Tema IV. Comunicaciones...

Teoría de la Comunicación. 1ver. 0

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Tema IV. Comunicaciones digitales.Tema IV. Comunicaciones digitales.

IV.1. INTRODUCCIÓN.

IV.2. TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO.

IV.3. ANIV.3. ANÁÁLISIS EN EL ESPACIO DE SELISIS EN EL ESPACIO DE SEÑÑALES.ALES.

IV.4. TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA CON RUIDO ADITIVO BLANCO GAUSSIANO.

IV.5. COMPARATIVA DE MODULACIONES DIGITALES.

IV.6. TRANSMISIÓN DIGITAL POR CANALES DE ANCHO DE BANDA LIMITADO.

Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco2º Ing. de Telecomunicación

Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de MadridJorge A. Ruiz Cruz ([email protected], www.eps.uam.es/~jruiz)

IV. Comunicaciones digitales. 2ver. 0

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IV.3. ANÁLISIS EN EL ESPACIO DE SEÑALES

IV.3.1. Espacio vectorial de señales.

IV.3.2. Constelación de una modulación digital.

IV.3.3. Receptor óptimo de M señales.

IV.3. Análisis en el espacio de señales. 3ver. 0

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IV.3.1. Espacio vectorial de señales

El concepto de espacio vectorial de señales es una herramienta muy útil en las comunicaciones digitales:

- Un demodulador tiene que distinguir, entre las señales que le llega, cual es la señal que con más probabilidad se mandó (“la más cercana”) → idea de proximidad o distancia entre señales.

- Las señales sm(t) que genera el modulador se representan como puntos o vectores en un espacio vectorial: diagrama conocido como constelación de la modulación.

- La constelación de una modulación es una representación muy útil para analizar las propiedades de una técnica de modulación digital.

- A un demodulador sólo le interesan las señales parecidas a las que envió el modulador: concepto de producto escalar entre señales, proyecciones y subespacios de señal

- Un modulador digital sólo genera señales pertenecientes a un conjunto finito (el alfabeto de señales). Las señales se pueden sumar y multiplicar por escalares.

IV.3.1. Espacio vectorial de señales. 4ver. 0

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- Existe la suma de señales, que cumple las propiedades conmutativa, asociativa, la existencia de señal neutra ( la señal 0(t) ) y la señal opuesta (-s(t)).

- Existe la multiplicación de señales por escalares, con las propiedades asociativa, distributivas y elemento unitario (el escalar 1).

El conjunto de señales reales o complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos, respectivamente (ver Ap. E).

Una señal es de energía finita si la siguiente integral existe y es finita:

- Las señales del alfabeto de señales del modulador digital (ya sean en banda base o paso banda) tienen duración T, y por tanto son de energía finita (suponiendo que su amplitud está acotada).

- Por tanto, una señal s(t) se puede denotar como un vector para enfatizar su pertenencia a un espacio vectorial:

Ahora se va a introducir el concepto general de espacio vectorial de señales, que luego se relacionará con las señales utilizadas por un modulador digital.


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- Sobre las señales de energía finita se puede definir un producto escalar, con lo que espacio vectorial de señales de energía finita se convierte en un espacio euclídeo.

- Con la norma inducida por el producto escalar se tiene el concepto de tamaño de la señal.

- Con la métrica inducida por la norma, el espacio adquiere la estructura de espacio métrico → concepto de distancia entre señales

Definiciones:

- Nota: si las señales valen cero fuera del intervalo [0,T], como en el caso de los moduladores digitales, las integrales entre -∞ y +∞ se reducen al intervalo [0,T].


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- Dado un conjunto de señales se podrá encontrar una base que “las represente”.

Definiciones (cont.):

- Dentro de todas las posibles bases, aquellas cuyos elementos sean ortogonales y de tamaño unidad permiten operar de manera más sencilla → conjuntos ortonormales de señales.

- Definición de sistema (conjunto) de señales ortonormales:

Son aquellos formados por señales ortogonales entre sí y con norma

unidad (energía unidad)

- Cualquier señal arbitraria de un subespacio de dimensión finita se puede expresar en función de un sistema ortonormal de L señales (L es la dimensión del subespacio)

Si: Coordenadas del vector (la señal)

respecto de la base (el sistema de señales

ortonormal)


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- Dem:

- Dada una base ortonormal de dimensión L para s(t), la señal se puede representar como un punto (o un vector) en un espacio de L coordenadas ortonormales.

Definiciones (cont.):

Ejemplo L=2:

- Dada una señal s(t) y una base ortonormal, ¿cómo se calculan las coordenadas de la señal respecto de la base?Proyectando la señal sobre los ejes ortonormales:

- Una vez que se tienen las coordenadas de una señal, las operaciones de cálculo de productos escalares, normas y distancias se hacen de manera muy sencilla (ver pag. sig.).


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- Sean dos señales pertenecientes al mismo subespacio y representadas en función del mismo sistema ortornormal:

Las integrales se han reducido a las

operaciones habituales sobre las coordenadas

de los vectores

- Dem:

Prod. Escalar:

Norma:

Distancia:


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Conjuntos de señales ortonormales:

- Hasta ahora se han visto las propiedades de los conjuntos de señales ortonormales sin entrar en como se construyen esos conjuntos.

- De hecho, dado un conjunto de señales (como el alfabeto de señales de un modulador digital), puede que no sea obvio encontrar un conjunto ortonormal que sea su base.

- Ahora se van a ver distintas formas (hay muchas más) de crear o generar señales ortogonales:

· D) Por Ortogonalización de Gram-Schmidt, partiendo de un conjunto de señales linealmente independientes

· A) Por construcción directa. A.1) De dominio completo

A.2) De dominio reducido

· B) Por transformación de un conjunto que ya es ortogonal.

· C) Construcción de dos señales ortogonales mediante sinuosides en fase y cuadratura.


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- A.1) Ejemplo de conjunto de L=4 señales ortonormalesde dominio reducido

- A.2) Ejemplo de conjunto de L=4 señales ortonormalesde dominio completo

A) Construcción directa de un conjunto de L señales ortonormales:


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Señales ortonormales

paso-bajo

Señales ortonormalespaso-banda

B) Construcción de un conjunto de L señales ortonormales paso banda a partir de un conjunto de L señales ortogonales paso bajo:

- Las señales de un conjunto ortonormal pueden ser, entre otras cosas, paso bajo o paso banda.

- Es decir, además de la ortonormalidad, un conjunto de señales puede tener características espectrales de tipo paso bajo o de tipo paso banda.

- Dem:

- Si se tiene un conjunto ortonormal paso bajo, se puede conseguir uno paso banda simplemente multiplicando por una señal sinusoidal de alta frecuencia (con fase arbitraria) y amplitud sqrt(2) (factor necesario para que las nuevas señales tengan energía unidad).


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C) Construcción de un conjunto de dos señales ortonormales (L=2) mediante sinusoides en fase y cuadratura:

- Conjunto de L=2 señales ortonormales paso banda (normalmente llamadas componentes en fase y cuadratura):

(g(t) es una señal paso bajo arbitraria)

- Dem:

D) Ortogonalización de Gram-Schmidt: transformación de un conjunto de señales linealmente independientes en un conjunto ortonormal

- Todo conjunto de L señales ortogonales es un conjunto de señales linealmente independientes.


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Ortogonalización

- Pero un conjunto de L señales linealmente independiente puede que no sea un conjunto ortonormal.

Conjunto linealmente independiente

Conjunto ortonormal

Gram-Schmidt

… …

Señales ortogonales, que se normalizan para que tengan energía unidad

D) Ortogonalización de Gram-Schmidt (cont.):

- En este caso, se puede conseguir otro conjunto que así lo sea mediante el algoritmo de Ortogonalización de Gram-Schmidt


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Conclusiones. Se ha visto que una señal de energía finita (como las de los moduladores digitales) se puede interpretar como un vector de un espacio vectorial de señales:

- Si la señal pertenece a un subespacio de dimensión L, se puede encontrar un conjunto ortonormal (una de las posibles bases ortogonales del subespacio) para representarla.

- El tamaño de la señal (norma o raíz cuadrada de su energía) y la distancia entre señales (norma de la señal diferencia) se calculan de la manera habitual operando sobre las coordenadas.

- Por estar en un espacio vectorial, una señal se puede representar por un vector o un punto.

- Las coordenadas del vector (que dependen de la base escogida, para diferentes bases diferentes coordenadas) representan biunivocamente a la señal.

- La base del subespacio no es única, pero todas tendrán el mismo número de elementos (L).

- Si se cambia de base, cambiarán las coordenadas, pero la norma de una señal o la distancia entre dos señales valdrá siempre lo mismo. Son magnitudes asociadas a los vectores, no a su representación.


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IV.3.2. Constelación de una modulación digital

Una constelación de señales es el diagrama de puntos que resulta de representar en un sistema de L coordenadas las señales de un conjunto (L es la dimensión del subespacio al que pertenece el conjunto de señales)

- Un modulador digital genera por cada símbolo (bloque de k bits) una señal perteneciente a una familia finita de M=2k señales.

- Por tanto, ese conjunto de señales será representable con una base ortonormalde L≤M elementos (que se habrá obtenido de alguna manera previamente) y tendrá una constelación asociada en un subespacio de L dimensiones.

- El alfabeto de señales del modulador digital, como cualquier conjunto de señales, tendrá una constelación asociada: conjunto de puntos (o vectores) sobre los ejes de una base ortonormal.

IV.3.2. Constelación de una modulación digital. 16ver. 0

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- Alfabeto de señales del modulador digital (una por cada símbolo).

- Ejemplo 1: Constelación de M=8=23 señales representable con L=2 dimensiones

000001

010

011

100

101

110

111

000110

11

- Ejemplo 2: Constelación de M=4=22

señales, L=3 dimensiones

- Base ortonormal del subespacioal que pertenece el alfabeto de señales del modulador

- Cálculo de productos escalares, normas (energías) y distancias entre las señales de la constelación


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- 1) Energía media por símbolo de la modulación ↔ suma de distancias al cuadrado en la constelación.

- 2) Envolvente constante ↔ puntos de la const. a igual distancia del origen.

- 3) Protección frente al ruido ↔ maximizar distancias entre los puntos de la constelación

Misma protección frente al ruido pero mucha menor Êsimb

d

d

Constelación con elevada Êsimb y protección frente al ruido fijada por d d

d

Todas las señales tienen la misma energía

Señales de distinta energía

Compromiso entre ahorro de energía y protección frente al ruido: Constelaciones centradas respecto del origen

(Si hay env cte, los equipos transmisores trabajan con la misma potencia con independencia del símbolo emitido)

Propiedades que se pueden extraer de la constelación de una modulación digital:


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La constelación que se ha visto corresponde a la señales que genera el transmisor. Al pasar por el canal, se producen perturbaciones.

- Por ejemplo, una atenuación en el canal implica una compresión respecto del origen de la constelación: los puntos se acercan unos a otros: empeora la PE.

Sin entrar en el efecto del canal, y estudiando sólo el efecto del ruido, se plantean las siguientes preguntas:

- ¿Cómo se representa la señal recibida en el subespacio de señal del modulador digital?

- Otro efecto menos obvio es la rotación de la constelación respecto del origen, que se suele dar cuando hay un retardo que provoca un cambio de fase.

- Dentro del contexto de espacios vectoriales, ¿cómo se transforman las señales emitidas por el modulador digital al verse perturbadas por ruido?

-¿Cómo se ha transformado la constelación al llegar al receptor digital?.

El contexto para responder a estas preguntas es el subespacio vectorial asociado a las señales del modulador digital.


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- Cada señal sm(t) del alfabeto pertenece al subespacio de señal y se podrá escribir como:

Subespacio de señal del modulador digital:

- Base ortonormal del subespacio de señal, donde su dimensión L es menor o igual que el número de señales M:

- El ruido n(t) no pertenece necesariamente al subespacio de señal. En general, tendrá una parte dentro del subespacio y otra n’(t)fuera de él

- Las señales sm(t) (m=1,…,M) que transmite el modulador son vectores (o puntos) de un subespacio de señal (su representación gráfica es la constelación). Se asumiráque por algún medio se ha encontrado una base ortogonal de ese subespacio.


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- Se puede demostrar que el ruido n´(t) es ortogonal al subespaciode señal y no interviene en el proceso óptimo de detección (ver pruebas A,B,C en el Ap. F), por lo que se obviará a partir de ahora:

Subespacio de señal del modulador digital (cont.):

- Suponiendo que el canal no deforma la señal de información y que a su salida se tiene sm(t), la señal recibida tendrá una parte dentro del subespacio de señal y otra n´(t) fuera de él:

- El efecto de un simple escalado y/o retardo de la señal de información se podría incluir muy fácilmente en esta teoría. El efecto más complicado de ancho de banda limitado se verá en el tema IV.6.

Coordenadas de la señal recibida en el subespacio de señal del modulador digital


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- Ejemplo de constelación de M=4 señales, representables en un subespacio de señal de L=2 dimensiones.

- Cada señal enviada será uno de los puntos de la constelación (puntos circulares de la figura). Por ejemplo, si se transmite s2(t) se estará emitiendo el punto de coordenadas (S21 , S22).

- En el receptor, cada señal enviada aparece perturbada por un vector de ruido desconocido.

- La señal recibida tendrá mucha probabilidad de encontrase en una entorno alrededor de laenviada (la nube de la figura), entorno tanto más grande cuanto mayor sea la potencia de ruido.

Efecto del ruido en la constelación vista en el receptor (sólo hay ruido, no hay ni atenuación ni retardo):

- En cada periodo de símbolo, el modulador digital transmitirá una señal (un punto o vector) de M posibles dentro del subespacio de señal.

- Al enviar s2(t) se obtiene r(t)=s2(t)+n(t) (el punto con forma de rombo de la figura) de coordenadas (R1 , R2) (el ruido fuera del subespacio de señal no interviene en la decisión y sería ortogonal al plano de la hoja).


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Señal recibida

Señal enviada

Vector de ruido

- Para la misma señal recibida, el detector puede equivocarse e interpretar la señal recibida en base a otra posible pareja de señal enviada y ruido.

- Por tanto, hay que establecer un criterio de decisión para minimizar la probabilidad de error → idea de distancia y de regiones de decisión Dm en torno a los puntos de la constelación.

Misma señal recibida

- Si todos los símbolos tienen la misma probabilidad de ser transmitidos, si se recibe r(t), ¿qué señal tiene más probabilidad de haberse enviado?.

Efecto del ruido en la constelación vista en el receptor (cont.):

- Intuitivamente, parece lógico pensar que aquella sn(t) más cercana a la recibida. Esta idea aparecerá de manera formal en los receptores estudiados a continuación.


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IV.3.3. Receptores de M señales

En el tema IV.2 se ha estudiado el caso de alfabetos binarios de M=21 símbolos/señales.

El receptor de un sistema cuyo alfabeto está formado por M=2k señales (símbolos de k bits) se diseña de forma parecida. Descripción del funcionamiento:

- Al receptor le llega una señal sm(t) de M posibles contaminada con ruido.

- El receptor lo único que conoce es r(t), y no sabe ni que señal sm(t) se envió ni por supuesto la forma de onda del ruido n(t)

- El receptor tiene que decidir mediante operaciones sobre la señal recibida r(t) cual es la señal sj(t) que tiene más probabilidad de haberse enviado.

- Para facilitar la decisión, el receptor sabe que la señal enviada sólo puede ser una de M posibles, y la decisión la tendrá que hacer dentro del subespacio de señales del modulador digital que se acaba de ver.

IV.3.3. Receptores de M señales. 24ver. 0

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Para operar en el subespacio de señal del modulador digital, la primera etapa del receptor de M señales consistirá en el cálculo de coordenadas de la señal recibida respecto de la base del subespacio.

La segunda etapa del receptor óptimo consistirá en un decisor (también llamado detector) en la que se decide la señal que se ha enviado mediante operaciones sobre las coordenadas.

- Las L coordenadas se calculan mediante L filtros distintos adaptados a cada una de las funciones base más sus correspondientes muestreadores (o mediante correladores con las funciones base más muestreadores) (ver P4, Ap. B)

- Esta etapa también existía en el caso M=2.

- Esta etapa, para el caso M=2, consistía en una comparación con un umbral.

- Si el subespacio tiene dimensión L, habrá que calcular L coordenadas.

- Si M>2, el bloque decisor es más complicado y se convierte en el cálculo de distancias u otras métricas equivalentes.


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…

…

DE

CIS

OR

ÓP

TIM

O

DE

CIS

OR

ÓP

TIM

O

… “0100”…

Arquitectura del receptor óptimo de M señales:

- Arquitectura con correladores (izda.) y con filtros adaptados (drcha)


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- Cada rama del receptor anterior está formada por un filtro adaptado a cada función base (la implementación con correladores tendría exactamente las mismas propiedades según el Ap. B )

Cálculo de las coordenadas de la señal recibida:

(sm(t)=0 fuera de 0≤t≤T)

(por estar todas las funciones bases inormalizadas a energía unidad, la desviación típica no depende de i)

- Ahora se va a demostrar que la salida en el instante de muestreo coincide con la coordenada i-ésima Ri de la señal recibida respecto de la base del subespacio de señal.

(Salida de la rama i-ésimadel receptor de M señales)


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Caracterización estadística de las coordenadas de la señal recibida:

- La salida del filtro adaptado o correlador con la función base i en el instante de muestreo es:

- Ni es una variable aleatoria gaussiana de media nula y varianza:

- Si se ha enviado la señal sm(t), la variable aleatoria Ri|sm (coordenada i-ésima de la señal recibida, supuesto que se ha transmitido sm(t)) es una variable aleatoria gaussiana de media Smi y desv. típica σoi

fdp(x)=probabilidad diferencial de que si se ha mandado sm(t), la señal recibida tenga coordenada i-ésima de valor x

x

fdp(x)

- Se puede demostrar (ver prueba C del Ap. F) que el conjunto de todas las coordenadas Ri

son estadísticos suficientes para realizar la detección óptima ↔ con las coordenadas se tiene toda la información necesaria para decidir cual es la señal que se envió con más probabilidad.


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- Todas las variables aleatorias Ri|sm , i=1,...,L son independientes (ver prueba C del Ap. F ).

Caracterización estadística de las coordenadas de la señal recibida (cont.):

- Ahora que ya se tiene caracterizada la fdp, se pasa a establecer el criterio de decisión óptimo: decidir que símbolo se ha transmitido con la mínima probabilidad de error

- Por tanto la fdp conjunta de recibir las coordenadas r=(R1,…,RL), supuesto que se ha transmitido la señal sm(t), se obtiene multiplicando las individuales:

Notar que:

- Se puede hacer un desarrollo similar al del caso binario para minimizar la PE de símbolo:

(caso binario)

(caso M-ésimo)


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- Las probabilidades de error condicionadas se pueden obtener a través de probabilidades de acierto y se calculan gracias a la fdp conjunta obtenida anteriormente:

Dm es la región de decisión en el subespacio de señal que se asigna a

cada señal sm y dr=dr1dr2..drL

Criterio de decisión óptimo para minimizar la PE de símbolo:

- Con estos datos se procedería a decidir la señal sj que da una probabilidad de error mínima para cada r recibido, dando lugar a las regiones de decisión en el subespacio de señal. Este desarrollo sería la generalización de la regla de decisión y el umbral en los receptores binarios.

- La justificación formal de la decisión óptima se obtendría con el criterio MAP (Maximum A Posteriori probablity) definido en el Ap. G.

- Cuando todos los símbolos tienen la misma probabilidad de ser transmitidos (símbolos equiprobables), el criterio MAP se convierte en decidir la señal sj más cercana a la recibida, que es la idea intuitiva que apareció en la pag. 22.

- Por tanto, el subespacio de señal se divide en M regiones Dm (m=1,…,M) tales que si la señal recibida cae en una de ellas, se decide la señal sm.


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Criterio de decisión óptimo para minimizar la PE de símbolo (cont.):

… “0100”…

DE

CIS

OR

ÓP

TIM

O

Dadas las coordenadas de la señal recibida R=(R1,R2,…,RL), calcular la distancia a todas las señales sm para poder elegir la señal sj más cercana y devolver su símbolo asociado

… …

- Cada región Dm es el conjunto de puntos cuya distancia a sm es menor que a cualquier otra señal de la constelación

- A diferencia del caso binario, no se tiene una expresión de la PE del receptor de M señales óptimo, y se debe calcular de manera particular para cada modulación M-aria (ver tema IV.4).

- Existen implementaciones alternativas a este receptor (ver Ap. H).


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Ap. E: Conceptos de espacios vectoriales

Producto escalar entre señales de energía finita:

(se considera el caso de señales complejas por

generalidad)

- Si las señales fueran de potencia (energía infinita), el producto escalar se definiría de la siguiente forma, conservando las mismas propiedades.

Norma de una señal:

Ap. E: Conceptos de espacios vectoriales. 32ver. 0

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Distancia entre dos señales:

Desigualdad de Schwarz:

(la norma y la distancia son números reales positivos o nulos, el producto escalar es un número complejo)

Ap. E (cont.):

- Definición del coeficiente de correlación ρ (número complejo en general) y del ángulo entre dos señales reales

- Definición: dos señales son ortogonales si su producto escalar es nulo(↔coeficiente de autocorrelación nulo).

“Desig. Triangular”

- Definición: dos señales son paralelas si su ángulo es 0 ó π:

- Definición: dos señales son antipodales si r(t)=-s(t):

“Desig. Schwarz”


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Ap. F: Señal de ruido en el espacio vectorial de señales (opcional)

- Prueba A). Demostración de que la componente de ruido n´(t)es ortogonal a la componente dentro del subespacio de señal:

- Prueba B). Las coordenadas son variables aleatorias gaussianas independientes.

- Las coordenadas del ruido {Ni} son variables aleatorias gaussianas e incorreladas entre si →son estadísticamente independientes

Ap. F. Señal de ruido en el espacio vectorial de señales. 34ver. 0

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- Prueba C). Las coordenadas Ri son estadísticos suficientes para realizar la detección ↔↔ no se puede extraer ninguna información del ruido n’(t) ↔↔ el ruido n’(t) es estadísticamete independiente de las coordenadas Ri

- El proceso estocástico n’(t) y las variables aleatorias {Ri} son gaussianos e incorrelados →son estadisticamente independientes

Ap. F (cont.):

- Las coordenadas de la señal recibida {Ri}, supuesto que se transmite sm(t), son variables aleatorias gaussianas y estadísticamente independientes

- Prueba B) (cont.).


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Criterio de decisión MAP (Máximum A Posteriori probability).

- A) Se comienza con las siguientes definiciones:

• Probabilidad de error:

• Función densidad de probabilidad de recibir r:

• Probabilidad de acertar supuesto que se recibe r (se transmite sm, se recibe r=sm+n y se decide sm)

• Función densidad de probabilidad de recibir r supuesto que se transmite sm:

• Probabilidades a priori de trasmitir sm

• Probabilidad de errar supuesto que se recibe r:

Minimizar PE equivale a maximizar la probabilidad de acierto a posteriori:

A: se tx la señal sm(t)

B: se rx la señal r(t) dentro de un entorno que se hace tender a 0

- B) De acuerdo al teorema de Bayes:

Ap. G: Criterio de decisión MAP y ML (opc.)

Ap. G. Criterio de decisión MAP y ML. 36ver. 0

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- Si sólo se dispusiera de los estadísticos de la fuente, lo más lógico sería decidir siempre el símbolo que más probabilidad a priori tiene de enviarse:

- Sin embargo, se cuenta con la observación r para ayudar a la estimación. El detector óptimo (y por tanto el receptor óptimo) tendrá que maximizar la probabilidad de acierto a posteriori

- Puesto que fdp(r) no depende de m, la decisión óptima (para cada rrecibido, la función que asigna la señal decidida) será la siguiente

- Por tanto, el criterio MAP desemboca en dividir el subespacio de señal en M regiones Dm (m=1,…,M) alrededor de sm tales que si la señal recibida cae en una de ellas, se decide la señal sm

- A la vista de la expresión decopt (r) y la fdp(r|sm), en la decisión óptima sólo interviene la proyección de la observación r(t) sobre el espacio de señal (las coordenadas Ri)

Ap. G (cont.):

Ap. G. Criterio de decisión MAP y ML. 37ver. 0

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… “0100”…

Criterio de decisión MAP y ML

- Las regiones Dm en este caso se convierten en el conjunto de puntos cuya distancia a sm es menor que a cualquier otra

- Si los símbolos son equiprobables P(sm)=1/M, la decisión óptima se convierte en maximizar la fdp(r|sm).

- Basar la decisión en maximizar fdp(r|sm) se conoce como criterio de máxima verosimilitud (ML o Maximum Likelihood) y es lo que se haría si no se supieran las probabilidades de cada símbolo P(sm)

- ML y MAP son equivalentes para símbolos equiprobables:

DE

CIS

OR

ÓP

TIM

O

Dadas las coordenadas de la señal recibida R=(R1,R2,…,RL), calcular la distancia a todas las señales sm para poder elegir la señal sj más cercana y devolver su símbolo asociado

… …

Ap. G (cont.):


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Ap. H: Implementaciones equivalentes del receptor de M señales óptimo

Seleccionar la señal sj(t) tal que Cj es máximo

(↔ se decide la señal con menor dist. a la recibida)

… “0100”…

-

+

-

+

-

+

…

Esquema equivalente de receptor óptimo con M≥L filtros adaptados o correladores:

- Puesto que la decisión óptima se basa en aquella que minimiza la distancia, se ha hecho un receptor equivalente en el que se maximiza Cm:

Ap. H. Formas del rx de M señales óptimo. 39ver. 0

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Ap. H (cont.):

- Hallar la señal sj que está más cercana a la recibida es equivalente a hallar la señal sj

que maximiza Cj (la energía de la señal recibida no depende de m), es decir, la señal sj más parecida a la recibida r.

- La métrica Cm es la proyección de la señal recibida sobre sm (lo que se parecen), al que se le resta un término para compensar que la señales sm tengan distintas energías (si las Esm fueran iguales se podrían quitar los sumadores del receptor)

- Este esquema siempre necesitará un numero mayor o igual de correladores (o filtros adaptados) que el esquema de la pag. 25, ya que M≥L.

Para el caso M=2, el receptor de la pag anterior y el de la pag. 25 son equivalentes a los receptores binarios óptimos vistos en el tema IV.2 (por ej, ver pag. 44).

- Si todos son óptimos, tendrán la misma Pe (la mínima) y sus bloques decisoresserán equivalentes, como se va a demostrar en la sig. página.

“Pe del receptor binario óptimo (en cualquiera de sus versiones equivalentes)”

Ap. H. Formas del rx de M señales óptimo. 40ver. 0

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- En los receptores binarios óptimos del tema IV.2, el bloque final toma la decisión en base al valor de z(T) y al umbral γ:

- Primera posibilidad: si el valor muestreado z(T) es mayor que γ, se decide que se ha mandado s2(t) (un “1”). Equivalentemente:

- Hay dos posibilidades en la decisión. - Segunda posibilidad: si el valor muestreado z(T) es menor que γ, se decide que se ha

mandado s1(t) (un “0”). Equivalentemente:

- Por tanto, las siguientes reglas de decisión son equivalentes:

Ap. H (cont.):

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