Tema4 ElTADGrafomcast/ESDATOS/GRAFOS/grafo.pdf · Tema4 2005-2006 especgrafosDirigidos...

Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 1

Tema 4

2005 -2006

El TAD GrafoObjetivosq Estudiar la especificación del TAD Grafo

q Presentar diferentes alternativas de implementación

q Conocer los algoritmos más importantes de manipulación de grafos

Contenidos4.1 Conceptos4.2 Especificación algebraica4.3 Implementación4.4 Recorridos sobre grafos4.4.1 Recorrido en anchura4.4.2 Recorrido en profundidad

4.5 Caminos mínimos sobre grafos4.5.1 Algoritmo de Dijkstra4.5.2 Algoritmo de Floyd

4.6 Árbol de extensión de coste mínimo


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2005 -2006

Duración

q 6 clases (9 h)

Bibliografía

q Estructuras de datos: especificación, diseño e implementaciónAutor: Xavier Franch GutiérrezEditorial : Ediciones UPC, 1999Págs. 303-352

q Estructuras de datos. Algoritmos, abstracción y objetosAutores: Luis Joyanes Aguilar, Ignacio Zahonero MartínezEditorial: McGraw-HillPágs. 417-496

q Estructuras de datos y métodos algorítmicosAutores: Narciso Martí Oliet, Yolanda Ortega Mallén y José Alberto Verdejo LópezEditorial: Prentice HalllPágs. 231-276

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4.1 Conceptosq Un grafo es una estructura capaz de representar relaciones complejas entre objetos de un

mismo tipo. Formalmente se representa mediante el par G = (V, A), donde:

q V es un conjunto de objetos llamados vértices o nodosq A es un conjunto de objetos denominados aristas o arcosq Las aristas representan relaciones entre los vértices, de forma que una arista es

un par (u, v) de vértices de Vq Básicamente, podemos clasificar los grafos en 4 tipos dependiendo de dos criterios:

q Grafo dirigido. Es aquel cuyas aristas forman pares ordenados (u à v).

q Grafo no dirigido. Es aquel cuyas aristas no son pares ordenados

q Grafo etiquetado o valorado. Cuando se asocia información a cada arista de un grafo

q Grafo no etiquetado. Cuando no se asocia ninguna información a las aristas

q La teoría de grafos se aplica a campos tan diversos como química, geografía, ingenieríaeléctrica, comunicaciones, etc.

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q Un ejemplo de grafo podría ser la red de metro de Madrid, donde los vértices representanlas estaciones y las aristas la línea que une dos estaciones:

q Otro ejemplo de aplicación de los grafos es la construcción de modelos donde se estudianlas relaciones de precedencia que existen entre las tareas que se necesitan para completarun trabajo

El TAD Grafo

Sol Gran V ía Tribunal

Plaza deEspaña

Opera Callao

Tirso deMolina

130

120150

120

160

125

145

17595Sol Gran V ía Tribunal

Plaza deEspaña

Opera Callao

Tirso deMolina

130

120150

120

160

125

145

17595


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q Algunas definiciones sobre grafos:

§ Un camino en un grafo G = (V, A) es una secuencia de vértices v1, ..., vn Î V,

con n ³ 1, tal que (vi, vi+1) Î A, para i = 1, ..., n-1

§ La longitud de un camino es su número de vértices menos 1

§ Un camino es simple si todos sus vértices, excepto tal vez el primero y el

último, son distintos

§ Un ciclo es un camino simple de longitud no nula que empieza y termina en el

mismo vértice

§ En un grafo no dirigido, el grado de un vértice v es el número de aristas que

contiene a v§ Se dice que el vértice y es sucesor o adyacente del vértice x si existe una

arista que tenga por origen a x y por destino a y, es decir, si la arista (x, y) Î A

§ Se dice que el vértice x es antecesor del vértice y si existe una arista que tenga

por origen a x y por destino a y, es decir, si la arista (x, y) Î A

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§ En un grafo dirigido se distingue entre el grado de entrada y el grado de salida: elgrado de entrada de un vértice v es el número de aristas que llegan a v(antecesores), y el grado de salida de un vértice v es el número de aristas que salende v (sucesores).

Ejemplo 1: Grafo no dirigidoNúmero de nodos:Número de aristas:V = { }A = { }Camino =Ciclo =Grado (v3) =Adyacentes (v3) = { }

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v2 v3

v1 v4

v2 v3

v1 v4


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Ejemplo 2: Grafo DirigidoNúmero de nodos:Número de aristas:V = { }A = { }Camino =Ciclo =GradoEnt (v2) =GradoSal(v2)=Adyacentes (v3) = { }Antecesores (v3) =Antecesores (v2) = { }

El TAD Grafo

v2

v1 v3

v2

v1 v3


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El TAD Grafo

v2

v3

v1

v4

v5

v2

v3

v1

v4

v5

v2 v3

v1 v4

v5

v2 v3

v1 v4

v5

Grafo conexo

§ Un grafo dirigido es fuertemente conexo si existeun camino entre cualquier par de nodos que formanel grafo

v2 v3

v1

v4

v5

v2 v3

v1

v4

v5

Grafo No conexo

§ Un grafo no dirigido G es conexo si existe un camino entre cualquier par de

nodos que forman el grafo.


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4.2 Especificación Algebraica

q Puesto que el grafo es un conjunto de vértices y aristas, la signatura del TAD grafo deberácontener, al menos, las operaciones de añadir vértices y aristas a un grafo

q El resto de las operaciones dependerá de la aplicación que se vaya a dar al TAD

q Definiremos un TAD para los grafos dirigidos, con las operaciones básicas para suconstrucción, así como las operaciones de cálculo de vértices adyacentes a uno dado ylas de pertenencia de arista y de vértice.

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espec grafosDirigidosusa booleanos, conjuntoparámetro formal

género vérticeoperaciones

_ == _: vértice vértice à booleano_ ¹ _: vértice vértice à booleano

fpfrenombrar conjunto<vértice> por conjVértices

conjunto<(vértice, vértice)> por conjAristasgénero grafooperaciones

gVacío: à grafo

+vértice: grafo vértice à grafo

parcial +arista: grafo vértice vértice à grafo

_ Î _ : vértice grafo à booleano

( _, _ ) Î _ : vértice vértice grafo à booleano

esVacío: grafo à booleano

adyacentes: grafo vértice à conjVértices

-vértice: grafo vértice à grafo

-arista: grafo vértice vértice à grafo

vértices: grafo à conjVértice

aristas: grafo à conjAristas

Gen (grafo) = { gvacio, +vértice, +arista }

Mod (grafo) = {-vértice, -arista}

Obs (grafo) = { _ Î _ , ( _, _ ) Î _ , adyacentes, esVacío,

vértices, aristas}

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dominios de definición g: grafo; v1,v2: vértice

+arista (g,v1,v2) está definido sólo si v1Îg Ù v2Îg

ecuaciones g: grafo; v,v1,v2,v3,v4: vértice

+vértice (+vértice (g, v1), v2) =

+arista (+arista (g, v1, v2), v3, v4) =

+arista (+vértice (g, v1), v2, v3) =

v Î gVacío =

v1 Î +vértice (g, v2) =

v1 Î +arista (g, v2, v3) =

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(v1, v2) Î gVacío =

(v1, v2) Î +vértice (g, v3) =

(v1, v2) Î +arista (g, v3, v4) =

esVacío (gVacío) =

esVacío (+vértice (g, v)) =

esVacío (+arista (g, v1, v2)) =

adyacentes (gVacío, v) =

adyacentes (+vértice (g, v1), v2) =

adyacentes (+arista (g, v1, v2), v3) =

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-vértice (gVacío, v) =

-vértice (+vértice (g, v1), v2) =

-vértice (+arista (g, v1, v2), v3) =

-arista (gVacío, v1, v2) =

-arista (+vértice (g, v1), v2, v3) =

-arista (+arista (g, v1, v2), v3, v4) =

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vértices (gVacío) =

vértices (+vértice (g, v)) =

vértices (+arista (g, v1, v2)) =

aristas (gVacío) =

aristas (+vértice (g, v)) =

aristas (+arista (g, v1, v2)) =

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El TAD Grafo4.3 Implementación

q Un Vértice es un objeto con un atributo de tipo genérico

template <typename T>class Vertice {public:

Vertice(const T& objeto);const T& getObj() const;void setObj(const T& objeto);

private:T obj;

};


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El TAD Grafoq Una Arista es un objeto con tres atributos: dos vértices y opcionalmente una etiqueta

template <typename T, typename U>class Arista {public:

Arista(const Vertice<T>& vo, const Vertice<T>& vd, const U& etiq);const Vertice<T>& getOrigen() const;const Vertice<T>& getDestino() const;const T& getEtiqueta() const;void setOrigen(const Vertice<T>& orig);void setDestino(const Vertice<T>& dest);void setEtiqueta(const U& etiq);

private:Vertice<T> origen;Vertice<T> destino;U etiqueta;

};


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El TAD Grafoq Interfaz informal de la clase Grafo:

template <typename T, typename U>class Grafo{

public:Grafo();bool esVacio() const;bool estaVertice(const Vertice<T>& v) const;bool estaArista(const Arista<T, U>& a) const;const Conjunto<Vertice<T> >& vertices() const;const Conjunto<Arista<T, U> >& aristas() const;const Conjunto<Vertice<T> >& adyacentes(const Vertice<T>& v) const;const Conjunto<Vertice<T> >& antecesores(const Vertice<T>& v) const;void insertarVertice(const Vertice<T>& v);void insertarArista(const Arista<T, U>& a);void eliminarVertice(const Vertice<T>& v);void eliminarArista(const Arista<T, U>& a);

}


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q Existen básicamente 3 formas de implementar los grafos: una estática y dos dinámicas. Laelección de cada una de ellas dependerá de las operaciones que se vayan a aplicar sobrelos vértices y las aristas

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4.3.1 Matriz de Adyacencia

§ Sea G = (V, A) un grafo de n nodos, donde suponemos que los nodos V = {v1, v2,... , vn}están ordenados y podemos representarlos por sus ordinales {1, 2,... , n}

§ La matriz de adyacencia para el grafo G es una matriz A de dimensión n x n deelementos booleanos en la que:

A[i, j] = verdad, si y sólo si existe una arista en G que va del vértice i al vértice jA[i, j] = falso, en caso contrario

§ En un grafo no dirigido, la matriz de adyacencia es simétrica y los elementos de sudiagonal son todos falsos


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El TAD Grafo§ El tipo necesario para representar un grafo mediante matriz de adyacencia es:


public:// métodos de la interfaz informal

private:enum { N = …};bool m[N][N];int nv;

}

§ Esta representación es útil para aquellos problemas donde se necesite saber si existe unaarista entre dos vértices dados, ya que es de orden constante O(1).

§ El principal inconveniente es que se necesita un espacio de O(n2) aunque el grafo tenga muypocas aristas.

J M

F

T

E

J M

F

T

E

EFJMT

E F J M TF V V V FF F F F FF F F V FF F V F FV V F F F

M =V = {E, F, J, M, T}


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El TAD Grafo

J M

F

T

E

J M

F

T

E

EFJMT

E F J M T

M =

Huelva

CádizCórdoba

Sevilla

2

3

2

2

4

5

Huelva

CádizCórdoba

Sevilla

2

3

2

2

4

5

CA CO HU SE

M =

Para un grafo con aristasetiquetadas, la matriz sedeclararía de la forma:

U* m[N][N];

Donde U es el parámetro de tipopara la etiqueta de las aristas


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El TAD Grafoq Algoritmo del método adyacentes para un grafo no etiquetado:

Conjunto<int> adyacentes(int v) constvar

Conjunto<int> c;fvar;inicio

para i = 1 hasta nv hacersi m[v][i] entonces

c.poner(i)fsi

fpara;devolver c

fin;


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El TAD Grafo4.3.2 Listas de Adyacencia

§ Esta representación consiste en n listas, de forma que la lista i-ésima contiene losvértices adyacentes al vértice i

§ Una posible representación podría ser:



private:Lista<Vertice<T> > *G;int nv;

}


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El TAD Grafo

1 3

4

2

5

1 3

4

2

5

2

1 3 4

32

1

2

3

4

5

G

2

1 3 4

32

1

2

3

4

5

G

1 4

2

5

3

1 4

2

5

3

2

1 5

5

32

1

2

3

4

5

G

4

1 5

4

2

1 5

5

32

1

2

3

4

5

G

4

1 5

4


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El TAD Grafoq Algoritmo del método adyacentes:


Conjunto<int> c;Lista<int>::Iterador it;

fvar;inicio

it = G[v].principio();mientras it ¹ G[v].final() hacer

c.poner(it.observar(G[v]));it.avanzar(G[v])

fpara;devolver c

fin;


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q Esta representación resulta útil cuando el número de vértices se conocepreviamente y permanece fijo durante la resolución del problema, pero resultaineficiente si necesitamos añadir o eliminar vértices en tiempo de ejecución

q Por tanto, para un caso más general, podemos utilizar, en lugar de una tabla, unalista enlazada para almacenar la información de los vértices

El TAD Grafo



private:Lista<Adyacencia<T> > G;

}

template <typename T>class Adyacencia{

public:// métodos tipo get/set

private:Vertice<T> v;Lista<Vertice<T> > adyacentes;

}


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El TAD Grafo

Huelva

CádizCórdoba

SevillaHuelva

CádizCórdoba

Sevilla

Huelva

Sevilla

Cádiz

Córdoba

G

Sevilla

Huelva Cádiz Córdoba

Huelva

HuelvaHuelva

SevillaSevilla

CádizCádiz

CórdobaCórdoba

G

SevillaSevilla

HuelvaHuelva CádizCádiz CórdobaCórdoba

HuelvaHuelva


Tema 4

2005 -2006

El TAD Grafo



private:Lista<Adyacencia<T, U> > G;

}

template <typename T, typename U>class Adyacencia{

public:// métodos tipo get/set

private:Vertice<T> v;Lista<VerticeAdy<T, U> > adyacentes;

}

q Para un grafo con aristas etiquetadas, cada objeto almacenado en la listaadyacentes debe contener no sólo el vértice sino también la información asociadaa la arista

template <typename T, typename U>class VerticeAdy: public Vertice<T>{

public:// métodos getEtiqueta/setEtiqueta

private:U etiqueta;

}


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El TAD Grafo

Huelva

CádizCórdoba

SevillaHuelva

CádizCórdoba

Sevilla

70

60

80

75

150

Huelva

Sevilla

Cádiz

Córdoba

G

Sevilla

Huelva Cádiz Córdoba

Huelva

HuelvaHuelva

SevillaSevilla

CádizCádiz

CórdobaCórdoba

G

SevillaSevilla

HuelvaHuelva CádizCádiz CórdobaCórdoba

HuelvaHuelva

60

70 75 80

150

Grafo Etiquetado con Pesos

Representación mediante

Listas de Adyacencia


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q Se utilizan para grafos dirigidos, si lo que queremos saber es, de forma eficiente, losantecesores de un determinado nodo

q Se utiliza otra tabla de listas cuya lista i-ésima contiene los vértices antecesores al vértice i.Dicha lista se conoce con el nombre de lista de antecesores

q Una lista múltiple de adyacencia es una estructura de datos que une ambas tablas en unaúnica estructura

q Hay un nodo por cada arista del grafo

q Cada nodo guarda la información de dos vértices (origen y destino de la arista) y dospunteros

§ el primero apunta al nodo que almacena la siguiente arista que tiene el mismo vértice destino

§ el segundo apunta al nodo que almacena la siguiente arista que tiene el mismo vértice origen

El TAD Grafo4.3.3 Listas múltiples de adyacencia


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2005 -2006

El TAD Grafotemplate <typename T, typename U>class GrafoDirigido{

public:typedef NodoGM<T, U>* PtrNodoGM;// métodos de la interfaz informal

private:PtrNodoGM *adyacentes;PtrNodoGM *antecesores;

}

template <typename T, typename U>class nodoGM{

public:typedef NodoGM<T, U>* PtrNodoGM;// métodos tipo get/set

private:Vertice<T> origen, destino;// Para grafos etiquetados:// U etiqueta;PtrNodoGM sigAdy, sigAnt;

}


Tema 4

2005 -2006

El TAD Grafo1 3

4

2

5

1 3

4

2

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

1 2

2 1 2 3 2 4

5 2 5 3

listas deadyacencia

listas deadyacenciainversa

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

1 2

2 1 2 3 2 4

5 2 5 3

listas deadyacencia

listas deadyacenciainversa

listas deantecesores

origen destino

mismodestino

mismoorigen

origen destino

mismo

(sigAnt)

mismoorigen

(sigAdy)

ORIGEN

DESTINO


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2005 -2006

El TAD Grafoq Algoritmo del método adyacentes:


Conjunto<int> c;PtrNodoGM p;

fvar;inicio

p = adyacentes[v];mientras p ¹ NULO hacer

c.poner(p->getDestino());p = p->getSigAdy();

fpara;devolver c

fin;

Por ejemplo, en el grafo anterior:

Adyacentes (2) = { }


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El TAD GrafoEficiencia de las operaciones

n: número de vértices

m: número de aristas

gE: grado máximo de entrada

gS: grado máximo de salida

eliminarVertice

insertarVertice

vertices

aristas

adyacentes

antecesores

estaArista

estaVertice

esVacio

eliminarArista

insertarArista

Grafo

Lista MúltipleLista Simple(1)MatrizOperación

(1) Se refiere a la versión en la que se usa unatabla para almacenar la información de los vértices

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