Problemas de Qumica Fsica II Grupo B, curso 2014-2015

TEMA 2. SISTEMAS MODELO

2.1.- Calcule la probabilidad de encontrar la partcula en la primera cuarta parte de la caja de potencial

cero unidimensional para n = 2 y n = 3, siendo la funcin de onda !n = (2/L)1/2 sen(n"x/L).

2.2.- Calcule el valor ms probable y el valor promedio de la posicin para una partcula en una caja de

potencial cero unidimensional en el nivel n.

2.3.- Un modelo simple de la estructura electrnica de los polienos es el modelo orbital molecular

electrn libre, el cual considera que una cadena de N tomos conjugados, con una longitud media de

enlace carbono-carbono RC-C, forma una caja de longitud L = (N1)RC-C en la que los electrones ! se

mueven libremente. a) Encuentre las funciones de onda y sus energas para el sistema !-electrnico de

los polienos conjugados, suponiendo que los electrones ocupan los estados por pares, con lo que estn

ocupados los N/2 estados inferiores. b) Deduzca una expresin que permita calcular la longitud de

onda de la transicin energtica ms baja. c) Calcule dicha longitud de onda para la molcula de

caroteno, la cual implica un polieno lineal con 18 tomos de carbono.

Datos: R(CC) = 1.45 , R(C=C) = 1.35 .

2.4.- Considere una partcula de masa m que se mueve dentro de una caja cbica de potencial cero y de

arista L. La energa de la partcula es E = 7h2/4mL2. a) En qu nivel de energa se encuentra la

partcula y cul es la degeneracin correspondiente a dicho nivel? b) Escriba las posibles funciones de

estado. c) Cuntos niveles y cuntos estados hay por debajo del nivel donde se encuentra la partcula?

2.5.- Una masa de 1 g unida a un muelle, cuya constante de fuerza es 2 N m1, oscila con una amplitud

de 1 cm. Suponiendo que la energa est cuantizada y viene dada por la expresin E! = (! + 1/2)h#,

calcule el nmero cuntico ! para este sistema y la energa necesaria para excitar el sistema al

siguiente nivel de energa.

2.6.- Calcule el valor promedio y el valor ms probable de la posicin para un oscilador armnico

simple en el estado fundamental y en el primer estado excitado. [$ = m%/! = (mk)1/2/"].

! = 0 "0 = ($ /!)1/4 exp($ x2/2)

! = 1 "1 = (2$ )1/2 ($ /!)1/4 x exp($ x2/2)

2.7.- Clsicamente, una partcula, como oscilador armnico, no puede pasar ms all del punto para el

cual la energa cintica es cero, es decir, donde la energa potencial es igual a la energa total.

a) Calcule la expresin para el desplazamiento mximo permitido clsicamente para un oscilador con

energa total E! = (! + 1/2)h#. Exprese este desplazamiento en trminos de la variable adimensional y

= x/&.

b) Calcule la probabilidad de encontrar la partcula en la regin prohibida clsicamente para el estado

fundamental.

Problemas de Qumica Fsica II Grupo B, curso 2014-2015

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fer(z) 0.742 0.797 0.843 0.880 0.910 0.952

2.8.- La siguiente funcin de onda, la cual est normalizada, describe el movimiento de una partcula

de masa m en la dimensin x.

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a) Compruebe si existe algun valor de a para el cual esta funcin es solucin de la ecuacin de

Schrdinger de un oscilador armnico de masa m y constante de fuerza k. Calcule la energa y diga de

qu estado se trata.

b) Encuentre los nodos de la funcin.

c) Determine los valores ms probables de la posicin de la partcula. (No es necesario calcular las

derivadas segundas).

d) Calcule la probabilidad de encontrar la partcula entre x = 0 y x = !.