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TEMA 3: ENLACES Y EQUILIBRIO
ANTONIO DELGADO TRUJILLOENRIQUE DE JUSTO MOSCARDÓPURIFICACIÓN ALARCÓN RAMÍREZ
Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería de Terreno. E. T. S. de Arquitectura. Universidad de Sevilla.
ESTRUCTURAS I
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ÍNDICE
[1] Las soluciones de enlace
[2] Coacción y reacción
[3] Tipos de enlaces exteriores
[3.1] El apoyo
[3.2] La articulación
[3.3] El empotramiento
[4] Tipos de enlaces interiores
[4.1] La unión articulada
[4.2] La unión rígida
[5] Cómo sostener una estructura
[5.1]Estructuras planas
[5.2]Número de coacciones
[5.3] Estructura isostática
[5.4] Estructura hiperestática
[5.5] Mecanismo
[5.6] Disposiciones de los enlaces
1
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
PRIMERA PARTE: LOS ENLACES
[6] Equilibrio estático
[7] Vectores fuerza y resultantes
[8] Equilibrio estático y ecuaciones de equilibrio
[9] Cómo calcular las reacciones en una estructura isostática.
[9.1]Cómo calcular las reacciones
[9.2]Carga puntual, uniforme y triangular
[9.3]Cálculo de reacciones en una ménsula
[9.4] Cálculo de reacciones en una viga biapoyada
[9.5]Cálculo de reacciones en un pórtico isostático
[9.6] Cálculo de reacciones en cables o bielas
SEGUNDA PARTE: EL EQUILIBRIO
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OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Determinar qué reacciones y coacciones implica cada una de las soluciones de enlace.
• Calcular las reacciones en una estructura isostática con las ecuaciones de equilibrio.
2
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PRIMERA PARTE: LOS ENLACES3
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1_LAS SOLUCIONES DE ENLACE
Los enlaces se pueden definir como:
Las soluciones de unión de los elementos estructurales entre sí (enlaces interiores) o entre los elementos y el medio externo que los recibe (enlaces exteriores).
Las funciones de los enlaces son:
• Asegurar el equilibrio de la estructura.• Transmitir las cargas de unas barras a otras (enlaces interiores) y al suelo (enlaces exteriores).
Enlace interior
Enlace exterior
Terreno
4
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2_COACCIÓN Y REACCIÓN
Los enlaces tienen una doble característica:
• En el campo de los , el enlace implica un desplazamiento o un giro impedido.
• En el campo de las , el enlace implica una fuerza o un momento, que es necesario realizar para impedir el desplazamiento o el giro.
COACCIÓN: es el desplazamiento o giro impedido en el enlace.
REACCIÓN: es la fuerza o momento necesario para impedirlo.
El enlace, por tanto, lleva siempre consigo una COACCIÓN y una REACCIÓN (o varias).
Dado un enlace, su coacción existe siempre, en cambio su reacción, en algunos casos, no se produce (si no hay ninguna acción que intente el movimiento o giro en ese punto).
movimientos
fuerzas
5
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P P
ᶿ
Desplazamiento vertical
Deformada
Dirección original de la barra
Tangente Deformada
DEFINICIÓN DE GIRO, DESPLAZAMIENTO Y DEFORMADA.
DESPLAZAMIENTO: movimiento de traslación de un punto de la barra al deformarse (a menudo se descompone en componentes).
GIRO: Ángulo que forma la tangente en un punto de la deformada de la barra con la dirección original de la barra.
DEFORMADA: posición de la barra después de la deformación que alcanza al aplicarle las cargas.
2_COACCIÓN Y REACCIÓN6
Giro
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3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES
Los distintos tipos de enlace se caracterizan por el nivel de que ejercen contra el movimiento de la barra o barras que llegan a él.
Se definen tres tipos básicos de enlaces exteriores:
1. Apoyos
2. Articulaciones
3. Empotramientos
coacción
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[3.1] EL APOYO
Tipos de representación:
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES8
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COACCIONES DEL APOYO:
El apoyo :
• El desplazamiento en la dirección perpendicular al plano de apoyo.
impide
Permite:
• El desplazamiento en la dirección de su plano de apoyo.
• El giro.
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES9
Eje de movimiento impedido
Reacción
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REACCIONES DEL APOYO:
La reacción del terreno en un apoyo es una sola fuerza en la dirección al plano de apoyo (necesaria para impedir el desplazamiento en esa dirección).
perpendicular
VA VB
A B
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES10
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ΔtΔL
USO DEL APOYO:
Normalmente el uso del apoyo está relacionado con la necesidad de permitir el movimiento de la estructura debido a las acciones térmicas.
horizontal
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES11
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Viaducto AVE Madrid-Segovia
La enorme longitud del pórtico hace recomendable permitir los desplazamientos horizontales para evitar esfuerzos muy importantes de origen térmico (flexión en los pilares).
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES12
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Edificio Tygesa (Sevilla)
Los apoyos de neopreno permiten el desplazamiento horizontal de las cerchas al dilatarse por efecto de la temperatura. En caso de estar coaccionado este movimiento podría producirse el pandeo de estas fuera de su plano (las cerchas son muy poco rígidas a flexión en su plano perpendicular).
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES13
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Tipos de representación:
[3.2] LA ARTICULACIÓN
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES14
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES
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Giro≠0
COACCIONES DE LA ARTICULACIÓN
La articulación
• El desplazamiento en todas direcciones.
impide:
Permite:
• El giro.
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES15
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H
V
R
ß
REACCIONES DE LA ARTICULACIÓN.
Las reacciones del terreno son:
• Dos perpendiculares.fuerzas
• O una fuerza, de las dos anteriores. resultante
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES16
Nota: Según nos convenga podemos trabajar con las dos componentes, o con su resultante.
En ambos casos tenemos dos incógnitas:
1. H y V
2. R y ß
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--
+
-
-
M
USO DE LA ARTICULACIÓN.
Su uso está relacionado con:
• La facilidad de construcción (en acero es fácil construir articulaciones, y en hormigón empotramientos).
• La conveniencia de hacer la estructura .
• NO transmitir momentos al o al muro donde apoya la estructura.
isostática
terreno
D i a g r a m a d e momento flector de un pórtico articulado: el flector es cero en las articulaciones.
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES17
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[3.3] EL EMPOTRAMIENTO.
Tipos de representación:
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES18
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Giro=0Giro=0
COACCIONES DEL EMPOTRAMIENTO
El empotramiento :
• El desplazamiento en todas direcciones.
impide
• El giro.
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES19
Movimientos impedidos
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REACCIONES DEL EMPOTRAMIENTO
Las reacciones del terreno son:
• Dos perpendiculares.
• Un .
fuerzas
momento
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES20
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USO DEL EMPOTRAMIENTO
Su uso está relacionado con:
• La facilidad constructiva.
• La conveniencia de hacer la estructura hiperestática.
• La necesidad de estabilizar la estructura frente a acciones horizontales.
Esta estructura es inestable (mecanismo).Si hay cargas horizontales, gira y cae al suelo.
Esta estructura es estable.
3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES21
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4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES
Los enlaces interiores son la unión entre dos o más elementos estructurales entre sí. Los elementos más comunes a unir son barras y, más concretamente, la viga y el pilar.
Se definen dos tipos básicos de enlaces interiores:
1. Unión articulada.
2. Unión rígida.
22
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Nudo articulado
[4.1] LA UNIÓN ARTICULADA
También llamada o rótula rótula interna.
Tipos de representación.
4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES23
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En este nudo,la viga gira...
...y el pilar, no gira.
El nudo se desplaza.
La viga no gira
El pilar gira
COACCIONES DEL NUDO ARTICULADO
• el desplazamiento relativo entre las dos barras que une.
• el giro relativo entre las dos barras que une.
Impide
Permite
FUERZAS DEL NUDO ARTICULADO
•direcciones perpendiculares, en el caso más general), pero .
• El flector es cero siempre en la rótula.
La unión articulada transmite fuerzas (en dos
no transmite momentos
4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES24
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[4.2] LA UNIÓN RÍGIDA
Tipos de representación
También llamada unión empotrada
4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES25
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En este nudo, la viga gira...
...y el pilar está obligado a girar lo mismo.
Después de deformarse, el ángulo entre las barras sigue siendo 90º.
El nudo se desplaza.
Viga y pilar giran igual.
COACCIONES DEL NUDO RÍGIDO
• El nudo rígido el desplazamiento relativo entre las dos barras que une
• el giro relativo entre las dos barras que une. Eso significa que:
• Las dos barras giran lo mismo, o que
• El ángulo que forman las barras en el nudo se conserva.
• el desplazamiento del nudo.
impide
Impide
Permite
FUERZAS DEL NUDO RÍGIDO
• La unión rígida transmite (en dos direcciones perpendiculares) y un .
fuerzasmomento
4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES26
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Estructura plana Estructura espacial
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA
[5.1] ESTRUCTURAS PLANAS
• En todo lo que sigue a continuación nos referiremos a estructuras .
• Una estructura es plana si, tanto la estructura como las cargas, están contenidas en un plano.
• En estructuras planas el número de ecuaciones de equilibrio es (suma de fuerzas horizontales, de fuerzas verticales y de momentos respecto a un punto = 0).
planas
3
27
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BA B
A
[5.2] NÚMERO DE COACCIONES
• El número mínimo de coacciones que deben tener los enlaces de una estructura para que se sostenga es c = 3 (c = nº coacciones).
La viga biapoyada tiene dos coacciones en la articulación A y una en el apoyo B:
• Desplazamiento horizontal de A impedido
• Desplazamiento vertical de A impedido
• Desplazamiento vertical de B impedido
La ménsula tiene tres coacciones en el empotramiento A:
• Desplazamiento horizontal impedido
• Desplazamiento vertical impedido
• Giro impedido
Nota: la viga biapoyada suele denominarse así, pero en realidad es apoyada-articulada.
Ambas estructuras se sostienen perfectamente. En ambas, c = 3.
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA28
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A B
¿POR QUÉ C=3?
• Los 3 grados de libertad de un sólido son el desplazamiento vertical, el desplazamiento horizontal y el giro.
• La estructura es un sólido, el cual coaccionamos para que NO esté en . Necesitamos coartar:
1. El desplazamiento en dirección horizontal
2. El desplazamiento en dirección vertical
3. El giro
• Las tres coacciones que llevan a cabo los enlaces son estrictamente . En el caso de la viga biapoyada, si prescindiéramos del apoyo B, la barra no se desplazaría, pero sí giraría respecto a A.
movimiento
necesarias
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA29
BA
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MA
RAX
RAY
P
RAX
RAY RB
[5.3] ESTRUCTURA ISOSTÁTICA
• Si una estructura tiene el número estrictamente necesario de coacciones para estar en equilibrio, se dice que es .
• El número estrictamente necesario es
• Ejemplos:
isostática
c = 3
• Las estructuras isostáticas tienen por tanto 3 reacciones.
• En ellas, las reacciones pueden calcularse con las ecuaciones de equilibrio.
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA30
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MA
RAX
RAY RBY
RAX
RAY
RAX
RBX
RBY
[5.4] ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA
• Si la estructura tiene un exceso de coacciones con respecto a las estrictamente necesarias para estar en equilibrio estable, se dice que es .
• El hiperestático es el número de coacciones en exceso.
H = C -3
H = grado hiperestáticoC = nº de coacciones
hiperestática
grado
• Las estructuras hiperestáticas tienen más de 3 coacciones.
• En ellas, las reacciones NO pueden calcularse con las ecuaciones de equilibrio.
• Ejemplo: las estructuras de la figuras tienen 4 coacciones - son hiperestáticas de grado 1.
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA31
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P
P
RAX
RAY
A B RBA B
[5.5] MECANISMO
• Los mecanismos estático, por tanto, al aplicarles la carga se ponen en movimiento sin deformarse.
• En un mecanismo, las reacciones son incapaces de a la carga externa. El equilibrio no se alcanza.
• Para que una estructura sea estable (no sea un mecanismo) son necesarias dos condiciones:
• El número de coacciones debe ser igual o mayor de 3.
• Las coacciones deben estar deben estar dispuestas de forma para impedir la traslación y el giro.
no están en equilibrio
equilibrar
adecuada
Mecanismo: C=2 Mecanismo:C = 3, pero las coacciones no impiden el desplazamiento.
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA32
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Para saber si una estructura es un mecanismo basta con aplicarle las ecuaciones de . En un mecanismo, las reacciones son incapaces de alcanzar el equilibrio con la carga.
equilibrio
Mecanismo:En B sólo puede haber reacción
horizontal. Si calculamos momentos respecto a A, la suma no es cero.
Mecanismo:La carga es horizontal. En los apoyos, las reacciones sólo pueden ser verticales. Las
fuerzas horizontales no suman cero.
P
RAX
RAY
B RBA
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA33
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[5.5] DISPOSICIONES DE LOS ENLACES QUE DEBEN EVITARSE
En general, todas las disposiciones de los vínculos son válidas EXCEPTO aquellas en las que las líneas de acción de las reacciones sean o paralelas concurrentes.
Mecanismo: la barra gira libremente respecto a A
Mecanismo: la barra se desplaza libremente
Líneas de acción de las reacciones: son concurrentes en A
Líneas de acción de las reacciones: son paralelas
P
BA
P
BA
5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA34
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SEGUNDA PARTE: EL EQUILIBRIO35
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6_EQUILIBRIO ESTÁTICO
• Las son artilugios para conducir las fuerzas desde los puntos del edificio donde actúan hasta el terreno donde son finalmente resistidas.
• En su interior hay sistemas de fuerzas que están en un estado de .
estructuras
equilibrio estático
En la estructura de la figura (puente del V Centenario), la fuerza (peso del camión) se transmite a través de la viga del puente a los pilares, y a lo largo de estos hasta el terreno.
36
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7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES
• Una fuerza es un , y por lo tanto, para definirla es preciso especificar su magnitud, dirección y sentido.
• Se representa gráficamente por una flecha cuya longitud es proporcional a la magnitud de la fuerza.
vector
F
ᶿ
37
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• Cuando dos o más fuerzas no paralelas actúan juntas, su efecto combinado es equivalente al de una sola fuerza que es la del sistema de fuerzas original.
• La magnitud y dirección de la resultante se puede obtener mediante suma de vectores en un “triángulo de fuerzas” o un “polígono de fuerzas”.
resultante
gráficamente
• La resultante es el vector necesario para cerrar el triángulo o el polígono de fuerzas.
Resultante de dos fuerzas:
Resultante de tres fuerzas:
a) b) c)
a) b) c)
7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES38
F1
F2
F1
F2
R
F1
F2F3
F1
F2
F3
R
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DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN COMPONENTES
• Una fuerza puede ser dividida en partes invirtiendo el proceso anterior, y considerando a la fuerza original como la resultante de dos o más .
• Esta técnica se conoce como de una fuerza en sus componentes y es muy útil para simplificar los sistemas de fuerzas en dos conjuntos de fuerzas actuando en direcciones perpendiculares, lo cual permite realizar la suma de fuerzas algebráicamente en lugar de gráficamente.
componentes
descomposición
a) b)
h
v
ᶿᶿ
h= F.cos v= F.sen
ᶿᶿ
Descomposición de la fuerza F en sus dos componentes perpendiculares: horizontal y vertical.
7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES39
F F
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MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO
• Las fuerzas ejercen un efecto de giro respecto a un punto que no está en su línea de acción, llamado .
• La magnitud de este efecto es igual al producto de la magnitud de la fuerza por la distancia entre el punto y la línea de acción de la fuerza, y se conoce como .
momento
Momento
A
d
M
El momento de la fuerza F respecto al punto A es M = F·d
F
7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES40
A
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8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO
• Toda estructura debe tener una que sea capaz de producir el número suficiente de reacciones para equilibrar las cargas.
• La naturaleza de las que se producen depende de las características del sistema de cargas y del tipo de enlaces que se disponen.
• Las reacciones cambian cuando cambian las cargas exteriores.
cimentación
reacciones
41
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• Las fuerzas no deben ejercer un efecto de vuelco sobre la estructura.
Se cumple si la suma de momentos de las fuerzas respecto a un punto cualquiera es cero.
Para que un sistema de fuerzas esté en equilibrio, debe satisfacer dos condiciones:
• No puede haber una fuerza resultante neta en ninguna dirección.
Se cumple si las componentes de las fuerzas en dos direcciones perpendiculares cualesquiera suman cero.
En dirección vertical, las fuerzas suman cero.
En dirección horizontal, no hay fuerzas (por tanto, también suman cero).
En dirección vertical y horizontal las fuerzas suman cero.
Además, la suma de momentos respecto a A, es también cero(Hay un momento antihorario de 80 m·kN que se compensa con el momento de 20·4 que hace la carga vertical de 20 kN).
2m 4m
10kN
6kN4kN
BA
20kN
10kN4m80m.kN
10kN
20kN
8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO42
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ECUACIONES DE EQUILIBRIO
• Es normal que para comprobar el equilibrio de un sistema de fuerzas algebraicamente, se descompongan estas en dos direcciones perpendiculares (normalmente horizontal y vertical).
• Las tres ecuaciones que deben cumplirse son:
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
∑ M = 0
• Y se llaman .
• Las tres ecuaciones de equilibrio son las relaciones fundamentales en las que se basan todos los métodos de análisis estructural.
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO43
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[9.1] CÓMO CALCULAR LAS REACCIONES
ECUACIONES DE EQUILIBRIO:
Para calcular las reacciones en una estructura isostática, basta con dibujar todas las fuerzas que actúan sobre la estructura (acciones + reacciones), y aplicar las ecuaciones de equilibrio para calcular las reacciones (que son las incógnitas).
- 3 incógnitas: R1, R2 y R3
- 3 ecuaciones:
∑ FH = 0
∑ FV = 0
∑ M = 0
Al conjunto de fuerzas (acciones + reacciones) que actúan sobre un cuerpo, se le llama SOLICITACIONES.
9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA45
Estructura Fuerzas (acciones + reacciones)
10kN
5kN
20kN
10kN
R3
R1 R2
10kN
5kN
20kN
10kN
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[9.2] CARGA PUNTUAL, UNIFORME Y TRIANGULAR.
Son los tres tipos de cargas que podemos encontrar en edificación.
La carga uniforme (y la triangular) pueden sustituirse por su resultante para calcular las reacciones (pero no para calcular los esfuerzos internos).
P (kN) q (kN/m)
q (kN/m)
9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA46
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[9.3] CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA MÉNSULA.
• El único enlace en las ménsulas es un empotramiento, con una reacción horizontal, una vertical y un momento.
• Para calcular la reacción horizontal, aplica el equilibrio de fuerzas horizontales.
• Para calcular la reacción vertical, aplica el equilibrio de fuerzas verticales.
• Para calcular el momento en el empotramiento, aplica el equilibrio de momentos respecto al punto de empotramiento.
∑ FH = 0 RAX = P2
∑ FV = 0 → RAY = P1
∑ MA = 0 → MA = P1 . L
→ ∑ FH = 0 RA = P
∑ MA = 0 → MA = P . L
→
MA
RAX
RAY
P1
P2
BA L
MA
RA
PB
A
L
L
9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA47
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[9.4] CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA VIGA BIAPOYADA
• Las vigas biapoyadas tienen dos enlaces:
• Una articulación (con una reacción horizontal y otra vertical).
• Un apoyo (con una reacción vertical).
• Para calcular la reacción horizontal, aplica el equilibrio de fuerzas horizontales (en el caso de la figura, es nula).
• Para calcular la reacción vertical en el punto B (apoyo), aplica el equilibrio de momentos respecto a A (articulación).
• Para calcular la reacción vertical en A, aplica equilibrio de fuerzas verticales.
∑ MA = 0 → RB . 2 = 20 . 3 → RB = 30 KN
∑ FV = 0 → RA + RB = 20 → RA = -10 KN
RA
A B
20kN
Rb
2m 1m
9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA48
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Ejemplo de carga vertical Ejemplo de carga horizontal
[9.5] CÁLCULO DE REACCIONES EN UN PÓRTICO ISOSTÁTICO
RA
A B
10kN/m
RB
5m
Por simetría, R = RA B
∑ FV = 0 RA + R = 10·5 R = 25 KN
RB = 25 KN
→ B → A
5m 5m
∑ FH = 0 RAH = 4 . 5
∑ FV = 0 → RAV + RB = 0 → RAV = - RB
∑ MA = 0 → 5 . 4 . 2 = RB . 5 → RB = 8 KN
→ → RAH = 20 KN
5kN/m
5m
4m
RAV RB
A BRAH
9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA49
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• En estructuras soportadas por cables, o bielas, que sólo pueden transmitir fuerza en la dirección de su eje, por tanto las reacciones tienen siempre LA DIRECCIÓN DEL EJE DEL CABLE/BIELA.
• Se calculan haciendo equilibrio de fuerzas horizontales y verticales.
[9.6] CÁLCULO DE REACCIONES EN CABLES O BIELAS
RR
P
ß ß
∑ FV = 0 → P = R.sen + R.sen → senß ß R = P / 2 ß
Las reacciones en cables/bielas tienen siempre la dirección del eje de la barra
9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA50