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TEMA 2

BASES DE CLCULO

1. CRITERIO DE PLASTIFICACIN DEL MATERIAL. CRITERIO

DE VON MISES.

El estado tensional ms frecuente en estructuras metlicas es el estado plano o biaxial en el que todos los planos normales a una determinada direccin carecen de tensiones. Los criterios de plastificacin de una fibra o punto de una pieza tratan de definir una expresin, funcin matemtica de las tensiones del punto, denominada tensin de comparacin, co. Esta tensin de comparacin no es una tensin real que se pueda medir, es nicamente una funcin matemtica que depende del estado tensional y que sirve de referencia para conocer si en el punto de la pieza ha comenzado, o no, la plastificacin. La funcin matemtica que define la tensin de comparacin no se conoce con exactitud. Diferentes autores (Ranking, Treska, Von Mises) han desarrollado expresiones ms o menos ajustadas a los resultados experimentales conocidos. De todos ellos, el que mejor se adapta a los resultados experimentales es el criterio de Von Mises, postulado en 1913, y recogido unnimemente por todas las normas modernas de estructuras de acero. La expresin general espacial de la tensin de comparacin segn el criterio de Von Mises es la siguiente (ver figura 1):

co = [(I)+(II)+(III)-I*II-II*III-III*I] donde I, II y III seran las tensiones normales en los tres ejes principales del espacio, orientados de manera que slo tengamos tensiones normales y no aparezcan tensiones tangenciales, para unas solicitaciones dadas en la pieza (ver figura 1c).

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Figura 1 En un estado plano de tensiones (el ms habitual en el clculo de estructuras metlicas) III=0 y la expresin de Von Mises se simplifica. Si giramos los ejes de referencia y los alineamos con las direcciones principales de la pieza (eje X segn el eje de la barra, eje Z vertical y eje Y transversal horizontal), aparecern en general tambin tensiones tangenciales, establecindose en el CTE-DB-SE-A la siguiente expresin general para la tensin de comparacin co en comprobacin de piezas habituales sometidas a un estado plano de tensiones:

En dicha expresin las tensiones estn referidas a los ejes locales de la pieza X, Y, Z (ver figura 2, directamente obtenida del CTE, y ver figura 1b). En la figura 2 el eje X (no representado en la figura) sera el perpendicular al papel. El subndice d indica que las tensiones han de introducirse mayoradas.

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Figura 2. Dimensiones y ejes de las secciones En general la tensin zd es nula, y por tanto la expresin:

se reduce a: co = [(xd)+3*(xzd)] = [+3*] fyd La tensin de comparacin ser siempre menor que la resistencia de clculo fyd, donde:

fyd = fy / M siendo: fy: lmite elstico del acero M: coeficiente parcial de seguridad del material, que adopta los valores que se observan, obtenidos del CTE-DB-SE-A:

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*NOTA: hay un error en el CTE: donde dice pretensazo quiere decir pretensado 2. BASES DE CLCULO. ESTADOS LMITE LTIMOS. ESTADOS

LMITE DE SERVICIO. El clculo de cualquier estructura metlica requiere dos tipos de verificaciones:

A) Estabilidad y resistencia (estados lmite ltimos): Las verificaciones de estabilidad se materializan en las comprobaciones de estabilidad del conjunto del edificio (ante vuelco, deslizamiento, etc.). Las verificaciones de resistencia se materializan en el dimensionamiento de las piezas que componen la estructura (clculo a flexin, pandeo, torsin, etc) y el dimensionamiento de las uniones (soldadas o atornilladas).

B) La aptitud para el servicio (estados lmite de servicio): comprobaciones de flechas, desplazamientos laterales ante acciones horizontales, vibraciones, etc, que deben mantenerse por debajo de unos valores admisibles.

Estados lmite ltimos. Combinacin de acciones. Las combinaciones de acciones para estados lmite ltimos (flexin, pandeo, torsin, etc). se observan a continuacin, recogidas del CTE DB-SE:

Situaciones Persistentes:

Situaciones Extraordinarias:

Situaciones Ssmicas:

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Los coeficientes de mayoracin de acciones y coeficientes de simultaneidad son los establecidos en el documento de seguridad general del CTE (CTE DBSE), tablas 1 y 2 respectivamente:

Tabla 1

Tabla 2 Estados lmite de servicio. Combinacin de acciones.

Los estados lmite de servicio ms importantes son:

1. Flechas verticales en vigas y forjados 2. Desplazamientos horizontales 3. Vibraciones

Combinacin caracterstica: con acciones de corta duracin que pueden

provocar efectos irreversibles (por ejemplo la comprobacin de la flecha en un forjado de vivienda ante la sobrecarga de uso, cuyo valor puede

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producir daos en elementos no estructurales apoyados en l, como son la tabiquera y los revestimientos de suelo y techo. La rotura de estos elementos es un efecto irreversible, en el sentido de que se rompen)

Combinacin frecuente: con acciones de corta duracin que pueden provocar efectos reversibles (por ejemplo la comprobacin de la flecha en un forjado ante la sobrecarga de uso, que no tenga partes estructurales apoyadas en l. Aparte del aspecto esttico que ocasiona la flecha en la viga, nunca llegar a romperse nada, y cuando la sobrecarga disminuye la flecha desaparece).

Combinacin casi permanente: para los efectos que ocasionan las

acciones de larga duracin (por ejemplo para el clculo de la flecha diferida, en vigas mixtas hormign-acero)

Flecha total y flecha activa

La flecha total de un elemento horizontal (viga o forjado) es la flecha acumulada que sufre este elemento desde su colocacin en obra hasta el final de la vida del edificio. Esta flecha es la que habr que calcular para tener en cuenta criterios de confort del usuario del edificio, o por cuestiones de apariencia esttica de la obra. Los lmites de flecha total referente a estos aspectos son los siguientes, recogidos del CTE-DB-SE: a) Por cuestiones de confort del usuario, la flecha total del

elemento ser:

L/350 (calculada con la combinacin caracterstica) b) Por cuestiones de apariencia de la obra, la flecha total del

elemento ser:

L/300 (calculada con la combinacin casi permanente) donde L es el doble de la distancia entre el punto de mxima flecha (el centro del vano de la viga o el forjado) y el punto ms prximo de la estructura con deformacin nula (normalmente un pilar, o un muro).

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Para los casos donde queramos limitar la flecha para evitar rotura de elementos no estructurales (cerramientos, tabiques, soleras, revestimientos) la flecha a calcular es la que afecta a dicho elemento, lo que se conoce como flecha activa. Esta flecha se calcula solamente con las deformaciones que sufra la estructura (viga o forjado que sustenta el elemento no estructural) despus de colocado el elemento no estructural en cuestin. El lmite de flecha activa en este caso es el siguiente (segn CTE-DB-SE):

Para el caso de forjados con tabiques ordinarios, como son los forjados de viviendas u oficinas: flecha activa L/400

Para el caso de forjados de cubierta: flecha activa L/300 calculadas con la combinacin caracterstica. La flecha ms importante a tener en cuenta es la flecha activa, que es la que puede generar problemas por daos en tabiques, soleras, etc. Ejemplo numrico (NO ENTRA PARA EL EXAMEN): Supongamos que proyectamos un edificio de viviendas con luces entre pilares de 5.0m en ambas direcciones principales del edificio, con prticos metlicos de 3 vanos formados por pilares HEB y vigas IPN. Las cargas en la planta de vivienda son las siguientes:

PP forjado: 3.0 kN/m2 (forjado de viguetas) CP planta vivienda (suelos + techos): 1.5 kN/m2 CP tabiquera planta vivienda: 1.0 kN/m2 CP de cerramiento convencional de doble hoja: 7.0 kN/ml SC uso planta vivienda: 2.0 kN/m2

Calculemos la viga del vano central en un prtico de fachada, donde carga la mitad del vano de viguetas, y el cerramiento exterior. Dicha viga est biempotrada en los pilares HEB, donde la flecha en centro de vano se puede calcular con la clsica frmula de resistencia de materiales:

qL4/(384EI) (flecha de una viga biempotrada sometida a una carga linealmente repartida sobre ella)

El perfil de la viga de carga es un IPN220 (pesa 31.10kp/ml=0.311kN/ml), con una inercia a flexin segn su eje fuerte I = 306*105 mm4. El mdulo de elasticidad del acero es E=210.000 N/mm

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Vamos a comprobar si cumplimos el ELS de flecha. 1) Flecha total por criterios de confort del usuario:

Combinacin caracterstica: Gk,j + P + Qk,1 + 0,i Qk,i Carga lineal sobre la viga segn la combinacin

caracterstica, q: 0.311kN/ml + 7.0kN/ml + 2.50m*(3.0kN/m+1.5kN/m+1.0kN/m) + 2.50m*2.0kN/m = 26.07kN/m = 26.07N/mm

Flecha total caracterstica: qL4/(384EI) = 26.07N/mm*(5000mm)4/(384*210.000N/mm*306*105

mm4) = 6.61mm Lmite admisible: L/350 = 5m/350 = 0.0143m = 14.3mm Como vemos, la flecha calculada (6.61mm) es menor que

la admisible (14.3mm) cumple 2) Flecha total por criterios de apariencia de la obra:

Combinacin casi permanente: Gk,j + P+ 2,i Qk,i Carga lineal sobre la viga segn la combinacin casi

permanente, q: 0.311kN/ml + 7.0kN/ml + 2.50m*(3.0kN/m+1.5kN/m+1.0kN/m) + 0.3*2.50m*2.0kN/m = 22.57kN/m = 22.57N/mm

Flecha total casi permanente: qL4/(384EI) = 22.57N/mm*(5000mm)4/(384*210.000N/mm*306*105

mm4) = 5.72mm Lmite admisible: L/300 = 5m/300 = 0.0167m = 16.7mm Como vemos, la flecha calculada (5.72mm) es menor que

la admisible (16.7mm) cumple 3) Flecha activa para el cerramiento: en este caso calculamos slo las flechas que se producen a partir de la construccin del cerramiento, que son las que le van a afectar a l. Por tanto no contamos con la parte de flecha debida al peso propio de la viga ni al peso propio del forjado, que se han ejecutado antes de poner el cerramiento.

Combinacin caracterstica: Gk,j + P + Qk,1 + 0,i Qk,i Carga lineal sobre la viga segn la combinacin

caracterstica, q: 7.0kN/ml + 2.50m*(1.5kN/m+1.0kN/m) + 2.50m*2.0kN/m = 18.25kN/m = 18.25N/mm

Flecha total caracterstica: qL4/(384EI) = 18.25N/mm*(5000mm)4/(384*210.000N/mm*306*105

mm4) = 4.63mm Lmite admisible: L/400 = 5m/400 = 0.0125m = 12.5mm Como vemos, la flecha calculada (4.63mm) es menor que

la admisible (12.5mm) cumple

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Desplazamientos horizontales

Los desplazamientos horizontales en el edificio se producirn fundamentalmente por la actuacin de acciones horizontales sobre el mismo, que son las de viento o sismo. Tendremos que hacer una estructura lo suficientemente rgida para que estos desplazamientos horizontales no afecten al edificio, por cuestiones de integridad de los elementos constructivos (cerramientos, tabiques, etc) y por cuestiones de apariencia de la obra. El CTE-DB-SE limita los desplazamientos horizontales a los siguientes valores: a) Por cuestiones de la integridad de los elementos

constructivos, los lmites son, ver figura 3 (para la combinacin de acciones caracterstica):

Desplome total: 1/500 de la altura total del edificio Desplome local: 1/250 de la altura de la planta, en

cualquiera de ellas b) Por cuestiones de la apariencia de la obra, el lmite es (para

la combinacin de acciones casi permanente):

1/250, desplome local de la altura de la planta, en cualquiera de ellas

Figura 3. Desplomes

Vibraciones

La comprobacin del ELS de vibraciones en un edificio se refiere fundamentalmente a las vibraciones de los forjados. Segn el

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CTE-DB-SE se admite que una planta de piso, susceptible de sufrir vibraciones por efecto rtmico de las personas, es suficientemente rgida si su frecuencia propia de vibracin es mayor de: a) 8 hertzios en gimnasios y polideportivos b) 7 hertzios en salas de fiesta y locales de pblica concurrencia

sin asientos fijos c) 3,4 hertzios en locales de espectculo con asientos fijos (DESDE AQU HASTA EL FINAL NO ENTRA PARA EL EXAMEN): Por otra parte, el CTE-DB-SE-A, en su apartado 7.2.2, establece un mtodo para analizar el ELS de vibraciones en edificios de uso de vivienda, administrativo, enseanza o comercio, donde intervienen tres parmetros: 1. La frecuencia del modo fundamental de vibracin del

forjado, dando una frmula para su clculo. 2. La aceleracin mxima que experimenta el forjado en su

vibracin, con otra expresin para su clculo. 3. El amortiguamiento del forjado, que es funcin de su

composicin, de sus revestimientos y de los tabiques que apoyen en l, los cuales intervienen en la absorcin de vibraciones. A falta de ms datos, el porcentaje de amortiguamiento se puede fijar con estos valores:

Forjado slo (estructura) =3% Forjado acabado (con instalaciones, falso techo,

revestimiento, mobiliario) =6% Forjado acabado con tabiques =12%

Una vez calculada la frecuencia del modo fundamental y la aceleracin mxima, hay que entrar en la figura 4, y comprobar que el punto de corte (entrando en abscisas con la frecuencia y en ordenadas con la aceleracin) se encuentra por debajo de las lneas de puntos (para vibraciones transitorias, que son las debidas al paso de personas) cada una de las cuales corresponde al porcentaje de amortiguamiento de nuestro forjado en funcin de su acabado (3%, 6% 12%), para asegurarnos de que no tendremos problemas de vibraciones. Para vibraciones continuas (edificios que soportan en sus forjados grandes mquinas vibrando, o edificios con movimiento rtmico de personas bailando o practicando deporte) hay que estar por debajo de la lnea continua quebrada inferior, situacin que es mucho ms restrictiva, y que nos llevar a emplear un forjado muy rgido.

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Figura 4. Lmites de aceptacin, basadas en la percepcin humana de las vibraciones de los forjados de edificacin

Resumiendo, aunque hay que cumplir con la figura 4 para cualquier edificio que proyectemos, para vibraciones producidas por personas los edificios de uso de vivienda, hotel y administrativo suelen cumplir casi siempre con el ELS de vibraciones. En el resto de edificios pblicos, sobre todo los destinados a espectculos pblicos y deportivos, o gimnasios, y los que vayan a soportar en sus forjados mquinas vibrantes de importancia, deberemos comprobar las vibraciones y adoptar forjados suficientemente rgidos. Tngase en cuenta que una vibracin excesiva afecta no slo a la percepcin del usuario, tambin puede acabar daando instalaciones o partes no estructurales del edificio. En general, los edificios con estructura metlica son ms flexibles que los de hormign armado, afectndoles ms las vibraciones.