Tema VI (Funciones Cuadráticas)

Tema VIFunciones Cuadráticas

Precálculo

Función Cuadrática

2

Una es una función que puede ser

escrita en la form

función cuadr

a

ática

0 .f x a x h k a

La gráfica de una función cuadrática tiene forma

de U y se conoce como una parábola.

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Vértice de una Parábola

• Si una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo.

• Si una parábola abre hacia abajo, tiene un punto máximo.

• Este punto más bajo o más alto es el vértice de la parábola.

• La forma del vértice de una función cuadrática es f(x) = a(x – h)2 + k.

• El vértice de la parábola es (h, k).

Forma del Vértice de una Función Cuadrática

2

kx af x h

Indica una reflexión a través del eje de x y/o una compresión o estiramiento vertical.

Indica una translación horizontal

Indica una translación vertical

Escribiendo Funciones Cuadráticas Transformadas

• Utiliza las siguientes descripciones para escribir las funciones cuadráticas en la forma del vértice.

1) La función f(x) = x2 es reflejada a través del eje de x, estirada verticalmente por un factor de 6 y trasladada 3 unidades a la izquierda para crear g.

2) La función f(x) = x2 es comprimida verticalmente por un factor de 1/3 y trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo para crear g.

3) La función f(x) = x2 es reflejada a través del eje de x y trasladada 5 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba para crear g.

4) La función f(x) = x2 es comprimida verticalmente por un factor de 1/3 y luego trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo para crear g.

Eje de Simetría

• El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de una parábola que divide la parábola en dos mitades congruentes.

• La función cuadrática f(x) = a(x – h)2 + k tiene el eje de simetría x = h.

Identificando el Eje de Simetría

• Identifica el eje de simetría para la gráfica de:

1. f(x) = 2(x + 2)2 – 3

2. f(x) = (x – 3)2 + 1

3. f(x) = -½(x + 5)2 – 8

Forma Estándar

• La forma estándar de una función cuadrática es f(x) = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0.

Propiedades de una Parábola

• Para f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, la parábola tiene las siguientes propiedades:

– La parábola abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.

– El eje de simetría es la recta x = -b/2a.

– El vértice es el punto (-b/2a, f(-b/2a)).

– El intercepto en y es c.

Graficando Funciones Cuadráticas en Forma Estándar

• Considera la función f(x) = x2 - 4x + 6.

– Determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo.

– Encuentra el eje de simetría.

– Encuentra el vértice.

– Encuentra el intercepto en y.

– Grafica la función.


• Considera la función f(x) = -4x2 - 12x - 3.







• Considera la función f(x) = -2x2 - 4x.






Valores Mínimos y Máximos

• Abre hacia arriba– Cuando una parábola abre hacia arriba, el valor de y del

vértice es un mínimo.– El dominio es todos los números reales.– El alcance es todos los valores mayores o iguales al

mínimo.

• Abre hacia abajo– Cuando una parábola abre hacia abajo, el valor de y del

vértice es un máximo.– El dominio es todos los números reales.– El alcance es todos los valores menores o iguales al

máximo.

Encontrando Valores Mínimos o Máximos

• Encuentra el valor mínimo o máximo de cada función. Luego establece el dominio y el alcance de la función.

1. f(x) = 2x2 – 2x + 5

2. f(x) = x2 – 6x + 3

3. f(x) = -2x2 – 4

Ceros de una función

Un es el valor de entrada

que hace que el valor de salida ( ) sea igual a

cero.

Los ceros de una función son

cero de un

los inter

a funció

ceptos e

n

n .

x

f x

x

x

y

Las coordenadas xson los ceros.

Raíces de una Ecuación

• La solución de una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 son raíces.

• Las raíces de una ecuación son los valores de la variable que hacen la ecuación cierta.

Propiedad del Producto Cero

• Para todo número real a y b,

– Si el producto de dos cantidades es igual a cero, por lo menos una de las cantidades es igual a cero.

– Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Encontrando Ceros por Factorización

• Encuentra los ceros de cada función por factorización.

1. f(x) = x2 – 8x + 12

2. g(x) = 3x2 + 12x

3. f(x) = x2 – 5x – 6

4. g(x) = x2 – 8x

5. f(x) = x2 – 4x – 12

6. g(x) = 3x2 + 18x

Encontrando Raíces Factorizando

• Encuentra las raíces de cada ecuación por factorización.

1. 9x2 = 1

2. x2 – 4x = -4

3. 25x2 = 9

4. x2 + 25 = 10x

Utilizando Ceros para Escribir Funciones

1. Escribe una función en forma estándar con ceros 2 y -1.



Propiedad de la Raíz Cuadrada

• Para resolver una ecuación cuadrática, puedes sacar la raíz cuadrada a ambos lados. Asegúrate de considerar las raíces positivas y negativas.

2Si y es un número real

no negativo, entonces .

x a a

x a

Resolviendo Ecuaciones Utilizando la Propiedad de Raíces Cuadradas

23) 4 20 5x 24) 8 16 49x x 25) 4 11 59x 21) 3 4 68x 22) 10 25 27x x

26) 12 36 28x x

Completando el Cuadrado

2

2Para completar el cuadrado de , suma .2

bx bx

2

2

2

2

2

bx bx

bx

2

2

2

2

2

6

66

2

6 9

3

x x

x x

x x

x

Completando el Cuadrado

• Completa el cuadrado para cada expresión. Escribe la expresión que resulta como un binomio cuadrado.

1. x2 – 2x + __2. x2 + 5x + __3. x2 + 4x + __4. x2 – 4x + __5. x2 + 3x + __6. x2 – 14x + __7. x2 + 9x + __

Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas ax2

+ bx + c = 0 por Completando el Cuadrado

2

1) Reúne todos los términos con variable en un lado de la ecuación y las constantes al otro lado.

2) Si es necesario, divide en ambos lados para hacer que el coeficiente que contiene sea 1.

3) Comple

x

2

ta el cuadrado sumando a ambos lados de la ecuación.2

4) Factoriza la expresión que contiene variables como un cuadrado perfecto.

5) Saca la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.

6) Resuel

b

ve por los valores de la variable.

Resolviendo una Ecuación Cuadrática Completando el Cuadrado

1. x2 = 27 – 6x

2. 2x2 + 8x = 12

3. x2 – 2 = 9x

4. 3x2 – 24x = 27

5. x2 = 12x – 20

6. 18x + 3x2 = 45

Escribiendo una Función Cuadrática en la Forma del Vértice

• Escribe cada función cuadrática en la forma del vértice e identifica el vértice.

1. f(x) = x2 + 10x – 13

2. g(x) = 2x2 – 8x + 3

3. f(x) = x2 + 24x + 145

4. g(x) = 5x2 – 50x + 128

5. f(x) = x2 + 16x – 12

6. g(x) = 3x2 – 18x + 7

Números Imaginarios

La unidad imaginaria está definida como 1.i

2 1f x x

Números Imaginarios

• Un número imaginario es la raíz cuadrada de un número negativo.

• Los números imaginarios se puede escribir de la forma bi, donde b es un número real e i es la unidad imaginaria.

• El cuadrado de un número imaginario es el número negativo original.

Simplificando Raíces Cuadradas de Números Negativos

• Expresa cada número en términos de i.

1) 3 16

2) 75

3) 12

4) 2 361

5) 633

6) 5 121

Resolviendo una Ecuación Cuadrática con Soluciones Imaginarias

• Resuelve cada ecuación

1. x2 = -81

2. 3x2 + 75 = 0

3. x2 = -36

4. x2 + 48 = 0

5. 9x2 + 25 = 0

Números Complejos

• Un número complejo es un número que puede ser escrito de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i = √-1

• a es la parte real, b es la parte imaginaria.

• Números reales son números complejos con b= 0.

• Números imaginarios son números complejos con a = 0.

Igualando Dos Números Complejos

• Dos números complejos son iguales si y solamente si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.

• Encuentra los valores de x y y que hacen cada ecuación cierta.

1. 3x – 5i = 6 – (10y)i

2. 2x – 6i = -8 + (20y)i

3. -8 + (6y)i = 5x - i√6

4. 4x + 10i = 2 – (4y)i

Encontrando Ceros Complejos de Ecuaciones Cuadráticas

• Encuentra los ceros de cada función.

1. f(x) = x2 – 2x + 5

2. g(x) = x2 + 10x + 35

3. f(x) = x2 + 4x + 13

4. g(x) = x2 – 8x + 18

5. f(x) = x2 + 10x + 26

6. g(x) = x2 + 4x + 12

Encontrando Conjugados Complejos

• El conjugado complejo de cualquier número complejo a + bi es el número complejo a – bi.

• Encuentra cada conjugado complejo.1. 2i – 15

2. -4i

3. 9 – i

4. i - √3

5. -8i

6. 8 + 5i

7. 6i

La Fórmula Cuadrática

2

2

Si 0 0 ,

entonces las soluciones, o raíces, son

4.

2

ax bx c a

b b acx

a

Funciones Cuadráticas con Ceros Reales

• Encuentra los ceros de cada función utilizando la Fórmula Cuadrática.

2 3 7f x x x

Funciones Cuadráticas con Ceros Reales


2 8 10f x x x

Funciones Cuadráticas con Ceros Complejos


22 2f x x x

Funciones Cuadráticas con Ceros Complejos


23 8f x x x

Discriminante

• El discriminante es la parte de la Fórmula Cuadrática que puedes utilizar para determinar el número de raíces reales de una ecuación cuadrática.

2 4b ac

Discriminante

2 2

2

2

2

El discriminante de la ecuación 0 0 es 4 .

Si 4 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales.

Si 4 0, entonces la ecuación tiene una solución real.

Si 4 0, entonces l

ax bx c a b ac

b ac

b ac

b ac

a ecuación tiene dos soluciones complejas.

Analizando Ecuaciones Cuadráticas Utilizando el Discriminante

• Encuentra el tipo y número de soluciones para cada ecuación.

2 4 8x x



2 4 2x x



2 30 12x x

Plano Complejo

• El plano complejo es un conjunto de ejes coordenados el eje horizontal representa números reales y el eje vertical representa números imaginarios.

Graficando Números Complejos

• Grafica cada número complejo.

1. -3 + 0i

2. -3i

3. 4 + 3i

4. -2 + 4i

Determinando el Valor Absoluto de un Número Complejo

• Encuentra cada valor absoluto.

1. |1 – 2i|

2. |23i|

3. |3 + 5i|

Sumando y Restando Números Complejos

• Suma o resta. Escribe el resultado de la forma a + bi.

1. (10 + 3i) – (10 – 4i)

2. (4 + 2i) + (-6 – 7i)

3. (5 – 2i) – (-2 – 3i)

Multiplicando Números Complejos

• Multiplica. Escribe tu respuesta de la forma a + bi.

1. (7 + 2i)(7 – 2i)

2. (6i)(6i)

3. -2i(2 – 4i)

4. (3 + 6i)(4 – i)

Evaluando Potencias de i

12

25

7

42

14

63

1) 3

2)

13)

2

4)

5) 6

6)

i

i

i

i

i

i

Dividiendo Números Complejos

3 7Simplifica .

8

i

i


3Simplifica .

2

i

i


3 10Simplifica .

5

i

i


2 8Simplifica .

4 2

i

i

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