NÚMEROS NÚMEROS

REALESREALES

Introducción.Números naturales.

El conjunto de los números naturales se representa por y sus elementos son

El conjunto de los números enteros se representa por y está formado por los números naturales y por los números negativos

{ }..., 3, 2, 1,0,1,2,3, ...= − − −¢

Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. a < b

Un número entero a es mayor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la derecha de b. a > b

Valor absoluto de un número entero: a si a 0

aa si a 0

≥= − <

Números enteros.

ℕℕ={0,1,2,3,…}

ℤ

ℤ

Introducción.

Potencias.

ba

ba 1

=

mnmn

ba

ba·

ba +

=

mnmn

ba

ba:

ba −

=

m·nmn

ba

ba

=

nnn

dc·

ba

dc·

ba

=

nnn

dc:

ba

dc:

ba

=

Introducción.Números racionales.

El conjunto de los números racionales se representa por y está formado por

Potencias.

n

nn

ba

ba =

1ba 0

=

n

nnn

ab

ab

ba =

=

−

Si el exponente es entero positivo

Si el exponente es cero

Si el exponente es entero negativo

ℚ{ }a / a,b y b 0b

= ∈ ≠¤ ¢ℚ ℤ

Introducción.

Si el bloque de cifras que se repite lo hace inmediatamente a continuación de la coma se llama decimal periódico puro, y en caso contrario decimal periódico mixto.

Cambio de expresión fraccionaria a expresión decimal.Se hace la división y puede suceder que:

- Se termine y por tanto la expresión decimal sea limitada(decimal exacto)

- No se termine y por tanto la expresión decimal sea ilimitada. Las cifras que se repiten a partir de una en bloques iguales se llaman períodos (decimal periódico)

Todo número racional puede escribirse en forma decimal periódica.

Introducción.

Cambio de la expresión decimal a expresión fraccionaria.

Decimal exacto: Se ponen todas las cifras y se divide entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

Decimal periódico puro: Se ponen todas las cifras enteras y decimales sin la coma, se le resta la parte entera y se divide entre tantos nueves como cifras tenga el período.

Decimal periódica mixto: Se ponen todas las cifras enteras y decimales sin la coma, se le resta la parte entera y la decimal no periódica, y se divide entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no incluida en el período.

Todo número decimal puede escribirse en forma fraccionaria.

1. Números reales. La recta real.

Los números que vienen dados por una expresión decimal no periódica se llaman números irracionales.

Tanto los números racionales como los irracionales forman los números reales.

ℝ

ℚℤ

ℕ

I

Intervalos y semirrectas.

INTERVALOABIERTO

SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN

(a , b)

NOMBRE

INTERVALOCERRADO

INTERVALOSEMIABIERTO

[a , b]

(a , b]

[a , b)

Números comprendidos entre a y b, estos no incluidos

{x /a<x<b }

{x /a≤x≤b }Números comprendidos entre a y b, estos incluidos

{x /a<x≤b }Números comprendidos entre a y b; a no incluido, b incluido

Números comprendidos entre a y b; a incluido, b no incluido

{x /a≤x<b }

a

a

a

a

b

b

b

b

Intervalos y semirrectas.

SEMIRRECTA

SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓNNOMBRE

Números menores que a, este no incluido{ }x/x a<

{ }x/x a≤ Números menores que a y el propio a

{ }x/ a x< Números mayores que a, este no incluido

Números mayores que a y el propio a{ }x/ a x≤

(−∞ , a )

(−∞ , a ]

(a ,+∞ )

[ a ,+∞)a

a

a

a

Entornos●NOMBRE Símbolo Definición Representación

Entorno simétrico

El entorno simetrico de centro “a” y radio “r” es el conjunto de

puntos que están más cerca de “a” que “r”

Entorno Reducido

Entorno lateral a la izquierda

Entorno Lateral a la derecha

E* (a , r )=E(a , r )−{a }E*(a , r )

E(a , r )

E-(a , r)

E+(a , r)

E* (a , r )=E(a , r )−{a }

E-(a , r)=(a−r , a)

E+(a , r)=E (a , a+r )

a-r a+ra

r r

a a+r

a-r a+ra

a-r a

2. Valor absoluto de un número real.

El valor absoluto de un número real a, es el propio número a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo:

a si a 0a

a si a 0 ≥

= − <

Ejemplos:

|7,4|=

0 =

5,87− =

7,4

0

5,87

Ejemplos.

x 3= ⇔

⇔

x 5=

x 3 ó x 3= = −

x 2<

x 5 o 5= −

⇔ 2 x 2− < < ( )x 2,2∈ −

1.

2.

3.

⇔

0-3 3

0−√5 √5

0-2 2

Ejemplos.

⇔x 2≥

⇔x 2 5− ≤

x 2 o x 2≤ − ≥

3 x 7− ≤ ≤⇔ ⇔5 x 2 5− ≤ − ≤ 5 2 x 5 2− + ≤ ≤ +

4.

5.

0-2 2

0-3 7

3. Expresión decimal de los números reales. Números aproximados.

221 <<

5,124,1 <<

42,1241,1 <<

¿Qué número multiplicado por sí mismo da 2?. Lo representaremos por

- se eligen números enteros y se observa que 1 por sí mismo da uno, y dos por sí mismo da 4, luego

- se eligen números entre 1 y 2 con un decimal y se obtiene

- se eligen ahora números entre 1,4 y 1,5 con dos decimales y obtenemos

2

Su valor decimal se calcula por aproximaciones sucesivas. Se procede así:

Error y números racionales.

10 0,3333...3

=

301

3099100

1033

3103,3

310 =−=−=−=ε

1001

3003

310:

301

r ===ε

Los números racionales pueden escribirse exactamente siempre que se utilice la notación fraccionaria. Al tomar un número decimal periódico no pueden tomarse todas sus cifras decimales y se comete un error. Por ejemplo:

Si tomamos este número como 3,33 cometemos un error.

El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número, es decir el error por unidad:

El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el número y un valor aproximado del mismo:

Error y números irracionales.

π

3141

14,301,0

14,314,315,3 ==−<ε

Los números irracionales no se pueden dar nunca en forma fraccionaria ni en forma decimal exacta, ya que su expresión tiene infinitas cifras no periódicas.Por ejemplo, el número sabemos que está comprendido en los siguientes intervalos:

Según aumentamos el número de cifras decimales de los extremos de los intervalos, el error, al tomar los extremos como aproximación de su valor será menor.Si tomamos = 3,14 se comete un error que no puede conocerse exactamente pero sí acotarse:

π

(3;4), (3,1;3,2), (3,14;3,15), ...

Error relativo:

Error absoluto: 3,15 3,14 0,01ε < − =

Notación científica.

Ejemplos.

El volumen de la tierra es 1,08 x 1021 m3

Esto es un número aproximado en notación científica.

|error absoluto|<0,005×1021 m3=

0,005error relativo 0,0046... 0,0051,08

< = <

18 35 10 m×

1.

El diámetro de un cierto virus es 3,1 x 10-9 mEsto es un número aproximado en notación científica.

9error absoluto 0,05 10 m−< × =

0,05error relativo 0,016129... 0,023,1

< = <

15 10 m−×

2.

4. Radicales. Propiedades.

n√a=b ⇔ a=bn

La radicación es la operación inversa de la potenciación.   Llamamos raiz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a.

Si a≥0, n√a existe cualquiera que sea a

nSi a 0, a solo existe para valores impares de n<

índice ( n > 1) radicando radical

1n na a =

Forma exponencial de los radicales.

mmn na a =

Propiedades de los radicales. Potencias y raíces.

m mnn a a=

np p na a=1.

2. ( ) p pnn a a=

3.

Se utiliza para simplificar radicales

Se utiliza para reducir a común índice varios radicales

Propiedades del producto y del cociente de radicales.

n nna·b a · b=4.

5.n

nn

a a b b

=

Se utiliza para extraer factores fuera de la raíz

Se utiliza para juntar varios radicales en uno

Se utiliza junto con las propiedades 1 y 4 para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz

Suma de radicales.

7 5 11 5 5 + − =

Para poder sumar dos radicales tiene que ser radicales idénticos, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos.

1.

2. 43 2 2 42 3 ·2 2 ·5 + + =48 18 2500 + + =

2 2 3 2 5 2 + + = 10 2

7+11-1=17

17 5

Racionalización de denominadores.

35

=

Es el procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción.

1.

2.

3 55

3· 5 5· 5

=

3 55

3

3 3

55

=

ba

Multiplicamos numerador y denominador por b

n mba

con m < n Multiplicamos numerador y denominador por n mn b −

3

125

=3

3 2 3

55 · 5

=3 2

1 5

=

Racionalización de denominadores.

3.

4.

( )( ) 22

2 3 7

3 7

−=

−

( )( ) ( )

2· 3 7

3+ 7 · 3 7

−=

−

Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador

ab c±

Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador

75 3

=−

( )( ) ( )2 2

7· 5 3

5 3

+=

−

( )( ) ( )

7· 5 3

5 3 · 5 3

+=

− +

cba

±

( )2· 3 7

2−

= 3 7−

( )7· 5 3

2+

23+√7

=

5. Logaritmos. Propiedades.

elog m ln m=

El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado:

za amzmlog =⇔=

Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de , es decir:10log

mlogmlog10 =

Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln en vez de , es decir:elog

Propiedades de los logaritmos.

El logaritmo de la base es uno:

El logaritmo de la unidad es cero:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:

alog a 1=

alog 1 0=

4.

1.

2.

a a a alog (x · y ·...· z) log x log y ... log z= + + +

3. El logaritmo de una potencia de la base es el exponente: x

alog a x=

5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

ylogxlogyxlog aaa −=

Propiedades de los logaritmos.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:

Cambio de base. El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base:

ana

log xlog xn

=

8.

6.

7.

ya alog x y · log x=

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice:

alogxlog

xlogb

ba =

6. Matemáticas Financieras

1. Interes Simple

Cuando depositamos una cantidad de dinero ( Capital ) en un banco, este nos devolverá, al cabo de un tiempo, nuestro dinero más una cantidad adicional llamamos Interes.

I=C⋅R⋅t100

C es el Capital.I es el interés.R es el redito o tanto por ciento anual.t es el tiempo en años

Si los intereses se devengan n veces al año la formula quedará como:

I=C⋅R⋅T100⋅n

Donde T es el número de periodos por los que devengamos los intereses

2. Interés Compuesto

Cuando los intereses de los distintos periodos se añaden al Capital, este se incrementa. A este proceso se denomina Capitalización y decimos que hemos colocado el capital a interés compuesto.Al capital que hay en cada momento se le denomina Montante

M=C⋅(1+R

100 )t M es el montante

C es el Capital.I es el interés.R es el redito o tanto por ciento anual.t es el tiempo en años

Si las capitalizaciones se realizan n veces al año la formula quedará como:

M=C⋅(1+R

100⋅n )T Donde T es el número de

periodos por los se realiza la capitalización.

3. Anualidades de capitalizaciónLlamamos anualidades de capitalización (a ) a las aportaciones fijas que hacemos al principio de cada periodo, que junto con los intereses que generan nos permiten obtener al final de un periodo ( t ) cierto capital (C)

C=a⋅(1+r )⋅[ (1+r )t−1 ]

rCon r=

R100

Capitalización no anual. Cuando la capitalización se al principio de cada periodo, de forma que se realizan (n )pagos al año, realizando un total (T ) pagos tendremos:

C=

a⋅(1+rn )⋅[(1+

rn )

T

−1 ]rn

4. Anualidades de amortizaciónLlamamos anualidades de amortización (a ) a las pagos fijos que hacemos al final de cada año para cancelar una deuda ( D) junto a los intereses compuestos que genera durante unos determinados años ( t ).

a=D⋅r⋅(1+r )t

(1+r )t−1Con r=

R100

Amortización no anual. Cuando los pagos se realizan al final de cada periodo, de forma que se realizan (n ) pagos al año, realizando un total (T ) pagos tendremos:

a=

D⋅rn⋅(1+

rn )

T

(1+rn )

T

−1