Tema1_LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

1. Los números desde la MEDIDA

2. Los números NATURALES

3. Los números ENTEROS

4. Los números RACIONALES

5. Los números IRRACIONALES

Los números desde LA MEDIDA

MEDIR significa comparar una cantidad (p. e. de longitud) con otra de su misma especie que se toma como

unidad (p. e. el metro) Se trata de una comparación por cociente (es decir, una razón) que determina cuántas

veces contiene la cantidad en cuestión a la unidad tomada.

Veámoslo en un caso concreto: LAS CANTIDADES DE LONGITUD.

Si tomamos una recta, determinamos un origen 0 y una unidad de medida 1

vemos que a cada punto le corresponde una cantidad de longitud (su distancia al origen) y viceversa.

A esa distancia se le llama coordenada del punto.

Ahora, nos preguntamos si podemos asignar un valor numérico a la coordenada de cada uno de los infinitos

puntos de la recta (real)

LOS NATURALES: números para contar

Los múltiplos de la unidad de medida tendrán como coordenadas los números naturales (la tabla de uno)

Constituyen un INFINITO NUMERABLE: el infinito potencial.

LOS ENTEROS: números para acotar

Si admitimos cotas o alturas negativas (bajo el nivel del mar), podemos prolongar los múltiplos de la unidad de

medida a derecha (positivos) y a izquierda (negativos) Tendremos así los números enteros.

0 1

0 1 2 3 4 5 6 7

Estos números aparecen siempre que una magnitud puede tomar cantidades con dos signos opuestos

(positivas y negativas) Por ejemplo: la carga eléctrica, las cotas, el balance de una contabilidad, la temperatura,

etc.

Z es otro conjunto infinito numerable: con la misma potencia que N.

LAS FRACCIONES: partes alícuotas de la unidad

La UNIDAD DE MEDIDA, al contrario que la unidad de contar, lo mismo que tiene múltiplos, TIENE DIVISORES. A

los divisores de la unidad de medida se les llama partes alícuotas de la unidad o fracciones unitarias.

El Teorema de Tales nos permite, mediante regla y compás, dibujar las partes alícuotas de la unidad. Así:

0 1

5

1 “un quinto de la unidad”

En efecto, 6

3

2

1y representan la misma coordenada (o número racional) Se dicen que son fracciones

equivalentes (equivalen a la misma cantidad) Existen infinitas fracciones equivalentes a una dada, pero todas

son reducibles menos una: aquella en que el m. c. d. de numerador y denominador es uno.

LOS IRRACIONALES: cantidades que no se dejan medir

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Evidentemente, existen infinitas partes alícuotas

de la unidad: las UNIDADES FRACCIONARIAS. Y

cada unidad fraccionaria tiene un número

infinito de MÚLTIPLOS. Estos múltiplos se

llaman FRACCIONES.

Las fracciones son redundantes como

coordenadas de puntos en la recta real.

Esta simple construcción con regla y compás nos descubre coordenadas de puntos (en rojo) que puede

demostrarse que no son fracciones. Es decir, no tienen ninguna parte alícuota con la unidad. Estos números

“irracionales” (no son ‘medibles’ mediante la unidad) se terminan mostrando muy abundantes en la recta real

(hay un infinito no numerable de ellos, y sólo unos pocos tienen nombre y símbolo: π, Ф, e, 2 …)

NÚMEROS NATURALES

LOS NÚMEROS NATURALES

• Operaciones con números naturales

• División exacta y división entera

• Descomposición en factores primos

• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.

• Representación de un número natural en una base cualquiera

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un

conjunto.

Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para la enumeración.

Número natural es, pues, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se

llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los

elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y

de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de

sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son

operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales

puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el

conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#Los números naturaleshttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#divisiónhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#primoshttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#mcdmcmhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#euclideshttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#Representación en una basehttp://es.wikipedia.org/wiki/Numerablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un

número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los

números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera

es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

Propiedades de la adición de Números Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa. Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)

2.-Conmutativa. Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números

naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número

natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y

distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa. Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa. Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número

natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma. Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los

lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas,

pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a

contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron

los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de

personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente

(el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

DIVISIBILIDAD

En matemáticas, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un

entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el

resto de la división euclídea es cero.

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también

«b es múltiplo de a». Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no

existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que

estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números

compuestos.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin

necesidad de realizar una división:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Restohttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_eucl%C3%ADdeahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAltiplohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuestohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuesto

Número Criterio Ejemplo

2 El número termina en cero o cifra par (el

cero se considera par). 378: porque la última cifra (8) es par.

3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.

4

El número formado por las dos últimas cifras

es un múltiplo de 4 o cuando termina en

doble cero.

7324: porque 24 es múltiplo de 4.8200 por que termina

en doble 00

5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.

6 El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.

7

Un número es divisible entre 7 cuando, al

separar la última cifra de la derecha,

multiplicarla por 2 y restarla de las cifras

restantes la diferencia es igual a 0 o es un

múltiplo de 7.

34349: separamos el 9 (3434'9) y lo doblamos (18),

entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso

separando el 6 (341'6) y doblándolo (12), entonces

341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-

18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque

14 es múltiplo de 7.

8 El número formado por las tres últimas cifras

es un múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.

9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.

10 La última cifra es 0. 470: termina en cifra 0.

11

Sumando las cifras (del número) en posición

impar por un lado y las de posición par por

otro. Luego se resta el resultado de ambas

sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0) o

un múltiplo de 11, el número es divisible por

éste.

Si el número tiene dos cifras iguales será

múltiplo de 11.

42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es

múltiplo de 11

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es

Múltiplo de 11

12 El número es divisible por 3 y 4. 528: Ver criterios anteriores.

http://es.wikipedia.org/wiki/Doshttp://es.wikipedia.org/wiki/Treshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuatrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cincohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seishttp://es.wikipedia.org/wiki/Sietehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ochohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nuevehttp://es.wikipedia.org/wiki/Diezhttp://es.wikipedia.org/wiki/Oncehttp://es.wikipedia.org/wiki/Doce

13

Un número es divisible entre 13 cuando, al

separar la última cifra de la derecha,

multiplicarla por 9 y restarla de las cifras

restantes la diferencia es igual a 0 o es un

múltiplo de 13

3822: separamos el último dos (382'2) y lo

multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364.

Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y

multiplicándolo por 9, 4*9=36, entonces 36-36=0; por

lo tanto, 3822 es divisible entre 13

14 Un número es divisible entre 14 cuando es

par y divisible entre 7

546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos,

6*2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546

es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14

15 Un número es divisible entre 15 cuando es

divisible entre 3 y 5

225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de

3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15

17

Un número es divisible entre 17 cuando, al

separar la última cifra de la derecha,

multiplicarla por 5 y restarla de las cifras

restantes la diferencia es igual a 0 o es un

múltiplo de 17

2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de

nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto,

2142 es divisible entre 17.

18

Un número es divisible por 18 si es par y

divisible por 9 (Si es par y además la suma de

sus cifras es múltiplo de 9)

9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que

también es divisible entre 9. Y efectivamente, si

hacemos la división entre 18, obtendremos que el

resto es 0 y el cociente 539.

Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. Así por ejemplo, para el 13 resulta

equivalente el criterio: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras

restantes la suma es igual a 0 o es un múltiplo de 13.

Nota 2: Resulta curioso que el criterio de divisibilidad por 7 sirva también como criterio de divisibilidad por 3,

aunque evidentemente el criterio tradicional resulta más sencillo y éste no se utiliza: al separar la última cifra

de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 3.

Nota 3: Aunque existen criterios similares para cualquier número primo, con frecuencia resulta más sencillo

dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio general que funciona

siempre y que en muchos casos es suficientemente práctico: restar el número primo (o múltiplos de éste) a las

cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese número primo. Así el ejemplo del 13 se podría

comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a

la izquierda) → 2522 → 1222 (restamos 39 tres veces de las tres cifras de la izquierda) → 832 → 442 → 52 y al

restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13

NÚMEROS PRIMOS

Un número es primo cuando es entero positivo, distinto de 0 y 1 y que únicamente se puede dividir por sí

mismo y por 1 para dar una solución exacta.

En caso contrario diremos que el número es compuesto.

El 0 y el 1 son números especiales que no se consideran ni primos ni compuestos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Trecehttp://es.wikipedia.org/wiki/Catorcehttp://es.wikipedia.org/wiki/Quincehttp://es.wikipedia.org/wiki/Diecisietehttp://es.wikipedia.org/wiki/Dieciocho

Notas:

El 1 se considera primo en muchos casos, aunque sólo tiene un divisor. Depende de las definiciones, del

libro o de la "cultura" se considera o no primo. Por ejemplo, los antiguos griegos consideraban que los

números empezaban en el 2. Para ellos el 1 no era un número, sólo la unidad.

El 2 también es el único número primo y par.

Los números primos han sido estudiados por muchos matemáticos desde los tiempos más remotos:

Pitágoras natural de Samos (aproximadamente 569 a.C.) y sus alumnos, "los pitagóricos" consideraban que

los números tenían virtudes mágicas y estudiaron los números perfectos y los números amigos.

Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios

(por ejemplo: 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14;...)

Dos números son amigos, cuando la suma de los divisores de uno es igual al otro

(por ejemplo 220 y 284: 220=1+2+4+7+71+142 y 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110)

El matemático griego Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) demostró la existencia de infinitos números

primos.

Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.) ideó una forma de determinar los primeros números primos al

construir la denominada Criba de Eratóstenes:

Tras un periodo de tiempo en el que poco se sabe del estudio de estos números, en el siglo XVII:

Mersenne (1588-1648) estudió los números de la forma Mn = 2n - 1. Salvo si n es primo, estos números son

compuestos. Estos números Mn, son llamados números primos de Mersenne

No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89

es compuesto

Fermat (1601-1665) demostró que los números primos de la forma 4n+1 se podían expresar como la suma de

dos cuadrados:

4.1+1=5=22 + 12 ; 4.3+1=13=32 + 22 ;...

En los siglos siguientes Euler (1707-1783), Legrande (1752-1833), Gauss (1777-1855), Riemann (1826-1866)...

y en la actualidad, se siguen buscando números primos.

Algunos datos sobre números primos:

1. Existe un número infinito de números primos que se diferencian en 2 (tales como 3 y 5; 17 y 19)

2. CONJETURA DE GOLDBACH:

Todo número par mayor que dos puede escribirse como suma de dos números primos.

(Por ejemplo, 6=3+3; 18=11+7 ...)

3. Existe un número infinito de números primos que responden a la forma de un número al cuadrado

más uno. (Por ejemplo, 5=22+1, 17=42+1...)

Siempre existe un número primo entre dos números cuadrados consecutivos. (Por ejemplo, entre 4 y 9

están el 5 y el 7; entre 9 y 16, están el 11 y el 13,...)

http://www.iesezequielgonzalez.com/matematicas/primos.htm#erat

Teorema fundamental de la aritmética

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o

teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como

producto de de factores primos. Por ejemplo,

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es

conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como

factorización única salvo en el orden de los factores.

NÚMEROS ENTEROS (repaso)

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2,

3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen

«menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para

resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los

positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra

= {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}

que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:

−783 y 154 son números enteros

45,23 y −34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y

dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también

el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para

contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100

alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos;

pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura

del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423

metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_enterohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primohttp://es.wikipedia.org/wiki/Salvohttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cerohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_alem%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Parte_fraccionariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://es.wikipedia.org/wiki/Restahttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Educaci%C3%B3n_secundariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Temperaturahttp://es.wikipedia.org/wiki/Altitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Everesthttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_del_marhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mar_Muerto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto

de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con

los números naturales.

Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se

representan por el tamaño del círculo y su color.

En la suma de dos números enteros, se determina por separado

el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el

valor absoluto del resultado del siguiente modo:

▪ Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la

suma de los valores absolutos de los sumandos.

▪ Si ambos sumandos tienen distinto signo:

▪ El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de

entre los dos sumandos.

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8, (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

▪ Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

▪ Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.

▪ Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo

1. Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8

(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a+ (−a) = 0.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://es.wikipedia.org/wiki/Restahttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absolutohttp://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absolutohttp://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_asociativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto

Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. La resta de dos

números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado

de signo.

Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 ,

(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor

absoluto del resultado.

En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la

siguiente manera:

▪ El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

▪ El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos. Para recordar el signo del

resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

▪ (+) × (+)=(+)Más por más igual a más.

▪ (+) × (−)=(−)Más por menos igual a menos.

▪ (−) × (+)=(−)Menos por más igual a menos.

▪ (−) × (−)=(+)Menos por menos igual a más.

Ejemplo

(+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

▪ Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son

iguales.

▪ Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.

▪ Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

Ejemplo

1. Propiedad asociativa:

[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

1. Propiedad conmutativa:

(−6) × (+9) = −54

(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la

propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos

(a × b) + (a × c) son idénticos.

Ejemplo

▪ (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21

▪ [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

http://es.wikipedia.org/wiki/Restahttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Signo_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absolutohttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absolutohttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_los_signoshttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_asociativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva

Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se puede establecer una

correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, , por ejemplo como ésta:

si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es también infinito numerable. También es un conjunto totalmente

ordenado, cuando se considera la relación de orden definida en la forma obvia y que extiende la relación de

orden que se tiene en . También es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente

tiene elemento mínimo, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene elemento máximo.

NÚMEROS RACIONALES

LOS NÚMEROS RACIONALES

• Relación de orden en el conjunto de los racionales

• Densidad del conjunto de los racionales.

• Representación decimal de los números racionales

Los números racionales

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), = {... 1/2,

5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

• Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.

o La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.

o El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.

o Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)

o Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el

numerador y el denominador no tienen factores comunes.

De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura

de cuerpo conmutativo.

• En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b

racionales.

• En se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas

anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre

puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#orden racionaleshttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#Densidad del ordenhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#representacion decimalhttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Operaciones/operaciones/node6.html

obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice

que si y sólo si respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.

Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

• Densidad del orden:

Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro número racional tal

que .

Para ello, si , con b y d positivos, basta con tomar

• Representación decimal de números racionales:

Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador

entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y 1/3=

0.33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a

su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas.

o Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5,

1.348 ó 367.2982345. Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la

expresión irreducible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...

o Expresión decimal periódica es aquélla que tiene un número infinito de cifra decimales, pero de

modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, por ejemplo

0.333333....., 125.67777777...... ó 3.2567256725672567.....Surgen de fracciones cuyo denominador

contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333.....La parte que no se repite se

denomina anteperíodo y la que se repite, período.

▪ Periódica pura es aquélla que no tiene anteperíodo.

▪ Periódica mixta es aquélla que sí tiene anteperíodo.

Podría considerarse que las expresionas decimales exactas son periódicas mixtas pero con período 0.

Recíprocamente, dada una expresión decimal exacta o periódica, puede encontrarse una expresión

racional para la misma siguiendo la siguiente norma:

▪ Si la expresión es exacta se coloca como numerador el número entero que resulta de

suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como

cifras se encontraran a la derecha del punto decimal en la expresión decimal original.

▪ Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al número

entero formado por el anteperíodo seguido de la primera repetición del período, el entero

formado por el anteperíodo, todo ello multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros

como cifras significativas se encuentren a la izquierda del punto decimal. Como

denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como

cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplos

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión

irreducible.

NÚMEROS IRRACIONALES

Los números irracionales Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números

enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es

0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con

ningún número racional.

Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no

puede ser racional.

En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de . Además se muestra una manera

de construir el número sobre la recta real con regla y compás y finalmente se da una serie de números

racionales que converge hacia .

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#rracionaleshttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#raiz2http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#pihttp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm#e

Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido

por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y compás el número sobre la recta

real.

El problema es conocido como la rectificación de la circunferencia y hay métodos algebraicos para demostrar

que no tiene solución, a pesar de que mucha gente la buscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en

día). Otros problemas de parecida índole son los famosos de la cuadratura del círculo, que consiste en

construir con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la trisección del

ángulo, que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y

compás y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.

En el recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una serie de números racionales que

converge hacia .

La serie indicada es conocida como serie de Leibniz.

También el número , base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un número irracional. Este

número surge de forma natural al considerar el interés compuesto.

RAZONES Y PROPORCIONES

Razón o relación de dos cantidades es el resultado de compararlas. Esta comparación puede hacerse de dos

modos, puede compararse cuánto excede una a la otra (razón aritmética) o cuántas veces contiene una a la

otra (razón geométrica). La primera de estas comparaciones sólo puede establecerse entre cantidades de la

misma especie, por ejemplo, entre longitudes, pesos, velocidades. Las magnitudes que están relacionadas por

una razón geométrica se dice que son proporcionales; por ejemplo, la velocidad es la razón entre el espacio

recorrido y el tiempo en que se ha recorrido ese espacio; el ritmo cardíaco es la razón entre las pulsaciones del

corazón y el tiempo.

La proporción es la igualdad de dos razones geométricas:

Los términos representados por a, d son los extremos; los términos b, c son los medios.

La propiedad fundamental de las proporciones dice: el producto de medios es igual al producto de extremos

(ad = bc). Esta propiedad permite que dados tres elementos de la proporción, se pueda hallar el cuarto.

Esta proporcionalidad nos lleva a la denominada regla de tres. Si falta uno de los términos de la comparación,

se puede hallar mediante operaciones, con los otros tres. Así a=1; b=2; c=3; d=x