Tema1 Tensiones

8/9/2019 Tema1 Tensiones

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Tema 1: Tensiones

Tema 1 : TENSIONES

F1S

1

FO

F2

F4S nSu


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Tema 1: Tensiones

1.1.- CONCEPTO DE TENSIN

Consideremos un slido sometido a un sistema de fuerzas: F1, F2, F3, ..,Fn y que est enequilibrio esttico (no se mueve) y en equilibrio elstico (ya est deformado).

F3F1

S FnF5F4

F2

Fig. 1.1.a

Debido a las fuerzas exteriores aparecen en el interior del slido las fuerzasinteriores, que se oponen a la accin de las exteriores y tratan de llevar al slido a la

posicin que tena inicialmente de reposo. Para ponerlas de manifiesto seccionemos elslido por la superficie S.

F3F1S S

F

2

Las dos partes en que ha quedado dividido el slido no estaran ahora en equilibrio. Parareproducir dicho equilibrio se tendra que restablecer las acciones que cada parte delslido ejerca sobre la otra. Estas acciones son las fuerzas interiores (F),fuerzas quelas partculas de un lado de la superficie S ejercan sobre las del otro lado

Se denomina:

Tensin media en el punto O:

Tensin en el punto O:

FO

F2

F4

S S

FnO F5

Fig. 1.1.b Fig. 1.1.c

S

Fmed

=

r

r

S

FS

=

r

r

0lim )1.1(


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Seccin 1.2: Tensiones normales y cortantes

1.2.- TENSIONES NORMALES Y CORTANTES

F1S

3

Tensin en el punto O:

es un vector de la misma direccin y sentido que Fr

pero de menor mdulo (vadividido porS)

Tensin normal )(r

: es la componentede la tensin r

sobre la direccin normal a lasuperficie S.

Se obtendr:

Tensin cortante )(r

: es la componentede la tensin r

sobre la propia superficie S

Se cumplir que:

con lo cual:

1.3.- ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTOSi se hubiese seccionado el slido por diferentes superficies S que pasen por el punto Ose hubiesen obtenido diferentes valores de la tensin

r

en dicho punto, puesto que las

acciones que se estaban ejerciendo sobre el punto O por parte de los que le rodean noseran las mismas

FO

F2

F4

S

nSu

Fig. 1.2

S

FS

=

r

r

lim 0

urr

. = )2.1(.u =r r

siendo el vector unitario normal a la suur

perficie S

22 +=rrr

+= )3.1(

= rr r

2 2 = )4.1(

F3F1

2

3 1 FnF5F44

F2 n

Fig. 1.3


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Tema 1: Tensiones

Al conjunto de todos los valores de las tensiones en un punto O, correspondientes atodas las superficies que pasen por l, se le denomina: ESTADO DE TENSIONES DELPUNTO OAs, segn se ve en (Fig. 1.4.a y b), si seccionsemos por la superficie S1 actuara latensin 1, si seccionsemos por la superficie Sn actuara la tensin n, etc..Luego cada

tensin va asociada a una Superficie

4

COMPONENTES DEL ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO

De todas las tensiones que puede haber en un punto, se ver cmo, si seleccionamos 6de ellas, a las que denominaremos Componentes del estado de tensiones en un

punto, a partir de ellas, se podrn conocer todas las dems.

Sea O un punto del slido cuyo Estado de tensiones se quiere conocer. Aislemos unelemento de volumen diferencial, en forma de paraleleppedo recto, con vrtice en O,origen de un sistema de ejes coordenados: x,y,z, coincidentes con las aristas del

paraleleppedo. Al ir reduciendo las dimensiones del paraleleppedo, mantenindolesemejante a s mismo, en el lmite, el paraleleppedo tiende al punto O y todas sus caras

pasan por O, con lo cual se podr considerar las tensiones sobre sus caras comotensiones en el punto O.

F1 F1

F2

F41

S1

Fig. 1.4.a

F2

F4n

Sn

Fig. 1.4.b

F3F1

y

O Fnx F5F4zF2

Fig. 1.5


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Seccin 1.3: Estado de tensiones en un punto

Ampliemos el paraleleppedo y por lo visto en 1.2., sobre cada una de las caras de dichoparaleleppedo habr una tensin normal y una tensin cortante . Si descomponemossta a su vez, en sus dos componentes sobre las direcciones de los ejes respectivos, setendrn 3 tensiones en cada una de las caras y por tanto 18 tensiones sobre el

paraleleppedo completo.yy

yx yz z

xyzx dyxz x xzy zy xzzxzxy

dx xOyx yzdz

z Fig. 1.6

Nomenclatura utilizada

Para las tensiones normales: x el subndice x, indica que esta tensin est sobreuna superficie normal al eje X

Para las tensiones cortantes: xy el primer subndice x, indica que est sobre unasuperficie normal al eje X y el segundo subndice y, indica que lleva la direccin deleje Y

Observacin: en las caras del paraleleppedo paralelas a las que contienen a los ejescoordenados, las tensiones se las distingue con un prima en la parte superior: x, xy

Convenios de signos para las tensiones

Para las tensiones normales: se consideran positivas, ( > 0), cuando vandirigidas en el mismo sentido que la normal saliente a la superficie donde est aplicada.(Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones normales dibujadas en las diferentescaras del paraleleppedo seran positivas).

Para las tensiones cortantes: se consideranpositivas, ( > 0), cuando las que estnaplicadas sobre las caras del paraleleppedo que pasan por O llevan sentido contrario alde los ejes positivos y las que estn aplicadas en las caras que no pasan por O llevan elmismo sentido que los ejes positivos. (Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones

cortantes dibujadas en las diferentes caras del paraleleppedo seran positivas).

5


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Tema 1: Tensiones

Las tensiones en las tres caras del paraleleppedo que no pasan por O ( x, y, z, xy,yz, zx ) se podran expresar matemticamente en funcin de las tensiones en las otrastres caras que pasan por O ( x, y, z, xy, yz, zx ) por desarrollo de Tylor:

dxx

dxx

dxx

xzxzxz

xy

xyxyx

x ...

+=

+=

+

x

=

dyy

dyy

dyy

yz

yzyz

yx

yxyx

y

y...

+=

+=

+

y

= )5.1(

dzz

dzz

dzz

zy

zyzy

zx

zxzxz

z ...

+=

+=

+

z

=

Si reducisemos las dimensiones del paraleleppedo, mantenindose semejante a s

mismo, el paraleleppedo tendera al punto O y en el lmite todas sus caras pasaran por

O, con lo cual se podra considerar que:

xzxzxyxyx ==

yzyzyxyxy ===

zyzyzxzxz ===

x =

y

z

)6.1(

As pues, en este caso, sern slo 9 las tensiones distintas que actan sobre las caras dedicho paraleleppedo: 3 tensiones normales y 6 tensiones cortantes.

Por ltimo si establecemos las ecuaciones de equilibrio del paraleleppedo: F = 0, M = 0, se obtendra que:

)7.1(xzzxzyyzyxxy ===

Conclusin: Sern slo 6 las tensiones distintas que actan sobre las caras del

paraleleppedo, que sern:

zxyzxyzyx

a estas 6 tensiones se las denomina:Componentes del estado de tensiones del punto O

6


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Tema 1: Tensiones

=

cos

cos

cos

.

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

)9.1(

uTrr

.= )10.1(y en forma abreviada:

siendo:

"" TensionesdeTensorT

zyzxz

zyyxy

zxyxx

=

)11.1(

Conclusin:

Conocidas las componentes del Estado de Tensiones en un punto: x, y, z, xy, yz, zxy dada una superficie S cualquiera que pase por dicho punto, definida por su vectornormal unitario: u (cos, cos, cos ), se podr conocer, por la ecuacin obtenida (1.9)la tensin sobre dicha superficie.

Una vez conocida la tensin , se podr obtener por las ecuaciones (1.2) y (1.3):

22

..

==

==rrr

rrrr

uu)12.1(

Caso Particular: TENSIONES PLANAS:

Se considera que un estado de tensiones es plano cuando se cumpla:

z = 0, xz = 0, yz = 0

(Este es un caso que se presenta con mucha frecuencia)

La ecuacin matricial (1.9) sera:

=

cos

cos

cos

.

000

0

0

yxy

yxx

z

y

x

o lo que es lo mismo:

=

cos

cos.

yxy

yxx

y

x )13.1(

0=z

8


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Seccin 1.4: Tensiones Principales

1.4.- TENSIONES PRINCIPALESDe las infinitas Tensiones que puede haber en un punto de un slido, relativas a las

infinitas superficies S que pasen por l, habr unas que tengan los valores mximo ymnimo, a las que se denominar: TENSIONES PRINCIPALES. A las superficies Scorrespondientes se las denominar : SUPERFICIES PRINCIPALES y a lasdirecciones de los vectores normales a dichas superficies se las denominar:DIRECCIONES PRINCIPALES.

Para su clculo se tendr ePrincipales se cumplir:

Existirn pues muchas superficies, como la dS

n cuenta, aunque no se demostrar, que en las Superficies

.9 a), en las cuales habrnsiones normales ( ) y cortantes ( ) y habr algunas, como la dS , (Fig.1.9 b), en las

LCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES

1, (Fig.1

0 con lo cual : = =rr r

te 1 1 2que no habr tensiones cortantes y por tanto slo habr tensiones normales (2), con locual, en estos casos, la tensin total (2) coincidir con la tensin normal

F1

F2

F3

F45

F1

2

F3

F4 F5

y

9

C

e Tensiones en un punto O:, , , , , y sea S una Superficie Principal que pasa por O, definida por su

ir:

llevando est

Supongamos conocidas las 6 componentes del Estado dx y z xy yz zxvector normal unitario: u (cos, cos, cos ).En funcin de lo dicho antes, se deber cumpl

y as expresiones a la ecuacin (1.8) que da el valor de , quedar:

F

O x

y

z

dS

ig. 1.9.a

11

u11

F

1 FO x

z

dS2

ig.

u22 = 2

F 1.9.b

2 = 0

dS1: Superficie cualquiera dS2: Principal

u

Superficie

rr

. = con lo cual:

cos.cos.cos. === yx )14.1(z


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Tema 1: Tensiones

10

operando

para que este sistema de ecuaciones homogneo, tenga solucin no nula, tendr queerificarse que el determinante formado por los coeficientes sea nulo, es decir:

esolviendo este determ acin de tercer grado, sebtendrn las Tensiones Principales : 1, 2, 3

PRINCIPALES

:

Yv

R inante, que da lugar a una ecuoy se cumplir: 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3CLCULO DE LAS DIRECCIONES

ra conocer las direcciones ens que stas aparecen: direcciones principales, se resolver el sistema de ecuaciones

para qe auxiliar con la euacin:

as direcciones principales a de ecuacionesrmado por (1.17.a) y (1.17.b):

.cos .cos .cos ( 1.14) .cos



x x yx zx

y xy y zy

z xz yz z

por

por

por

= + + = =

= + + = =

= + + = =

0cos.cos.cos).( =++

0cos).(cos.cos.

0cos.cos).(cos.

=++

=++

zyzxz

zyyxy

zxyxx

0=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

Una vez obtenidas las tensiones principales: 1, 2, 3, pa

la

(1.15) obtenido anteriormente, sustituyendo en l la tensin , para cada uno de los

valores obtenidos de las tensiones principales. As ser:

)15.1(

)16.1(

0cos).(cos.cos.

0cos.cos).(cos.

=++

=++

0cos.cos.cos).( =++ izxiyxiix

iiziyzixz

izyiiyixy

y ue la direccin obtenida se exprese como un vector unitario:

s

1=iur

L se obtendrn pues resolviendo el sistem

fo

1coscoscos 222 =++ iii

).17.1( a

1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

para cos , cos , cos

para cos , cos , cos

i

i

).17.1( b

1 1para cos , cos , cosi =

=

=


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Seccin 1.4: Tensiones Principales

11

ASO PARTICULAR: TENSIONES PLANASCPara el caso de tensiones planas: z = 0, xz = 0, yz = 0, le ecuacin (1.16) que da ellculo de las tensiones principales se ver reducida a la ecuacin siguiente:

ste determ ugar a una ecuacin de segundo grado, sendrn las Tensiones Principales : 1, 2

:

operand

or su parte las direcciones principales se obtendrn a partir de las ecuaciones (1.17.a) y.17.b) eliminando los trminos representativos de la tercera dimensin y se vern

as direcciones principales a de ecuacionesrmado por (1.20.a) y (1.20.b):

c

0= yxy

yxx

Resolviendo e inante, que da lobtey se cumplir: 1 = 1, 2 = 2Desarrollando el determinante:

siendo las races de esta ecuacin

)18.1(

0).().( 22 =++ xyyxyx

2

)..(4) 22

1

xyyxy

=

()(xyx +++

y o:

2

)..(4)()( 22

2

xyyxyxyx

++=

2211 .4)(.1 xyyx

yx 22

+++==

2222 .4)(.2

1

2 xyyxyx

++

==

P(1reducidas a las expresiones:

)19.1(

0cos.

=++ 0cos).(cos.

cos).( =+ ix

iiyixy

iyxi

L se obtendrn pues resolviendo el sistem

1coscos 22 =+ ii

).20.1( a

20.1(

1 1

2para cos , cosi

).b

fo

1para cos , cosi =

2 2 =


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Tema 1: Tensiones

12

.5.- REPRESENTACIN DE MOHR1

mtodo de clculo analtico para el clculo deensiones. En este apartado se ver un mtodo grfico.

En los apartados anteriores se ha visto unT

CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANASEl mtodo grfico se va a desarrollar en primer lugar para el caso de Tensiones Planas,

ues es el que mas se utilizar debido a su sencillez de aplicacin y la gran ayuda de su

das las tres componentes del estado de tensiones plano en un punto: , , (Fig.1.10 a). Al no existir tensiones en la tercera dimensin (z), se podr

esponasa por O y definida por su vector normal unitario:u (cos, cos, 0).

ie S se obtendrns valores de las tensiones y correspondientes. As:

unos ejes coordenados, en los que en elje de abcisas llevsemos las tensiones normales y en el de ordenadas, las cortantes y

paportacin grfica.

Supongamos conociO x y xysimplificar el dibujo y representar tan slo la proyeccin del ele mento diferencial devolumen sobre el plano xy. (Fig.1.10 b)

x

z

xx

y

xy

xy

yx

O

Fig.1.10.a

y

xx

y

y

xy

xy

yx

yxx

y

Fig.1.10.b

S

Se desea conocer las tensiones corr dientes a una superficie S cualquiera, quepEmpleando las ecuaciones analticas (1.13) y (1.12) para cada superficlo

Si representsemos estos valores obtenidos eneunisemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geomtrico de losmismos es una circunferencia, a la que denominaremos Circunferencia de Mohr

u

Oyx

1 1 1para superficie ,S 1

2 2 2 2para superficie ,

.............................................................................

para superficie ,n n n n

S

S

=

=

=

O

(1,1)(2,2)

n,n Fig.1.11


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Seccin 1.5: Representacin de Mohr

13

e demuestra, aunque no se har, que la circunferencia de Mohrobtenida al unir todoslos puntos: (11), (22), (nn), es una circunferencia que tiene por Centro yRadio los siguientes valores:

(1.21)

siendo: x, y, xy, las tres componentes del estado de tensiones planas en el punto O.

Criterios de signos para las tensiones, al utilizar el mtodo grfico de Mohr

S

Tensiones normales (): se consideran positivas las tensiones normales cuyosentido es saliente de la superficie, es decir en el sentido de la normal exterior ala superficie. Negativas en caso contrario

Tensiones cortantes (): se consideran positivas cuando su sentido deja a laderecha a la superficie. Dicho de otro modo, cuando su sentido de circulacin

(en sentido figurado), alrededor del elemento es horario. En la (Fig. 1.13.a) serepresentan las diferentes posiciones de > 0, con respecto a la superficie S.Las posiciones de < 0, caso contrario, se indican en la (Fig.1.13.b)

Observacin: Los criterios de signos utilizados para las tensiones cortantes, en larepresentacin grfica de Mohr, no coinciden con los dados en 1.3. para la resolucinanaltica. Este hecho habr de tenerse siempre en cuenta en la resolucin de los

problemas.

> 0S < 0

S

nextnext

Fig.1.12.a Fig.1.12.b

> 0

SS

S

S

S

S

S

S

Fig.1.13.a

< 0

SS

S

S

S

S

S

S

Fig.1.13.b

2

2Centro : ,0 Radio :2 2 x y x y

xy

+ +


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Tema 1: Tensiones

14

Construccin de la circunferencia de Mohr:Supnganse conocidas las componentes del estado de tensiones plano en un punto O:x, y, xy (Fig.1.14.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcisasllevaremos las tensiones normales () y en el de ordenadas las tensiones cortantes ().

(Fig.1.14.b).

La construccin de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de tensiones sehar de la siguiente forma:

La superficie SA ( x>0, xy0, yx>0, porcriterios de signos de Mohr), vendr representada en los ejes coordenados por el puntoB. Si unimos, con una recta, los puntos A y B, la interseccin de sta con el eje deabcisas (punto C), ser el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.14.b)

Efectivamente con la construccin realizada, el centro ser:

y el radio ser:

expresiones que coinciden con las expresadas anteriormente en (1.21).

SASA

SB

SBO x

y

xx

y

xy

xy

yxy

yx

Fig.1.14.a

O C

A

B

xD

y

xy

yx

Fig.1.14.b

E

22

yxOEODOC

+=

+=

( ) ( ) 22

22

2xy

yxDACDCA

+

=+=


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Clculo de las tensiones y en una superficie S cualquiera:A partir de las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: x, y, xy, sedibujar en un sistema de ejes coordenados: (, ), la circunferencia de Mohr tal y como

ente las tensiones y

normal unitario: u (cos, cos, 0).(Ver Fig.1.15.a)

El procsuperfibien, p el estado de

nsiones de la superficie SA), al punto S, (que representar el estado de tensiones de laperficie S ente en sent ( eloble del anterio ). (Ver Fig.1.15.b)

ediante este procedimiento las tensiones en la superficie S sern pues:

: .co

ensin cortante:

O C CH OC CS

n

se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio

Indiquemos a continuacin cmo poder conocer grficamcorrespondientes a una superficie S cualquiera que pase por O, definida por su vector

s

15

edimiento ser el siguiente: Para pasar de la superficie SA (definida por uA), a lacie S (definida por uS), se deber girar, en sentido antihorario, el ngulo . Puesara pasar en la circunferencia de Mohr, del punto A, (representativo d

tesu ), se tendr que girar, igualm ido antihorario, el ngulo 2d r Mtensin normal s

t .S se

H O

SH C

= +

=

os valores de OC centro y CS radio se han obtenido anteriormente de laircunferencia de Mohr)

bservacin:

= = +

=(lcO

omo consecuencia del procedimiento anterior resultar, que dos superficiesC perpendiculares que pasen por O, estarn representadas grficamente en lacircunferencia de Mohr por dos puntos diametralmente opuestos de dichacircunferencia. Vase por ejemplo el caso de las superficies SA y SB representadas enlos puntos diametralmente opuestos A y B de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.15.a y

.15.b)1

SA

SB

O x

y

xx

y

xy

y

yx

xy

yx

Fig.1.15.a

S

O C SuuA

A

B

xDy

xy

yx

S

H

2

Fig.1.15.b


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Tema 1: Tensiones

Clculo de las tensiones principales:

Se sabe, por lo visto en (1.4) que las tensiones principales son las tensiones mxima y

, se observa que los puntos M y N de dichaio s. As pues las tensiones principales sern:

on las mismas ecuaciones (1.19) obtenidas analticamente)

r

stado de tensionesmax, hay que girar en sentido antihorario el ngulo 21. As pues para btener la superficie principal: SM, sobre la que se dar dicha tensin principal, seeber girar la Superficie SA, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ngulo 1.ig.1.16.a).

iendo:

a otra direccin principal, la correspondiente al punto N, donde se dar la tensinrincipal mnima: 2 = min, se obtendr girando la anteriormente hallada otros 90. (ver

ig.1.16.a), es decir en la direccin: 2 = 1 90 (los puntos M y N estn a 180 en lacircunferencia).

mnima y que en las superficies donde aparecen, no hay tensiones cortantes. Es decir, secumple: =, = 0.

SAO x

SB

y

xx

16

De la circunferencia de Mohr, (Fig.1.16.b)circunferencia cumplen dichas condic ne

(sLas direcciones principales tambin se podrn obtener a pa

ohr. Se observa (Fig.1.16.b), para pasar del punto A del circulo (representativo deltir de la circunferencia de

M

e de la superficie SA), al punto M, que es donde se dar la tensinprincipal: 1 = od(Fs

Lp

F

y

xyxy

yx

yx

Fi

y

g.1.16.a

SM

1=max

uMuA

1SN

2=min

90

O C

B

A

xDy

xy

yx

Fig.1.16.b

2 1

MN

21

112

2

== xy

ADtag

yxCA (1.23)

2

21 1 max entro Radio 2 2

x y y

xyOC C

x

OM M C

+ = = = = + = + = + +

2

22 2 min Centro Radio 2 2

x y x y

xyON OC CN

+ = = = = = = +

(1.22)


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Clculo de la tensin cortante mxima:Los puntos del crculo de Mohr donde la tensin cortante es mxima, son los puntos F yG, los de mxima ordenada. (Fig.1.17).

O C

A

B

17

xDy

xy

yx

Fi

El val nsin corta e mxima ser pu

bien:

or de la te nt es:

o

Las superficies SF y SG, donde se darn las max, estarn a 45 de las superficiesprincipales SM y SN,pues los puntos F y G de la circunferencia se encuentran a 90 delos puntos M y N. (Fig.1.17).

ASO DE TENSIONES TRIAXIALESCSe dice que un elemento de material se encuentra en un estado de tensiones triaxial

cuando est sometido a tensiones en los tres ejes coordenados.un paraleleppedo diferencial alrededor de l y sean los ejes 1,

y 3, los ejes principalesSupongamos un punto O,2

g.1.17

2 1

MN

21

F

G

max

max

2

2max Ra ( por ecuacin 1.21) .24)2

x y

xyCF

= = = +

dio (1=

1 2DiRadio (1.25)OM ON

max 2 2 2

metro

= = = =

11

2

2

3

3

1

2

3 Fi

O

g.1.18


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Tema 1: Tensiones

18

a S, paralela al eje 3, las tensiones y sobreicha superficie las podremos obtener del crculo de Mohr (A), (ver fig. 1.20),

La m2 (en este caso las tensiones y crculo de Mohr (B), (ver fig.1.estado de tensiones plano (pues las tensiones cortsemos por una superficie S paralela iones

lisis ante ens y sobreuperficies S paralelas a uno de los ejes principales. Si se quisieran calcular sobre otras

Si se corta por una superficie inclinaddcorrespondiente a las tensiones 1 y 2, similar a un estado de tensiones plano (pues lastensiones 3 no afectaran a dicha superficie).

3

S

nS

1

isma conclusin general es vlida si cortsemos por una superficie S paralela al ejesobre dicha superficie las podramos obtener del

20), correspondiente a las tensiones 1 y 3, similar a un2 no afectaran a dicha superficie) o si

al eje 1 (en este caso las tens y sobredicha superficie las podramos obtener del crculo de Mohr (C), (ver fig.1.20),correspondiente a las tensiones 2 y 3).

Se ha supuesto en la construccin de los crculos que: 1 > 2 > 3

En cada uno de los crculos podremos hallar la max correspondiente, siendo la MAXabsoluta la correspondiente al crculo de Mohr mayor (B) y valdra:

n el anE rior hemos considerado el clculo de las t iones ssuperficies S cualquiera, (no paralelas a ningn eje principal), el anlisis sera algo mscomplejo y no se ver en este apartado, aunque se sabe que los valores correspondientes

de y darn puntos situados sobre el rea limitada por las tres circunferencias deMohr

2

O31

2

Fi

3

g.1.19

123 O

MAX A

B

C

O

231

Fig.1.20

=MAX


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Seccin 1.6: Formas de trabajo de una seccin. Relaciones entre tensiones y solicitaciones

19

SECCIN. RELACIONES ENTRE1.6.- FORMAS DE TRABAJO DE UNATENSIONES Y SOLICITACIONES

CCINFORMAS DE TRABAJO DE UNA SE

onsideremos un slido sometido a un sistema de fuerzas exteriores y que se encuentran equilibrio esttic elstico.

egn lo visto en el apartado 1.1, si se d Internas o Tensiones, seccionamos el slido por dicha

p

ca sobre l. Estas acciones son precisamente las Fuerzasternas o Tensiones que apareceran sobre los puntos de la superficie S seccionada.

ues bien, para saber algo de ellas, hagamos lo siguiente:

omemos un sistem (centro de gravedad de laccin S), siendo el eje X perpendic superficie S y con sentido positivo saliente

e la misma y los ejes Y y Z los ejes principales de la

ositivos de tal forma que formen un triedro directo

Ce o y

F1

F2

F3

FnF4 F5

Fig. 1.21.a

S

S esea conocer las Fuerzasque aparecen en una superficie determinada Ssu erficie y nos quedamos con una de las dos partes del mismo

El trozo de slido seccionado no estar en equilibrio, a no ser que se restablezcan lasacciones que el otro trozo ejerInP

T a de ejes coordenados con origen en Gse ular a lad seccin S, con sus sentidos

p

FO

S

F1

2F

F4S

Fig. 1.21.b

G

F

S1

F2

Fig. 1.21.c

x

y

z

F4


20/22

Tema 1: Tensiones

La accin de las Fuerzas Exteriores, actuando sobre este trozo del slido, en el punto G,vendrn dadas por: Rext y Mext

G

S

F1

F2

F4

Fig. 1.21

20

or ltimo, si proyectamos Rint y Mintsobre los tres ejes de referencia XYZ, nos darn 6

omponentes: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz,

Para que este trozo de slido seccionado est en equilibrio, el sistema de FuerzasInteriores extendido a lo largo de la superficie S, (fuerzas que las partculas del otrolado de la superficie S que hemos apartado, estaban actuando sobre las partculas de lasuperficie S del lado del slido que nos hemos quedado), producirn una accin en Gdada por: Rint y Minty se tendr que cumplir que:

P

c

.d

x

y

zRext Mext

ext= Resultante de las Fuerzas ExterioresM = Momento resultante de las FuerzasExteriores respecto de G

Rext

G

S

F1

F2

F4

Fig. 1.21.e

x

y

zRext Mext

RintMint

int ext

Mint = - MextR = - R

F1

G

S

F2

F4

Fig. 1.21.f

x

y

z

RintMintRy

M

Rx

z

Mz

R

x

My


21/22

Seccin 1.6: Formas de trabajo de una seccin. Relaciones entre tensiones y solicitaciones

21

de la

jem

Cada una de esas componentes nos indica una Forma de Trabajo o de Solicitacinseccin S:

E plos:

Rx (fuerza normal) N(TRACCIN COMPRESIN)DURA en eje Y)

R (fuerza cortante) Vz (CORTADURA en eje Z)

M momento flector) My(FLEXIN en plano XZ, alrededor del eje Y)Mz omento flector) Mz (FLEXIN en plano XY, alrededor del eje Z)

Ry (fuerza cortante) Vy (CORTAz

Mx (momento torsor) T (TORSIN)y (

(m

G

S

F1

F2

F4x

zN

GS

F1

F2

F4x

z

Vy

G

S

F1

F2

F4x

zVz

G

S

F1

F2

F4x

z

T

G

S

F1

F2

F4x

z

My

G

S

F1

F4

F2

x

zMz

TRACCIN COMPRESINF F F F

x x

CORTADURA en eje Y

y

x

F

MTORSIN

x

F

FLEXIN en el plano XY(alrededor eje Z)

x

y

F

x

y

z

IN en plano XZFLEX(alrededor eje y)

z

x

F

CORTADURA en eje Z

Fig.1.22


22/22

Tema 1: Tensiones

RELACIONES ENTRE TENSIONES Y SOLICITACIONES

Cada una de estas Solicitaciones as obtenidas sern resultado de las Tensiones (o

las Tensiones o Fuerzas internas en cadaconocidas las Solicitaciones (Resultante y

Mom : N, Vy, Vz, T, My, Mz) .

Fuerzas Internas) distribuidas a lo largo de la seccin S. Unas y otras estarnrelacionadas de la siguiente manera:

G

S

F1

F2

F4x

y

z

Vy

N

V

T

M

Mz

z

zz

y

yG

dSy xz

xy

22

Seccin S

Fig.1.23.b

x

S

xy

S

xyxzdSy..

Fig. 1.23.a

( )

==

===S

xzz

S

xyy

S

x

dSzMdSzyT

dSVdSVdSN

.....

...

Estas ecuaciones se utilizarn para calcularuno de los puntos de una seccin S, una vez

ento resultante de las Fuerzas interiores

=zMS

(1.26)

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