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CURSO 2005-2006

TE

MA

19

Cálculo de límites de sucesiones*

Propiedades aritméticas de los límites de sucesiones. Sean las sucesiones { }na y { }nb tales que : lim limn nn n

a a b b→∞ →∞

= = , donde ,a b R∈

Entonces podemos obtener su suma, su diferencia, su producto y su cociente, tal como vimos en el tema anterior. En estas condiciones se cumple:

{ } ( ){ } ( ){ } ( )

: lim lim lim

: lim lim lim

: lim

: lim 0 0

n n n n n nn n n

n n n n n nn n n

n n n nn

n nnn

n n

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b a b

a a a b n bb b b

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

→∞

→∞

+ + = + = +

− − = − = −

⋅ ⋅ = ⋅

= ≠ ∀ ≠

Para

Para

Para

Para

Es decir: El límite de una suma de sucesiones es la suma de los límites de ambas, el de una diferencia la diferencia de los límites, el de un producto es el producto de los límites y el de un cociente (con las condiciones ya sabidas) es el cociente de los límites. Además se cumplen las dos propiedades siguientes:

( )

lim

lim .limn

n nn n

c c c

c a c a c a→∞

→∞ →∞

∈ =

⋅ = = ⋅

Si esuna constante, entonces

y

Es decir: El límite de una sucesión constante es la propia constante y el límite de una constante por una sucesión es la constante por el límite de la sucesión. Límites infinitos

Una sucesión { }na tiende a infinito y lo denotaremos por:

lim nna

→∞= +∞

cuando para cualquier M ∈ podemos encontrar 0n ∈ tal que si 0n n≥ entonces

na M≥ Dicho de otro modo: Una sucesión tiende a +∞ cuando dado un número real cualquiera (por muy grande que sea), siempre existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son mayores que ese número real.

2

Ej.: Las sucesiones { }n y { }2n claramente tienden a +∞ , mientras que la sucesión { }2n− tiende a −∞ Propiedades aritméticas de los límites infinitos. Supongamos que tenemos dos sucesiones tales que lim limn nn n

a y b b→∞ →∞

= +∞ =

Entonces se cumple que ( )lim n nna b

→∞+ = +∞

Esto lo abreviaremos escribiendo que: b+∞ + = +∞ , entendiéndolo como una notación abreviada, nunca como una operación que realmente es irrealizable. Aplicando esta notación se cumplen las siguientes propiedades: Indeterminaciones Se conocen así las expresiones a las que se llega en el cálculo de límites y que no tienen un resultado perfectamente determinado, como los incluidos en la tabla anterior. Incluso podría aventurarse para

ellas varios resultados. Por ejemplo, la expresión ∞∞

podría valer ∞ , puesto que al dividir ∞por una

expresión debería dar ∞ ; por otro lado podría dar 0, ya que algo dividido por ∞ tiende a 0; también podría ser 1 puesto que una expresión dividida por ella misma da la unidad. La práctica nos hará ver

casos, en que la expresión ∞∞

dará lugar en unos casos a un número y en otros a otro distinto.

Las indeterminaciones más habituales son:

Una sucesión { }na tiende a menos infinito y lo representamos por:

lim nna

→∞= −∞

cuando para cualquier M ∈ podemos encontrar 0n ∈ tal que si 0n n≥ entonces

na M≤ .

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

; ; ; ;

0 00 0

; ; ;

0 10

0 0 10; ; 0 ; 0 ; ; 0;

00

0

b b

n n

b b

si b si bb b

si b si b

k si aSi k a

k si akkn N

si kk

≠ ≠

∞

∞ −∞

+∞ + = +∞ +∞ +∞ = +∞ −∞ + = −∞ −∞ + −∞ = −∞

+∞ > −∞ > +∞ ⋅ = −∞ ⋅ = −∞ < +∞ < +∞ ⋅ +∞ = +∞ +∞ ⋅ −∞ = −∞ −∞ ⋅ −∞ = +∞

+∞ > +∞ > +∞≠ = = −∞ < <

∞∞ = ∞ ∈ ∞ = ∞ ∞ = = ∞ = ∞ = = ∞

±∞ ∞+∞ >

=000

si ksi ksi k

−∞ >∞ <

−∞ <

y los términos de la sucesión del denom. son positivosy los términos de la sucesión del denom. son negativos

+ y los términos de la sucesión del denom. son negativosy los términos de

la sucesión del denom. son positivos

01 ; ; ; 0;0

∞ ±∞∞ −∞ ±∞⋅

±∞

3

Nota:

a) Sabemos que las sucesiones del tipo 2, , kn n n tienden a ∞

b) Tengamos en cuenta que toda sucesión del tipo 2

1 1 1, , kn n n tiende a 0 ya que 1

∞ tiende a 0 .

En general se cumple:

lim 0pn

k p kn→∞

= ∈ ∈

Por ejemplo: 6

5lim 0n n→∞

=

Cálculo de límites

a) Sucesiones con expresiones polinómicas. En general dará +∞ o −∞ Ej. ( )3 2lim 3

nn n

→∞+ + = ∞ ya que se trataría de 3+∞ + ∞ + que según la tabla anterior daría +∞

Ej. Aunque en estás expresiones aparezca ∞ −∞ no se trata de una indeterminación, ya que normalmente proceden de dos potencias distintas y siempre crece mucho más rápidamente la expresión con mayor potencia, por lo que esa es la que domina. Así en el ejemplo

( )3 2lim 3n

n n→∞

− + tendríamos que 3n crece mucho más rápidamente que 2n por lo que la

expresión 3 2n n− crecería sin parar por lo que ( )3 2lim 3n

n n→∞

− + = ∞

Otra forma de justificarlo, sería: ( )3 2 2lim 3 lim .( 1) 3 . 3n n

n n n n→∞ →∞

− + = − + = ∞ ∞ + = ∞

Ej.: ( )5 4lim 4 8n

n n→∞

− + − = −∞

Nota: Para el signo prevalece el del coeficiente de la n de mayor grado.

Por tanto: El límite de cualquier sucesión que tenga una expresión polinómica, es +∞ ó −∞.

b) Caso ∞∞

Cuando tengamos que calcular el límite de un cociente de dos polinomios, que obviamente

producirá una indeterminación del tipo ∞∞

, dividiremos el numerador y denominador por la n de

mayor grado y volveremos a calcular el límite aplicando las propiedades que ya conocemos de los límites. Veamos como se procede en los ejemplos siguientes:

a) 2 2 2 2

2 22

22 2 2 2

3 4 3 4 3 43 4 0lim lim lim lim 01 85 8 5 85 8 55

n n n n

n nn n n n n n

n n n nn nn nn n n n

∞∞

→∞ ↓ →∞ →∞ →∞

++ ++

= = = =− +− + − +− +

Se divide numerador y denominador por la n de mayor grado.

0 0

0 0

4

0 0

b)

5 2

5 2 5 5 5 3 5

55

55 5 5

5 3 2 3 255 3 2 5lim lim lim 1 74 74 7 44∞∞

→∞ ↓ →∞ →∞

− + − +− += = =

+ − + −+ −n n n

n nn n n n n n n

n nn nn nn n n

c) 3 2 3

2 3

3 622 3 5 2lim lim 4 74 7 0n n

n n n nn

n n∞∞

→∞ ↓ →∞

+ −+ −= = = +∞

+ +

Ej.:

2 2 2

2 3

2 3 2 5 2 5 3lim lim lim 05 7 5 5 7 5 4n n n

n n n nn n n→∞ →∞ →∞

+ − − −= = −∞ =

− − + +

Nota: El cálculo del segundo límite es −∞ ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador y en cuanto al signo, el numerador tiende a +∞ mientras que el denominador lo hace a −∞ , por lo que el cociente será negativo (regla de los signos)

Ej.: Hacer el ejercicio 3 del libro página 413 b) Caso ∞−∞ . Si la indeterminación se produce como consecuencia de que la estructura del límite es una diferencia de dos radicales de segundo grado, se multiplica y se divide por la expresión conjugada. Ej.: Hacer en clase el ejercicio 4º de septiembre de 1995 y dejar el ejemplo siguiente para que lo tengan como modelo. Ej.:

( ) ( )( )

( ) ( )2

. ..

2

2 2 2 2

2 2

2 2

12 2

2 2 2

2

1

2

1 1lim 1 lim

1

121 2 1lim lim lim1 1 11 1 1 1

2 2 2 11 1 21 1

Sediv num yden por n

n n n n

n n

Paso

n n n

n n n n n n n nn n n n

n n n n

n n n n n nn n n n n n n n

n n n

∞−∞

∞∞

→∞ ↓ →∞

↓

→∞ →∞

+ −

↓

−

→

+

∞

+ − − + + + − ++ − − + = =

+ + − +

−+ − − + −= = =

+ − − + + − − + + − − +

= = = =++

00

0

0

0

0

De los ejemplos anteriores se pueden extraer las siguientes reglas: Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador el límite siempre da 0. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el límite será +∞ó −∞, según los signos de estos. Si el grado del numerador y denominador son iguales el límite da, el coeficiente de la n de mayor grado del numerador dividido por el coeficiente de la n de mayor grado del denominador.

Se multiplica y divide por la expresión conjugada.

5

Veamos el Paso 1, como se divide por n el denominador hasta llegar a la expresión que aparece:

Ej. ( )

( )

( ) ( )4

2

2 2 2

4 9 1 24lim lim9 1 2 9 1 2 9 1 2n n

n n

n n n n n n∞−∞

→∞ ↓ →∞

− + + = = − − + − − + − + +

( )( ) ( )

( )( )

( )

2

2 2 2

2 2

8 4

22

5

22

4 9 1 2 4 9 1 2 4 9 1 2lim lim lim

9 1 4 49 1 4 49 1 2n

n n

n n

n n n n n n

n n nn n nn n→∞ →∞

− −

→∞

− + + − + + − + + = = = =− − − −− − + +− − +

( )2

2

4 9 1 2lim 0

8 4 5n

n n

n n ∞∞

→∞ ↓

− + + = =− −

(puesto que el grado del numerador es 1 y el del denominador

es 2) Ej.: Hay otro tipo de límites que también tienen como resultado ∞−∞ , pero que no tienen radicales. Veamos un ejemplo de cómo se procede en este caso.

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 22 2

3 2 2 3 2 2

2 2

3 1 1 13 1lim lim1 1 1 1

3 3 1 4 1 1lim lim 11 1 1

n n

n n

n n n n nn n nn n n n

n n n n n n n n nn n

∞−∞

∞ ∞

−∞∞

→∞ ↓ →∞↓ ↓

→∞ →∞ ↓

− + − + −− + − = = − + − +

+ − − − + − + − − + −= = = −

− −

Es decir, en estos casos para calcular el límite, hay que operar previamente. c) Caso 1∞ Este caso se resuelve aplicando la fórmula siguiente: (Ver nota al final del tema sobre la justificación de esta fórmula) Ej.: Hacer en clase el ejercicio 1º de junio 96 tarde y dejar el ejemplo siguiente para que lo tengan como modelo. Ej.:

( ) ( )2

2

1

2 12 12 lim 2 1 15 14

2

2 1lim5

secalcula aparte

n

n nn nn n

n

n n e en n

→∞

∞

− +− − − + −

→∞ ↓

− += = +

Veamos como se llega hasta 14e− :

2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

2

1 1 1 1 1 11 1

1 ba b

n n n n n n n n n n n nn n n n n

a b y ba

n

a

n n+ + − + + − + + − +

= + = + ==

=

+

=

+ − +

( )( ) ( ) ( )lim 1lim n nn n

b abnna e →∞

⋅ −

→∞=

6

( ) ( ) ( )

7 1

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 1 2 1 5 7 1lim 2 1 1 lim 2 1 lim 2 15 5 5

14 2 7 1 14 9 1 14lim lim 145 5 1

n

n n n

n n

n n n n n n nn n nn n n n n n

n n n n nn n n n

− +

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

− + − + − − − + − − = − = − = + + +

− + + − − + − −= = = −

+ +

d) Los casos 000

y±∞ ⋅ son casos infrecuentes, que además se convierten en los anteriores

simplemente operando.

Ej.: ( ).0

2 2

2 2 2

7 1 14 2 7 1 14 9 1 14lim 2 1 lim lim 145 5 5 1∞

→∞ ↑ →∞ →∞

− + − + + − − + − − − = = = = − + + + n n n

n n n n n nnn n n n n n

Ej.:00

32

2

3

22 2 10 22 1lim lim3 3 6 3 3

5n x

n nn nn n

n n↑→∞ ↑ →∞∞∞

− ++ − = =+ −

− +

e) Hay otros casos que también tienen la estructura de ( )( )lim nbnna

→∞, pero que no dan lugar a

indeterminaciones. Veamos algunos ejemplos:

( ) 23lim 2n

nn n

− ∞

→∞+ = ∞ = ∞

Ej.:

( ) 23

22

2

22

2

1 1lim 2 0

2 3 2 1 1lim 0 16 4 6 3 3 1

0 16 4 6lim 3 3 12 3 2

n

n

n

n

n

n

n n

n nn a

aan

n n

− + −∞∞→∞

∞ ∞

→∞∞

∞∞

→∞

+ = ∞ = = =∞ ∞

+ − = = = < − +∞ > < − = = = ∞ > + −

ya quey sabemos que

ya que

Exámenes de años anteriores: 9º junio 95 mañana 4 º septiembre 95 (Ya hecho) 5º junio 96 mañana 1º junio 96 tarde (Ya hecho) 10º junio 98 mañana 3º septiembre 98 (coincide 1º junio 96 tarde) 8º junio 99 mañana 10º junio 99 tarde 8º septiembre 99 3º junio 00 mañana 3.

7

Solución:

2 2

2

1 9 2lim3 2 4 5x

n nn n→∞

+ − +

− + −

Aunque aparece la expresión 2 21 9 2n n+ − + que da lugar a ∞ −∞ , es desaconsejable intentar la técnica de multiplicar y dividir por la expresión conjugada. Puesto que aparecen en la expresión cocientes de infinitos, vamos a utilizar la técnica de dividir numerador y denominador por la n de mayor grado que en este caso es 1, ya que 2n está bajo el signo de raíz cuadrada.

Dividiendo numerador y denominador por n queda: 2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 9 2 1 9 21 9 2lim lim lim

3 2 4 5 3 2 4 5 3 2 4 5x x x

n n n nn n n n nn n n n n n

n n n n

→∞ →∞ →∞

+ − + + +−+ − +

= = =− + − − + − −− +

2 2

2

1 21 9 1 9 1 3 2lim3 2 52 5 3 43 4

x

n n

n n→∞

+ − + − −= = = = −

++− + −

(puesto que 2

1n

, 2

2n

, 2n

y 2

5n

tienden a 0)

La respuesta correcta es 25

−

7º septiembre 00 (coincide con 3º junio 2000 mañana) 3º junio 01 mañana 10 junio 01 tarde 10. 7º septiembre 01 7º junio 02 tarde 7º septiembre 02 2º junio 03 mañana

8

4º junio 03 tarde 2º septiembre 03 7º junio 04 mañana 7º junio 04 tarde 9º septiembre 04

Solución: El límite propuesto es del caso 1∞ Este caso, como sabemos se resuelve aplicando la fórmula siguiente:

( ) ( )2

2

1

3 23 12 lim 3 1 16

2

Ver abajo

3 2lim

se calcula aparte

n

n nn nn n

n

n n e en n

→∞

∞

+ +−− − +

↑→∞ ↓

+ += = +

( ) ( )

( )2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

Cocientes del mismocoef. num.gradocoef. den.

3 2 3 2lim 3 1 1 lim 3 1

2 2 6 6 2 2 6 4 2 6lim 3 1 lim lim

n

n n

n n n

nn

n n n n n nn nn n n n

n n n n n nnn n n n n n

+

→∞ →∞

↑→∞ →∞ →∞

⇒

+ + + + − −

− − = − = + +

+ + − − + − = − = = = + + + 6

1=

La respuesta correcta es 6e 7º junio 05 mañana 8º junio 05 tarde 3º septiembre 05

En las dos páginas siguientes, figuran una serie de ejercicios resueltos, que se añaden al tema. Algunos de ellos han sido ya resueltos en clase. * Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil, basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales del curso 2001-2002, por el profesor tutor del Centro de la Uned Alzira-Valencia “Francisco Tomás y Valiente”, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado.

( )( ) ( ) ( )lim 1lim n nn n

b abnna e →∞

⋅ −

→∞=

9

10

11

JUSTIFICACIÓN DE LA FÓRMULA ( )( ) ( ) ( )lim 1lim n nn n

b abnna e →∞

⋅ −

→∞=

La indeterminación del tipo 1∞ se resuelve mediante la fórmula anterior. Veamos como curiosidad su demostración (la técnica consiste en completar las expresiones de modo que al final aparezca el límite del número e que sabemos que viene definido por

1lim 1n

ne

n→∞

= +

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )1 11

Sumo y Mult. y div.resto 1 el exp. por

1

1 1lim lim 1 1 lim 1 lim 11 11 1

n n nn

n n

n

b b aa

b bn nn n n n

n na

a a

a a

⋅ ⋅ −−

↑ ↑→∞ →∞ →∞ →∞

−

= + − = + = + = − −

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

lim

1 lim 11 11 1

lim 1

Aplico que Ver notafinallim =

= lim

1 1lim 1 lim 11 11 1

n n n nn

n n

n nn

bnnn

bnnnn

b a b a

a a

b a

n n

an n

a

e

a a

→∞

→∞

→∞

→∞→∞

⋅ − ⋅ −

− −

⋅ −

↑ ↑→∞ →∞

= + = + = − −

Nota: Sabemos que 1lim 1n

ne

n→∞

= +

, pero también se cumple 1lim 1nc

nn

ec→∞

= +

siendo nc una

sucesión que tiende a ∞ cuando n tiende a ∞ .

Si nos fijamos 1

1na − es una sucesión de ese tipo, ya que cuando n tiende a ∞ , na tiende a 1 y

por lo tanto la sucesión 1

1na − tiende a ∞ .

Por ello

11

1lim 1 11

na

n

na

−

→∞

+ −

=e y ( )( ) ( ) ( )lim 1lim n nn n

b abnna e →∞

⋅ −

→∞=