TEMA III Funciones

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Próceres Sector Santa Bárbara

IUFRONT – SEDE MERIDA

Realizada Por:

Ing. Marjorie J. Uzcátegui S.

Mérida, JULIO de 2008

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Si es función No son función.

Antecedentes:

La definición moderna del concepto de función se debe al matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy inicio la sistematización de la teoría de grupos, imprescindibles en el Álgebra moderna, y fue uno de los precursores de rigorismo en Matemáticas.

1. Función Real de variable real.

Llamamos función a cualquier aplicación donde:

o bien siendo D un subconjunto de Rmediante una función, a cada elemento de x de R ( o de un subconjunto de R) le asociamos un único elemento y = f(x) de R.

x es la variable independiente e y la variable independiente.

Ejemplo

La expresión define la función para la que

..........

Ejemplo

Para la función , se tiene que:

no existe pues no es un número real;...

EjemploLa función que asigna a cada número su cuadrado tiene por gráfica:

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

2

2

0

-1

5

x

0

3

5

A B 2

0

-1

5

0

3

5

A B 2

0

-1

5

0

3

5

A B

Page 3: TEMA III  Funciones

Llamemos dominio (0 campo de existencia) de la función al conjunto de todos los valores x para los cuales y = f(x) esté definida (sea un número real). Se le suele escribir por la letra mayúscula D

De las siguientes gráficas, solo la segundas representa a una función (puede observarse como en la primera, se tendría hasta tres imágenes).

1.1 Dominio de una Función.

Sea y = f(x) una función.

Para el cálculo del dominio de una función dada por una fórmula, hemos de tener en cuenta

que:

1. No es posible la división por 02. No es posible extraer raíces cuadradas, cuartas, sextas, etc, cuando el

radicando es negativo (esto es posible si la raíz es impar)3. No es posible calcular el logaritmo de un número negativo, ni tampoco de 0

Ejemplo

El dominio de cualquier función Polinómica es todo R

Ejemplo

Halla el dominio de la función

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3

y = x2

Puesto que, en una función, cada elemento x R

puede tener a lo sumo una imagen y = f(x), la

grafica de una función nunca puede volver hacia

atrás

Page 4: TEMA III  Funciones

Solución: f(x) sólo será un número real si x2 - 4 no es 0.

Resolviendo la ecuación x2 - 4 = 0 → x2 = 4 → x = 2 que son los valores que anulan al denominador. Por lo tanto el dominio es D = R - { -2 , 2 }.

Ejemplo Halla el dominio de la función

Solución: La función está definida sólo cuando 3x+ 9 sea mayor o igual a cero.

Resolviendo la ecuación 3x + 9 0 → 3x - 9 → x = - 3 de donde deducimos que. el dominio es D = [ -3 , ).

Ejemplo Halla el dominio de la función

Solución: h(x) está definida para aquellos x R que hagan los dos resultados no negativos.

y x 1 y x 1 x = 1

Por lo tanto el dominio de la función esta formado por los puntos del eje 0x encima o debajo de los cuales hay gráfica.

Ejemplo

Para la función cuya gráfica es la siguiente:

Por lo tanto el dominio es

D = (- , - 3 ) - 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1, )

1.2 Características de una Función.

Una función f: A B, el conjunto A se denomina dominio de f como se dijo anteriormente, mientras que el conjunto B se denominará contra dominio o Rango de f.

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4

2

0

-1

5

x

0

3

5

A BDominio f { 2 , 0 , -1 , 5 }

Rango f { x, 0 , 3 , 5 }

Page 5: TEMA III  Funciones

Sea f: A B una función. Diremos que f es Inyectiva si f( a1 ) = f( a2) implica que a1 = a2 , para todo a1 , a2 A

Una función f: A B se llama uno a uno o Inyectiva sí dados dos elementos a1, a2 del dominio de f, tales que a1 a2 entonces se tiene que f( a1 ) f( a2 )

Una función f: A B se dice que es Sobreyectiva sí cada uno de los elementos de B es imagen de algún elemento de A. En otras palabras, si f(A) = rango f = B. Es decir, f es sobreyectiva si para todo b B, existe a A tal que f(a) = b.

Una función f: A B se dice que es biyectiva si es a la vez Inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

a) f1 : A1 B1

b) f2 : A2 B2

c) f3 : A3 B3

d) f4 : A4 B4

1.3 Operaciones con Funciones.

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5

B11

2

3

a

b

A1 No es inyectiva porque los

elementos 1,2 de A1 tienen

una misma imagen.

B21

2

3

4

a

b

c

A2

Es sobreyectiva porque el rango f2

=B2, pero no es inyectiva porque

13 y sin embargo f2(1) = f2(3) =

c

B31

2

3

4

1

2

3

4

5

A3 Es Inyectiva porque cada

elemento de A3 tiene una imagen

distintas en B3, no es sobreyectiva

rango f3 B3

Es Inyectiva , sobreyectiva y por

lo tanto biyectiva de modo que

f4(A4) = B4

B47 8A4

Page 6: TEMA III  Funciones

Una función es monótona creciente cuando a originales mayores corresponden imágenes mayores (o iguales).

Supongamos dos funciones y = f(x) e y = g(x) definidas sobre un mismo dominio D. De un modo completamente natural, se definen la suma y multiplicación de ambas funciones:

que, evidentemente, son dos nuevas funciones

definidas en el dominio D.

Ejemplo

Dadas las funciones y , calcula las funciones f + g y f * g

Solución:

La suma y multiplicación de funciones tienen las propiedades que se sintetizan en el

siguiente cuadro:

PROPIEDADES SUMA MULTIPLICACIÓN

ASOCIATIVA(f + g) + h = f + (g + h) (f * g) * h = f * (g * h)

CONMUTATIVAf + g = g + f f * g = g * f

ELEMENTO NEUTRO

Es la función cero x 0,Pues f(x) + 0 = f(x)

Es la función x 1,Pues f(x) * 1 = f(x)

ELEMENTO SIMÉTRICOOpuesta de f : (-f)(x) = - f(x)

Pues f(x) - f(x) = 0No existe la función inversa

DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO DE LA SUMA.

(f + g) * h = (h * f) + (h * g)

Por cumplir estas propiedades, llamando F (D) al conjunto de las funciones definidas sobre el subconjunto D, se tiene que (F (D), + , ..) es un anillo conmutativo con elemento unidad.

1.4 Funciones Crecientes y Decrecientes.

De manera parecida a las sucesiones, se definen las funciones monótonas.

Es decir, y = f(x) es creciente si, y solo sí, para cada par x1,x2, del dominio:

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6

Page 7: TEMA III  Funciones

Una función es monótona decreciente cuando a originales mayores corresponden imágenes menores (o iguales).

Las gráficas de las funciones monótonas crecientes van hacia arriba ( u horizontalmente), a medida que las recorremos de izquierda a derecha. Ejemplo

La gráfica de muestra una función creciente.

Es decir, y = f(x) es creciente si, y sólo sí, para cada para x1,x2 del dominio:

Si recorremos la gráfica de una función monótona decreciente de izquierda a derecha, observaremos cómo su gráfica se desplaza hacia abajo u horizontalmente.

Ejemplo

La función de la gráfica es monótona decreciente

Al manejar funciones, puede hablarse de monotonía en un intervalo. En concreto:Una función es creciente en el intervalo (a,b) sí para cada par:

También puede hablarse de función creciente en un punto. Precisamente: Una función es creciente en un punto x0 sí existe un entorno x0 donde la función es creciente.

1.5 Composición de Funciones.

Componer dos funciones es hacer actuar una de ellas sobre el resultado de la otra:

x f(x) g(f(x)) o bien x g(x) f(g(x))

Se las designa, respectivamente, por g f y f g y se leen “ f compuesta con g “ y “g

compuesta con f ”, respectivamente. Es decir:

Ing. Marjorie Uzcátegui.

Funciones.

7

f(x) = 1/2x + 2

Page 8: TEMA III  Funciones

Ejemplo

Dada las funciones de

Observa que, en general, g f y f g son funciones diferentes.

Una función f -1 se llama inversa de otra f si ocurre que f -1( f(x)) = f ( f -1(x) ) = x para cada número real xPor ejemplo, la función es inversa de , pues para cada x mayor o igual que cero ocurre que:

Una función y su inversa tiene sus gráficas simétricas respecto a la bisectriz del primer y cuarto cuadrante.Por ello, para obtener la expresión analítica de f -1 intercambiamos x e y en y = f(x). Despejando a continuación y obtendremos la función f -1..

y = f(x) x = f(y) f -1(x) = f -1( f(y)) f -1(x) = y

Ejemplo

Obtener la función inversa de

Solución: Escribimos . Intercambiando a continuación x por y obtenemos:

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8

Interc x y

y = f( x )

y = f -1( x )

y = x

Page 9: TEMA III  Funciones

2. Funciones Clásicas.

Las siguientes funciones son básicas, tanto por su sencillez como por su aplicabilidad a otras

ciencias.

2.1 Funciones Lineales:

Se denominan así a las funciones que se representan mediante rectas. Son polinomios de grado 0 ó 1 del tipo:

Dado que se trata de rectas, para la representación gráfica de cualquier función Polinómica de grado uno basta obtener dos puntos de la misma.Este resultado es evidente, ya que la gráfica de f(x) corresponde a una recta (con ángulo de inclinación distinto de 90º) y si proyectamos su gráfica en el eje x encontramos que Dom f = R. Del mismo modo, proyectamos su gráfica en el eje y encontramos que rango Rang f = R . Además, f(x) es inyectiva porque al trazar rectas horizontales ellas cortan a dicha gráfica en un solo punto.

Ejemplo Representar la función

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9

y = x

y = 3x-7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

y = 2

y = x 2

Page 10: TEMA III  Funciones

Solución: Dando a x un par de valores tenemos

x = 0 y = 4;

x = 2 y = 0

2.2 Funciones Formadas Por Trozos De Rectas (Por Partes):

Ejemplo

Representar gráficamente la función

Solución: Resulta muy aconsejable expresar la función sobre un diagrama lineal como el

siguiente:

Cada uno de los trozos de la función es un tramo de recta. Por lo tanto, hasta dos puntos de cada tramo – es altamente aconsejable elegir los extremos aún cuando no formen parte del tramo correspondiente - En concreto:y = 2 es recta horizontal;

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2 - x + 2 x - 2

0 3

Page 11: TEMA III  Funciones

Un ejemplo particularmente interesante de función formada por trozos de rectas es la función valor absoluto:

cuya gráfica es:

2.3 Función Valor Absoluto

Para obtener la gráfica de una función y = f(x) conocida la gráfica de la función y = f(x), se deja intacta la parte positiva de la gráfica ( la que está por encima del eje 0x) y se dibuja la simétrica de la parte negativa de la gráfica (la que está por debajo del eje 0x)

Ejemplo

Representar gráficamente la función

Solución: Empezamos dibujando la gráfica de la función y = 2x - 2 que, como ya sabemos, es una recta oblicua. Para ello, basta obtener dos puntos de la misma, por ejemplo:

. A partir de estos puntos dibujamos la gráfica de y = 2x – 2 e

inmediatamente, la gráfica de y = 2x - 2.

Es decir, la función valor absoluto se comporta como la función identidad para x 0, y como la función negación para x < 0. Por lo tanto, su gráfica coincide con la de la función identidad si x [ 0 , + ) y con la función negación si x ( - ; 0 ].Al empalmar estas dos gráficas obtenemos la función valor absoluto f(x)=x:

El dominio Dom f = R y el rango Rang f = [ 0 , + ). No es una función Inyectiva por que al pasar horizontalmente por encima del origen, estas cortan la gráfica de f en dos puntos.

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y = x

y = 2x - 2y = 2x – 2

Page 12: TEMA III  Funciones

2.4 Función Cuadrática:

Las funciones de segundo grado y = ax2 + bx + c se representan mediante parábola verticales.

El valor del coeficiente a determina que la curva esa más o menos cerrada, y su signo el que la curva se abre hacia arriba o hacia abajo.

Las coordenadas del vértice son V( p , q ) siendo

Esta función se define como

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12

y = 1/3 x2 - 2x + 4 y = - x2 - 4x + 1

Page 13: TEMA III  Funciones

f(x) = x2

.

O

b

s

é

r

v

e

s

e

q

u

e

f

(

x

)

s

e

c

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

13

Page 14: TEMA III  Funciones

o

n

s

t

r

u

y

e

c

o

m

o

f(x) = g(x)g(x), donde g(x

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

14

Page 15: TEMA III  Funciones

) = x;

por lo tanto

Dom f = R. Además, y = f(

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

15

Page 16: TEMA III  Funciones

x) = x2

ó x2

= y corresponde a

la ecuación de

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16

Page 17: TEMA III  Funciones

una parábola con vértice en el origen y

cóncava

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Page 18: TEMA III  Funciones

hacia arriba, esto nos permite construir su g

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18

Page 19: TEMA III  Funciones

ráfica con más facilidad.

Se puede observar que Rang f = [ 0 , + ). Además f no es inyectiva.

Ejemplo

Representar gráficamente la función

Dado que a = - 1 < 0, la parábola se abre hacia abajo.Las coordenadas del vértice son:

.

Es el punto V( 2 , 9 ).Ahora, para completar el dibujo, damos valores a x en torno a 1ª coordenada del vértice, 2:x = 0 y = 5; x = 1 y = 8; x = 3 y = 8; x = 0 y = 5; x = 5 y = 0;

2.4.1 Concavidad:

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19

Cuando la a ( coeficiente de x2 de la función y = ax2 + bx + c ) es positiva (a>0) la curva se abre hacia arriba y decimos que es cóncava hacia arriba y cuando a es negativa (a<0) la curva se abre hacia abajo y decimos que es cóncava hacia abajo.

Page 20: TEMA III  Funciones

2.4.2 Vértice: Máximo y Mínimo:

Se llama vértice, cuya abscisa se

calcula con la siguiente fórmula:

2.4.3 Crecimiento y Decrecimiento:

Cuando a es positiva desde - hasta la abscisa del vértice de la curva, es estrictamente decreciente y desde la abscisa del vértice hasta + la curva es estrictamente creciente.

Cuando a es negativa , desde - hasta la abscisa delvértice, de la curva es estrictamente creciente y desde la abscisa del vértice hasta + la curva es estrictamente decreciente.

2.4.4 Eje de Simetría:

La recta que pasa por el vértice y es paralela al ejey es el eje de simetría de la curva.

2.4.5 Dominio y Rango:

El dominio es todo el campo de los números reales y el rango esta definido por los valores de ycomprendidos desde el vértice hasta el otro lado de la curva.

2.4.6 Clase de Función:Ing. Marjorie Uzcátegui.

Funciones.

20

Cóncava hacia arriba a > 0

Cóncava haciaabajo a < 0

La curva siempre tiene un valor de y, que es mínimo cuando a es positiva y máximo cuando a es negativa.El valor de x con el valor de y que hacen que la curva tenga máximo o un mínimo, es un punto que

Mínimo a > 0

Máximo a < 0

Decreciente Creciente

Creciente Decreciente

a < 0

a > 0

rang

o

rango

Page 21: TEMA III  Funciones

La función cuadrática está definida de R R , pero como el rango está comprendido desde el vértice hasta el extremo de la curva, los valores de y que están al otro lado del vértice no tienen contraimagen, por lo tanto, no es sobreyectiva ni tampoco inyectiva, porque los valores de y que corresponden al rango tienen dos contraimágenes. Como no es sobreyectiva ni inyectiva tampoco es biyectiva.

2.5 Función Raíz Cuadrada.

La función raíz cuadrada la definimos por f(x) = , cuya gráfica es la siguiente:

Para calcular Dom f(x), estudiaremos los valores en el interior de la raíz que son mayores o iguales a cero (estamos estudiando Funciones Reales, por lo tanto no podemos tomar raíces de índice par con valores negativos, porque en ese caso obtendríamos números complejos).

Así , Dom f = [ 0 , ) y el rango será Rang f = [ 0 , )

2.6 Funciones Polinómicas:

También las funciones polinómicas de grado superior a dos son muy usuales.

Son funciones definidas en todo R. El estudio y elaboración de sugráfica requiere conocimientos de cálculo infinitesimal que serán vistos con posterioridad.

2.6.4 Función Cúbica.

La función cúbica la definimos como

f(x) = x3.

Notamos que f(x) se construye como

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

21

y = x4 – x2 - 1

Page 22: TEMA III  Funciones

f(x) = g(x)g(x)g(x), donde g(x) = x.

Entonces Dom f = Dom g = R.

La gráfica de f(x) es:

De esta gráfica deducimos que la función cúbica es inyectiva y que su rango es R

2.7 Funciones De Proporcionalidad Inversa. La Hipérbola.

Se llama función de proporcionalidad inversa a

cualquier función del tipo

Su grafica es una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes coordenados.Otras funciones relacionadas con la proporcionalidad inversa son:

Las gráficas de estas funciones también son hipérbolas con los ejes desplazados.

2.7.1 Función Inversa.

Esta función se define como f(x) = ,

cuya gráfica es la siguiente

La función f(x) es el cociente de una función constante y la función identidad; por lo tanto,

Dom f = R – {0},ya que debemos eliminar

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22

f(x) = 1/x

Page 23: TEMA III  Funciones

los valores reales que anulan al denominador. Esta función es Inyectiva y además Rang f = R – { 0 }

2.8 Función Seno:

La función Seno se denota como f(x) = senx y su gráfica es la siguiente:

Dominio de la función será: Dom f = R

Es una función no es Inyectiva.

C uyo Rango es: Rang f = [ - 1 ; 1 ]

2.9 Función Coseno:

La función Coseno se denota como f(x) = cosx y su gráfica es la siguiente:

Dominio de la función será: Dom f = R

Es una función no es Inyectiva.

Cuyo Rango es: Rang f = [ - 1 ; 1 ]

2.10 Función Tangente:

La función Seno se denota como f(x) = tgx y su gráfica es la siguiente:

Obsérvese que tgx = , es decir que tgx es un cociente de funciones con dominio R,

pero debemos excluir los valores del coseno que anulan al denominador. Así

Dominio de la función será:

Dom f = R- { x \ x = (2n + 1)/2 con n Z }

Es una función no es Inyectiva.

Cuyo Rango es: Rang f = R

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23

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tg x

Page 24: TEMA III  Funciones

Problemas Resueltos

2.11 Función Exponencial:

Sea x un número fijo. Definimos la función exponencial como f(x) = ax. Consideremos dos casos con sus respectivas gráficas:

En ambos casos tenemos: Dom f = R ; Rang f = ( 0 , + ) ; f es una función Inyectiva.

2.12 Función Logaritmo:

Recordemos que el logaritmo en base a del numero x igual a y, lo escribimos como:

loga x = y, si a y= x.

Sabemos que a puede ser cualquier número real positivo. Denotamos logaritmo como g(x) = loga x. Consideremos dos casos con sus respectivas gráficas

1. Dada hallar

a) f(0);

b) f(-1);

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24

a > 1

f(x) = a x

f(x) = a

x 0 < x < 1

f(x) = loga

x

0 < a < 1

f(x) = a x

x > 1

Obsérvese que f(0) = aº y

f(1) = x . es decir ( 0 , 1 ) ,

( 1 , x ) son dos puntos que

siempre pertenecen a la

grafica f.

Obsérvese que el loga a =1, loga1

= 0. es decir, los puntos ( a , 1) ,

( 1 , 0 ) siempre están en la

gráfica.

Si a = e entonces logex se llama

logaritmo neperiano de x y los

denotaremos lnx

Page 25: TEMA III  Funciones

c) f(2a);

d) f(1/x);

e) f(x+h);

2. Si f(x) = 2 x, probar que

a)

b)

3. Determinar los dominios de las Funciones

a) , como y ha de ser un número real, , o sea . El dominio por lo tanto será el intervalo .

b) . Ahora , o sea . El dominio será el intervalo .

c) . La función esta definida para todo x excepto .

d) La función esta definida para .

e) . Como para todo x, el dominio es el conjunto de todos los

números reales.

4. Dibujar el grafico de la función definida por:

f(x) = 05 cuando f(x) = 10 cuando f(x) = 15 cuando f(x) = 20 cuando etc.

Determinar el dominio y el recorrido de la función

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25

x1 2 3 4 5 6

25

20

15

10

5

y

El dominio es todo los números

reales positivos. { R+}

El rango el conjunto de enteros

{5, 10,15,20}

Page 26: TEMA III  Funciones

5. Dibujar el grafico de la función f(x) = ; hallar el dominio y el rango.

6. Sea f(x) = ; Determine el dominio y el rango.

La función esta definida para todo x excepto . Dominio Dom f = R- {2}.

Para calcular la imagen o rango despejamos x de la ecuación. , quedando

; es decir, . Por lo tanto: ó

. Entonces: Rango Rang f = R- {5}

7. Hacer un estudio completo de cada una de las siguientes funciones.

a) ; En donde .

El calculo de las raíces:

El calculo del vértice:

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x f(x)-2 5-1 00 -31 -43 04 5

26

x

y

-2 0 2

2

El gráfico de f es el gráfico de la función y =. Para este gráfico, y2 = 4 – x2; esto es x2+ y2 = 4 . El gráfico de la última ecuación es el circulo con centro en el origen y radio 2. Como y = 0, el gráfico requerido es la mitad superior de ese circulo. La figura muestra que el dominio es el intervalo y que el rango esta en el intervalo

Page 27: TEMA III  Funciones

Como a = 1 > 0 es cóncava hacia arriba, por lo tanto, tiene mínimo cuyas coordenadas son (1,-4)Desde - hasta 1 la función es estrictamente decreciente y desde 1 hasta + es estrictamente creciente.El dominio es el conjunto R y el rango es el intervalo [- 4 , ). La curva corta al eje x en los puntos –1 y 3 y al eje y en el punto – 3

b) En donde .

Resolviendo la ecuación resulta:

El calculo del vértice:

Como a = -1 < 0 es cóncava hacia abajo, por lo tanto, tiene máximo cuyas

coordenadas son

Desde - hasta –1/2 la función es estrictamente creciente y desde –1/2 hasta + es estrictamente decreciente.El dominio es el conjunto R y el rango es el intervalo [ 49/4 , ). La curva corta al eje x en los puntos –4 y 3 y al eje y en el punto 12

c) En donde .

Resolviendo la ecuación resulta:

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x f(x)-6 -8-4 00 123 04 8

x f(x)0 93 06 9

27

Page 28: TEMA III  Funciones

El calculo del vértice:

Como a = 1 > 0 es cóncava hacia arriba, por lo tanto, tiene mínimo cuyas coordenadas son ( 3 , 0 )Desde - hasta 3 la función es estrictamente decreciente y desde 3 hasta + es estrictamente creciente.El dominio es el conjunto R y el rango es el intervalo [ 0 , ). La curva es tangente al eje x en el punto 3 y corta al eje y en el punto 9

d) En donde .

Resolviendo la ecuación resulta:

Como las raíces son imaginarias la curva no corta al eje x

El calculo del vértice:

Como a =- 1 < 0 es cóncava hacia abajo, por lo tanto, tiene máximo cuyas coordenadas son ( 0 , -9 )Desde - hasta 0 la función es estrictamente creciente y desde 0 hasta + es estrictamente decreciente.

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x f(x)-2 -130 -92 -13

28

Page 29: TEMA III  Funciones

El dominio es el conjunto R y el rango es el intervalo ( - ; -9 ). La curva no corta al eje x pero si corta al eje y en el punto - 9

8. Sea la función G en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que

. Encontrar el dominio y el rango de G y trazar la gráfica.

Para x = 3el denominador se hace cero, por lo que la función para este punto no esta definida. Factorizando el numerador en (x - 3) (x + 3)

tenemos: o ,

suponiendo que x3.

El rango de G consiste en Rang g = R –{6}. La gráfica consiste en todos los puntos pertenecientes a la recta real excepto el ( 3 , 6 )

9. Sea la función H en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que

. Encontrar el dominio y el rango de H y trazar la gráfica.

Como se observa ell denominador se hace cero, para cuando x = - 4 , - 3 y 3 por lo que la función H no esta definida para estos tres valores de x. Para valores de x distintos podemos dividir el numerador y denominador entre los factores comunes y tenemos. sí x - 4, - 3, 3Por lo tanto el Dom h = R – { - 4, - 3, 3 }, el Rang h = R – { - 5 ,- 4, 2} que son aquellos valores que se obtuvieron al sustituir x = - 4, - 3, 3. La gráfica consiste en todos los puntos pertenecientes a la recta real excepto el ( - 4 ; - 5 ), (- 3; - 4) y ( 3 ; 2).

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x f(x)-3 00 33 6

x f(x)-4 -5-3 -42 35 4

29

Como se observa, hay un valor de y para cada valor de x, excepto cuando x = 3, por lo que el dominio de G será Dom g = R – { 3}.

Factorizando el numerador y el denominador nos queda:

Page 30: TEMA III  Funciones

10.Sea la función H en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que . Encontrar el dominio y el rango de H y trazar la gráfica.

Esta desigualad será satisfecha cuando se cumpla uno de los siguientes casos:x 0 y x – 2 0; ó x 0 y x – 2 0.Caso I: x 0 y x – 2 0. Esto se simple cuando x 0 y x 2 sol. [ 2 , )Caso II: x 0 y x – 2 0. Esto se simple cuando x 0 y x 2 sol. ( - , 0 ]Combinando ambas soluciones tenemos, obtenemos como Dom h = ( - , 0 ] [ 2 , ) = R – {( 0 , 2 )}, mientras que el Rang h = [ 0 , ]

Problemas Propuestos.

1. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones:a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.h.i.

j.

2. Consideramos las funciones polinómicas f y g dadas por f(x) = x2 + 1, y g(x) = x3, se pide:

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

x f(x)-4 4.89-3 3.870 02 04 2.82

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Ya que , no es un número real cuando el Dom h consiste en todos los números reales de x para los cuales

Page 31: TEMA III  Funciones

a. f gb. g fc. f / gd. f º ge. g º f

3. Estudiar los dominios de las funciones del ejercicio anterior.

4. Se considera las funciones f y g definidas por , se

pide:a. f º fb. g º gc. f º gd. g º f

5. Estudia los dominios de las funciones del ejercicio 4.

6. Expuesta la función f dada por: , halla las funciones opuestas (- f )

e inversa , y sus dominios respectivos.

7. Sea las funciones f, g y h dadas por

Calcula las funciones ( f + g ) + h y f + (g + h). ¿ Cómo son ambas funciones?

8. Con las funciones f y g del ejercicio anterior, calcula las funciones (f +g) y (g + f). ¿Cómo son ambas funciones?

9. Dadas las funciones se pide:a. ( f º g )( 1 ); ( g º f )( -1 ); ( f º g )( 2 ); ( g º f )( -2 )b. ( f º g )( x )c. El dominio de f º g

10. Hallar el dominio de existencia de la función

11. Si f(x) = x2 - x, comprueba que f( x + 1 ) = f( - x).

12. Si , comprueba que

13. Hallar el campo de existencia de las siguientes funciones

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

31

Page 32: TEMA III  Funciones

1. 2. 3.

4. 5.6.

7. 8.9.

10. 11.12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

14. Dada la función hallar:

1.2.

3. 4.

5.

6.

7. 8.

9.10.

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

32

Page 33: TEMA III  Funciones

Problemas Resueltos

15. Graficar las siguientes funciones:

1. 2.

3. 4.

1. Dado f(x) = . hallar a) f(0); b) f(-1); c) f(2a); d) f(1/x); e) f(x+h)

a) b c)

d) e)

2. Si f(x) = 2x, demostrar que a) y b)

a)

b)

3. Determinar el dominio de las funciones.

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

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Page 34: TEMA III  Funciones

a) b) c) d) e)

a) el dominio es entonces

es decir [ - 2 , 2 ]

b) el dominio será es decir (-

,-4]U[4, )

Ing. Marjorie Uzcátegui.Funciones.

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