TEMA2 DINÁMICA CAUSAS DE LOS DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTO filea) Se establecen unas leyes que...

FÍSICA Y QUÍMICA 1º BACH___________________________________________ IES EL PARADOR

Referencia bibliográfica: Fís y Quím 1º de Bachillerato (Jaime Carrascosa y otros)

TEMA2

DINÁMICA

CAUSAS DE LOS DISTINTOS TIPOS DE MOVIMIENTO

INTRODUCCIÓN

En el tema anterior hemos aprendido a describir diferentes tipos de movimientos, en

unos casos conocida la trayectoria de antemano y en otros no. En cualquier caso, las

herramientas utilizadas para describirlos, es decir, las magnitudes cinemáticas y las

ecuaciones del movimiento, nos ha permitido predecir situaciones en relación con cada

uno de ellos: a qué altura llegará un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba, qué

alcance conseguirá un cuerpo lanzado oblicuamente, qué tiempo tardará en dar una

vuelta completa un cuerpo que describa un movimiento circular, etc.

Sin embargo, un pregunta interesante que merece la pena hacerse es

¿Por qué un cuerpo se mueve de una determinada manera y no de otra?

Es decir, cuál es la causa de que haya diferentes tipos de movimientos. El interés de

responder a esta cuestión es que nos permitiría controlar algunos movimientos a nuestro

interés y predecir situaciones futuras en el caso de algunos móviles. Esta es la cuestión

que trata fundamentalmente la parte de la física que llamamos Dinámica.

La pregunta anterior ya fue tratada hace mucho tiempo por

los filósofos griegos. Aristóteles, en el siglo V antes de

Cristo, construyó un cuerpo de conocimientos que llamamos

física aristotélica y que se basaba en el sentido común. Las

dos ideas básicas de la física aristotélica que nos interesa

aquí resaltar son:

a) Se establecen unas leyes que rigen el comportamiento de

la naturaleza muy distintas para lo que pasa en la Tierra y

para lo que pasa en el espacio celeste, donde se mueven

los planetas, el So, la Luna y las estrellas; y

b) Se conciben las fuerzas como las causas de los

movimientos.

Todas las ideas de la física aristotélica fueron profundamente integradas en la ideología

cristiana que imperó en occidente desde el siglo V después de Cristo, ya que dichas

ideas casaban perfectamente con las sagradas escrituras. Así pues, todo aquél que

contradijera las teorías de Aristóteles contradecía a la vez a las sagradas escrituras, y

sería considerado un hereje merecedor de la muerte en la hoguera para limpiar sus

impurezas. Imaginaros quién se iba a atrever a poner en duda las ideas de Aristóteles.

Fijo que si Aristóteles hubiera salido de la tumba se hubiera llevado una gran desilusión,

pues en el fondo era un libre pensador que defendía, ante todo, el razonamiento

humano, coincidiera o no con el suyo.

Aristóteles (S.V a.C.)



Así pues, la idea aristotélica de relacionar las fuerzas con las causas del movimiento

perduraron hasta el siglo XVII. El poder explicativo de las ideas de Aristóteles era más

bien limitado, y ya en el siglo XVI hubo personas que empezaron a difundir ideas que

contradecían poco a poco las ideas de Aristóteles. Las ideas de personas como

Copérnico, Galileo y Kepler ayudaron a que en el año 1687 el físico inglés Isaac

Newton publicara las leyes que explicaban el comportamiento de la naturaleza de una

manera diferente a como lo hacía Aristóteles. La física newtoniana demostró tener un

enorme poder explicativo y constituyó la base de todos los avances científicos que se

sucedieron a lo largo del siglo XVIII y XIX. Newton concebía las fuerzas como la causa

del cambio de movimiento mientras que para Aristóteles las fuerzas eran la causa del

movimiento. Además, la física newtoniana tenía carácter universal, es decir, que servía

para explicar de la misma manera los movimientos que ocurrían en el planeta Tierra y

los que ocurrían más allá de la Luna: podía explicar con las mismas ideas por qué en

ausencia de rozamiento los cuerpos caen todos con la misma aceleración (9,8 m/s2) en

las proximidades de la superficie de la Tierra, o por qué el lanzamiento oblicuo de lugar

a una trayectoria parabólica, o por qué la Luna se mueve alrededor de la Tierra con un

movimiento circular uniforme (como muy buena aproximación) tardando 27,3 días en

dar una vuelta completa, o por qué hacen los planetas lo

mismo alrededor del Sol, etc. De esta manera se rompió

definitivamente la barrera histórica que entre el Cielo y la

Tierra establecía la física aristotélica.

En lo que a nosotros nos interesa en este tema, de la física

newtoniana hay que destacar dos elementos trascendentales:

los tres principios de la dinámica (o tres leyes de Newton) y

la ley de gravitación universal. Resumidamente las podemos

escribir en lenguaje matemático de la siguiente forma:

Leyes de Newton

3ª ley: Cuando dos cuerpos interactúan lo hacen de manera simultánea, de modo que las

fuerzas que se ejercen entre ellos son exactamente iguales en módulo y dirección, pero

de sentidos contrarios.

1ª ley: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, o la resultante de ellas es nula,

permanecerá en reposo o en movimiento

rectilíneo uniforme.

Si 0F

reposo o mru

Isaac Newton (1643-1727)

1,2 2,1F F



2ª ley: Si la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo no es nula, éste

adquiere una aceleración que cambia el estado de movimiento del cuerpo.

Esta aceleración viene dada por la ecuación fundamental de la Dinámica:

Ley de gravitación universal

Dos cuerpos con masa siempre interactúan de manera atractiva, de manera que las

fuerzas con las que se atraen como resultado de dicha interacción vienen dadas por la

expresión:

r es la distancia que separa ambos cuerpos

m1 y m2 son las masas de los cuerpos

G es la constante de gravitación universal

11 2 26,67 10 · /G x N m kg

Debido al pequeñísimo valor de la constante G, las fuerzas gravitatorias sólo son

apreciables cuando uno de los cuerpos (o los dos) son muy masivos, lo que sólo ocurre

en el caso de los planetas, las estrellas o los satélites.

Esta ley de gravitación universal cosechó enormes éxitos dada su capacidad predictiva,

tal y como veremos a lo largo de este tema, pero también suscitó algunas dudas. Cuando

empujamos un cuerpo o lo apoyamos en una superficie, cuando golpeamos un balón,

cuando cortamos un papel, etc., aparecen fuerzas debidas al contacto entre los cuerpos

que interactúan. Sin embargo, ¿cómo explicar que dos cuerpos que no estén en contacto

puedan interaccionar entre sí, más aún si la distancia entre ellos es tan grande como la

que separa la Tierra y la Luna o el Sol y un planeta? Newton resolvió en parte este

problema sugiriendo la idea de acción a distancia. Hoy en día queda totalmente

resuelto si utilizamos el concepto de campo gravitatorio, pero ese tratamiento se deja

para un curso de Física de 2º de Bachillerato.

CAPACIDAD PREDICTIVA DE LAS LEYES DE NEWTON

Ahora ya nos vamos a meter en faena. Aplicaremos las leyes de Newton para poder dar

respuesta a cualquier interrogante que se nos plantee en relación con diferentes tipos de

movimientos en los que intervienen fuerzas muy distintas. Se trata de ver, pues, cuál es

el enorme poder explicativo y la capacidad predictiva que tienen los principios de la

dinámica. Por lo que ya sabemos de cinemática, para poder escribir las ecuaciones del

2 1,m mF

1 2,m mF

1m

2m

r

1 2 2 1

1 2, , 2m m m m

m mF F G

r

F

F

Movimiento cada

vez más rápido Movimiento cada

vez más lento

Fa

m



movimiento de un objeto es imprescindible conocer su aceleración en todo momento

(además de la velocidad y la posición en un instante dado, que generalmente suele ser el

inicial). Con ayuda de los principios de la dinámica podemos calcular la aceleración de

un cuerpo si conocemos en todo momento las interacciones en las que participa y somos

capaces de dibujar, por tanto, todas las fuerzas que actúan sobre él. De esta manera, si la

aceleración resultante es nula o constante en el tiempo estamos en situación de poder

abordar el estudio de tales movimientos. Empezaremos estudiando casos sencillos en

los que participan fuerzas conocidas ya por vosotros, como el peso o la normal. Luego

iremos estudiando movimientos en los que van interviniendo otras fuerzas: rozamiento,

tensiones de cuerdas, fuerzas elásticas de muelles, etc.

Sea cual sea el caso habrá siempre que determinar si la trayectoria del movimiento se

conoce de antemano o no. En los casos en los que no se conozca de antemano no nos

quedará más remedio que hacer un tratamiento vectorial y trabajar con las componentes

cartesianas (x,y). Para nosotros, estos casos se reducirán al estudio del tiro parabólico.

En los casos en los que sí que se conozca de antemano la trayectoria podremos trabajar

con las componentes intrínsecas del movimiento (tg,n). Eso nos obligará a descomponer

la ecuación fundamental de la dinámica en unas componentes u otras. En resumen:

MOVIMIENTOS GOBERNADOS POR FUERZAS CONOCIDAS:

EL PESO, LA NORMAL Y OTRAS FUERZAS DE CONTACTO

Peso de un cuerpo

Entendemos por peso de un cuerpo la fuerza con que un

planeta o un satélite lo atrae cuando se sitúa en la superficie de

dicho planeta o satélite. Así, podemos hablar del peso de un

cuerpo en la Tierra, o del peso de un cuerpo en la Luna, o del

peso de un cuerpo en Júpiter.

Ecuación

fundamental de

la dinámica

Fa

m

Si la trayectoria

NO se conoce

de antemano

Si la trayectoria

SÍ se conoce de

antemano

( )xx

Fa

m

( ) y

y

Fa

m

( )tg

tg

Fa

m

( )nn

Fa

m



Cuestión 1

a) A partir de la LGU demuestra que la expresión de la fuerza peso de un cuerpo sobre

la superficie de la Tierra viene dada por P=mg, y que el valor de g es 9,8 N/kg. b)

Seguidamente demuestra que todos los cuerpos que caen libremente (en ausencia de

rozamiento) en las cercanías de la superficie de la Tierra lo hacen con la misma

aceleración, y que su valor es de 9,8 m/s2.

Cuestión 2

Determina el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna y en la

superficie de Júpiter.

Cuestión 3

Hallad cuántas veces es mayor el peso de una estudiante de 55

kg que la fuerza de atracción gravitatoria existente entre ella y

un compañero de 65 kg que se encuentra a 50 cm de distancia.

Problema 1

a) Se lanza una pelota de tenis de 58 g en la dirección vertical sobre la superficie de la

Tierra con una velocidad inicial de 200 km/h. Suponiendo despreciable el rozamiento

con el aire, determina qué altura máxima alcanzará. b) Seguidamente comprueba si a

esa altura podemos seguir considerando para g el valor de 9,8 N/kg como buena

aproximación. c) Determina qué altura alcanzaría esa pelota de tenis si, en vez de

lanzarla sobre la superficie de la Tierra, la lanzásemos desde: i) la superficie de la

Luna, ii) la superficie de Júpiter.

Problema 2

Desde un avión que vuela a 500 m de altura y a 300 km/h se deja caer un fardo de 25

kg. Determina a qué distancia caerá el fardo al suelo medida desde la vertical donde se

dejó caer.

Problema 3

Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una torre 45 m de altura. Al mismo tiempo sopla

un viento lateral que ejerce sobre él una fuerza constante de 8 N. Determina a qué

distancia de la base de la torre llegará al suelo.

Fuerza normal

Cuando un cuerpo se encuentra en contacto con una superficie interactúan de manera

que aparecen sendas fuerzas, una sobre el cuerpo y otra sobre la superficie, en la

dirección perpendicular al plano de la superficie. A la fuerza que la superficie ejerce

sobre el cuerpo se la denomina fuerza normal (ten en cuenta que en matemáticas la

palabra normal significa perpendicular), y nosotros la vamos a representar por R

. Esa

fuerza es mayor cuanto más apretados se encuentren el cuerpo y la superficie.

R

R

R



Cuestión 4

En un ascensor hay una persona de 80 kg de masa. Determina el

módulo de la fuerza que la persona ejercerá sobre el suelo, cuando

el ascensor:

a) Ascienda cada vez más rápido, con una aceleración de 2 m/s2.

b) Baje cada vez más rápido, con una aceleración de 2 m/s2.

c) Ascienda con rapidez constante de 3 m/s.

d) Caiga libremente al romperse el cable.

Problema 4

Un bloque de 450 kg de masa se

encuentra en reposo sobre un plano

horizontal, cuando comienzan a

actuar sobre él las fuerzas F1 y F2

de módulos 7000 N y 4000 N

respectivamente, tal y como se

indica en la figura. Suponiendo el

rozamiento despreciable, calcula:

a) La distancia que habrá recorrido al cabo de 5 s de actuar dichas fuerzas. b) El valor

de la fuerza normal que bloque ejerce sobre el suelo.

MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENE

LA FUERZA DE ROZAMIENTO

Vivimos en un mundo en el que las fuerzas de rozamiento están presentes en la mayoría

de los fenómenos que observamos. ¿Qué ocurriría si, de repente, desapareciesen las

fuerzas de rozamiento? Pues que no podríamos caminar, los coches parados no podrían

comenzar a circular, los vehículos en marcha en una carretera se saldrían en cuanto

intentaran tomar una curva y no podrían parar, no habría estrellas fugaces, los pájaros

no podrían volar, ni los peces nadar, etc. Nosotros vamos a analizar movimientos en los

que existe rozamiento por deslizamiento, pero hay otros tipos de rozamiento entre

superficies como es el rozamiento por rodadura, o el rozamiento con el aire o con el

agua. Estos últimos se estudian en cursos universitarios.

Haremos un estudio simplificado de la

fuerza de rozamiento por

deslizamiento admitiendo que dicha

fuerza se debe a la existencia de

pequeñas irregularidades en las

superficies que entran en contacto.

Dicha fuerza de rozamiento será tal

que:

,max0 r rF F

,p bF

rozF



Y se puede demostrar que el valor máximo de la fuerza de rozamiento por deslizamiento

depende de dos parámetros: de la irregularidad de las superficies que entran en contacto

(cuantificándose por el coeficiente de rozamiento que se calcula experimentalmente),

y de lo apretadas que estén ambas superficies (cuantificándose por el módulo de la

fuerza normal R). Así pues, dicho valor viene dado por la expresión:

,maxrF R

, o lo que es lo mismo, ,maxrF R

Cuestión 5

Sobre un bloque de 15 kg de masa que se

encuentra inicialmente en reposo sobre un plano

horizontal se ejerce una fuerza F

cuyo módulo

vale 80 N. Sabiendo que el bloque desliza y que

el coeficiente de rozamiento vale = 0’3,

calculad la aceleración en los siguientes casos:

a) Fuerza F

paralela al plano.

b) Fuerza F

formando un ángulo de 60º con el plano.

c) Volved a considerar la primera situación planteada y razonad cuanto valdría el

módulo de la fuerza de rozamiento en el supuesto de que el módulo de F

en lugar

de 80 N hubiese tomado los siguientes valores: i) 20 N, ii) 40 N, iii) 800 N.

Problema 5

a) Se quiere determinar el coeficiente de rozamiento entre una caja y un tablón de 4 m

de largo, elevando poco a poco un extremo del tablón y observando cuándo

comienza a deslizar la caja. Al realizar la experiencia, la caja empieza a deslizar

cuando la inclinación del tablón es de 28°. ¿Cuál es el valor del coeficiente de

fricción?

b) Si se inclinase el tablón 60º y se dejase la caja en su parte más alta, ¿con que

rapidez llegaría al final?

Problema 6

Un esquiador inicia el descenso por una pendiente de 45º siguiendo la línea de máxima

pendiente. Suponiendo que el coeficiente de rozamiento sea = 0’15, determinad qué

rapidez (en km/h) llevará a los 100 m de recorrido. (Rdo. v=123’6 km/h)

Problema 7

Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza con una rapidez de 6 m/s desde la base de un plano

inclinado de 5 m de longitud y 3 m de altura. Sabiendo que el coeficiente de fricción es

0’6, se pide:

a) Altura máxima que alcanzará. (Rdo. hmax=1 m)

b) Razonad si bajará o no.

c) En caso de que baje, calculad con qué rapidez llegaría a la base. (Rdo. v=2 m/s)



MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENEN CUERDAS Y

POLEAS

En la vida cotidiana existen casos en los que se ejercen fuerzas mediante cuerdas o

cables metálicos: los cables de un ascensor, las cuerdas de las poleas usadas por los

albañiles, el hilo de un péndulo, las cuerdas de una escalada, un barco de vela, etc. En la

mayoría de los casos se ejerce una fuerza en uno de los extremos de la cuerda y el otro

se sujeta al cuerpo sobre el que queremos actuar y que es el objeto de nuestro estudio.

En estos casos se puede demostrar, aplicando

los principios de la dinámica, que cuando

consideramos la masa de la cuerda

despreciable, el papel de la cuerda es

transmitir la fuerza de un extremo a otro.

Existen también muchas ocasiones en las que una cuerda o

cable que tira de un cuerpo pasa por la garganta de una

polea. Se trata de un caso más complejo, pero también se

simplifica cuando se supone que la masa de la polea es

despreciable. En ese caso la polea no presenta ninguna

resistencia a la rotación y su único efecto es cambiar la

dirección de la fuerza que transmite la cuerda.

Problema 8

Determinad la fuerza constante que la persona

de la figura ha de ejercer para subir el bloque

por la rampa en 5 s. Datos: El bloque se halla

inicialmente en reposo en la base de la rampa,

su masa es de 50 kg, el coeficiente de

rozamiento entre bloque y plano es =0’8, y la

longitud L que ha de recorrer es de 7 m.

(El dibujo no está a escala).

Problema 9

En el sistema de la figura adjunta las masas de los

bloques son mA=2 kg y mB=6 kg. Considerando

despreciables las masas de la polea y de la

cuerda, se pide:

a) Aceleración con que se moverá el sistema y

tensión de la cuerda, suponiendo rozamiento

nulo. (Rdo. a=2’45 m/s2 y T=14’7 N)

b) La aceleración, suponiendo que entre el

bloque B y la superficie la fricción no es

despreciable y el coeficiente de rozamiento

vale =0’2. (Rdo. a=0’98 m/s2)

T

T

T

T



Problema 10 (Máquina de Atwood)

Dos masas, de 6 kg y de 2 kg, cuelgan de los extremos de una

cuerda inextensible que pasa por la garganta de una polea fija

al techo. Suponiendo g=10 N/kg y despreciando las masas de

la cuerda y de la polea, calcula la aceleración con que se

mueve el conjunto y la tensión de la cuerda.

Problema 11

La máquina de Atwood se ideó para determinar la intensidad

del campo gravitatorio. Consiste en dos cuerpos que cuelgan

de los extremos de una cuerda inextensible que pasa por la

garganta de una polea. En una máquina de Atwood las masas

de los cuerpos utilizados fueron de 3 kg y de 4 kg,

comprobándose que la aceleración con que se movieron fue de

1’4 m/s2. Determinad la intensidad del campo gravitatorio y la

tensión de la cuerda. (Rdo. g=9’8 N/kg y T=33’6 N)

Problema 12

Un péndulo de 200 g de masa cuelga suspendido del techo de un vehículo. Sabiendo

que forma un ángulo de 20° con la vertical, determinad la aceleración del vehículo y la

tensión del hilo. (Rdo. a=3’6 m/s2 y T=2’1 N)

MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENEN FUERZAS

ELÁSTICAS

En la vida diaria también se presentan situaciones en las que hay presentes objetos

elásticos que ejercen fuerzas. Podemos considerar como elástico un objeto que puede

recuperar su forma inicial cuando se le comprime o estira y luego se le deja libre. Este

es el caso de los muelles, de las gomas elásticas, de una cama elástica, de la rama verde

y fina de un árbol, etc. Además, en física y en química es muy importante conocer bien

este tipo de fuerzas porque la interacción entre los átomos en cualquier enlace químico

es similar a la interacción entre dos cuerpos unidos por un muelle.

La naturaleza de esta interacción ya fue

estudiada en la época de Newton por un

científico llamado Robert Hooke. A la

expresión matemática que permite

cuantificar esta interacción se le llama

ley de Hooke:

En esa expresión, Fe es el módulo de la fuerza con la que interactúa un muelle y el

cuerpo que lo deforma, x es la deformación que experimenta el muelle (bien porque se

alargue, bien porque se comprima), y k es la constante elástica del muelle que

representa la fuerza que se ejerce por cada metro que se deformase (siempre que se

exprese en el sistema internacional de unidades, es decir, en N/m). En realidad, esta ley

eF k x

x

eF



sólo es válida dentro de los límites de elasticidad del muelle, ya que si se estira o se

comprime más allá de estos límites ya no recupera nunca su forma inicial y ya no vale.

Nunca vamos a estirar un muelle normal un metro, pero si lo estiramos un centímetro

(por ejemplo) la fuerza que aparecerá será 100 veces más pequeña que si se estirase un

metro. Y lo dicho aquí para el muelle valdría para cualquier objeto elástico dentro de

sus límites de elasticidad.

Un aspecto importante de esta fuerza elástica es que cuando un cuerpo comprime o

estira a un muelle, el valor de la fuerza elástica no es constante, pues depende en cada

momento de lo que el muelle esté comprimido o estirado. Esto implica que la

aceleración del cuerpo no va a ser tampoco constante, por lo que no estamos en

condiciones de poder abordar movimientos de cuerpos sometidos a este tipo de

interacción ya que no conocemos aún las herramientas necesarias para ello. Pero hay

otra manera de abordar este tipo de movimientos que trataremos en el próximo capítulo:

el análisis energético. Así pues, en este capítulo sólo podremos abordar situaciones de

cuerpos que se encuentran bajo la acción de una fuerza elástica, pero siempre y cuando

el muelle no experimente ningún cambio en su deformación.

Problema 13

De un resorte de 50 cm de longitud, sujeto del techo de

un autobús, se suspende un cuerpo de 1 kg que le

produce un alargamiento de 10 cm. Si después el

autobús arranca con una aceleración de 4 m/s2 y en

línea recta, determinad el ángulo que formará el

resorte con la vertical y su nueva longitud en la

posición estable (mientras el autobús mantenga la

misma aceleración).

Problema 14

Para poner en órbita un módulo espacial se puede acoplar éste a un cohete que,

durante un primer tramo, se dirige verticalmente hacia arriba. Con objeto de medir la

máxima aceleración que se experimenta durante el lanzamiento, un astronauta utiliza

un resorte elástico (k=78’4 N/m) y cuelga del mismo una objeto de 200 g, observando

que el mayor alargamiento del resorte durante el ascenso es de 10 cm. ¿Cuál fue la

mayor aceleración que experimentó? (Rdo. amax=29’4 m/s2)

Problema 15

El cuerpo de la figura tiene una masa de 5 kg.

Sabiendo que la constante elástica del resorte

vale k=400 N/m, determinad la deformación

del muelle en el equilibrio suponiendo que no

hay rozamiento. (Rdo. x=61,25 mm)



MOVIMIENTOS EN LOS QUE INTERVIENEN CUERPOS CON

CARGA ELÉCTRICA

Unos 75 años después de que Newton expusiera sus leyes de la dinámica y su Ley de

gravitación universal, el físico francés Charles-Augustin de Coulomb dedujo en 1789 la

ley que rige la interacción entre cuerpos cargados eléctricamente. Se trata de una

interacción muy similar a la interacción gravitatoria entre masas pero que, sin embrago,

puede ser tanto atractiva como repulsiva. Si los cuerpos tienen carga del mismo signo la

interacción será repulsiva, pero si tienen cargas de distinto signo será atractiva.

Esta ley, conocida como ley de Coulomb, establece

que la fuerza con que se atraen o repelen dos cuerpos

cargados depende del valor de las cargas de los

cuerpos, de la distancia que los separa y del medio

material en el que se encuentran. El valor de dicha

fuerza viene dado por la expresión:

1 2 2 1

1 2, , 2q q q q

q qF F K

r

En este caso, K es la constante eléctrica del medio,

que en el vacío o en el aire toma el valor:

En este caso, al igual que lo que ocurre con la fuerza elástica, cuando dos cuerpos

cargados se alejan o se acercan el valor de la fuerza eléctrica entre ellos no es constante,

pues depende de la distancia que estén separados. Esto implica que la aceleración de

dichos cuerpos no va a ser tampoco constante, por lo que no estamos en condiciones de

poder abordar movimientos de cuerpos cargados sometidos a este tipo de interacción, ya

que no conocemos aún las herramientas necesarias para ello. Pero también hay otra

manera de abordar este tipo de movimientos que trataremos en el próximo capítulo: el

análisis energético. Así pues, en este capítulo sólo podremos abordar situaciones de

cuerpos cargados que se encuentren bajo la acción de una fuerza eléctrica, pero siempre

y cuando la distancia entre ellos no experimente ningún cambio.

Cuestión 6

Determina la fuerza con que se atraen el protón y el electrón en un

átomo de hidrógeno sabiendo que les separa una distancia de 0,5

Amstrongs y que el valor de sus cargas es qe=e y qp=+e, donde “e”

es la unidad de carga eléctrica (e=1,6x1019

C) (1A=1010

m)

Problema 16

En el péndulo de la figura las dos esferas cargadas se

mantienen en equilibrio. Ambas tienen una masa de 10 g y

tienen la misma carga. La distancia que las separa en el

equilibrio es de 20 cm, y el ángulo que se desvían los hilos de la

vertical es de 15º. Determina el valor de la tensión que soportan

los hilos y la carga de ambas esferas.

29

0 29 10

NmK x

C



Problema 17

Las esferas de la figura tienen ambas una masa de 1

kg y una carga de 15 C. Si en la posición de

equilibrio se encuentran separadas 40 cm, determina

la tensión en los hilos y el ángulo que se desvían con

respecto a la vertical. (Rdo. =51,7º y T=16,13 N)

Problema 18

Dos esferas con la misma carga se encuentran unidas a los extremos de un resorte de

constante elástica k=180 N/m. En la situación de equilibrio mostrada en la figura, y

despreciando el rozamiento con el suelo, la distancia que las separa es de 50 cm. Si la

carga de ambas esferas es de 5 C, determina

el alargamiento que ha sufrido el resorte.

(Rdo. x=5 cm)

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR Y UNIFORME

El movimiento circular está muy presenta en la Naturaleza y también en nuestras vidas

diarias. Atracciones de feria, reproductores de CDs o DVDs, lavadoras, taladros, etc.

son ejemplos de ello. Y como muy buena aproximación también lo son los movimientos

planetarios alrededor del Sol, o el movimiento de los satélites alrededor de los planetas,

o incluso el movimiento de los electrones alrededor del núcleo de los átomos.

Un movimiento circular y uniforme se caracteriza por

mantener una rapidez v constante y una trayectoria

curvilínea con un radio de curvatura r también constante.

Si la rapidez es constante es porque la aceleración

tangencial ha de ser nula. Por otro lado, al ser circular el

vector velocidad cambia continuamente de dirección, por

lo que habrá aceleración normal ( 2

na v r ), que en este

caso será constante al serlo v y r.

¿Qué es lo que hace falta para que un cuerpo se desplace alrededor de un punto con

movimiento circular y uniforme? Pues hace falta una fuerza resultante que en todo

momento esté dirigida en la dirección normal hacia el centro de la trayectoria y cuyo

módulo valga: 2

( )n n

vF m a m

r

A este tipo de fuerza se les denomina también fuerza centrípeta, porque se dirige

siempre hacia el centro. Pero la fuerza centrípeta no es una nueva forma de interacción.

Así, como vamos a ver, puede ser la tensión de un hilo, la fuerza elástica de un resorte,

la fuerza de rozamiento (como cuando un vehículo toma una curva circular con rapidez

constante) o la fuerza de la gravedad (como en el movimiento de la Luna alrededor de la

Tierra).



Problema 19

La Luna describe aproximadamente un movimiento circular y

uniforme alrededor de la Tierra. La distancia media entre los centros

de ambos astros es de 384.000 km y la masa de la Tierra es de 6x1024

kg. Con estos datos obtened la velocidad orbital de la Luna (en km/h)

y su periodo de rotación en torno a la Tierra (en días).

Problema 20

Determina en km/h la velocidad orbital de la Tierra suponiendo

como buena aproximación que ésta describe un movimiento

circular uniforme en torno al Sol con un radio de 1,5x108 km y

que la masa del Sol es de 2x1030

kg.

Problema 21

Determina la velocidad con la que orbita un electrón de un átomo

de hidrógeno en torno al núcleo si el radio de la órbita es de 0,5

Amstrongs. Determina a continuación el número de vueltas que da

el electrón en 1 segundo. Datos: me=9,1x1031

kg; mp=1,7x1027

kg;

e=1,6x1019

C; K=9x109 Nm

2/C

2.

Problema 22

Suponiendo como buena aproximación que la Tierra describe un movimiento circular

uniforme en torno al Sol con un radio de 150.000.000 de km, y que tarda todo un año

en completar un giro, determina la masa del Sol. (Rdo. MS=2x1030

kg)

Problema 23

Sobre una plataforma plana, capaz de girar en torno a un eje

perpendicular, se deposita un cuerpo que presenta con la

misma un coeficiente de rozamiento de 0’8. Encontrad la

máxima distancia a que puede encontrarse el cuerpo del eje de

giro, sin ser lanzado hacia el exterior, si hacemos girar la

plataforma a razón de una vuelta por segundo.

Problema 24

Un muelle de 1 m de longitud y constante elástica k=103 N/m tiene un extremo fijo y en

el otro una masa de 1 Kg, encontrándose ambos sobre un plano horizontal y sin

rozamiento. Si se hace girar la masa con rapidez angular constante de 10 rad/s ¿cuál

será la deformación que sufrirá el muelle? (Rdo. x=11,1 cm)

Problema 25

a) Determinad el radio mínimo que debería tener una curva sin peralte para que un

vehículo de 1000 kg pueda tomarla sin derrapar con una rapidez de 90 km/h

suponiendo que el coeficiente de rozamiento por deslizamiento de los neumáticos

con la carretera sea de 0’64. (Rdo. rmin=99’6 m)

b) A continuación, para el mismo vehículo y la misma

velocidad, ¿qué ángulo de peralte sería necesario

para describir una curva de 100 m de radio si no

hubiese rozamiento? (Rdo. =32’53º)



EJERCICIOS PARA PRACTICAR

1. Admitiendo que g010 N/kg y el radio terrestre RT=6400 km, calculad cuánto pesará

una persona de 80 kg en los siguientes puntos:

a) Sobre la superficie terrestre al nivel del mar.

b) En un avión que vuela a 10 km de altura.

c) En una estación espacial a 500 km sobre la superficie terrestre.

d) ¿A qué altura aproximada sobre el suelo deberá de subir si quiere pesar 10 veces

menos que en la superficie terrestre?

(Rdo. a) 800 N; b) 797’5 N; c) 787’7 N. d) Debería ascender a 13.838’6 km)

2. Calculad el peso de una persona de 100 Kg en la superficie de la Luna sabiendo que

la masa de nuestro satélite es 81 veces menor que la de la Tierra, su radio 3’6 veces

menor y que la intensidad de la gravedad en la superficie terrestre es de 9’8 N/kg.

(Rdo. PL=156'8 N)

3. En un almacén hay que instalar una cinta transportadora para llevar cajas (con

rapidez constante). Al leer el proyecto comprobáis que en un tramo del recorrido la

cinta tiene una pendiente de 56’3º. Buscando en la bibliografía el valor del

coeficiente de rozamiento correspondiente al material de las cajas y la cinta

encontráis que vale =1’3. ¿Recomendarías la realización de dicho proyecto? (Rdo.

No, porque, la componente tangencial de la fuerza peso de cualquier caja superaría

Frozmáx, y la caja deslizaría por la pendiente hacia abajo)

4. Un camión va con cajas llenas de huevos. El

coeficiente de rozamiento entre ellas y el suelo del

camión es 0’3. Suponiendo que el camión se mueve

a 72 km/h, calculad la distancia mínima en que

puede detenerse, frenando de manera uniforme,

para que las cajas no deslicen. (Rdo. 66’7 m)

5. Si dejamos en libertad un cuerpo de 4 kg de masa sobre un plano inclinado de 30º y a

una altura de 5 m, llega a la base del plano con una rapidez de 8 m/s. Determinad el

coeficiente de fricción entre cuerpo y plano. (Rdo. =0’2)

6. Por culpa de un incendio una persona de 80 kg tiene que bajar al suelo desde un

tercer piso situado a 18 m de altura, pero sólo dispone de una cuerda que como

máximo puede soportar sin romperse una tensión de 700 N. a) Calcula la aceleración

mínima con que podrá bajar por la cuerda (sin que se rompa) y con qué rapidez

llegaría al suelo. b) Compara esa rapidez con la que llevaría en caso de haberse

dejado caer libremente. (Rdo. a) amin=1’05 m/s2 y vf=6’15 m/s; b) vf=18’78 m/s)

7. Se quiere proyectar un ascensor cuya cabina tiene una masa de 600 kg. Como sabéis

el ascensor sufre una cierta aceleración cada vez que abandona su estado de reposo

hasta que se mueve con velocidad constante. En este caso, la máxima aceleración

prevista es de 0’5 m/s2. Suponiendo que la carga nunca supere los 400 kg ¿podría

utilizarse para aguantar la cabina un cable que aguantase una tensión máxima de

10.000 N? (Rdo. No, porque la tensión mayor prevista sería T = 10.300 N)



8. Calculad la aceleración del sistema de la figura y

la tensión de la cuerda, cuando el valor de F sea de

400 N. Coeficiente de fricción con el suelo =0’4;

mA=20 kg, mB=30 kg. (Rdo. a=4 m/s2 y T=240 N)

9. Dado el dispositivo esquematizado en la figura

adjunta, sabiendo que el coeficiente de fricción

es 0’15 y que cada bloque tiene una masa que

vale 20 kg, determinad el tiempo necesario para

que el sistema se desplace 1 m partiendo de una

situación inicial de reposo. (Rdo. t=1’04 s)

10. Sobre un disco plano capaz de girar en torno a su centro, se coloca un cuerpo de 5

kg de masa, sujetándolo mediante una cuerda de 0’5 m al centro de giro. Sabiendo

que el coeficiente de rozamiento entre dicho cuerpo y el disco es de 0’8, determinad

a partir de qué rapidez angular de giro del disco se romperá la cuerda si ésta soporta

como máximo una tensión de 60 N. (Rdo. wmax=6’3 rad/s)

11. Un astronauta de 75 kg de masa sale de la estación espacial a efectuar una

reparación durante dos horas. Sabiendo que dicha estación se encuentra a 400 km

de altura sobre el suelo, que el radio medio de la Tierra es RT=6400 km y que la

intensidad del campo gravitatorio terrestre en la superficie vale g0=9’8 N/kg, se

pide: a) Número de vueltas alrededor del centro de la Tierra que habrá dado el

astronauta en ese tiempo y rapidez (en km/h) a la que lo ha hecho. b) Peso del

astronauta a esa altura y explicad por qué no se estrella contra el suelo. (Rdo. a)

Habrá dado 1’3 vueltas desplazándose a 27 659’2 km/h; b) Pesará 651’1 N)

12. Un vehículo de 2000 Kg toma una curva de 20 m de radio y 30° de peralte.

Suponiendo que el rozamiento sea despreciable,

determinad la única rapidez con que podría tomar la

curva (con dicho radio). Razonad lo que sucedería si el

vehículo tomase la curva con otra rapidez. (Rdo. La

única rapidez posible es de 10’8 m/s)

13. (*) Determinad el ángulo mínimo con que

habría que peraltar una curva de 25 m de

radio para que un vehículo de 500 kg pudiese

tomarla, sin deslizar, con rapidez de 72 km/h,

sabiendo que el coeficiente de fricción es 0’8.

(Rdo. El ángulo mínimo es de 19’3º)

14. (*) En algunos parques de atracciones existe un “rotor” o cilindro

hueco que se pone en rotación alrededor de un eje vertical que pasa

por el centro del mismo. Cuando una persona se sitúa dentro de este

aparato pegada a la pared, el cilindro va aumentado su rapidez de giro

progresivamente hasta que al llegar a un valor predeterminado el suelo

baja y, sin embargo, la persona queda pegada a la pared sin caer.



ANEXO

INTERACCIONES SIN ACCESO DIRECTO

A LO QUE OCURRE DURANTE LAS MISMAS

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN

DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Existen situaciones en las que no tenemos un acceso directo a lo que le ocurre al objeto

durante la interacción, pero sabemos que, debido a la interacción, su movimiento no es

el mismo antes que después de la misma. Tiene interés, pues, que intentemos relacionar

lo que le ocurre al objeto durante la interacción con el cambio producido en su

movimiento a causa de ella. Así pues, vamos a expresar primero lo que ocurre en la

interacción con propiedades del objeto que cambien su valor (y que puedan ser

accesibles). Para ello imaginaremos el choque en una sola dirección entre dos bolas (tal

y como puede ocurrir, por ejemplo, en una mesa de billar) y analizaremos lo que

sabemos que le ocurrirá a cada una de ellas:

Según la ecuación fundamental de la dinámica (2ª ley de Newton)

,B A

A

A

Fa

m

,A B

B

B

Fa

m

Si suponemos que durante el breve intervalo de tiempo que dura la colisión la aceleración de ambos

cuerpos es constante:

,Af Ai B A

A

v v F

t m

,Bf Bi A B

B

v v F

t m

donde Aiv

representa la velocidad de la bola A “inmediatamente antes de la colisión” y Afv

la velocidad

de esa misma bola “inmediatamente después de la colisión”.

Podemos expresar esto poniendo en un miembro magnitudes relacionadas con el proceso de interacción y

en el otro miembro magnitudes medibles antes y después de la interacción:

,B A A Af AiF t m v v

,A B B Bf BiF t m v v

,B A A Af A AiF t m v m v

,A B B Bf B BiF t m v m v

Esta última expresión relaciona “algo” que se le hace a un objeto durante una breve interacción ( F t

),

con “algo” del objeto que cambia ( m v

).



A esa propiedad del objeto que cambia se la denomina cantidad de movimiento o momento lineal, y se

simboliza como p m v

. Así, podemos escribir:

,B A Af AiF t p p

,A B Bf BiF t p p

,B A AF t p

,A B BF t p

donde Aip

representa la cantidad de movimiento de la bola A “inmediatamente antes de la colisión” y

Afp

la cantidad de movimiento de esa misma bola “inmediatamente después de la colisión”.

Finalmente, a partir de la 3ª ley de Newton podemos deducir que:

, ,B A A BF F

A Bp p

Esa expresión nos indica que cuando dos cuerpos interaccionan se modifican sus cantidades de

movimiento, de manera que el cambio que se produce en uno de ellos es de igual valor y dirección pero

de sentido opuesto al cambio que se produce en el otro. Por lo tanto, si tenemos en cuenta los dos cuerpos

que interaccionan, se cumplirá que:

A Bp p

Af Ai Bf Bip p p p

Af Bf Ai Bip p p p

En el caso de colisiones que ocurren en dos y tres dimensiones, esa expresión sigue siendo válida, de

forma que se cumple para cada una de las componentes. Por otro lado, aunque estas ideas las hemos

desarrollado para dos objetos que interaccionan, no es difícil demostrar que para un sistema formado por

miles o millones de partículas también se cumplen.

El enunciado anterior nos permite, por ejemplo, conocer el movimiento de un cuerpo

que interacciona con otro, aunque no tengamos un conocimiento detallado de cómo es la

interacción. En general, mediante dicho principio podemos relacionar las cantidades de

movimiento de todos los cuerpos antes de la interacción con las cantidades de

movimiento de todos esos cuerpos después de la interacción.

Se trata de uno de los principios más importantes y útiles de la física debido a su

carácter universal, ya que no se conoce ninguna excepción al mismo. De hecho, cuando

en ocasiones los físicos, al trabajar con partículas subatómicas, han encontrado alguna

situación en la que aparentemente este principio parecía no cumplirse, lo que han hecho,

antes que rechazarlo, ha sido tratar de identificar otra partícula no descubierta hasta ese

momento cuya participación pudiera ser la causante del problema. De esta forma se han

identificado varias partículas como, por ejemplo, sucedió con el neutrón o con el

neutrino.

Principio de conservación de la cantidad de movimiento

En un sistema aislado sobre el cual no se ejercen fuerzas exteriores, aunque es

posible que la cantidad de movimiento de alguno de los cuerpos cambie debido

a su interacción con otros cuerpos del mismo sistema, la cantidad de

movimiento total ha de permanecer invariable



Problema 1 Una patinadora de 60 kg de masa y un patinador de 70 kg que se deslizan en la misma

dirección y sentidos contrarios con rapideces de 8 m/s y 10 m/s respectivamente,

chocan frontalmente permaneciendo unidos tras la

colisión. Suponiendo el rozamiento despreciable,

determinad la rapidez con que se desplazarán

después del choque. (Rdo. vf=1’69 m/s)

Problema 2 Dos vehículos, uno de 600 kg y otro de 800 kg, chocan cuando se desplazaban a 20 m/s

y 10 m/s respectivamente en direcciones perpendiculares. Sabiendo que tras el choque

permanecen unidos, obtened su rapidez tras la colisión y el ángulo con el que se

desplazan. (Rdo. vf=10’3 m/s y =33’7º con respecto a la dirección que traía el

primero vehículo)

Problema 3 Una carcasa de 450 g de masa se lanza verticalmente hacia arriba y cuando alcanza su

altura máxima estalla rompiéndose en tres trozos. Uno de ellos, de 150 g, sale

despedido hacia el este a 40 m/s y otro, de 120 g, sale hacia el norte a 50 m/s. Calculad

con qué rapidez y en qué dirección salió despedido el trozo restante. ¿Es realmente la

carcasa un sistema aislado? (Rdo. v3f=47'14 m/s en dirección sur-oeste)

Problema 4 Una bala de 200 g sale de la boca de un arma con una rapidez de 300 m/s. Calculad la

velocidad con que ésta retrocede si la masa del arma descargada es de 4’8 kg. (Rdo.

vf=12’5 m/s)

Problema 5 Una partícula de 200 g se desplaza a 0’4 m/s cuando choca con otra de 300 g que se

encuentra en reposo. Después de la colisión, la primera se mueve a 0’2 m/s en una

dirección que forma un ángulo de 40° con la inicial. Obtened la rapidez y la dirección

con la que se moverá la segunda partícula tras la colisión. (Rdo. v2f=0’19 m/s con un

ángulo de 27’9º con respecto a la dirección inicial que llevaba la primera partícula

antes del choque)

Problema 6 (*) Un átomo de hidrógeno moviéndose a 384 m/s choca contra un átomo de yodo que se

mueve a 12’8 m/s perpendicularmente respecto al primero. A causa del choque ambos

quedan unidos formando una molécula que se mueve en una dirección que forma un

ángulo de 76’7º con la dirección inicial del átomo de hidrógeno. Con estos datos,

calculad cuántas veces es mayor la masa del átomo de yodo que la del de hidrógeno.

(Rdo. mI=126’9·mH)

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