Teoria de sistemesIntroducció a la modelització

Qu

è és

un

mo

del

?Q

uè

és u

n m

od

el?

Èmfasi en aspecte formal, artístic del cotxe

Qu

è és

un

mo

del

?Q

uè

és u

n m

od

el?

Model esquemàtic, transformador de matèria i energia

Qu

è és

un

mo

del

?Q

uè

és u

n m

od

el?

Diagrama de sistema, incloent reguladors de flux

Qu

è és

un

mo

del

?Q

uè

és u

n m

od

el?

Anàlisi verbal de components i funció

un

mo

del

?Q

uè

és u

n

Part d'un cicle global de carboni/energia

Qu

è és

un

mo

del

? Diferents…

• Perspectives

• Components

• Nivell de detall (holisme vs. reduccionisme)

Qu

è és

un

mo

del

?

• Nivell de detall (holisme vs. reduccionisme)

• Nivell de formalització

DIFERENTS OBJECTIUS

L'escolament és directament proporcional

L'escolament és directament proporcional

Tip

us

de

mo

del

s

1. Verbals (teories)

2. Gràfics

3. Matemàticsdirectament proporcional al volum de precipitació

directament proporcional al volum de precipitació

Tip

us

de

mo

del

s

3. Matemàtics

4. Informàtics

Per

a q

uè

serv

eixe

n e

ls m

od

els?

1. Comprendre millor els sistemes

2. Integrar i sintetitzar coneixements

3. Predir

4. Disposar d’eines per a la gestió i la presa de decisions

5. Explorar el comportament de sistemes en els

Per

a q

uè

serv

eixe

n e

ls m

od

els?

5. Explorar el comportament de sistemes en els quals la manipulació seria cara, lenta, de dimensions excessives o èticament reprovable

NO HI HA UN MODEL MILLOR/PITJOR

DEPÈN DELS OBJETIUS

Teo

ria

de

sist

emes

Economia – relacions comercials Ecologia – relacions mutualistes

Teo

ria

de

sist

emes

Sociologia– relacions personals

Electrònica – cara/creu

BIODIVERSITAT I FUNCIONALITAT DE L’ECOSISTEMA: ANÀLISI DE XARXES MUTUALISTES

Jordi Bascompte

Teo

ria

de

sist

emes

Pedro Jordano

Ricard V. Solé

Teo

ria

de

sist

emes

BIODIVERSITAT I FUNCIONALITAT DE L’ECOSISTEMA: COMPLEXITAT I FRAGILITAT

Nombre d’espècies

(En blanc, funcions potencials)

Teo

ria

de

sist

emes

Solé i Montoya, 2001

Nombre d’espècies

ConnectànciaTeo

ria

de

sist

emes

BIODIVERSITAT I FUNCIONALITAT DE L’ECOSISTEMA: ANÀLISI DE XARXES MUTUALISTES

Teo

ria

de

sist

emes

Teo

ria

de

sist

emes

QUANTIFICACIÓ DE LA BIODIVERSITAT

MÈTODES: ÍNDEXS DE DIVERSITAT I EQUITATIVITAT

La teoria de la informació es basa en el concepte d’entropia, formulat per C. Shannon (1948) (BellLab.) A partir d’aquesta expressió és senzill veure que hi ha una relació entreentropia, informació o diversitat i el nombre de preguntes binàries (de sí/no, 1/0) que calformular per a identificar l’estat en què es troba un objecte d’una població o grupd’observacions.

1) Tots els objectes són idèntics. No cal fer cap pregunta per a predir en quin estat es troba unobjecte concret (a quina classe pertany). H=0

2) La meitat dels objectes es troba en un estat, l’altre meitat en l’altre. Només cal fer unapregunta (ex. l’objecte es troba en l’estat 1?)… I per tant H=1

GRUP D’OBSERVACIONS

Teo

ria

de

sist

emes

3) Si es consideren quatre estats possibles, caldrà fer un mínim de dos qüestions binàries per a conèixer l’estat d’un objecte triat a l’atzar, i aleshores H=2

Qüestió binàriaESTAT 1p(a1)=1/2

ESTAT 2p(a2)=1/2

ESTAT 1p(a1)=1/4

ESTAT 2p(a2)=1/4

GRUP D’OBSERVACIONS

ESTAT 3p(a1)=1/4

ESTAT 4p(a2)=1/4

Teo

ria

de

sist

emes

Fixeu-vos que H’=0, H’=1 i H’=2 serien les estimacions de la diversitat de Shannon que calcularíem amb l’expressió H’=-SUM(pi log2 pi)) si ho haguérem calculat per a pi=1, pi=1/2 i pi=1/4 (casos 1, 2 i 3), ja que amb màxima equitativitat, H’=log2 S (on S=1, 2 i 4 estats o espècies, respectivament)

ÍNDEX DE SIMPSON

diversitat D = 1/∑(Pi2)

equitativitat Dmax = S; E = D/Dmax = (1/∑(Pi2))(1/S)

ÍNDEX DE SHANNON

QUANTIFICACIÓ DE LA BIODIVERSITAT

MÈTODES: ÍNDEXS DE DIVERSITAT I EQUITATIVITATTe

ori

a d

e si

stem

es

diversitat H = -∑(Pi log2 Pi)

equitativitat J = H/Hmax = -∑(Pi log2Pi)/log2S

Comunitats pioneres, pertorbades, contaminades, sobre-explotades 1-3

Fitoplàncton 2’5

Comunitats madures 4-5

Màxim observat 5’3

Valors típics de l’índex de Shannon

Teo

ria

de

sist

emes

Calcula la diversitat de paraules de la última línia de text que has escrit

SISTEMAConjunt de regles o elements que ordenats contribueixen a una finalitat

Conjunt d'elements interrelacionats

Teo

ria

de

sist

emes

Conjunt d'elements interrelacionats

MODELRepresentació formal d'un sistemaTe

ori

a d

e si

stem

es

REALITAT

SISTEMA 1 MODEL 1

Teo

ria

de

sist

emes

FINALITATS, MITJANS, IDEOLOGIA (CULTURA)

SISTEMA 2

SISTEMA 3

MODEL 2

MODEL 3Teo

ria

de

sist

emes

UTILITAT

REALISME

Sist

emes

din

àmic

sSISTEMES ESTÀTICS SISTEMES DINÀMICS

Independents del temps Funció del temps

Sist

emes

din

àmic

s

Sist

emes

din

àmic

sPROJECCIÓTendència

PREVISIÓEvolució d’un model determinista

SIMULACIONS

Sist

emes

din

àmic

s

SIMULACIONSGeneració de possibles estats del sistema (imatges) mitjançant un model, davant de diferents hipòtesis o escenaris (és a dir, davant de diferents combinacions de paràmetres, valors inicials dels nivells i evolució de variables externes)

Sistemes dinàmicsP

RO

JECC

IÓ: Ten

dèn

cia

Variable Y

Sistemes dinàmics

Variable Y

Variab

le X

Sist

emes

din

àmic

s

Var

iab

le Y

PREVISIÓ: Evolució model determinista

Assenyala les variables, constantsi paràmetresd’aquesta equació

Sist

emes

din

àmic

s

Var

iab

le Y

Variable X

Y = a + ebX

Sist

emes

din

àmic

s

Var

iab

le Y

SIMULACIONS: possibles estats del sistema

Escenari 2Escenari 1

Escenari 3

Sist

emes

din

àmic

s

Var

iab

le Y

Variable X

bt

tt aN

RNN

)1(1 +=+

Model discret de competència intraespecíficaDeterminisme impredictible

dinà

mic

sS

iste

mes

TIPUS D'ESTABILITATResistència, resiliènciaSi

stem

es d

inàm

ics

Sist

emes

din

àmic

s

ESTABILITAT D'UN SISTEMA

Constància o persistència: capacitat d'un sistema de no canviar.

Resistència o inèrcia: taxa de canvi en resposta a una pressió externa. Un sistema inert és aquell capaç de resistir fluctuacions externes.

Resiliència: tendència d'un sistema a tornar a l'estat inicial

Sist

emes

din

àmic

s

Resiliència: tendència d'un sistema a tornar a l'estat inicial després d'una pertorbació.

Elasticitat i amplitud: mesures de resiliència. Elasticitat és la velocitat amb què un sistema torna a l'estat original. Amplitud és una mesura de la magnitud de la variació que pot experimentar un sistema, mantenint la seua capacitat de tornar a l'estat original.

Sist

emes

din

àmic

s

Canvi en el paràmetre: temperatura, pH...

Canvi en l'estat de la variable: densitat població,

Estat inicial Pertorbació Pertorbació inversa

Sist

emes

din

àmic

s

Canvi en l'estat de la variable: densitat població, Nº individus reproductius...

Beisner et al., 2003. Front. Ecol. Environ. 1(7)

Sist

emes

din

àmic

s

Estat inicial Pertorbació Pertorbació inversa

Sist

emes

din

àmic

s

Nutrients

Scheffer i al., 2001. Nature 413

Sist

emes

din

àmic

s

Sistemes dinàmicsH

ISTÈRESI

Sistemes dinàmics

Sistemes dinàmicsB

ifurcacio

ns

Sistemes dinàmics

A l'exemple anterior es representa amb un model gràfic les variacions del flux de formigues en funció de les dimensions de la població

Sist

emes

din

àmic

s

Recordeu:Fase 1. Pels dos orificis.Fase 2. Alternativament per un o altre.Fase 3. Predominantment per un d’ells.Si

stem

es d

inàm

ics

Sist

emes

din

àmic

sMODELS D'ESTAT I TRANSICIÓ

Sist

emes

din

àmic

s

M. Derak (2011)

Sistemes dinàmicsC

atàstrofes

Sistemes dinàmics

CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS D'UN SISTEMA

•Elements (endògens/exògens)

•Relacions

•Límits

Teo

ria

de

sist

emes

CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS D'UN SISTEMA

•Elements (endògens/exògens)

•Relacions

CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS D'UN SISTEMA

•Elements (endògens/exògens)Te

ori

a d

e si

stem

es

COMPARTIMENT (pool, compartment; compartimento): material amb unes determinades característiques físiques, químiques o biològiques, sota unes determinades condicions.

FLUX (flux; flujo): quantitat de material, energia o informació transferida des d'un compartiment

Teo

ria

de

sist

emes

informació transferida des d'un compartiment (variable d'estat) a un altre per unitat de temps.

FONT (source, fuente): Origen d'un flux.

EMBORNAL (sink, sumidero): Destinació d'un flux.

BALANÇ : Revisió de les fonts i els embornals que afecten un compartiment

Teo

ria

de

sist

emes

CARACTERÍSTIQUES FUNCIONALS D'UN SISTEMA

•Vàlvules que controlen els fluxos

•Retards (efectes hereditaris, inèrcia)

•Bucles de retroalimentació, cadenes de causalitat o

Teo

ria

de

sist

emes

•Bucles de retroalimentació, cadenes de causalitat o influències circulars

Teo

ria

de

sist

emes

Dia

gram

es c

ausa

lsRelacions causals

Depressius (reguladors o estabilitzadors):

Bucles de retroalimentació

Dia

gram

es c

ausa

ls

Explosius:

Dia

gram

esca

usa

ls

Pells al mercat de Londres (x1000)

Dia

gram

es

Més de dos interaccionsD

iagr

ames

cau

sals Simples

Complexos o superposats

Només signes + � Explosiu

Només signes - � Explosiu (parell) o depressiu ( imparell)

Combinat � Si Σ– és parell: explosiu, imparell: depressiu

Dia

gram

es c

ausa

ls

Complexos o superposats

Combinacions complexes difícils de predir

Grafica els bucles de causalitat simple que descriuen les interaccions ecològiques a les costes de l'oest dels EUA.

Dia

gram

es c

ausa

lsD

iagr

ames

cau

sals

CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS DELSMODELS MATEMÀTICS

Elements (variables i paràmetres). Definició precisad'un element de magnitud variable en el temps.Endògens (variables dependents) i exògens (variables

Teo

ria

de

sist

emes

independents o explicatives)

Relacions. Relacions funcionals o funcions querelacionen variables i paràmetres (equacions). Xarxes.

Teo

ria

de

sist

emes

Teo

ria

de

sist

emes

VARIABLES ENDÒGENES

CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS DELS MODELS MATEMÀTICS

Teo

ria

de

sist

emes

VARIABLES EXÒGENES

PARÀMETRES

Y1=A+B X1 + C Y2

Y2 = B X2 eD

Sist

emes

din

àmic

sdY1/dt = f (X, Y, Θ)dY2/dt = f (X, Y, Θ)Y = f (X, Θ , T, Y0)

On Θ correspon a paràmetre(s) i T a temps

Y

constant

Y

lineal

Y

exponencial

Sist

emes

din

àmic

s

Temps

Y

Temps

Y

Temps

Y

Temps

Y

sigmoide

Temps

Y

oscil·latòria

Temps

Y

oscil·latòria atenuada

PROCÉS D'ORDRE ZERO: Si es tracta d'un flux d'eixida independent del volum del compartiment.

PROCÉS DE PRIMER ORDRE: Si es tracta d'un flux d'eixida proporcional a les dimensions del

Teo

ria

de

sist

emes

d'eixida proporcional a les dimensions del compartiment (F = k M)

PROCESSOS D'ORDRE 2, 3,…: F = k Mα on α>1

Teo

ria

de

sist

emes

Si considerem un procés de primer ordre, descriu gràficament en un model DISCRET l'evolució del compartiment (C) en relació al temps (t), considerant que k=0,5 i que el flux (F) és d'eixida (no hi ha flux d'entrada).

F=kMM

Pro

cess

os

d'o

rdre

1

t

Pro

cess

os

d'o

rdre

1

Considerant que l'entrada d'aire troposfèric a l'es tratosfera és del 75 % cada any i que l'atmosfera es comporta com un siste ma estable amb una cada any i que l'atmosfera es comporta com un siste ma estable amb una dinàmica d'ordre 1, calcula la taxa de renovació (k ) de l'aire a l'estratosfera.

En el cas continu:

lnlnln

1

tto

MtMo

t

to

Mt

Mo

toktkMoMtktM

dtkdMM

dtkM

dMMk

dt

dM

⇒⋅−⋅=−⇒=⇒

⋅=⋅⇒⋅=⇒⋅= ∫∫

Pro

cess

os

d'o

rdre

1

)()(ln totkeMo

Mttotk

Mo

Mt −=⇒−=⇒

kttkee

Mo

Moe

Mo

Mt

MoMt

tktkkt 693.0693.05.0

5.0

5.0

=⇒⋅−=−⇒=⇒=⋅⇒=

⋅=

⋅−⋅−−

I la vida mitjana: K: Taxa de renovació (F/M, T-1)TMR: Temps mitjà de residència (1/k, M/F, T)

Pro

cess

os

d'o

rdre

1

Considerant que l'entrada d'aire troposfèric a l'es tratosfera és del 75 % cada any i que l'atmosfera es comporta com un siste ma estable amb una dinàmica d'ordre 1, calcula la taxa de renovació (k ) de l'aire a l'estratosfera i el temps mitjà de residència (TMR).

A continuació, utilitza el model continu per a estim ar quin percentatge de les emissions que arribaren a l'estratosfera despré s de l'erupció del volcà Eyjafjallajökull (abril de 2010) quedaran allà a l' abril de 2014

Considerant que el flux d'aire troposfèric a l'estratosfera és del 75 % cada any i que l'atmosfera es comporta como un sistema estable amb una dinàmica d'ordre 1…

Calcula el temps mitjà de residència de l'aire a l'estratosfera (TMR) i la taxa de renovació (k)

Utilitza el model continu per a estimar quin percentatge de les emissions que arribaren a l'estratosfera després de l'erupció del volcà Eyjafjallajökull quedaran allà a l'abril de 2014.

Pro

cess

os

d'o

rdre

1

anysTMR

anysTMRK

MF

FMTMR

_3.175.01

_75.01

75.0

1

)==

==

=

=

− 05.0

_4

3475.0*0

*

*0

*

===

=⋅=

−×−

−

eeM

M

anyst

eMM

t

ktt

Pro

cess

os

d'o

rdre

1

1. Calcula la taxa de renovació del N en un llac considerant que es tracta d'un sistema estable d'ordre 1 , el llac té 10 Hm3, la concentració de N en les seues aigües és de 1 ppm i rep unes entrades anuals de 200 kg N.

Pro

cess

os

d'o

rdre

1

entrades anuals de 200 kg N.

2. Quant de temps haurà de transcórrer, després d'eliminar les fonts de N per a que els nivells de N es redueixen a un terç dels actuals?P

roce

sso

s d

'ord

re 1

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma A partir dels diagrames causals, amb un major nivell de formalització...

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

http://en.wikipedia.org/wiki/System_dynamicshttp://ssmworld.mit.edu/streams/reunion2002/forrester_20010521.html

J.W. FORRESTER

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Núvol: font/embornal, en la pràctica inesgotable.

Variable d'estat: nivell, estoc o acumulació de flux

Variable auxiliar: ajuda a explicar el valor d'un flux.

Paràmetre: taxa, magnitud constant en qualsevol dimensió.

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Variable de flux: variació de nivell, canvi en estat d'un sistema

Canal de matèria: acció d'un flux sobre un nivell en relació a la matèria

Canal d'informació: acció d'un flux sobre un nivell en relació a la informació

Retard: transmissió d' informació no immediata (període més llarg que l'escollit com a unitat temporal de l'anàlisi)

Variable exògena: independent, no es veu afectada pel sistema

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma Algunes regles

1. Canal de matèria: s'ha d'establir entre núvol i nivell, o entre nivells

2. Canal d'informació: connecta causes i efectes; mai aniran de variables endògenes a exògenes

3. Canal d'informació: no connecta

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

3. Canal d'informació: no connecta variables de flux amb variables d’estat, sinó al revés.

4. Es poden establir relacions funcionals alternatives (condicionals o de clip): Y1=f(X), Y2=f(Z), Y=MAX(Y1,Y2)

5. Quan una variable influeix sobre ella mateixa s'utilitza un símbol de retard

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Dibuixa un diagrama causal sobre algun aspecte relatiu al canvi climàtic

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Diagrames causalsDiagrames causals

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma Dibuixa un diagrama causal a partir d’aquesta foto

3 4 . 2 7 L

Apertura aixeta

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

aixeta

Flux benzina

Nivelldipòsit

Diferència40 € - nivell

dipòsit

Model verbal: Aquesta xica vol omplir el seu dipòsit de benzina fins els 40 L

Anàlisi funcional del sistema

PO

BLA

CIÓ

DEFU

NC

ION

S

Taxa de d

efun

cion

s

MIGRACIONS

Anàlisi funcional del sistema

NA

IXEM

ENTS

Taxa de n

aixemen

ts

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

calor

pèrdua de calor

Factor de pèrdua

temperatura

discrepància

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

calor

generació de calor

discrepància

Temperatura desitjada

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

3 4 . 2 7 L

Ara intenta-ho amb un diagrama de Forrester

Benzinera

40 L

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Benzinera

Dipòsitcotxe

Discrepància

Model verbal: Aquesta xica vol omplir el seu dipòsit de benzina fins els 40 L

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Dibuixa un diagrama de Forrester que tinga en compte la competència intraespecífica en la natalitat

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Població A

Morts

Discrepància

KA

dNA/dt = rANA (KA-NA)/KA

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma POBLACIÓ

NAIXEMENTS

Taxa de naixements

Naixements

Població ADiscrepància

r

Competència intraespecífica (natalitat)

dNA/dt = rANA (KA-NA)/KA

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Ara intenta fer un diagrama de Forrester que tingaen compte la competència intraespecífica i la inter-específica en la natalitat

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Població A

Morts

Discrepància

KA

Població B

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma POBLACIÓ

NAIXEMENTS

Taxa de naixements

Naixements

Població ADiscrepància

r

Població B

αAB

Competència intra+interespecífica (natalitat)

dNA/dt = [rANA (KA-NA)/KA] - NBαAB

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Anàlisi funcional del sistemaA

ltres represen

tacion

s form

als: Od

um

Anàlisi funcional del sistema

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma Recopilant... Fases de la modelització

1. Descripció del sistema. Identificació dels seus elements i relacions fonamentals

2. Diagrama causal

3. Definició precisa de cada magnitud, còdec de variables

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

1. Descripció del sistema. Identificació dels seus elements i relacions fonamentals

2. Diagrama causal

3. Definició precisa de cada magnitud, còdec de variables

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

5. Sistema de equacions

6. Calibratge

7. Anàlisi de sensibilitat

8. Contrastat

9. Simulació

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

5. Sistema de equacions

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma Calibrat

Assignar valors als paràmetres i valors inicials a les variables d'estat. En ocasiones pot ser el principal objectiu de la modelització (per exemple, quan la variable dependent siga la més coneguda).

•Cerca bibliogràfica

•‘Best guess’, opinió experta...

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

•Experimentació

•Sintonització amb resultats o comportaments coneguts del model (assaig i error). Mètodes de re-mostreig (Bootstrapping, Jackknifing).

UNITAT VAR X VAR Y

1 X1 Y1

2 X2 Y2

3 X3 Y3

4 X4 Y4

MO

DEL

Mètodes de re-mostreig

CA

LIBR

AC

IÓ

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

4 X4 Y4

5 X5 Y5

6 X6 Y6

7 X7 Y7

MO

DEL

CA

LIBR

AC

IÓ

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma Anàlisi de sensibilitat

Avaluació de canvis en les variables endògenes com a conseqüència de variacions en el valor dels paràmetres.

Fase important en el procés de calibrat

Peso actual

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Contrastat

Grau d'ajust entre model i fets observats

Cóm es mesura aquest ajust?

Normes de convergència: (Yc-Yo)/Yo < εOn Yc = valor estimat o previst, Yo = valor observat i ε és l'error admissible

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

On Yc = valor estimat o previst, Yo = valor observat i ε és l'error admissible

A més, aquesta fase es pot utilitzar per a escollir el “millor” model…An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Suma de Quadrats Residual

Y D

ata

468

1012141618

Y=Yo+a*XRSS=24.4p<0.0001

Y=Yo+a*X+b*X^2+c*X^3RSS=13.8p<0.0003

Contrastat

Quan hi ha diversos models possibles... Cóm optar per un o altre?A

nàl

isi f

un

cio

nal

del

sis

tem

a

X Data

0 2 4 6 8 10 12

02

X Data

0 2 4 6 8 10 12

Y D

ata

02468

1012141618

Y=Yo+a*X+b*X^2RSS=23.9p<0.0002

Y=a*X^bRSS=24.5p<0.0001

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

Contrastat

AIC: CRITERI D'INFORMACIÓ D'AKAIKEA

nàl

isi f

un

cio

nal

del

sis

tem

a

AIC = 2k – 2 ln(L)

Nombre de paràmetres

Funció de versemblança

An

àlis

i fu

nci

on

al d

el s

iste

ma

AIC = n ln(RSS/n) + 2k + C

Es pot obviar en comparacions entre

models

Suma de quadrats residual

Nombre de mostres

RECURSOS

• Martínez, S. Requena, A. (1986). Dinámica de sistemas. 1. Simulación por ordenador. Alianza Editorial. Madrid.

• Aracil, J. i Gordillo, F. (2002). Dinámica de sistemas. Alianza Universidad Textos. Madrid.• Caselles, A. (2008). Modelización y simulación de sistemas complejos. Publicacions de la Universitat

de València. València. http://www.uv.es/~caselles/Mod1.pdf• Jorgensen, S. i Bendoricchio, G. Fundamentals of ecological modelling. 3a ed. Developments in

Environmental Modelling 21. Elsevier. Oxford.• http://www.slideshare.net/jaisraal/modelos-de-simulacion• http://www.slideshare.net/jaisraal/modelos-de-simulacion