TEMA Nº 1
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TEMA Nº 1
Conjuntos numéricos
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Aprendizajes esperados:
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.
• Percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente.
• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.
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• Aplicar las operaciones básicas y propiedades de los números racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).
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1. Números Naturales1.1 Consecutividad numérica
1.2 Paridad e imparidad
1.3 Números primos
1.4 Múltiplos y divisores
1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
1.6 Operatoria en los naturales
2. Números Cardinales
Conjuntos Numéricos
3. Números Enteros3.1 Operatoria en los enteros
3.2 Propiedades
3.3 Prioridad de las operaciones
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4.Números racionales (Q)
4.1 Propiedades de los racionales
4.2 Operatoria en los racionales
4.3 Transformaciones de números racionales
4.4 Comparación de fracciones
5. Números irracionales (Q*)
6. Números reales ( IR )
7. Números imaginarios ( II )
8. Números complejos ( C )
4.5 Secuencia numérica
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1. Números Naturales (N)
1.1 Consecutividad numérica
Conjunto de la forma:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir:• Sucesor
Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.
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n - 1 n + 1n
Naturales Consecutivos
• Antecesor:Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1
antecesor sucesor
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1.2 Paridad e imparidad• Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su
antecesor es 2n-2.
2n - 2 2n + 22n
Antecesor par Sucesor par
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Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1.
• Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 12n -1
Antecesor impar Sucesor impar
Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces
su antecesor es 2n-3.
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1.3 Números Primos
Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
Nota: El 1 no es primo.
1.4 Múltiplos y Divisores• Múltiplos
Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera.
Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.
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• Divisores Se llama “divisor” de un número, aquel valor que lo divide exactamente. (Está contenido en él, una cantidad exacta de veces)
Por ejemplo:
Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.
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• Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común.
Ejemplo:
-Algunos múltiplos de 3 son:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}
-Algunos múltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}
-Algunos múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,…}
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m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor).
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método:
3 6 15 3
4 2 5 2
1 5 5
1
Se divide por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m.
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• Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.
Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
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El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.
(Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor).
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método:
36 18 24 2
18 9 12 3
6 3 4
Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6
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1.6 Operaciones en IN• Adición, sustracción, multiplicación y
división
Esta información se encuentra en tu libro en la página 18.
Propiedades de la Adición:
a) Clausura:
b)Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:
La suma de dos números naturales es siempre un natural.
Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12
a + b = b + a
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c) Asociativa:
Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:
a + (b+c) = (a+b) + c
Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) + 9 13 + (14) =(18) + 9 27 = 27
Nota: En los naturales no existe neutro aditivo.
Propiedades de la Multiplicación:a)Clausura:
El producto de dos números naturales es siempre un natural.
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4 ∙ (15) = (20) ∙ 3
Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:
Por ejemplo: 4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙ 3
Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34
a (b∙c) = (a∙b) c
b)Conmutativa:
c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:
Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1.
Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.
a∙b = b∙a
170 = 170
60 = 60
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2. Números Cardinales ( N0)Conjunto de la forma:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
2.1 Operaciones en IN0
• Adición, sustracción, multiplicación y división
Si a es un número cardinal, entonces:
En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”.
a + 0 = 0 + a = a
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3. Números Enteros (Z)Conjunto de la forma:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito.
Se puede representar como: Z = Z- U IN0
Z = Z- U {0} U Z+
Recta numérica:
Z- Z+
0-3 -2 -1 1 2 3
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Valor absoluto:
El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5 505 unidades 5 unidades
Luego, |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…
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3.1 Operaciones en Z
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos:
Si a y b son números enteros entonces, se cumple que:
a) a + -b = a – b Ejemplo: 5 + - 9 = 5 – 9 = -4
Ejemplo:
b) a – (-b) = a + b
12 – (-8) = 12 + 8 = 20
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c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene.
Ejemplo:
25 + 8 = +33
d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos,
conservando el signo del mayor.
Ejemplo:
-10 + 7 = -3
75 + -9 = +66
-5 + - 9 = -14
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-42 ∙ -8 = + 336
e) Si a y b son dos números enteros de igual
signo (positivos o negativos), entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es positivo.
f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo,
entonces:
- El producto y el cuociente entre ellos es negativo.
Ejemplo:
Ejemplo:
28 : 7 = + 4
125 : -5 = -25
37 ∙ -5 = -185
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3.2 Propiedades
La suma de números enteros cumple con la propiedad Conmutativa y Asociativa.
Ejemplo:
(-3) + 2 = 2 + (-3)
-1 = -1
La suma en los números enteros tiene “elemento neutro”: el cero.
Ejemplo: (-8)+ 0 = -8
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3.3 Prioridad en las operaciones
Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como:
-5 + 15 : 3 - 3 = ?
¿Qué se resuelve primero?
El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es:
1° Paréntesis
2° Potencias
4° Adiciones y sustracciones
3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)
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Resolver : -5 + 15 : 3 - 3 = -5 + 5 – 3= 0 – 3
= – 3
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4.Números Racionales (Q)Es el conjunto de todos aquellos números que
se pueden escribir como fracción, es decir:
a
b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2; 7
0,489; 2,18; -0,647-1; 8
14; 3
15, 0
NO es racional
a: numerador y b: denominador
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Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0), y como
3 = , 3 es racional (3 Q). 3
1
IN IN0 Z Q
Todo número entero es racional.
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Diagrama representativo:
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4.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro)
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número.
6
6
Al amplificar la fracción por 6 resulta:2
3
=12
18
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Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número.
3
3=
9
15
Al simplificar la fracción por 3 resulta:27
45
27 :
45 :
• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9es: 9
2
Ejemplo:
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4.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro)
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15+
7
15=
11
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15+
7
45=
2∙3 + 7∙1
45=
6 + 7
45=
13
45
4
15-
7
15=
-3
15y
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3. Si los denominadores son primos entre sí:
5
12 +
7
18=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36= =
29
36
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4
5 +
7
8=
4∙8 + 5∙7
40
32 + 35
40= =
67
40
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-4
5 ∙
8
7=
-32
35=
• Multiplicación:
Ejemplo:-4
5
7
8= ∙
-28
40=
28
40-
• División:
Ejemplo:-4
5 :
7
8=
32
35-
• Número Mixto:
Ejemplo:
8 3 5 =
8∙5 + 3
5=
43
5
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4.3 Transformación de números racionales (pág. 24 del libro)
• De fracción a decimal:
Ejemplo:
Se divide numerador por denominador.
7 4
= 1,75
• De decimal finito a fracción:
Ejemplo:
El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.
100175 =1,75 = 7
425∙7 25∙4
=
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• De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99
Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376999 999
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3,21 = 321-32 = 289 9090
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma, y el período.
Ejemplo:
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4.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)
• Multiplicación cruzada:Ejemplo:
Al comparar
(Multiplicando cruzado)13
15
9
10y
13 ∙ 10 y 15 ∙ 9
130 y 135
Como 130 < 135, entonces: 13
15
9
10<
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• Igualar denominadores:Ejemplo:
13
15
7
12Al comparar
y (Igualando denominadores)
13∙4
15∙4
7∙5
12∙5
y
52
60
35
60y
Como 52 > 35, entonces 13
15
7
12>
![Page 41: TEMA Nº 1](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022081513/56813b5b550346895da450a1/html5/thumbnails/41.jpg)
• Transformar a decimal:Ejemplo:
13
15
7
12Al comparar
(Transformando a decimal)y
13
15= 0,86666666…
7
12= 0,58333333…
13
15
7
12>Como 0,86 > 0,583 , entonces
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Ejemplo:
En la secuencia: 6 ,5
16 , 5
26 , 5
36 , ... 5
¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?
1 ,5
De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .
5
Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.
65 5
1 ,5
65 = 13 5
Es decir:
Respuesta:
4.5 Secuencia Numérica
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Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:
1 + 1 ,5
1 + 3 ,5
1 + 5 ,5
1 + 7 , 5
1 + 13…5
... ,
1° 2° 3° 4° ... , 7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es , más un número impar, lo que se expresa como: 15
1 + (2n - 1)5
(Con n = posición del término)
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Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
5. Números Irracionales (Q*)
,....,,2,3..... Q* =
Q U
Q*=
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6. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2; 7
2,18; ;2 23,491002
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7. Números imaginarios (II)Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,26 ,4 4 16,25
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8. Números complejos (C)Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios.
Ejemplos: ,26 5, -68, -1; 8
-0,647
Diagrama representativo:
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Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 28.