

E =1

4pe0

qintr2

qint es la carga interior a la esfera.qint < q debido a la polarización.

El campo es más débil que el que crearía lacarga en el vacío. fi APANTALLAMIENTO

El apantallamiento en dieléctricos no es total.

Ley de Gauss en un medio dieléctrico

La ley de Gauss, sigue siendo válida en un medio

dieléctrico; la carga qint es la suma de las interiores a lasuperficie S:

qint = qlibre+ qpol.qlibre (carga libre) es la carga externaqpol la de polarización. q

SLa carga de polarización enel volumen interior a S es;

†

qpol = r poldV = -VÚ divP dV

VÚ

utilizando el tma de la divergencia

Donde hemos definido una nueva magnitud vectorial el desplazamiento D=e0E+P

†

Eds =qinte0S

Ú

Las dimensiones desplazamiento son -las mismas de la polarización- las de unadensidad superficial de carga

†

D[ ] =Q[ ]L[ ]2

†

E dsSÚ =

1e0

qlibre - P dsSÚ

È

Î

Í Í

˘

˚

˙ ˙

fi e0E + P[ ] dsSÚ = qlibre

†

Dds = qlibre

SÚ

†

qpol = - P dsSÚ

Forma diferencial de la Ley de Gauss en un mediodieléctrico

Hemos visto que en un medio dieléctrico la ley de Gauss

se podía escribir en función de un nuevo campo D=e0E+P

Procediendo como se hizo en el vacío, se obtiene la expresión diferencial de estaley:

que es equivalente a la expresión diferencial de la ley de Gauss

Las expresiones [3] y [4] establecen que la carga libre es la fuente delDesplazamiento.

†

Eds =qtotale0S

Ú

†

divE =rtotal

e0

†

Dds = qlibreSÚ

†

divD = rlibre

†

3[ ]

†

2[ ]

El vector Desplazamiento

La diferencia entre las expresiones [1] y [2] y entre las [3] y [4] es que en lasdel campo E, aparecen la carga ([1]) y la densidad de carga ([4]) correspondientes atodas las cargas (libre y polarización) del sistema; mientras que en las deldesplazamiento la carga ([2]) y la densidad de carga ([3]) son las correspondientes a lacarga libre.

En un dieléctrico las ecuaciones [2] y [3] tienen la ventaja de que en ellasaparece la carga libre, que es la que se conoce, mientras que la de polarización -larespuesta del medio- es desconocida, siendo en general una de las incógnitas acalcular.

Sin embargo el desplazamiento no tiene un sentido físico claro: no es ni lafuerza (E) ni energía (F).

Hemos visto cuatro formas equivalentes de escribir la ley de Gauss

†

Eds =qtotale0S

Ú

†

1[ ]

†

Dds = qlibreSÚ

En un problema conteniendo medios dieléctricos se necesitan dos campos paracaracterizar el sistema. Físicamente los campos relevantes son E y P.El desplazamiento es una combinación de ambos: D=e0E+P.Se usa porque permite trabajar obviando la carga de polarización, que en general esdesconocida.

†

divD = rlibre

†

4[ ]

†

divE =rtotal

e0

Sin embargo, en la gran mayoría de materiales dieléctricos se observa que amboscampos son proporcionales,

P(r) = c E(r)c es una constante característica del medio llamada SUSCEPTIBILIDAD ELÉCTRICA.Sus dimensiones son las de e0.

Medios lineales: susceptibilidad y constante dieléctricaEn el medio dieléctrico polarizado, se inducen cargas de polarización que crean a suvez un campo inducido. Por lo tanto para calcular el campo en un problema conmedios dieléctricos hay que conocer también la polarización P.

La polarización P(r) es una función del campo que se aplica en el punto.Depende de la estructura del medio, en general es difícil conocer esta función.

El desplazamiento en un punto: D(r) =e0E(r) +P(r) =(e0+c)E(r) .

Si definimos una nueva constante característica, la PERMITIVIDAD: e= e0+c D(r) = e E(r)

Otra constante relacionada con la susceptibilidades la CONSTANTE DIELÉCTRICAque es una magnitud adimensional definida como:

†

k =e

e0= 1 +

ce0

Aplicación:Obtener el campo creado por una carga q colocada en el centro de una

esfera dieléctrica de radio a y permitividad e.Calcular la densidad de carga inducida en la superficie.

El problema se resuelve análogamente a como seresolvió en caso de una esfera conductora.En este caso se partirá de la ley de Gauss para eldesplazamiento

q

ae

†

Dds = qlibreSÚ

donde es la conocida.A partir de esta ecuación se puede calcular elvector D dentro y fuera de la esfera.

Una vez calculado se conoce el campo eléctrico D(r) = e E(r).La densidad de carga superficial se puede calcular aplicando la ley de Gauss en unasuperficie cerrada (pastillero) sobre la superficie de la esfera.

¿ Cual es la densidad volumétrica de carga de polarización ?

a

q

r

Problema IUna bola dieléctrica de radio a descargada, esta suspendida de un hilo aislante largoy delgado. A una distancia r se coloca una carga puntual q (positiva), tal como semuestra en la figura. Se pide:

Describir el efecto de la carga en la bola.

¿Cuál es el sentido de la fuerza queexperimenta la bola ?

Suponiendo que la distancia r es muchomayor que las dimensiones de la bola,estimar la dependencia en r de estafuerza(*).

Responder las mismas cuestiones suponiendo que la bola fuera conductora (metálica).

(*) Esta aproximación implica que el campo eléctrico creado por q sobre la bola se puede suponer constanteen la bola.

Problema IICalcular el campo eléctrico y el potencial creado por una carga puntual en un

medio dieléctrico infinito de permitividad e.¿Cuál es la densidad de polarización?

Linealidad de la respuesta dieléctrica.Cuando sobre un sistema en equilibrio estable, se ejerce una fuerza pequeña(comparada con las fuerzas internas), su deformación es proporcional a la fuerza quese ejerceCuando se aplica un campo E, la fuerza queactúa sobre cada carga qE es contrarrestadapor las fuerza recuperadoras, de forma que eldesplazamiento de cada carga esta dado por

qE=kDxEl momento dipolar de la unidad p=qDx =q2k-1E

La polarización P: el momento dipolar por unidadde volumen. Tomando un volumen DV, en el que hay n unidades (supuestas iguales):

†

P =DpDV

=

†

=q 2ck

E

†

npDV

el momento Dp es n¥ p

†

= cpc=n DV-1 es la concentración (unidades/volumen)

Definición P(r) = c E(r)

Modelo muy simple (para medios apolares),Describe bien el papel las magnitudes relevantesq ≡ carga de las unidades ( fundamentalmente los electrones de valencia)c≡ concentración de unidades ¤ densidad.k≡ Fuerza recuperadora que hay que vencer para distorsionar las unidades ¤ enlace.Cuanto mayor sea menos se polariza el medio. †

c ªq2ck

qE-qE

qE-qE

†

Dx2

†

Dx2

Susceptibilidad de los gases apolaresTodos los gases tienen la misma concentración.Diferencias en la susceptibilidad se pueden deber a:- nº de e- de valencia.- Fuerza de enlace de estos e -.

Gases nobles Salvo el He todos tienen 8 e- en la ultima capa.

c/e0 Potent. Ioniz.

He 6.46 10-5 24.587 eVNe 1.27 10-4 21.564 eVAr 5.45 10-4 15.759 eV

E

Gases biatómicos apolares

Cuanto mayor es este potencial fimayor la fuerza de recuperación fi menorsusceptibilidad c.

La contribución mas importante esde los e- de valencia o de la última capa; lose- de capas internas están sometidos afuerzas muy grandes y por lo tanto sucontribución es pequeña.

El potencial de ionización, da una idea dela intensidad de la fuerza recuperadora.

c/e0 Potent. Ioniz.

H2 2.54 10-4 15.426 eVN2 5.80 10-4 15.581 eVO2 5.23 10-4 12.071 eV

Las susceptibilidades están medidas en condiciones normales: presión 1 Atm, T=27ºC

Susceptibilidad de medios polares (gases o líquidos)

P =pÂ

DV= 0

EE

†

cH 2O = 79.37 e0 (20º C)

cC6 H6= 1.284 e0 (20º C)

Dependencia de c con la temperatura.

Las energías de ligadura ~ energía térmica (KT),fi la temperatura tiene una gran influencia en lasusceptibilidad de estos medios:al aumentar la T, la agitación térmica tiende adesordenar los dipolos, y por lo tanto la cdisminuye.En medios no polares c no depende de T,

Sin campo: los dipolos están orientados aleatoriamente. Deesta forma el campo creado es nulo, y la energíaelectrostática del sistema, mínima.

En un campo: los dipolos tienden a orientarse en la direccióndel campo. No todos los dipolos, ya que hay que vencer lasfuerzas dipolo-dipolo que tienden a desordenar el sistema.

Estas fuerzas (Van der Waals, puente de H) son mucho masdébiles que las de enlace: ~ 0.3 eV ( =373ºK ) para el H2O.Esto supone que estos medios se polarizan más fácilmente:

5.4810-2Aire (100 atm)

5.9010-4Aire (1 atm)

1.26 10-2H20 (vapor)

7.4 10-4Hg (180ºC)

3.13 10-3BrH

4.6 10-3ClH

9.206 10-4C O2

4.96 10-4O2

5.80 10-4N2

2.54 10-4H2

5.45 10-4Ar

1.27 10-4Ne

6.46 10-5He

c/e0

Dependencia de la concentración

4.5Diamante

5.12ClNa

0.055He (2.06K)

0.228H2 (20.4K)

1.238C6 H6

32.62Etanol

6.0BrH

16.00FH

79.37H20

c/e0

Fase gaseosaFase condensada

En general se ve que c es mucho mayor en fase condensada que en lagaseosa. Se debe a que la concentración de unidades (dipolos) es mayor.

Para un mismomedioccond ~103-104 cgas

Varía dependiendodel carácter dipolardel medio.

En gases diluidos c µ p

El Hg en fasegaseosa es similar aun gas apolar.

1 atm c = 5.90 10-4 e0

100 atm c = 5.48 10-2e0

P1

P2

Dependencia de c con la presión en gases

En gases diluidos, la interacción entre dipolos esdébil -comparada con la ejercida por el campoexterno-, de forma que las moléculas de gas sepolarizan debido al campo externo aplicado, deforma independiente de la presión.

La polarización P es el momento dipolar porunidad de volumen es decir:

DV

Ecuación de los gases perfectos: la presión P y laconcentración son proporcionales ( a T constante) PV=nRT ¤ c=P(RT)-1

En consecuencia la polarización P también varia linealmente con la presión.

En los datos experimentales esta ley no se verificade forma exacta, debido a la interacción dipolo-dipolo que se ha despreciado en el modelo teórico,y que resulta importante cuando se densifica el gas.

DV n es el nº de moléculas contenidas en DV, pmol esel momento dipolar de cada molécula y c laconcentración molar.†

P =DpDV

=pÂ

DV=

nDV

pmol µ cpmol

Polarizabilidad atómica o molecular Si sometemos una molécula apolar (o átomo) a un campo, los electrones de valenciase perturban, induciéndose un momento dipolar pmol que es proporcional al campolocal en el punto donde está el dipolo.

†

pmol = eog molE

A la constante gmol se le llama polarizabilidad molecular (o atómica). Describe larespuesta de la molécula a un campo externo.Sus dimensiones son las de un volumen.La respuesta dieléctrica de un sistema denso de moléculas o átomos (sususceptibilidad), se puede construir a partir de esta magnitud, teniendo en cuenta quecada molécula no sólo responde al campo externo, sino también al campo creado porlos dipolos inducidos en el medio.La relación entre la permitividad del medio e y gmol está dada por la ecuación deClausius Mossotti:

donde N es el número de moléculas por unidad de volumen en el medio.

†

g mol =3N

e -e0e + 2e0

¤ e = e0

1 +23

Ng mol

1 -13

Ng mol

Energía electrostática de un sistema de cargas Sea un sistema de cargas puntuales qi (i=1,n),colocadas en los puntos ri . La energía electrostática se puede calcular comola necesaria para lograr esa configuración.qi

ri

Se parte de un sistema sin cargas, cuya energíaes nula U=0.

Al traer q2

Se trae del infinito la 1ª carga q1 a su posición r1.

q1

r1

En este desplazamiento q1 no ve campo eléctrico ypor lo tanto la energía para traerla es nula:

U1=0hay que vencer la fuerza que hace la carga q1,

r2

q2

hay que vencer la fuerza que hacen las carga q1 y q2

†

U2 =1

4pe0

q1q2

r1 - r2

r1-r2

Al traer q3

r3 q3

†

†

U3 =1

4pe0

q1q3

r1 - r3

+1

4pe0

q2q3

r2 - r3

En general, al traer qj hay que vencer la fuerza que hacen las carga q1 traidasantes (k<j)

†

U j =k< jÂ

14pe0

qkq j

rk - rj

En el sumatorio, k<j indica que cada partícula sólo ve las fuerzas creadas por las partículas que han sidocolocadas anteriormente

La energía total de la configuración es la suma de las energías empleadas para traercada una de las cargas qj

La suma se puede escribir:

donde el termino correspondiente al par de cargas qj qj se cuenta dos veces (de ahíel factor 1/2)

Las expresiones (1) y (2) son equivalentes. En la expresión (2) se veexplícitamente que la energía del sistema de cargas es independiente del orden dellenado.

Nótese que no aparece el termino de interacción de una carga consigomisma (en el sumatorio se excluye k=j). Una carga no experimenta su propio campo(autoenergía). Ese término es divergente.

†

U = U jj

 =1

4pe0

qkq j

rk - rjk< jÂ

j (1)

†

U =12

14pe0

qkq j

rk - rjk≠ jÂ

j (2)

Energía electrostática de una distribucion de cargasEl resultado de un sistema de cargas puntuales

†

U =12

14pe0

qkq j

rk - rjk≠ jÂ

jÂ

se puede escribir

donde f(rj ) es el potencial creado por lasdemás cargas del sistema en el punto rj ,donde esta la carga qj.

La ecuación (3) se puede generalizar parauna distribución, donde la carga este descrita por una densidad superficial s(r) yvolumétrica r(r) de carga.

†

U =12

q jf(rj )j

 (3)

(4)

†

U =12

s (r' )ds SÚ f(r' ) +

12

r(r'' )dV VÚ f(r'' )

Aquí también f(rj ) es el potencial creado por las demás cargas de la distribución. Si el sistema está formado por cargas puntuales r(r) = Sd(r -rj), eq. (4) se reduce a la eq. (3)

r’ dV

r’’

ds

Densidad de energía electrostática.La ecuación (4) es una ecuación que se puede aplicar a cualquier distribucion, con talde que se conozcan las densidades de carga del sistema.En el caso de tener medios materiales, generalmente se conoce la carga libre, pero lacarga inducida es desconocida. En este caso la aplicación directa de esta ecuación esproblemática.Una forma equivalente de escribir la eq. (4) es:

donde la función ue(r) es la densidad de energía (energía por unidad de volumen):

†

U = ue (r)dVÚ

†

ue (r) =12

E(r)D(r)

En la eq. (5), la integral se extiende a todo el espacio.

(5)

Aunque la eq. (5) es absolutamente equivalente a las eqs. (2) y (4) , se puedeinterpretar como que la energía electrostática del sistema no está concentrada en lascargas, sino que es una magnitud que está distribuida en todos los puntos del espaciodonde haya campo eléctrico.

ánodo

placas deflectoras

pantalla

cátodoEl descubrimiento de que los átomos teníanconstituyentes con carga, lleva a Thomson aproponer el modelo de “pudding de ciruelas”, en elcual la energía electrostática era mínima.

Hemos visto que el campo eléctrico es una forma de energía.Si no hay medios materiales -como ocurre a niveles atómicos- la densidad de energíaes:

La energía electrostática y la mecánica cuántica.

que indica que la densidad de energía es proporcional al módulo del campo(¡siempre positiva!).

De forma que el estado de mínima energía sería aquel en que cargas iguales y designo contrario colapsarían, de forma que el campo se anulara en todo el espacio.

Esto explica la formación de átomos y moléculas neutros, en los que el campoeléctrico sólo se pone de manifiesto en una pequeña zona alrededor del mismo.

†

ue (r) =12

E(r)D(r) =12

e0 E(r) 2 (6)

J.J. Thomson: el descubrimientodel electrón (1897)Excuse me... how can you discover a particle so small that nobody has everseen one?

El experimento de Rutherford (1911) demostró que este modelo era incorrecto.Sin embargo el pudding de ciruelas es un buen modelo para el gas de electrones en un metal.

Energía total

La aportación de Rutherford, y posteriormente de Bohr, que ha sido formuladade forma rigurosa por la mecánica cuántica es que en realidad, la energía que resultaser mínima en el estado fundamental de un sistema atómico es la energía total,suma de la energía cinética y de la potencial.

La mecánica cuántica prescribeque si se confina un electrón enuna zona del espacio dedimensiones l, la energíacinética (positiva!) escala comol-2, de forma que si bien alconfinar la partícula entorno alnúcleo disminuye la energíaelectrostática, aumenta laenergía cinética.

Existe pues una competenciaentre la atracción electrostáticaque tiende a disminuir la energíaelectrostática del sistema, y elaumento de la energía cinéticaasociada a la localización de loselectrones.

-8

-4

0

4

8

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

l

Ener

gía

Energía electrostática ~ -l-1

Energía cinética ~ l-2

Esta competencia impide elcolapso de las cargas

Problemas propuestos.Un condensador plano es un sistema de dos conductores planos (armaduras)enfrentados y separados una distancia pequeña. En el caso ideal, el campo entrelas armaduras es constante, mientras que fuera es nulo

S

h E

Consideremos, inicialmente, un condensadorplano y vacío. Se carga el condensador, deforma que se establece en su interior un campoeléctrico constante E0, normal a las armadurastal como se indica en la figura.

1.- Calcular la densidad de carga (y su signo)en cada una de las superficies conductoras.

Al introducir entre las armaduras, manteniendo al carga constante, un mediodieléctrico lineal de permitividad e, el campo se reduce a (e0/e)E0.

Calcular en esta nueva situación:2. El valor del vector desplazamiento D, el vector polarización P, y los valores delas densidades de carga libre y de polarización.3. Comparar la energía electrostática en la situación final con la correspondiente ala inicial e indicar el origen de la diferencia.

Nota: para calcular la densidad de carga se puede utilizar la ley de Gauss en una superficieparalepipédica (pastillero) con dos caras paralelas a la armadura.

Energía electrostática del electrón 1S del átomo de HidrógenoLa función de onda del electrón 1S del hidrógeno es:

r es la distancia al centro del átomo, y donde a0 =5.29 10-11 m es el llamado radio deBohr.

Calcular -utilizando la ley de Gauss- el campo eléctrico creado por elelectrón en todo el espacio.Obtener el potencial creado por el electrón el el centro del átomo (r=0)Aplicar:

†

Y1S (r) =1

pa03

e-

ra0 ;

†

x2e-axdx = -Ú e-ax x2

a+

2xa 2

+2

a 3

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

Obtener

Calcular l(en julios) la energía electrostática del electrón en el potencial del protón.Expresar esta energía en electronvoltios (eV), que es una unidad que se definecomo 1 eV=1.602 10-19 julios

Nota: el volumen infinitesimal dV de una cáscara esférica de radio r y anchura dr es:dV=4pr2drla carga del electrón es e= 1.602 10-19 C1/4pe0=8.99 109 N m2/C2

Energía de correlación de los electrones en el He

La parte espacial (sin tener en cuenta el spin) de la función de onda de loselectrones 1S del helio es análoga a la del Hidrógeno (con un valor diferente delparámetro a0 )Esto indica que la densidad de carga electrónica del helio

tiene la misma forma analítica que la del hidrógeno (con carga 2e) . Así mismo lacarga del núcleo es doble, de forma que desde el punto de vista de distribución decarga el átomo de helio es como el de hidrógeno con el doble de carga, y un valordiferente del parámetro a0.¿Significa esto que la energía de cada electrón viene dada por la mismaexpresión obtenida para el hidrógeno?

†

r(r) = ey1s1 (r) 2+ ey1s2 (r) 2

= 2ey1s (r) 2