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Tema 3: Problemas de Satisfacción deRestricciones

Serafín Moral (Antonio González)

Universidad de Granada

Serafín Moral (Antonio González) Tema 3: Problemas de Satisfacción de Restricciones

Tema 3: Satisfacción de Restricciones

Contenido

Problemas de satisfacción de restricciones

Métodos de búsqueda

Búsqueda local para problemas de satisfacción derestricciones


Problemas de Satisfacción de Restricciones

Un tipo particular de problemas que van a tener asociados

Métodos de búsqueda particulares

Heurísticas de propósito general


Problemas de Satisfacción de Restricciones (PSRs)

Un problema de búsqueda standard

Un estado puede ser cualquier estructura de datos que sepueda evaluar y de la que podamos calcular los sucesores.

Un problema de satisfacción de restricciones

Un conjunto de variables (X1, . . . , Xn)

Cada variable Xi toma valores en un dominio Di .

Un conjunto de restricciones C1, . . . , Cm.

PSRs: objetivo

Encontrar una asignación para todas las variablesX1 = a1, . . . , Xn = an que verifique todas las restricciones.

Podemos diseñar algoritmos específicos para estos problemas,más potentes que los de propósito general.


Ejemplo: Colorear mapas

WesternAustralia

NorthernTerritory

SouthAustralia

Queensland

New South Wales

Victoria

Tasmania

Variables WA, NT , Q, NSW , V , SA, T DominiosDi = {rojo, verde, azul}Restricciones: las regiones adyacentes tienen que tenercolores distintos WA 6= NT (si tenemos un lenguaje quepermita esta expresión), o de forma extensiva (WA, NT ) ∈{(rojo, verde), (rojo, azul), (verde, rojo), (verde, azul), . . .}



WesternAustralia

NorthernTerritory

SouthAustralia

Queensland

New South Wales

Victoria

Tasmania

Las soluciones son asignaciones completas que verifican todaslas restricciones:

{WA = rojo, NT = verde, Q = rojo, NSW = verde,

V = rojo, SA = azul , T = verde}



Una asignación que no viola ninguna restricción se llamaconsistente.

Una asignación completa es una asignación en la queaparecen todas las variables.

Una solución es una asignación completa y consistente.

Algunos PSRs requieren una solución que maximiza unafunción objetivo



Saber si existe una solución de una problema PSR es, engeneral, es NP-completo

La obtención de soluciones óptimas es NP-difícil

Se requiere una gran eficiencia en los procesos debúsqueda



WesternAustralia

NorthernTerritory

SouthAustralia

Queensland

New South Wales

Victoria

Tasmania

Las soluciones son asignaciones completas que verifican todaslas restricciones:

{WA = rojo, NT = verde, Q = rojo, NSW = verde,

V = rojo, SA = azul , T = verde}


Grafo de restricciones

Problema binario: Cada restricción involucra, a lo más, dosvariables.

Grafo de restricciones: los nodos son variables, los arcosmuestran restricciones.

Victoria

WA

NT

SA

Q

NSW

V

T

Los algoritmos pueden usar esta estructura para mejorarla búsqueda. Por ejemplo, se ve que la asignación deTasmania es una problema independiente.


Tipos de enfoques

Formulación incrementalEstado inicial: la asignación vacía {}Función sucesor: un valor se puede asignar a cualquiervariable no asignada, a condición de que no suponganingún conflicto con variables antes asignadasTest objetivo: la asignación actual es completaCosto del camino: un costo constante para cada paso

Propiedades

Esta formulación es idéntica para todos los PSRs

Cada solución aparece a la misma profundidad n.Podemos buscar en profundidad.

El camino a la solución es irrelevante.

¡¡¡¡Hay n!dn hojas!!!!


Tipos de enfoques

Formulación completa de estadosDado que el camino que alcanza una solución esirrelevante, se pueden manejar estados con asignacionescompletas.Uso de métodos de búsqueda local.


Tipos de problemas

Variables discretas y dominios finitosSi d es el tamaño máximo del dominio de cualquiervariable, entonces el número de posibles asignaciones esO(dn).

Dominios infinitosLenguaje de restricciones Comienzo1 + 5 ≤ Comienzo2

Restricciones linealesRestricciones no lineales


Tipos de restricciones

Restricciones absolutasRestricciones unarias.Restricciones binarias.

Un PSR binario es un problema sólo con restriccionesbinarias y puede representarse como un grafo derestricciones.

Restricciones de orden más alto.

Restricciones de preferenciaA veces, la preferencia está asociada a un coste por cadavalor de cada variable


Puzzles cripto-aritméticos

Hipergrafo de restricciones

OWTF U R

+OWTOWT

F O U R

X2 X1X3

Variables: F , T , U, W , R, O, X1, X2, X3

Dominios: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Restricciones:TodasDistintas(F , T , U, W , R, O)O + O = R + 10 · X1, etc.


Problemas de Propagación de Restricciones Reales

Problemas de asignación (por ejemplo, asignación deprofesores a clases)

Problemas de horarios (horas y aulas de las clases)

Problemas de configuración de hardware

Problemas de transporte

Organización de trabajos

Asignación de presupuestos


Técnicas de búsqueda sin información

Uso de búsqueda en anchura: se genera un árbol conn!× dn hojas.

Propiedad crucial común a todos los PSRs: laconmutatividad (el orden de aplicación de cualquierconjunto de acciones no tiene ningún efecto sobre elresultado).[WA = red , NT = green] es lo mismo que [NT = green,WA = red ]

Debido a la conmutatividad, hay dnhojas

En cada nodo consideramos la asignación de un valor auna nueva variable.

La búsqueda en profundidad donde en cada paso seasigna sólo un valor a una variable, se llama algoritmo devuelta atrás.

Pueden resolver el problema de las n-reinas para n ≈ 25.


Algoritmo de vuelta atrás

Se llama a la función recursiva VUELTAATRAS({}, PSR)

VUELTAATRAS(Asignacion, PSR)

1: if Asignacion es completa then2: return Asignacion3: Seleccionar una variable no asignada X4: for Valor posible de X do5: if X = Valor es consistente con las asignaciones then6: Añadir X = Valor a Asignacion7: Sol ← VUELTAATRAS(Asignacion, PSR)8: if Sol no es No-Solucion then9: return VUELTAATRAS(Asignacion, PSR)

10: return No-solucion


Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrás


Árbol de nodos


Comparación de algoritmos

Tabla del número de nodos analizados


Mejoras del algoritmo básico

¿Qué variable debe asignarse después, y en qué ordendeberían intentarse sus valores?

¿Cuáles son las implicaciones de las variables actualespara el resto de variables no asignadas?

Cuando un camino falla, ¿puede la búsqueda evitar repetireste fracaso en caminos siguientes?

¿Podemos aprovechar la estructura del problema?


Variable y ordenamiento de valor

Mínimos valores restantes

Grado heurístico

Valor menos restringido


Mínimo Valores Restantes

Heurística MVR o variable más restringida

Elegir la variable a la que le quedan menos valores posibles(está más restringida).


El Grado Heurístico

Intenta reducir el factor de ramificación sobre futurasopciones,

Selecciona la variable, entre las no asignadas, que estéimplicada en el mayor número de restricciones

La heurística MVR es más poderosa, pero el gradoheurístico es útil en casos de empate


La Selección del Valor

Valor menos restringido

Dada una variable, elegir el valor que restringe menos losvalores de las variables no asignadas.

Allows 1 value for SA

Allows 0 values for SA

Se elige la opción Q = Roja.

Combinando estas heurísticas se puede resolver el problemade las 1000-reinas.


Propagación de la información a través de lasrestricciones

Comprobación hacia delante

Propagación de restricciones

Manejo de restricciones especiales

Vuelta atrás inteligente



Idea

Siempre que se asigne una variable X , el proceso de búsquedahacia delante mira cada variable no asignada Y que esté relacionadacon X por una restricción y suprime del dominio de Y cualquier valorque sea inconsistente con el valor elegido para X . Si hay unavariable sin valores posible vuelve atrás.



Idea

Siempre que se asigne una variable X , el proceso de búsquedahacia delante mira cada variable no asignada Y que esté relacionadacon X por una restricción y suprime del dominio de Y cualquier valorque sea inconsistente con el valor elegido para X . Si hay unavariable sin valores posible vuelve atrás.

WA NT Q NSW V SA T


Propagación de restricciones

La comprobación hacia delante no descubre todas lasinconsistencias, por ejemplo, después de asignar AO=R y Q=V,tanto TN como AS están Obligadas a tomar el valor A, perocomo son adyacentes no pueden tomar el mismo valor.

WA NT Q NSW V SA T


Arcos consistentes

Una forma más sofisticada de comprobar que los valores sonconsistentes

Se basa en comprobar que toda arista ordenada (X , Y ) delgrafo de restricciones es consistente

Si las restricciones no son binarias, se puede aplicar pero esmás complejo. Habría que considerar las aristas consistentespara toda pareja ordenada (X , Y ) tales que haya una restricciónque involucre a ambas variables.

La consistencia de los arcos se puede hacer al principio y, deforma recursiva, habría que comprobar la consistencia de todoarco (X , Z ) después de que Z haya perdido alguno de susvalores posibles

Arco consistente: Un arco (X , Y ) es consistente si para todovalor posible x de X existe un valor posible y de la variable Y .

Si una arco no es consistente, se eliminan todos los valoresposibles de X para los que no exista un valor consistente de Y


Ejemplo

WA NT Q NSW V SA T

Y de esta forma, se comprueba que no existe ningún valorposible para SA con lo cual podemos realizar una vuelta atrás.


Algoritmo

El siguiente algoritmo se aplica al principio a todos los arcos(X , Y ) del grafo de restricciones y, se aplica a todo arco (Z , X )cada vez que X restringe el conjunto de valores posibles.

1: for Cada valor posible x de X do2: if No existe un valor y de Y que sea compatible con x

then3: Eliminar x del conjunto de valores posibles de X


Manejo de Restricciones Especiales

Restricciones todas distintas TodasDistintas(X1, . . . , Xn)Se puede ver que hay inconsistencia si el número de valores posibles de todaslas variables es inferior al número de variables. Este criterio puede mejorar elcriterio de arcos consistentes.

Restricciones de recursos

T 1, T 2, T 3 y T 4 número de personas asignadas a cuatro tareas:como − maximo(10, T 1, T 2, T 3, T 4)Se puede comprobar la inconsistencia, sumando los valores mínimosposibles de cada variable. También se pueden suprimir los valores másaltos de una variable que son inconsistentes con los valores mínimos delas otras variables.Dos vuelos, 271 y 272 con capacidades 156, 385 respectivamente:Vuelo271 pertenece [0, 165] y Vuelo272 pertenece [0, 385]Restricción adicional: los dos vuelos juntos deben llevar a 420 personas,entonces se deduce:Vuelo271 pertenece [35, 165] y Vuelo272 pertenece [255, 385]Esto se conoce propagación de límites.


Vuelta atrás inteligente

WesternAustralia

NorthernTerritory

SouthAustralia

Queensland

New South Wales

Victoria

Tasmania

Vuelta atrás cronológica

Se visita el punto de decisión más reciente

Orden de actuación: Q, NGS, V , T , AS, AO, TN

{Q = rojo, NGS = verde, V = azul , T = rojo}

AS?Vuelta atrás a T inútil


Vuelta atrás inteligente: salto atrás

Conjunto conflicto para la variable X es el conjunto devariables previamente asignadas Y , tales que el valorasignado a Y evita uno de los valores de X , debido a larestricción entre ambas.El método de salto-atrás retrocede a la variable másreciente en el conjunto conflicto.

Ejemplo

Conjunto conflicto para AS: {Q, NGS, V}

El método salto-atrás retrocede a V sin considerar T

La propagación hacia delante puede proporcionar elconjunto de conflicto inicial.Si desde Xi volvemos hasta Xj , porque Xi se ha quedadosin valores, entonces debemos de actualizar el conflicto deXj con: Conf (Xj)← Conf (Xj) ∪ Conf (Xi)− {Xj}.


Salto atrás dirigido por conflicto

WesternAustralia

NorthernTerritory

SouthAustralia

Queensland

New South Wales

Victoria

Tasmania

Orden de actuación: AO, NGS, T , TN, Q, V , ASAsignación parcial AO = Rojo, NGS = Rojo, T = RojoComprobar que cuando TN se queda sin valores,entonces su conjunto de conflicto es: {AO, NGS}.

Cuando AS falla, su conjunto de conflicto es {AO, TN, Q}.Volvemos a Q, con conflicto {TN, NGS}, que quedaactualizado a {AO, TN, NGS}.Volvemos a TN con conlicto {AO} qie se actualiza a{AO, NGS}


Métodos de búsqueda local

Volvemos a la formulación completa de estados parainvestigar el uso de algoritmos de búsqueda local sobreestados completos.

Se aplican algoritmos de ascensión de colinas,enfriamiento simulado, genéticos, etc.

Se consideran asignaciones completas, peroinconsistentes. Se elige una variable al azar con un valorconflictivo.

Heurística de los mínimos conflictos: seleccionar el valorque cause el número mínimo de conflictos con otrasvariables


Mínimos conflictos


Mínimos conflictos: comportamiento

Con un estado inicial aleatorio, con esta heurística se puede resolverel problema de las n-reinas en tiempo constante y con una altaprobabilidad (por ejemplo con n = 10,000,000)Lo mismo parece ocurrir en una amplia gama de problemas desatisfacción de restricciones aleatorios excepto en una estrechabanda de la razón:

R =número de restricciones

número de variables

R

CPUtime

critical ratio


Búsqueda local para problemas de satisfacción derestricciones

La técnica de los mínimos conflictos essorprendentemente eficaz para muchos PSRs, enparticular, cuando se parte de un estado inicial razonable.

Por ejemplo, se ha utilizado para programar lasobservaciones del telescopio Hubble, reduciendo el tiempoutilizado para programar una semana de observaciones,de tres semanas a alrededor de 10 minutos.

Otra ventaja es que se puede utilizar en ajuste onlinecuando las condiciones del problema cambian.


La estructura de los problemas

Aprovecharse de la existencia de problemasindependientes.

Algoritmos eficientes en caso de estructuras de árbol.

A

B

C

D

E

F

A B C D E F


Algoritmo en árboles

1: Elegir un nodo como raíz2: Ordenar los nodos desde esta raíz a las hojas, de forma

que el padre de cada nodo lo preceda en este orden.3: Elegir todos los nodos Xj en orden inverso y aplicar la

consistencia de arco entre Xi y Xj , donde Xi es el padre deXj . Eliminar los valores de Xi que sea necesario.

4: Recorrer los nodos en orden directo empezando por la raíz.Para cada nodo Xj elegir un valor que sea consistente conel elegido para su padre Xi

El algoritmo tiene complejidad O(nd2) donde n es el númerode variables y d el número de casos por variable.


Método del condicionamiento

Si el grafo no es un árbol, se puede tratar de conseguir unconjunto pequeño de variables S, tal que si las quitamos delgrafo de restricciones, nos queda un árbol.

Victoria

WA

NTQ

NSW

V

TT

Victoria

WA

NT

SA

Q

NSW

V


Método de condicionamiento

1: Elegir un subconjunto S de variables que al quitarlas nosquede una estructura de árbol

2: for Cada posible asignacion consistente de valores s de Sdo

3: Quitar del resto de las variables, los valoresinconsistentes con estos valores

4: Resolver el problema de satisfacción de restriccionespara el resto de las variables (árbol)

5: Si se encuentra la solución, adjuntarla a S = s paraobtener una solución al problema original y parar


Construcción de un árbol agrupando variables

¿Los grafos de restricción pueden reducirse a árboles? Si. Mediante un proceso deagrupación de variables:

Cada variable tiene que estar, al menos, en un grupo, pero puede estar envarios.

Si dos variables están unidas en el grafo, debe de existir un grupo que lascontenga

Si una variable está en dos grupos, debe de estar en todo grupo que seencuentre en el camino entre ambas.


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