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Tema 3: Problemas de Satisfaccin de RestriccionesSerafn Moral (Antonio Gonzlez)Universidad de Granada

Serafn Moral (Antonio Gonzlez)

Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Tema 3: Satisfaccin de Restricciones

Contenido Problemas de satisfaccin de restricciones Mtodos de bsqueda Bsqueda local para problemas de satisfaccin de restricciones

Serafn Moral (Antonio Gonzlez)

Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Un tipo particular de problemas que van a tener asociados Mtodos de bsqueda particulares Heursticas de propsito general

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Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Problemas de Satisfaccin de Restricciones (PSRs)Un problema de bsqueda standard Un estado puede ser cualquier estructura de datos que se pueda evaluar y de la que podamos calcular los sucesores. Un problema de satisfaccin de restricciones Un conjunto de variables (X1 , . . . , Xn ) Cada variable Xi toma valores en un dominio Di . Un conjunto de restricciones C1 , . . . , Cm . PSRs: objetivo Encontrar una asignacin para todas las variables X1 = a1 , . . . , Xn = an que verique todas las restricciones. Podemos disear algoritmos especcos para estos problemas, ms potentes que los de propsito general.Serafn Moral (Antonio Gonzlez) Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Ejemplo: Colorear mapas

Northern Territory Western Australia South Australia New South Wales Queensland

Victoria

Tasmania

Variables WA, NT , Q, NSW , V , SA, T Dominios Di = {rojo, verde, azul} Restricciones: las regiones adyacentes tienen que tener colores distintos WA = NT (si tenemos un lenguaje que permita esta expresin), o de forma extensiva (WA, NT ) {(rojo, verde), (rojo, azul), (verde, rojo), (verde, azul), . . .}Serafn Moral (Antonio Gonzlez) Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Ejemplo: Colorear mapas

Northern Territory Western Australia South Australia New South Wales Queensland

Victoria

Tasmania

Las soluciones son asignaciones completas que verican todas las restricciones: {WA = rojo, NT = verde, Q = rojo, NSW = verde, V = rojo, SA = azul, T = verde}Serafn Moral (Antonio Gonzlez) Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Problemas de Satisfaccin de Restricciones (PSRs)

Una asignacin que no viola ninguna restriccin se llama consistente. Una asignacin completa es una asignacin en la que aparecen todas las variables. Una solucin es una asignacin completa y consistente. Algunos PSRs requieren una solucin que maximiza una funcin objetivo

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Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Problemas de Satisfaccin de Restricciones (PSRs)

Saber si existe una solucin de una problema PSR es, en general, es NP-completo La obtencin de soluciones ptimas es NP-difcil Se requiere una gran eciencia en los procesos de bsqueda

Serafn Moral (Antonio Gonzlez)

Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Ejemplo: Colorear mapas

Northern Territory Western Australia South Australia New South Wales Queensland

Victoria

Tasmania

Las soluciones son asignaciones completas que verican todas las restricciones: {WA = rojo, NT = verde, Q = rojo, NSW = verde, V = rojo, SA = azul, T = verde}Serafn Moral (Antonio Gonzlez) Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Grafo de restriccionesProblema binario: Cada restriccin involucra, a lo ms, dos variables. Grafo de restricciones: los nodos son variables, los arcos muestran restricciones.NT Q WA SA V VictoriaNSW

T

Los algoritmos pueden usar esta estructura para mejorar la bsqueda. Por ejemplo, se ve que la asignacin de Tasmania es una problema independiente.Serafn Moral (Antonio Gonzlez) Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Tipos de enfoquesFormulacin incrementalEstado inicial: la asignacin vaca {} Funcin sucesor: un valor se puede asignar a cualquier variable no asignada, a condicin de que no suponga ningn conicto con variables antes asignadas Test objetivo: la asignacin actual es completa Costo del camino: un costo constante para cada paso

Propiedades Esta formulacin es idntica para todos los PSRs Cada solucin aparece a la misma profundidad n. Podemos buscar en profundidad. El camino a la solucin es irrelevante. Hay n!d n hojas!!!!

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Tipos de enfoques

Formulacin completa de estadosDado que el camino que alcanza una solucin es irrelevante, se pueden manejar estados con asignaciones completas. Uso de mtodos de bsqueda local.

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Tipos de problemas

Variables discretas y dominios nitosSi d es el tamao mximo del dominio de cualquier variable, entonces el nmero de posibles asignaciones es O(d n ).

Dominios innitosLenguaje de restricciones Comienzo1 + 5 Comienzo2Restricciones lineales Restricciones no lineales

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Tipos de restricciones

Restricciones absolutasRestricciones unarias. Restricciones binarias.Un PSR binario es un problema slo con restricciones binarias y puede representarse como un grafo de restricciones.

Restricciones de orden ms alto.

Restricciones de preferenciaA veces, la preferencia est asociada a un coste por cada valor de cada variable

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Puzzles cripto-aritmticosHipergrafo de restriccionesT WO + T WO F O U RF T U W R

O

X3

X2

X1

Variables: F , T , U, W , R, O, X1 , X2 , X3 Dominios: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Restricciones: TodasDistintas(F , T , U, W , R, O) O + O = R + 10 X1 , etc.

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Problemas de Propagacin de Restricciones Reales

Problemas de asignacin (por ejemplo, asignacin de profesores a clases) Problemas de horarios (horas y aulas de las clases) Problemas de conguracin de hardware Problemas de transporte Organizacin de trabajos Asignacin de presupuestos

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Tcnicas de bsqueda sin informacinUso de bsqueda en anchura: se genera un rbol con n! d n hojas. Propiedad crucial comn a todos los PSRs: la conmutatividad (el orden de aplicacin de cualquier conjunto de acciones no tiene ningn efecto sobre el resultado). [WA = red , NT = green] es lo mismo que [NT = green, WA = red ] Debido a la conmutatividad, hay d n hojas En cada nodo consideramos la asignacin de un valor a una nueva variable. La bsqueda en profundidad donde en cada paso se asigna slo un valor a una variable, se llama algoritmo de vuelta atrs. Pueden resolver el problema de las n-reinas para n 25.Serafn Moral (Antonio Gonzlez) Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Algoritmo de vuelta atrsSe llama a la funcin recursiva VUELTAATRAS({}, PSR) VUELTAATRAS(Asignacion, PSR)1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:

if Asignacion es completa then return Asignacion Seleccionar una variable no asignada X for Valor posible de X do if X = Valor es consistente con las asignaciones then Aadir X = Valor a Asignacion Sol VUELTAATRAS(Asignacion, PSR) if Sol no es No-Solucion then return VUELTAATRAS(Asignacion, PSR) return No-solucion

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Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrs

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Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrs

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Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrs

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Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Ejemplo: Algoritmo de vuelta atrs

Serafn Moral (Antonio Gonzlez)

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rbol de nodos

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Tema 3: Problemas de Satisfaccin de Restricciones

Comparacin de algoritmos

Tabla del nmero de nodos analizados

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Mejoras del algoritmo bsico

Qu variable debe asignarse despus, y en qu orden deberan intentarse sus valores? Cules son las implicaciones de las variables actuales para el resto de variables no asignadas? Cuando un camino falla, puede la bsqueda evitar repetir este fracaso en caminos siguientes? Podemos aprovechar la estructura del problema?

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Variable y ordenamiento de valor

Mnimos valores restantes Grado heurstico Valor menos restringido

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Mnimo Valores Restantes

Heurstica MVR o variable ms restringida Elegir la variable a la que le quedan menos valores posibles (est ms restringida).

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Comparacin de algoritmos

Tabla del nmero de nodos analizados

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El Grado Heurstico

Intenta reducir el factor de ramicacin sobre futuras opciones, Selecciona la variable, entre las no asignadas, que es