Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado

8/3/2019 Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado

1/26

1. Ecuaciones de 1er grado

Resuelve mentalmente:

a) x + 2 = 5 b) x 3 = 4 c) 4x = 12 d) (x 3)(x + 5) = 0

Solucin:

a) x = 3 b) x = 7 c) x = 3 d) x = 3, x = 5

P I E N S A Y C A L C U L A

168 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x + 12 = 6x 8

b) 6 + 3x = 4 + 7x 2x

c) 8x 2x + 4 = 2x

d) 4x + 3x 4 = 3x + 8

Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3(x + 2) + 2x = 5x 2(x 4)

b) 4 3(2x + 5) = 5 (x 3)

c) 2(x 3) + 5(x + 2) = 4(x 1) + 3

d) 5 (2x + 4) = 3 (3x + 2)

Resuelve mentalmente:

a) (x 2)(x + 3) = 0

b) (2x + 1)( x 4)(3x + 5) = 0


a) = +

b) = +

c) + 3x = + x

d) + = 0

Solucin:

a) x = 7 b) x = 5/12

c) x = 3/25 d) x = 5

10 3x5

x 23

x 12

14

x 24

x3

7x 510

92

7 x2

x 1

9

x 5

6

x 3

4

4

Solucin:

a) x1 = 2, x2 = 3

b) x1 = 1/2, x2 = 4, x3 = 5/3

3

Solucin:

a) x = 1 b) x = 19/5

c) x = 5/3 d) x = 0

2

Solucin:

a) x = 10 b) x = 1

c) x = 1 d) x = 3

1

A P L I C A L A T E O R A

6 Ecuacionesde 1er y 2 grado


2/26

UNIDAD 6. ECUACIONES DE 1er Y 2 GRADO 169

G

rupoEditorialBruo,

S.L.

2. Ecuaciones de 2 grado

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

x2 = 25

x2 = 0

x2 = 49

5x2 = 0

x2 1 = 0


x2 6x = 0

x2 16 = 0

7x2 = 0

x2 5x + 6 = 0

x2 + 5x = 0

x2 25 = 0

x2 9x = 0

x2 = 81

Solucin:

x1 = 9, x2 = 9

17

Solucin:

x1 = 0, x2 = 9

16

Solucin:

x1 = 5, x2 = 5

15

Solucin:

x1 = 0, x2 = 5

14

Solucin:

x1 = 3, x2 = 2

13

Solucin:

x1 = x2 = 0

12

Solucin:

x1 = 4, x2 = 4

11

Solucin:

x1 = 0, x2 = 6

10

Solucin:

x1 = 1, x2 = 1

9

Solucin:

x1 = x2 = 0

8

Solucin:

x1 = 7, x2 = 7

7

Solucin:

x1 = x2 = 0

6

Solucin:

x1 = 5, x2 = 5

5


Resuelve mentalmente si es posible:

a) x2 = 0 b) x(x 3) = 0 c) x2 = 16 d) x2 = 25

Solucin:

a) x = 0 b) x = 0, x = 3 c) x = 4, x = 4 d) No tiene solucin.



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170 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.

x2 9 = 0

x2 4x + 4 = 0

x2 + 8x = 0

4x2 81 = 0

2x2 3x 20 = 0

4x2 3x = 0

x2 = 4

8x2 2x 3 = 0

x(x 3) = 10

(x + 2)(x + 3) = 6

(2x 3)2 = 8x

2x(x 3) = 3x(x 1)

=

x + = 1

Solucin:

x1 = 5, x2 = 8

x2 + 230

9x 410

31

Solucin:

x1 = 1/2, x2 = 3/2

38

x2 + x2

3x2

30

Solucin:

x1 = 3, x2 = 0

29

Solucin:

x1 = 1/2, x2 = 9/2

28

Solucin:

x1 = 5, x2 = 0

27

Solucin:

x1 = 2, x2 = 5

26

Solucin:

x1 = 1/2, x2 = 3/4

25

Solucin:

x1 = 2, x2 = 2

24

Solucin:

x1 = 0, x2 = 3/4

23

Solucin:

x1 = 5/2, x2 = 4

22

Solucin:

x1 = 9/2, x2 = 9/2

21

Solucin:

x1 = 0, x2 = 8

20

Solucin:

x1 = x2 = 2

19

Solucin:

x1 = 3, x2 = 3

18

3. Nmero de soluciones. Factorizacin

Calcula mentalmente las siguientes races cuadradas y da todas las soluciones reales:

a) b) c)

Solucin:

a) 1 b) 0 c) No tiene solucin real.

22 4 262 4 952 4 6



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G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Sin resolverlas y sin hallar el discriminante, calculamentalmente cuntas soluciones tienen las ecuaciones:

5x2 12x = 0

x2 + 25 = 0

2x2 = 0

x2 81 = 0

Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cun-

tas soluciones tienen:

x2 6x + 7 = 0

x2 8x + 16 = 0

2x2 3x + 5 = 0

3x2 9x 3 = 0

Halla mentalmente la descomposicin factorial de lossiguientes polinomios:

x2 + 4x + 4

x2 6x + 9

x2 25

4x2 + 4x + 1

Halla la descomposicin factorial de los siguientes poli-

nomios:

2x2 + 9x 5

8x2 + 14x 15

x2 16

5x2 + 3x

Solucin:

5x(x + 3/5)

47

Solucin:

(x + 4)(x 4)

46

Solucin:

8(x + 5/2)(x 3/4)

45

Solucin:

2(x + 5)(x 1/2)

44

Solucin:

(2x + 1)2

43

Solucin:

(x + 5)(x 5)

42

Solucin:

(x 3)2

41

Solucin:

(x + 2)2

40

Solucin:

= 81 + 36 = 117 > 0 Tiene dos soluciones.

39

Solucin:

= 9 40 = 31 < 0 No tiene solucin real.

38

Solucin:

= 64 64 = 0 Tiene una solucin doble.

37

Solucin:

= 36 28 = 8 > 0 Tiene dos soluciones.

36

Solucin:

Tiene dos soluciones.

35

Solucin:

Tiene una solucin doble.

34

Solucin:

No tiene solucin real.

33

Solucin:

Tiene dos soluciones.

32



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4. Problemas de ecuaciones

Calcula mentalmente:

a) El lado de un cuadrado cuya rea es 16 m2

b) Tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 12Solucin:

a) 4 m b) 3, 4, 5


172 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Halla, en cada caso, una ecuacin de 2 grado cuyassoluciones son:

x1 = 5, x2 = 7

x1 = 2/5, x2 = 3

x1 = 4, x2 = 2/3

x1 = 3/5, x2 = 1/2

Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver stas:

5x2 15x + 9 = 0

x2 6x + 12 = 0

2x2 5 = 0

3x2 14x = 0

Solucin:

14S =, P = 0

3

55

Solucin:

5S = 0, P =

2

54

Solucin:

S = 6,P = 12

53

Solucin:

15 9S = = 3, P =

5 5

52

Solucin:

(x 3/5)(x + 1/2) = 0

x2 x/10 3/10 = 0

10x2 x 3 = 0

51

Solucin:

(x + 4)(x + 2/3) = 0

x2 + 14x/3 + 8/3 = 0

3x2 + 14x + 8 = 0

50

Solucin:

(x 2/5)(x + 3) = 0

x2 + 13x/5 6/5 = 0

5x2 + 13x 6 = 0

49

Solucin:

(x 5)(x + 7) = 0 x2 + 2x 35 = 0

48

La suma de dos nmeros es 36, y uno es el dobledel otro. Calcula dichos nmeros.

Solucin:

x + 2x = 36 x = 12

Los nmeros son: 12 y 24

56



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G

rupoEditorialBruo,

S.L.

La base de un rectngulo mide 8 cm ms que laaltura. Si su permetro mide 64 cm, calcula lasdimensiones del rectngulo.

Se mezcla caf de 4,8 /kg con caf de 7,2 /kg. Sise desea obtener 60 kg de mezcla a 6,5 /kg,cuntos kilos de cada clase se deben mezclar?

Una madre tiene 26 aos ms que su hijo, y dentrode 10 aos la edad de la madre ser el doble de ladel hijo. Cuntos aos tienen en la actualidad?

Una moto sale de una ciudad A hacia otra B conuna velocidad de 70 km/h.Tres horas ms tarde, uncoche sale de la misma ciudad y en el mismo senti-do con una velocidad de 100 km/h. Cunto tiem-po tardar el coche en alcanzar a la moto?

Halla dos nmeros cuya diferencia sea 5 y la sumade sus cuadrados sea 73

La suma de los cuadrados de dos nmeros conse-cutivos es 181.Halla dichos nmeros.

Calcula las dimensiones de una finca rectangularsabiendo que tiene 3 dam de larga ms que deancha y su superficie es de 40 dam2

Solucin:

x(x + 3) = 40 x = 5, x = 8

La solucin negativa no tiene sentido.

Ancho = 5 dam

Largo = 8 dam

63

Solucin:

Los nmeros son x y x + 1x2 + (x + 1)2 = 181 x = 9, x = 10

Hay dos soluciones:

N menor = 9 N mayor = 10

N menor = 10 N mayor = 9

62

Solucin:

Un nmero x y el otro x 5

x2 + (x 5)2 = 73 x = 8, x = 3

Hay dos soluciones:

N mayor = 8 N menor = 3

N mayor = 3 N menor = 8

61

Solucin:

El espacio que recorre la moto es igual que el querecorre el coche y la frmula es e = v t

70t = 100(t 3) t = 10

El coche tarda 7 horas en alcanzar a la moto.

60

Solucin:

x + 36 = 2(x + 10) x = 16

Edad del hijo = 16 aos.

Edad de la madre = 42 aos.

59

Solucin:

4,8x + 7,2(60 x) = 6,5 60 x = 17,5

Caf A: 17,5 kgCaf B: 42,5 kg

58

Solucin:

2(x + 8) + 2x = 64 x = 12

Las dimensiones son: Altura = 12 cm,Base = 20 cm

57

x

x + 8

Caf A

4,8

x

4,8x + 7,2(60 x) = 6,50 60

Caf B

7,2

60 x

Mezcla

6,5

60

Precio (/kg)

Peso (kg)

Dinero ()

Actualmente Dentro de 10 aos

Hijo x x + 10

Madre x + 26 x + 36

A B100 km/h

70 km/h

x

x + 3

rea = 40 dam2


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174 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Ejercicios y problemas

1. Ecuaciones de 1er grado


x + 2 = 9

x 2 = 3

3x = 15

= 7

4x = 3

x 5 = 0

5x + 7 = 0

(x 4)(x + 5) = 0

(3x + 2)(5x 6)(x + 5) = 0


7x + 2 = 4x 10

5 + 3x 2x = 7 + 4x x

6x 3x + 5 = 2x + 1

6 4x + 2x 6 = 2x + 5

4(x + 5) + 3x = 4x 3(x 4)

9 2(3x + 4) = 5 3(x 4)

12 (7x + 5) = 4 (5x + 2)

5(x 2) + 3(x + 2) = 6(x 1)

= +

Solucin:

x = 5/2

4x + 32

x 13

6x 12

81

Solucin:

x = 1

80

Solucin:

x = 5/2

79

Solucin:

x = 16/3

78

Solucin:

x = 4/3

77

Solucin:

x = 5/4

76

Solucin:

x = 4

75

Solucin:

x = 1

74

Solucin:

x = 4

73

Solucin:

x1 = 2/3, x2 = 6/5, x3 = 5

72

Solucin:

x1 = 4, x2 = 5

71

Solucin:

x = 7/5

70

Solucin:

x = 5

69

Solucin:

x = 3/4

68

Solucin:

x = 21

x3

67

Solucin:

x = 5

66

Solucin:

x = 5

65

Solucin:

x = 7

64


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G

rupoEditorialBruo,

S.L.

= 2

2(x 3) = 5 + x

+ = 0

2. Ecuaciones de 2 grado


x2 = 81

2x2 = 0

x2 = 36

7x2 = 0

x2 64 = 0


x2 12x = 0

(x 2)2 16 = 0

x2 6x 7 = 0

(x + 1)2 = 4x

x2 + x 6 = 0

x2 25 = 0

x(x 4) = 2x(x 3)

3(x 2)2 27 = 0

4x2 9 = 0

Solucin:

x1 = 3/2, x2 = 3/2

98

Solucin:

x1 = 1, x2 = 5

97

Solucin:

x1 = 0, x2 = 2

96

Solucin:

x1 = 5, x2 = 5

95

Solucin:

x1 = 2, x2 = 3

94

Solucin:

x1 = x2 = 1

93

Solucin:

x1 = 1, x2 = 7

92

Solucin:

x1 = 2, x2 = 6

91

Solucin:

x1 = 0, x2 = 12

90

Solucin:

x1 = 8, x2 = 8

89

Solucin:

x1 = x2 = 0

88

Solucin:

x1 = 6, x2 = 6

87

Solucin:

x1 = x2 = 0

86

Solucin:

x1 = 9, x2 = 9

85

Solucin:

x = 8/3

10 x12

2x 33

x 52

84

Solucin:

x = 6/7

x 24

3x2

83

Solucin:

x = 14

3x 210

4 x5

82


9/26

176 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.


6x2 7x 3 = 0

= 3( )

5x2 4x = 2x2

4x2 51x + 36 = 0

= +

3. Nmero de soluciones. Factorizacin

Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cun-tas soluciones tienen:

x2 + x 12 = 0

x2 4x + 13 = 0

9x2 12x + 4 = 0

4x2 12x + 13 = 0

Halla la descomposicin factorial de los siguientes poli-nomios:

4x2 3x

x2 144

9x2 + 12x + 4

20x2 7x 6

Halla, en cada caso, una ecuacin de 2 grado cuyassoluciones son:

x1 = 4, x2 = 5

x1 = 3/4, x2 = 2

x1 = 3, x2 = 1/3

Solucin:

(x + 3)(x + 1/3) = 0

x2 + 10x/3 + 1 = 0 3x2 + 10x + 3 = 0

114

Solucin:(x 3/4)(x + 2) = 0

x2 + 5x/4 3/2 = 0 4x2 + 5x 6 = 0

113

Solucin:

(x 4)(x + 5) = 0 x2 + x 20 = 0

112

Solucin:

20(x + 2/5)(x 3/4)

111

Solucin:

9(x + 2/3)2

110

Solucin:

(x + 12)(x 12)

109

Solucin:

4x(x 3/4)

108

Solucin:

= 144 208 = 64 < 0No tiene soluciones reales.

107

Solucin:

= 144 144 = 0 Tiene una solucin doble.

106

Solucin:

= 16 52 = 36 < 0No tiene soluciones reales.

105

Solucin:

= 1 + 48= 49 > 0 Tiene dos soluciones.

104

Solucin:

x1 = 2/5, x2 = 3

16

5x 3x2

1213

x2 4x6

103

Solucin:

x1 = 3/4, x2 = 12

102

Solucin:

x1

= 0, x2

= 4/3

101

Solucin:

x1 = 9/2, x2 = 0

x4

x2

25x2

3100

Solucin:

x1 = 1/3, x2 = 3/2

99


10/26


G

rupoEditorialBruo,

S.L.

x1 = 2/5, x2 = 3/2

Calcula la suma y el producto de las soluciones de lassiguientes ecuaciones, sin resolver stas:

x2 8x + 3 = 0

x2 7x + 2 = 0

6x2 + x 2 = 0

5x2 16x + 3 = 0

4. Problemas de ecuaciones

Calcula tres nmeros enteros consecutivos talesque la suma de los tres sea igual al doble delsegundo.

Si se disminuye la altura de un rectngulo en3,5 cm, el rea disminuye en 21 cm2. Calcula labase del rectngulo.

Hace siete aos, la edad de un padre era cincoveces la del hijo. Si actualmente es solo el triple,qu edad tiene cada uno?

Se mezcla azcar de 1,125 /kg con azcarde1,4 /kg y se obtienen 200 kg de mezcla a1,29 /kg. Cuntos kilos de cada clase se hanmezclado?

Qu ngulo forman las agujas de un reloj a lastres y media?

Solucin:

12x = 180 x = 15

El ngulo que forman es de 90 15 = 75

124

Solucin:

1,125x + 1,4(200 x) = 1,29 200 x = 80

Azcar A: 80 kg

Azcar B: 120 kg

123

Solucin:

5x + 7 = 3(x + 7) x = 7

Edad del hijo = 14 aos.

Edad del padre = 42 aos.

122

Solucin:

3,5x = 21 x = 6

La base mide 6 cm

x

3,5

121

Solucin:

1er nmero: x 1

2 nmero: x3er nmero: x + 1

x 1 + x + x + 1 = 2x x = 0

Primer nmero = 1

Segundo nmero = 0

Tercer nmero = 1

120

Solucin:

S = 16/5, P = 3/5

119

Solucin:

S = 1/6, P = 1/3

118

Solucin:

S = 7, P = 2

117

Solucin:

S = 8, P = 3

116

Solucin:

(x 2/5)(x + 3/2) = 0x2 + 11x/10 3/5 = 0 10x2 + 11x 6 = 0

115

Hace 7 aos Actualmente

Hijo x x + 7

Padre 5x 5x + 7

Azcar A

1,125

x

1,125x +1,4(200 x) = 1,29 200

Azcar B

1,4

200 x

Mezcla

1,29

200

Precio (/kg)

Peso (kg)

Dinero ()

121

2

90 x

x

1110

6

9

8

7

4

5

3


11/26

178 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.



4x + 2 = 3x + 8 x

2x + x 12 + 7x = 9x 10

2x 15 + x = 2x 8

5x + 9 + 3x = 2x + 5 + 7x

3(x 7) + 1 = 2x 25

3(x 2) = 4(x 1) 5

2(x 2) 3x = 2(x + 4) 5x

2 (x + 2) = 2 (3 x)

Solucin:

x = 1/2

135

Solucin:

x = 6

134

Solucin:

x = 3

133

Solucin:

x = 5

132

Solucin:

x = 4

131

Solucin:

x = 7

130

Solucin:

x = 2

129

Solucin:

x = 3

128

Un vehculo sale de A con direccin a B y lleva unavelocidad constante de 80 km/h. En el mismo ins-tante, otro vehculo sale de B hacia A con una

velocidad de 60 km/h. Si la distancia entre A y B esde 280 km, a qu distancia de A se cruzan los dosvehculos?

Calcula dos nmeros naturales consecutivos talesque su producto sea 132

Un tringulo rectngulo tiene un rea de 44 m2.Calcula la longitud de los catetos si uno de ellosmide 3 m ms que el otro.

Solucin:

x(x + 3)= 44 x = 11 y x = 8

2


Los catetos miden:8 m y 11 m

127

Solucin:

x(x + 1) = 132 x = 12 y x = 11

Hay dos soluciones:

Nmero menor = 12, nmero mayor = 11

Nmero menor = 11, nmero mayor = 12

126

Solucin:

El tiempo que tardan ambos es el mismo y la frmu-

ela es e = v t t = v

x 280 x= x = 16080 60

Se encuentran a 160 km de A

280 kmA B

80 km/h 60 km/h

125

Para ampliar

x

x+3

280 km

x C 280 xA B

80 km/h 60 km/h


12/26


G

rupoEditorialBruo,

S.L.

8(2x + 1) = 7 + 3(5x + 1)

x 3 2(2x 6) = 2(x + 5)

3x (1 2x) 2x = 4 x (5x 6)

4(3x 1) 3(x 2) = 2(4x 2)

= 13

=

1 =

= x

= + 4

= 2

2(5x 4) =

+ = 5x

= 3x + 2

= x +

=

3(x 1) + = +

= +

Solucin:

x = 2

3x 54

20 x12

1 2x4

x + 13

152

Solucin:

x = 1

112

7x 13

116

2x 34

151

Solucin:

x = 11/3

12x + 136

5x8

x + 28

4x 112

150

Solucin:

x = 1/3

89

1 x3

x 25

x 34

149

Solucin:

x = 1/2

11 x14

1 2x7

x + 22

148

Solucin:

x = 4/11

x3

7x + 42

2x 33

3x4

147

Solucin:

x = 2/3

76

x + 32

x + 24

3x 25

146

Solucin:

x = 7

x 12

2 x5

145

Solucin:

x = 13/2

x 12

4x + 13

5x 12

144

Solucin:

x = 1/3

2 5x6

5x 22

x3

143

Solucin:

x = 7

2x 15

x + 32

142

Solucin:

x = 4

7x + 66

5x + 93

141

Solucin:

x = 7

5x + 43

140

Solucin:

x = 6

139

Solucin:

x = 11/9

138

Solucin:

x = 1/5

137

Solucin:

x = 2

136


13/26

180 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.


x = +

=

x =

= +

+ = +

18 = 4(1 x)

=

=

=

5x2 = 0

x2 81 = 0

x2 + 2x 15 = 0

x2 144 = 0

2x2 5x 3 = 0

x2 4x = 0

x2 4x 12 = 0

4x2 25 = 0

Solucin:

x1 = 5/2, x2 = 5/2

169

Solucin:

x1 = 2, x2 = 6

168

Solucin:

x1 = 0, x2 = 4

167

Solucin:

x1 = 1/2, x2 = 3

166

Solucin:

x1 = 12, x2 = 12

165

Solucin:

x1 = 5, x2 = 3

164

Solucin:

x1

= 9, x2

= 9

163

Solucin:

x1 = x2 = 0

162

Solucin:

x = 3/5

13

x + 12

x + 34

x 26

161

Solucin:

x = 1

x + 22

178

x 46

2x 18

160

Solucin:

x = 3/2

x 32

78

x 24

x + 33

159

Solucin:

x = 5

x + 13

5 x2

158

Solucin:

x = 14/5

x2

x + 16

116

x 24

157

Solucin:

x = 3

52

2x 15

x + 26

4x + 13

156

Solucin:

x = 3

2x 13

2x 15

13

155

Solucin:

x = 2

x + 19

16

3x + 16

x + 13

154

Solucin:

x = 5/14

x2

2x 34

5x 76

153


14/26


G

rupoEditorialBruo,

S.L.

2x2 + x 6 = 0

5x2 7x + 2 = 0

x2 169 = 0

3x2 11x + 6 = 0

5x2 9x = 0

x2 = 4x

25x2 25x + 4 = 0

4x2 81 = 0

6x2 + 11x 2 = 0

4x2 + 9x = 0

4x2 7x + 3 = 0

9x2 1 = 0

4x2 8x + 3 = 0

5x2 + x = 0

x2 9x + 20 = 0

4x2 + 3x 10 = 0

25x2 1 = 0

9x2 18x 7 = 0

Solucin:

x1 = 1/3, x2 = 7/3

187

Solucin:

x1 = 1/5, x2 = 1/5

186

Solucin:

x1 = 2, x2 = 5/4

185

Solucin:

x1 = 5, x2 = 4

184

Solucin:

x1 = 1/5, x2 = 0

183

Solucin:

x1 = 3/2, x2 = 1/2

182

Solucin:

x1 = 1/3, x2 = 1/3

181

Solucin:

x1 = 3/4, x2 = 1

180

Solucin:

x1 = 0, x2 = 9/4

179

Solucin:

x1 = 2, x2 = 1/6

178

Solucin:

x1 = 9/2, x2 = 9/2

177

Solucin:

x1 = 4/5, x2 = 1/5

176

Solucin:

x1 = 0, x2 = 4

175

Solucin:

x1 = 0, x2 = 9/5

174

Solucin:

x1 = 2/3, x2 = 3

173

Solucin:

x1 = 13, x2 = 13

172

Solucin:

x1 = 2/5, x2 = 1

171

Solucin:

x1 = 2, x2 = 3/2

170


15/26

182 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.


5x2 + 8x 4 = 0

x + 4x2 = 0

4x2 17x + 15 = 0

7x2 5x 2 = 0

(3x 1)2 = 0

x(x 3) = 0

(x 1)(2x 3) = 0

(x + 2)(x 2) = 2(x + 3) + 5

2x(x + 1) (6 + x) = (x + 3)(x 2)

x2 + = 0

x2 = 0

x2 =

x2 = 0

x2 2x =

6x2 + 5 = 5x2 + 8x 10

10x2 23x = 4x2 7

(x 7)2 81 = 0

Solucin:

x1 = 2, x2 = 16

204

Solucin:

x1 = 1/3, x2 = 7/2

203

Solucin:

x1 = 5, x2 = 3

202

Solucin:

x1 = 1/2, x2 = 3

x2

32

201

Solucin:

x1 = 2/3, x2 = 4

83

10x3

200

Solucin:

x1 = 2, x2 = 4/3

83

2x3

199

Solucin:

x1 = 1/2, x2 = 5/4

58

3x4

198

Solucin:

x1 = 13/5, x2 = 2

265

3x5

197

Solucin:

x1 = x2 = 0

196

Solucin:

x1 = 3, x2 = 5

195

Solucin:

x1 = 1, x2 = 3/2

194

Solucin:

x1 = 0, x2 = 3

193

Solucin:

x1 = x2 = 1/3

192

Solucin:

x1 = 2/7, x2 = 1

191

Solucin:

x1 = 3, x2 = 5/4

190

Solucin:

x1 = 1/4, x2 = 0

189

Solucin:

x1 = 2, x2 = 2/5

188


16/26

11x2 6x 3 = 2x2 4

= 3

+ = +

=

= +

=

Solucin:

x1 = 11, x2 = 1

2x2 4x 35

x2 4x + 12

210

Solucin:

x1 = 2, x2 = 1

15x9

2(x2 x)6

7x 23

209

Solucin:

x1 = 3, x2 = 1/3

3x + 110

x2 + x2

x2 + 25

208

Solucin:

x1 = x2 = 2

13

x2

4x3

x2

6207

Solucin:

x1 = 9/4, x2 = 3

x + 32

2x2

3206

Solucin:

x1 = x2 = 1/3

205


G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Se ha plantado 1/5 de la superficie de una huertacon cebollas; 1/15 con patatas; 2/3 con judas y elresto, que son 240 m2, con tomates. Qu superfi-cie tiene la huerta?

Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y 2aos. Al cabo de cuntos aos la edad de Nataliaser el doble de la de Roberto?

Qu ngulo forman las agujas delreloj a las tres y cuarto?

Los lados de un rectngulo miden 5 m y 3 m. Alaumentar los lados en una misma cantidad, el reaaumenta en 48 m2. Cunto se ha ampliado cadalado?

Solucin:

(5 + x)(3 + x) = 63

x2 + 8x + 15 = 63

x2 + 8x 48 = 0

x1 = 12, x2 = 4


Se aumenta 4 m

214

Solucin:

ngulo que forman las agujas: x

12x = 90 x = 7,5

Formarn un ngulo de 7,5

213

Solucin:

8 + x = 2(2 + x) x = 4

Dentro de 4 aos,Natalia tendr 12 y Roberto 6 aos.

212

Solucin:

Superficie de la huerta: x

x x 2x+++ 240 = x x = 36005 15 3

La huerta mide 3600 m2

211

Problemas

Actualmente Dentro de x aos

Natalia 8 8 + x

Roberto 2 2 + x

5 m

3 m

5 + x

15 m2

15 + 48 = 63 m2 3 + x

121

211

10

6

9

8

7

4

5

3


17/26

184 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.


Dos ciudades A y B estn a 300 km de distancia. Alas diez de la maana un coche sale desde A haciaB con una velocidad de 80 km/h. Dos horas ms

tarde, otro coche sale desde B hacia A con unavelocidad de 120 km/h. A qu hora se encuentrany a qu distancia de A?

La edad de Rubn es la quinta parte de la edad desu padre.Dentro de 3 aos, la edad de Rubn serla cuarta parte de la edad de su padre. Qu edadtiene cada uno actualmente?

Calcula un nmero tal que, si se le quita su quintaparte, el resultado sea 60

El cristal rectangular de una puerta mide 120 cmms de alto que de ancho y su superficie mide10 800 cm2. Calcula cunto miden los lados delcristal.

El producto de dos nmeros enteros consecutivoses igual al cudruple del menor menos 2 unidades.Encuentra dichos nmeros.

Ana tiene 12 aos, su hermano Pablo tiene 14aos y su padre 42. Cuntos aos deben pasarpara que la suma de las edades de Ana y Pablo seaigual a la de su padre?

Calcula el rea de un crculo sabiendo que si

aumentamos el radio en 6 cm, el rea se hace nue-ve veces ms grande.

Solucin:

9R2 = (R + 6)2 R = 3, R = 3/2

El radio negativo no tiene sentido.

El radio vale R = 3 cm y su rea es 9 cm2

221

Solucin:

12 + x + 14 + x = 42 + x x = 16

Tienen que pasar 16 aos.

220

Solucin:

Nmero menor: xNmero mayor: x + 1

x(x + 1) = 4x 2 x = 1,x = 2

Hay dos soluciones:

El nmero menor: 1, el nmero mayor: 2

El nmero menor: 2 y el nmero mayor: 3

219

Solucin:

x(120 + x) = 10800 x = 60,

x = 180La solucin negativa no tienesentido.

Ancho:60 cm

Alto:180 cm

218

Solucin:

Nmero: x

x x/5 = 60

x = 75

217

Solucin:

4(x + 3) = 5x + 3 x = 9

Edad de Rubn = 9 aos.

Edad del padre = 45 aos.

216

Solucin:

80t + 120(t 2) = 300 t = 2,7

Se encuentran a 2,7 h = 2 h 42 minutos,es decir, a las12 horas y 42 minutos, y a una distancia x = 216 kmde A

x 300 x300 kmA B

80 km/h 120 km/h

215

Actualmente Dentro de 3 aos

Rubn x x + 3

Padre 5x 5x + 3

120+x

x


Ana 12 12 + x

Pablo 14 14 + x

Padre 42 42 + x


18/26


G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Se mezclan 1800 kg de harina de 0,42 /kg con3 500 kg de harina de 0,54 /kg. Qu precio tieneel kilo de la mezcla?

Sonia se ha comprado un libro y un disco que te-nan el mismo precio, pero que han rebajado un15% y un 10%, respectivamente, cuando ha ido apagar. Si se ha ahorrado 9 , cunto costaba cadaproducto?

Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarloen 5 unidades, el rea aumente en 395 unidades

cuadradas.

Calcula dos nmeros enteros tales que su di-ferencia sea 2 y la suma de sus cuadrados sea 884.

A qu hora coinciden, por primera vez, las mane-cillas del reloj despus de las 12 horas?

Ruth tiene 17 aos y su madre tiene 47. Cuntoha de transcurrir para que la edad de la hija sea lamitad de la de la madre?

De un tablero de 2 400 cm2 se cortan dos piezascuadradas, una de ellas con 5 cm ms de lado quela otra. Si las tiras de madera que sobran miden1 283 cm2, cunto miden los lados de las piezascuadradas cortadas?

Solucin:

x2 + (x + 5)2 + 1283 = 2400 x = 26 , x = 21


Las piezas son de 21 cm de lado y de 21 + 5 = 26 cmde lado respectivamente.

228

Solucin:

47 + x = 2(17 + x) x = 13

A los 13 aos.

227

Solucin:

Sea x el ngulo que recorre la aguja minutera.

12(x 30) = x x = 32,73

Se encontrarn cuando la aguja minutera ha recorridoun ngulo de 32,73, es decir, 32,73 : 30 = 1,09 h =1 hora 5 minutos 24 segundos.

12

1 21110

6

9

8

7

4

5

3

226

Solucin:

x2 + (x 2)2 = 884 x = 20, x = 22

Hay dos soluciones:

Nmero menor: 22 nmero mayor: 20

Nmero menor: 20 nmero mayor: 22

225

Solucin:

(x + 5)2 = x2 + 395

x = 37El lado del cuadrado mide 37 unidades.

224

Solucin:

Precio del libro = precio del disco: x

0,15x + 0,1x = 9 x = 36

Los dos productos valan 36

223

Solucin:

0,42 1800 + 0,54 3500 = 5300x

x = 0,499 = 0,5

222

Harina A

0,42

1800

Harina B

0,54

3500

Mezcla

x

5300

Precio (/kg)

Peso (kg)

0,42 1800 + 0,54 3500 = 5 300 xDinero ()


Ruth 17 17 + x

Madre 47 47 + x

x

x

x + 5

x+5

x

x

x + 5

x + 5


19/26

186 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.


Halla un ngulo que sea igual a un tercio de sungulo suplementario.

Se desea obtener 8000 kg de pienso mezclandomaz a un precio de 0,5 /kg con cebada a un pre-

cio de 0,3 /kg. Si se desea que el precio de lamezcla sea de 0,45 /kg, cuntos kilos de maz yde cebada necesitamos?

Andrs sale a caminar desde su casa a una veloci-dad de 6 km/h. Una hora ms tarde, su hermanaVirginia sale a buscarle en bicicleta a una velocidadde 26 km/h. Cunto tardar en alcanzarlo?

Se desea mezclar 50 kg de azcar blanca de1,24 /kg con azcar morena de 1,48 /kg.Cuntos kilos de azcar morena se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 /kg?

Para profundizar

Elvira compra unos zapatos, una camisa y una cha-queta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaquetay sta la mitad que los zapatos,y ha pagado 126 ,

cunto cuesta cada cosa?

Los lados de un rectngulo miden 7 cm y 9 cm. Sise amplan los lados en una misma cantidad, la nue-va rea es de 143 cm2. Cunto se ha ampliado

cada lado?

A qu hora forman las manecillas del reloj unngulo de 120 por primera vez despus de las 12?

Solucin:

Sea x el ngulo de la aguja horaria.

120 + x = 12x x = 10,91

La aguja horaria recorre un ngulode 10,91

La aguja minutera recorre un ngulo de 130,91 quecorresponde a 21,818 minutos, es decir, sern las:

12 horas 21 minutos y 49 segundos.

235

Solucin:

(7 + x)(9 + x) = 143

x = 20, x = 4

La solucin negativa no tienesentido.

Se ha ampliado 4 cm

234

Solucin:

Precio de la camisa: x

x + 2x + 4x = 126 x = 18

La camisa vale 18 , la chaqueta 36 y los zapatos72

233

Solucin:

1,24 50 + 1,48 x = 1,32(50 + x) x = 25

Se necesitan 25 kg de azcar morena.

232

Solucin:

Tiempo que tarda Virginia en alcanzar a Andrs des-de la salida de Andrs:

6t = 26(t 1) t = 13/10 h = 1,3 h

Tarda en alcanzarlo 3/10 hora = 0,3 h = 18 min

231

Solucin:

0,5x + 0,3(8000 x) = 0,45 8000

x = 6000

Maz: 6000 kgCebada: 2000 kg

230

Solucin:

3x = 180 x x = 45

El ngulo es de 45

180 xx

229

Maz

0,5

x

Cebada

0,3

8000 x

Mezcla

0,45

8000

Precio (/kg)

Peso (kg)

0,5x + 0,3(8000 x) = 0,45 8000Dinero ()

Azcar blanca

1,24

50

1,24 50 + 1,48 x = 1,32(50 + x)

Azcar morena

1,48

x

Mezcla

1,32

50 + xPrecio (

/kg)Peso (kg)

Coste ()

9 cm7cm

7+x

9 + x

121

2120

x

1110

6

9

8

7

4

5

3

V A26 km/h 6 km/h


20/26


G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Calcula un nmero tal que multiplicado por sumitad sea igual a su cuarta parte ms 9

Halla un nmero cuya mitad ms su cuarta partesea igual a 39

Halla un nmero cuya mitad,ms su tercera parte,ms una unidad, sea igual que el nmero.

Las diagonales de un rombo miden 18 cm y 12 cm.Qu longitud se debe aadir a las diagonales para

que el rea del rombo se duplique?

Halla el valor de ken la siguiente ecuacin de for-ma que su solucin sea 2:

kx 3 = 3x 1

Una solucin de la ecuacin 10x2 11x 6 = 0 es3/2. Calcula la otra solucin sin resolver la ecua-cin.

En la ecuacin 8x2 18x + k = 0, halla el valor dekde forma que una solucin sea el doble de laotra.

Un grifo llena un depsito en 3 horas y otro lohace en 6 horas. Cunto tiempo tardarn en lle-nar el depsito los dos grifos a la vez?

Solucin:

Tiempo que tardan: x

(1/3 + 1/6)x = 1 x = 2

Tardan 2 horas.

243

Solucin:

Sean las soluciones x1, x2 = 2x1x1 + x2 = b/a 3x1 = 9/4 x1 = 3/4

x1

x2

= c/a 2x1

2 = k/8

9/8 = k/8

k = 9

Para k = 9 las soluciones son x1 = 3/4, x2 = 3/2

242

Solucin:

3/2 + x2 = b/a

3/2 + x2 = 11/10x2 = 11/10 3/2 = 2/5

241

Solucin:

2k 3 = 6 1

k = 4

240

Solucin:

(18 + x)(12 + x) 18 12= 2

2 2

x1 = 36, x2 = 6


Hay que aumentar 6 cm

239

Solucin:

Nmero: x

x x+ + 1 = x x = 62 3

238

Solucin:

Nmero: x

x x+ = 39 x = 522 4

237

Solucin:

Nmero: x

x xx= + 9 x = 4, x = 9/2

2 4

236

12 cm

cmx2

cmx2

18cm


21/26

188 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.


En un rectngulo, el segmento que une los puntosmedios de dos lados consecutivos mide 50 m. Si larazn de los lados es 4/3, calcula el rea del rec-

tngulo.

Julio invierte 14000 en acciones de dos empre-sas. En una gana el 15% y en otra pierde un 3,5%.Sial venderlas obtiene 14620 , cunto invirti en

cada empresa?

Solucin:

Dinero invertido en una empresa: x

0,15x 0,035(14000 x) = 620 x = 6000

En una empresa invierte 6 000 y en la otra8000

245

Solucin:

Sea x la mitad del lado menor.

4x2 + (x)

2= 502 x = 30, x = 30

3

La solucin negativa no tiene sentido.Para x = 30 m,el rea es:

A = 80 60 = 4800 m2

50 m

244

En cunto tiempo recorrer un mvil 4200 m,si parte con una velocidad de 15 m/s y con unaaceleracin de 4,5 m/s2?

Se deja caer una pelota desde 30 m. Si la acelera-cin es de 9,8 m/s2, cunto tiempo tardar lapelota en llegar al suelo? La frmula que tienesque aplicar es:

e = gt2

Solucin:

1 9,8 t2 = 302

t = 2,47 segundos.

1

2

247

Solucin:

1

4,5 t

2+ 15t = 4 2002

t = 40 segundos.

246

Aplica tus competencias


22/26


G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Comprueba lo que sabes

Explica cmo se factoriza un trinomio de segun-do grado y pon un ejemplo.


a) 2(3x 5) 4(x 2) = 2 (x 1)

b) = (x + 2)


a) x2 + 4x 12 = 0

b) = +

Justifica el nmero de soluciones que tienen lassiguientes ecuaciones, sin resolver stas:

a) x2 5x + 7 = 0b) 3x2 12x + 8 = 0

c) x2 4x = 0d) 9x2 + 24x +16 = 0

Escribe una ecuacin de segundo grado que ten-ga como soluciones: x1 = 3/2, x2 = 5

Encuentra un nmero tal que multiplicado porsu cuarta parte sea igual al doble del nmeromenos 3 unidades.

Los lados de un rectngulo miden 9 cm y 7 cm.Si se amplan los lados en una misma cantidad,la nueva rea es de 143 cm2. Cunto se haampliado cada uno?

Teresa tiene 12 aos, su hermano Diego tiene 7aos y su padre 44. Cuntos aos deben pasarpara que la suma de las edades de Teresa y deDiego sea igual a la del padre?

Solucin:

12 + x + 7 + x = 44 + x x = 25 aos.

8

Solucin:

(9 + x)(7 + x) = 143

x2 + 16x 80 = 0

x1 = 20, x2 = 4


Se ha ampliado 4 cm

7

Solucin:

Nmero: x

xx

= 2x 3 x2 8x + 12 = 04

x1 = 2, x2 = 6

Hay dos soluciones: El nmero 2 y el nmero 6

6

Solucin:(x 3/2)(x + 5) = 0

x2 + 7x/2 15/2 = 0

2x2 + 7x 15 = 0

5

Solucin:

a) = 25 28 = 3 < 0No tiene solucin real.

b) = 144 96 = 48 > 0 Tiene dos soluciones.

c) = 16 > 0 Tiene dos soluciones.

d) = 576 576 = 0 Tiene una solucin doble.

4

Solucin:

a) x1 = 6, x2 = 2 b) x1 = 2/3, x2 = 3

7x15

4 + 10x10

x2 + 5x5

3

Solucin:

a) 5/3 b) 2/5

7x 510

72

7 x5

2

Solucin:Un trinomio de segundo grado ax2 + bx + c conlas soluciones x1 y x2 se descompone factorialmen-te de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2)

Ejemplo

Halla la descomposicin factorial de4x2 + 8x 5

4x2 + 8x 5 = 0 tiene las soluciones

5 1x1 = , x2 = 2 2

5 1Luego: 4x2 + 8x 5 = 4(x + )(x )2 2

1

Edad actual

Teresa 12

Dentro de x aos

12 + x

Diego 7 7 + x

Padre 44 44 + x

9 cm

7 cm

9 + x

7 + x


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190 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Resuelve la siguiente ecuacin:

4 + = x

Resuelve la siguiente ecuacin:

3x2 + x 4 = 0

Halla la descomposicin factorial del polinomiox2 + x 6

Representa grficamente la siguiente parbola ycalcula las soluciones de la ecuacin correspon-diente observando la grfica.

y = x2 2x 3

Plantea el siguiente problema y resulvelo con ayuda de

DERIVE o Wiris:

El lado de un cuadrado mide 3 m ms que ellado de otro cuadrado. Si la suma de las dosreas es 89 m2, calcula las dimensiones de loscuadrados.

Internet.Abre la web:www.editorial-bruno.esy elige Matemticas, curso ytema.

253

Solucin:

Resuelto en el libro del alumnado.

x

x

(x + 3)

(x + 3)2 2

252

Solucin:


251

Solucin:


250

Solucin:


249

Solucin:


14

x 12

x 23

248

Paso a paso

Windows Derive


6 + 3x = 4 + 7x 2x

4 3(2x + 5) = 5 (x 3)

= +

+ = 0

Solucin:

x = 5

10 3x5

x 23

x 12

257

Solucin:

x = 5/12

7x 510

92

7 x2

256

Solucin:

x = 19/5

255

Solucin:

x = 1

254

Practica


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G

rupoEditorialBruo,

S.L.

4x2 3x = 0

4x2 81 = 0

x2 5x + 6 = 0

x2 4x + 4 = 0

8x2 2x 3 = 0

Representa grficamente las siguientes parbolasy calcula las soluciones de las ecuaciones corres-pondientes observando las grficas.

a) y = x2 4 b) y = x2 + 4x + 4

c) y = x2 + x + 2 d) y = x2 + x 2Halla la descomposicin factorial de los si-guientes trinomios de segundo grado:

a) x2 9

b) x2 x 12

c) x2 x 20

d) x2 + 8x + 15

Solucin:

a) (x 3)(x + 3)

b) (x + 3)(x 4)

c) (x + 4)(x 5)

d) (x + 3)(x + 5)

264

b)

x1 = x2 = 2

c)

x1 = 1, x2 = 2

d)

x1 = 4, x2 = 2

Solucin:

a)

x1 = 2, x2 = 2

12

14

263

Solucin:

x1 = 1/2, x2 = 3/4

262

Solucin:

x1 = x2 = 2

261

Solucin:

x1 = 3, x2 = 2

260

Solucin:

x1 = 9/2, x2 = 9/2

259

Solucin:

x1 = 0, x2 = 3/4

258

Linux/Windows

123456 654321

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

123456 654321

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

123456 654321

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

123456 654321

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1


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192 SOLUCIONARIO

G

rupoEditorialBruo,

S.L.

Halla una ecuacin de segundo grado que tengalas races:

a) x1 = 5, x2 = 3

b) x1 = 1, x2 = 2

c) x1 = 7, x2 = 9

d) x1 = 6, x2 = 8

Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayudade DERIVE o Wiris:

Calcula un nmero tal que si se le quita su quin-ta parte el resultado sea 60

Halla los lados de un tringulo rectngulo sa-

biendo que son nmeros enteros consecutivos.

Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumen-tarlo en 5 unidades, el rea aumente en 395 uni-dades cuadradas.

Se desea mezclar 50 kg de azcar blanca de1,24 /kg con azcar moreno de 1,48 /kg.Cuntos kilos de azcar moreno se necesitanpara que la mezcla salga a 1,32 /kg?

Las diagonales de un rombo miden 18 cm y12 cm. Qu longitud se debe aadir a las diago-nales para que el rea del rombo se duplique?

Solucin:

(18 + x)(12 + x) 18 12 = 2

2 2

x = 36, x = 6La solucin negativa no tiene sentido.

Hay que aumentar 6 cm

270

Solucin:

1,24 50 + 1,48 x = 1,32(50 + x)x = 25 kg

269

Solucin:

(x + 5)2 = x2 + 395

x = 37

268

Solucin:

Cateto menor: x

x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2

x1 = 1, x2 = 3


Los lados del tringulo miden: 3, 4 y 5 cm

267

Solucin:

x x/5 = 60

x = 75

266

Solucin:

a) x2 2x 15 = 0

b) x2 3x + 2 = 0

c) x2 + 2x 63 = 0

d) x2 2x 48 = 0

265

Windows Derive


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Tema06 Ecuciones 1er y 2do Grado

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