Tema4.Etti

Anlisis Financiero Dinmico I

2012

Profesor: Enrique Reina Gmez 1

Tema 4. Estructura Temporal de los Tipos de Inters.

4.1. ETTI y rentabilidad a vencimiento.

La denominada ETTI describe la evolucin de los tipos de inters en funcin de su

vencimiento. La nica diferencia entre los tipos que componen la ETTI es el plazo de las

inversiones asociadas. El riesgo de todas estas inversiones debe ser equivalente.

Construiremos la ETTI a partir de bonos del Estado, asumiendo que el riesgo de insolvencia

es nulo. La deuda pblica presenta generalmente grandes liquidez y volumen de

negociacin.

Se ha visto cmo pueden obtenerse bonos bsicos a travs de carteras de bonos con

cupn negociables en los mercados. Esta coleccin de bonos bsicos es equivalente a una

serie de bonos cupn cero a distintos vencimientos (1 ao, 2 aos,..., n aos):

, , ,

Donde es el precio hoy de un bono cupn cero que pagar 1 en n periodos (que supondremos anuales). Para obtener el tipo de inters spot (al contado) de una inversin en

un bono cupn cero que comienza hoy y termina dentro de un ao ( ), se emplear :

11

Sin embargo, en t=0 no se conoce el precio que tendr el bono bsico con vencimiento

dos aos pero evaluado dentro de un ao, por lo que se desconoce el tipo spot que habr

entre t=1 y t=2. Por esto se define el tipo spot a dos aos como el tipo anualizado asociado a

un bono cupn cero con vencimiento dos aos Bajo el supuesto de que dicho tipo anualizado

ser constante en los dos periodos anuales ( ).

Anlogamente al caso anterior:

11

Con la generalizacin para plazos superiores:

11


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La asuncin de que el tipo spot sea constante durante todos los periodos es muy restrictiva y no se cumplir en general. Pero s podra interpretarse como el tipo de inters

anualizado medio durante la vida del bono (n aos).

En el anlisis de bonos cupn cero los conceptos de tipo de inters spot a un

determinado plazo y el de rentabilidad a vencimiento, son equivalentes. Esta equivalencia

perder su vigencia en el momento en el que los bonos bajo consideracin incluyan cupones.

Ejemplo 1: Dada una serie de bonos bsicos a distintos vencimientos, podemos

observar los tipos de inters spot a los mismos vencimientos.

Aunque en el caso anterior los tipos crecen con el paso del tiempo, la ETTI puede

mostrar distintas formas (ntese que el tipo spot es el promedio de los tipos en cada periodo

de vida del bono bsico asociado).

Ejemplo 2: Otras posibles formas de la ETTI:


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La ETTI ayuda a la autoridad monetaria a planificar su estrategia. La influencia de los

bancos centrales en los plazos cortos es ms evidente y se materializa generalmente

reduciendo los tipos cuando se buscan polticas monetarias expansivas (tratando de

revitalizar la economa) o alternativamente aplicando polticas monetarias restrictivas

(aumentando los tipos) con el objetivo de relajar las tensiones inflacionistas.

Un aspecto importante a la hora de describir la ETTI es que los tipos de inters son ms

voltiles en los cortos plazos que en los largos, esto se debe a que estos ltimos son

promedios de los anteriores.

La Curva Cupn Cero muestra, en un momento determinado de tiempo, la relacin entre

los tipos de inters spot para inversiones con un nico pago final(que solo difieren en el

vencimiento) y sus correspondientes plazos (rentabilidades a vencimiento de los bonos

cupn cero).

La CCC la forma correcta de pensar en la ETTI, esta curva es diferente de la que

resultara de considerar directamente bonos con cupn. Esta distincin se basa en el

concepto de rentabilidad a vencimiento:

La rentabilidad a vencimiento de un bono cupn cero es la tasa de rentabilidad que

obtendra un inversor comprando dicho bono cupn cero y mantenindolo hasta

vencimiento.

La rentabilidad a vencimiento de un bono con cupn cero es el tipo de inters al que

debemos descontar los flujos futuros de caja que igualan el valor actual de dichos

flujos con su precio de cotizacin (el tipo que satisface la ecuacin de no arbitraje

para los bonos con cupn). Esta tasa se denomina TIR y se obtiene de solucionar la

siguiente ecuacin:

1

1

1

Siendo B: el precio de mercado hoy del bono; C: el cupn; N: el Nominal y T

el vencimiento.

Comparando la expresin anterior con la ecuacin de valoracin (ecuacin de no

arbitraje) de un bono con cupn:

1

1

1

Puede observarse que la TIR es un promedio de los tipos spot correspondientes a los

vencimientos de los bonos bsicos. La rentabilidad a vencimiento de un bono con cupn

(TIR) es una funcin de: el precio de cotizacin y del nmero, cuanta y plazo de los pagos.


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La TIR no resulta una medida adecuada para comparar bonos con igual vencimiento

pero distinto cupn, una rentabilidad a vencimiento ms elevada, no significa

necesariamente que la inversin sea superior.

Ejemplo 2: Supongamos los siguientes precios de bonos bsicos a uno y dos aos:

b1=0.970 y b2=0.798. Supongamos la existencia de dos bonos con cupn con la

siguientes caractersticas:

i) Despejamos los tipos spot de los bonos bsicos:

ii) Despejamos las rentabilidades a vencimiento (TIR) de los bonos con

cupn:

iii) Valorando mediante la ecuacin de no arbitraje:

Vencimiento Nominal Cupn Cotizacin

1 10,000.00 2% 8,350.00

2 10,000.00 20% 11,500.00

n (aos) Bono bsico bn Tipo rn

1 0.97 3%

2 0.80 12%

n (aos) Pago TIR CF Descontados

1 200.00 11.73% 179.01

2 10,200.00 8,170.99

Total 8,350.00


1 2,000.00 11.22% 1,798.30

2 12,000.00 9,701.70

Total 11,500.00

n (aos) Pago FD CF Descontados

1 200.00 0.970 194.00

2 10,200.00 0.798 8,139.60

Total 8,333.60


1 2,000.00 0.970 1,940.00

2 12,000.00 0.798 9,576.00

Total 11,516.00


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iv) Con los precios que encontramos en el mercado, existe una

oportunidad de arbitraje (el primer bono cotiza con un sobreprecio por

encima de su nivel de no arbitraje, mientras que el segundo cotiza con

un valor inferior al de no arbitraje); para explotarla habra que comprar

el bono infravalorado (el 2) y vender el sobrevalorado (el 1). Esto nos

indica que a precio de mercado, el 2 bono es ms atractivo que el 1,

sin embargo, la TIR del 1 es mayor. La conclusin es que la TIR no es

una medida apropiada para evaluar la calidad de las inversiones.

Ejemplo 3: Supongamos la siguiente estructura de tipos de inters:

i) La media geomtrica de estos tipos de inters:

[1.011.021.03]/ 1

ii) El valor de no arbitraje del bono bsico a tres aos:

11.011.021.03

iii) La rentabilidad a vencimiento de b3:

0.942 1

Plazo Tipo

0-1 1%

1-2 2%

2-3 3%

Media geomtrica 1.997%

b3 0.942

TIR 1.997%


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iv) En cambio, la rentabilidad a vencimiento de los bonos con cupn no

ser la media geomtrica de los tipos, sino una media geomtrica

ponderada (por la magnitud de los cupones). Supongamos un bono con

nominal 1,000, cupn del 6% y vencimiento tres aos presentar los

siguientes precios y TIR:

v) La rentabilidad a vencimiento del bono con cupn es menor que la del

bono cupn cero y menor, por tanto, que la media geomtrica de los

tipos a cada periodo equiponderada. En el caso del bono con cupn la

ponderacin relativa de los tipos iniciales es mayor (y es mayor en

funcin de la cuanta del cupn).

4.2. Relacin de tipos de inters y precios de Bonos.

Denotemos por C el cupn en euros, B el precio de mercado del bono, TIR su rentabilidad

a vencimiento y N el nominal.

Se dice que un bono est valorado al descuento cuando el precio de mercado es

inferior al nominal. En este caso tendremos:

>

Se dice que un bono est valorado a la par cuando el precio de mercado es igual al

nominal. En este caso tendremos:


1 600.00 0.990 594.06

2 600.00 0.971 582.41

3 10,600.00 0.942 9,989.58

Total 11,166.05


1 600.00 1.960% 588.47

2 600.00 577.16

3 10,600.00 10,000.43

Total 11,166.05


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Ejemplo 4:Supongamos un bono con cupn del 5% a 3 aos, nominal de 1,000 y

precio de cotizacin de 950:

50950 5.26% < 6.902%

Existe una relacin inversa entre el precio de los bonos y la TIR, si el precio de mercado

cae por debajo del nominal, la rentabilidad a vencimiento ser superior al porcentaje de

pago de cupn. Si se tiene una cartera que paga un cupn del x% pero los tipos de mercado

son inferiores, el bono es ms atractivo y por lo tanto tendr ms valor.


1 50.00 6.902% 46.77

2 50.00 43.75

3 1,050.00 859.48

Total 950.00


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4.3. La Curva Cupn Cero.

Existen varias formas para estimar la curva cupn cero, en concreto podemos clasificar

las alternativas en dos grandes grupos:

Mtodos Economtricos: se impone una forma funcional a la curva que

dependa de un nmero finito y reducido de parmetros que se han de ajustar para

obtener una curva terica que minimice errores (El principal inconveniente de estos

modelos es que no permiten ajustar exactamente los precios de mercado, por lo que se

ajustan mediante la realizacin de un proceso de minimizacin de errores).

Mtodos recursivos (Bootstrapping): es una tcnica basada en crear una

curva que se ajuste exactamente al precio de los activos en mercado. Requiere, por tanto,

informacin de precios de activos de renta fija y se basa en la estimacin directa de los

tipos cupones cero a partir de los precios de instrumentos con cupones cero y la

estimacin recursiva o iterativa para el resto de instrumentos, partiendo de la premisa de

que el precio a replicar es siempre el precio al que se cotiza en mercado. Nos

centraremos en este segundo grupo.

La curva de rendimientos no es una forma apropiada de definir la ETTI, el motivo es que

activos con el mismo vencimiento pueden tener distintas rentabilidades a vencimiento

debido a la magnitud de los correspondientes cupones. Lo que se necesita idealmente es un

tipo spot para cada vencimiento (la curva cupn cero). Desafortunadamente en los mercados

no se cotizan bonos cupn cero con vencimientos superiores a 18 meses, por eso es

necesario emplear instrumentos de deuda pblica con cupones. En particular, el escenario

idealizado sera disponer de un nmero suficiente de bonos con cupn recin emitidos y

valorados a la par. En realidad esto no suele cumplirse, as que ser necesario interpolar los

tipos no disponibles.

Ejemplo 5: Consideremos los siguientes bonos con cupn con nominal de 1,000 y

valorados a la par:

n (aos) Cupn

1 4.00%

2 4.50%

3 5.00%

4 5.50%

5 6.00%

6 6.50%

7 7.00%

8 7.50%

9 8.00%

10 8.50%


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Para calcular la Curva Cupn Cero:

i) Se obtiene el tipo para el ao 1 y se despeja su FD:

10401 1000 > 4%

11 1

1 4% 0.9615

ii) Para el ao 2, se toma el tipo a un ao por dado:

451

10451 1000 > 4.51%

11 1

1 4.51% 0.9155

iii) Realizando esta operacin iterativamente, se obtendra la CCC:

n (aos) Cupn Tipo Spot FD

1 4.00% 4.00% 0.9615

2 4.50% 4.51% 0.9155

3 5.00% 5.03% 0.8630

4 5.50% 5.57% 0.8050

5 6.00% 6.15% 0.7427

6 6.50% 6.71% 0.6773

7 7.00% 7.32% 0.6098

8 7.50% 7.97% 0.5413

9 8.00% 8.70% 0.4729

10 8.50% 9.45% 0.4055

Ntese que esta curva nos permitira descontar los flujos de caja de cualquier

activo financiero del mismo riesgo (suponemos nulo) tan solo multiplicando dichos

flujos futuros por el FD correspondiente.


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4.4. Strips.

Los strips (Separately Traded Registered of Interest & Principal) de deuda pblica, son los

activos financieros resultantes de la segregacin de los pagos de cupones y nominal de un

bono con cupn, de forma que puedan negociarse independientemente.

Los strips introducen en el mercado bonos cupn cero para plazos largos (cada cupn

segregado es equivalente a un bono cupn cero con vencimiento igual a la fecha de pago de

cupn), lo que permitira la observacin directa de la curva cupn cero. As, tenemos una

alternativa a la metodologa de bootstrapping descrita anteriormente (no se espera que las

estimaciones de la curva por ambos mtodos converjan, las diferencias estaran explicadas

por las diferencias en las demandas de ambos tipos de bonos).

La posibilidad de negociar strips, podra dar la impresin de que sus precios producen

una estimacin directa de la curva cupn cero. Desafortunadamente, existen serias

limitaciones:

Los distintos niveles de liquidez tanto en la negociacin de los strips como en la

de sus bonos subyacentes, dependiendo de la cuanta del flujo de caja que

representan, pueden imposibilitar en la prctica la realizacin de estrategias de

arbitraje (que equilibraran las curvas obtenidas por ambos mtodos).

La segmentacin por tramos en la negociacin de los strips pueden hacer

aparecer una prima de segregabilidad que distorsione la estimacin de la curva

obtenida, aadiendo aspectos adicionales a la estructura temporal de los tipos.

Dada la posibilidad real de la existencia de una prima de segregabilidad (que remunerara el

mayor valor relativo de los strips, por motivos de segregabilidad y liquidez) los inversores

podran estar dispuestos a aceptar menor rentabilidad por la compra de estos bonos

segregables que la ofrecida por los bonos bsicos tericos (que determinan la CCC deseable).


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4.5. Los Tipos Forward.

En los mercados forward (a plazo), los inversores hoy acuerdan hoy realizar una

determinada operacin de compra venta en el futuro. En el contrato se especifican los

trminos y condiciones de la transaccin: activo (equity, commodities, tipos de inters,),

cantidad a intercambiar, precio, fecha de entrega, tipo de entrega (fsica o liquidacin por

diferencias). En el momento inicial de la contratacin del forward no se realiza intercambio

monetario, solamente se firma el compromiso (obligacin por ambas partes) de compra

(posicin larga) y de venta (posicin corta) de un determinado activo a un determinado

precio en una determinada fecha futura.

De igual forma que se ha relacionado los tipos de inters spot a travs de los precios de

los bonos bsicos (o bonos cupn cero en general) negociados en el mercado spot, puede

hablarse de los tipos forward a travs de los precios de los bonos bsicos negociados en el

mercado forward. Estudiaremos el problema con dos enfoques alternativos:

i) Basado en la valoracin bajo AOA de bonos cupn cero que vencen un periodo

(un ao) despus de la finalizacin del contrato forward. Sea &' el tipo forward asociado a un contrato realizado hoy que obliga a entregar (y comprar) en t-1

(fecha de vencimiento del contrato), un bono bsico con vencimiento t, (. Supongamos que el precio hoy de un bono bsico negociado en un contrato a

plazo para entregarlo en t=2 es(= 0.92(se pagan 0.92 en t=2 aos para recibir 1 en t=3 aos, que es el vencimiento del bono). El tipo forward,&, se obtendr del correspondiente bono bsico:

0.92 1 & 1

& 10.92 1 8.696%

ii) Basado en el concepto de arbitraje del contrato a plazo con relacin a dos bonos

cupn cero negociados al contado: Imaginemos que adems del bono anterior

(, tenemos dos bonos bsicos: uno con vencimiento en t=2y precio = 0.87 yotro con vencimiento t=3 y precio = 0.82785 (hoy costara 0.82785 recibir con certeza 1 en t=3). Los tiposde inters spot anualizados seran:

11 > 1

0.87+, 1 7.2113%

11 > 1

0.82785+- 1 6.50%


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Imaginemos que queremos obtener 100 en t=3. Si existe la posibilidad de invertir a plazo

tendramos dos formas de hacerlo:

Invertir directamente comprando 100 unidades de . Invertir indirectamente, mediante una posicin larga en un forward de 100

unidades del bono que vence en t=3. Para ello ser necesario pagar el precio

forward (del ejemplo anterior (= 0.92 en t=2), para evitar el desembolso en t=2, deberamos adems del contrato a plazo, comprar 92 unidades del

bono bsico con vencimiento en t=2 que cotiza hoy a = 0.87.

Como puede observarse, con los precios cotizados, existiran OA comprando la cartera

compuesta y vendiendo . Para evitar OA, el coste de ambas estrategias ha de ser el mismo dado que pagan lo mismo con certeza.

El coste de la primera estrategia sera: 100 * El coste de la primera estrategia sera:100 ( //01-

Igualando los costes:

100 1001 &

1 & 1 1

1 1 1 &


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El tipo forward es aquel tipo implcito que impide realizar arbitraje entre los tipos spot (y

entre los spot y forward).

La condicin de no arbitraje secuencial por la que ' debe ser no creciente con el plazo, hace que los tipos forward no puedan ser negativos.

El tipo de inters al contado, es una media geomtrica de los tipos forward de inferior

plazo.

4.6. Teoras sobre la ETTI.

Existen varias alternativas para intentar predecir y explicar la forma de la ETTI o Curva

Cupn Cero:

i) La hiptesis de las Expectativas.

Los tipos forward implcitos son iguales a la expectativa de los tipos de inters

futuros al contado.

&' 2/ ')

Donde &'es el forward implcito entre t-1 y t; ' es el tipo de inters spot que estar vigente entre t-1 y t.

Ejemplo 6. Calcular el tipo forward implcito entre t=1 y t=2 suponiendo que el tipo

spot a un ao es 5% y a dos aos 7.5%:

& 1

1 1 1 7.5%

1 5% 1 10%

No se conoce que tipo spot habr en t=1 con vencimiento t=2, pero con la

informacin de t=0, es necesario que el forward implcito sea el 10% para

evitar OA.

Segn la hiptesis de las expectativas, detrs de una ETTI creciente est la creencia

del mercado de que los tipos spot futuros sern mayores que los actuales.

La generalizacin:

3&' 2/ 3')


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ii) La hiptesis de la Preferencia por la Liquidez.

Esta hiptesis sugiere que la aversin al riesgo causa que los tipos forward sean

sistemticamente ms altos que la expectativa sobre los tipos spot futuros.

Adems, la magnitud de esta diferencia aumenta con el plazo.

3&' 2/ 3' 34'

Donde 34' > 0 es la prima por liquidez entre t-1 y t.

La lgica detrs de esta prima, es reconocer que las nicas rentabilidades que

conocemos con certeza son las spot. La inversin forward existe incertidumbre

sobre las reinversiones futuras. En principio sera preferible bajo este supuesto,

invertir recursivamente (porque se obtendra liquidez en periodos intermedios) y

para a los individuos a invertir a periodos mayores, deben ser remunerados a unos

tipos superiores (prima de liquidez positiva)

Ejemplo 7. Supongamos que el tipo de inters spot a un ao es del 5%, el tipo spot

esperado a un ao dentro un ao es del 6% y la prima de liquidez entre t=1 y t=2 es

del 0.5%. Calculamos el tipo spot a dos aos y el forward:

1 1 1 & 1 [1 2/ 4]

1 1 5%1 6% 0.5% 1.11825 5.75% & 6.5%

iii) La hiptesis de la Segmentacin del Mercado.

Esta hiptesis sugiere que bonos a distintos vencimientos, se negocian en

segmentos del mercado diferentes. As, los tipos de inters se determinan por las

condiciones de la oferta y la demanda de cada uno de los citados segmentos. Esta

teora no lleva asociada una determinada relacin entre tipos spot y forward.

Empricamente, se ha comprobado que la hiptesis de las expectativas no suele cumplirse, y

que existe en general un diferencial positivo entre los tipos forward y los tipos a plazo

futuros.


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4.7. Medidas de riesgo de RF.

Analicemos el riesgo asociado a la variabilidad en los precios de los bonos como

consecuencia de la variacin en los tipos de inters. Se trata de estimar la sensibilidad de los

precios de la renta fija ante variaciones en los tipos.

i) Duracin:

Partiendo de la funcin que relaciona el precio de un bono con cupn y su TIR:

1

1

1

1

5 6'1 '

'7

Derivamos la funcin respecto de la TIR, para observar la variacin aproximada del

precio del bono ante una variacin pequea de la TIR:

88

11 9

1

21

1

1 :

Dividiendo ambos miembros de la ecuacin anterior por el precio del bono, B,

obtenemos la variacin porcentual aproximada del precio del bono ante una

variacin pequea de la TIR:

88

1

11 9

1

21

1

1 :

1

Teniendo en cuenta la definicin de la Duracin de Macaulay:

; 9 1

2

1

1

1 :1

; = '>?@0AB@C'7

La Duracin podra entenderse como una media ponderada de los momentos

futuros t (t = 1, 2,, T), en los que se recibirn los flujos de caja del bono; donde la

ponderacin es la proporcin del valor actual de dicho pago D >?@0AB@E, respecto al precio del bono (valor actual de todos los pagos).


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Algunos apuntes sobre la Duracin:

Un bono cupn cero con vencimiento en T aos, tiene una Duracin de T

aos; sin embargo, un bono de igual vencimiento con cupones tendr una

Duracin menor (ya que recibir unos determinados pagos antes del

vencimiento).

La Duracin aumenta/disminuye al decrecer/aumentar la TIR.

La Duracin es inversamente proporcional al cupn.

La Duracin de una cartera de bonos es la media ponderada de las

duraciones de los bonos componentes, donde las ponderaciones son los

valores actuales de los bonos divididos del valor actual total de la cartera.

Sustituyendo la definicin de la Duracin, en la ecuacin que defina la variacin

porcentual aproximada del precio del bono ante una variacin pequea de la TIR:

88

1

11 ;

ii) Duracin Modificada:

Su definicin parte de la de la Duracin de Macaulay es:

;F 11 ;

De esta forma, la variacin porcentual aproximada del precio de un bono ante una

variacin en la TIR queda definida como:

88

1 ;F

Dado que la DM es positiva, y precio del bono se relaciona inversamente con la TIR,

la variacin del precio del bono ante incrementos en la TIR es una relacin negativa.


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Ejemplo 8. Supongamos un bono con un cupn anual del 5%, un nominal de 1000,

con vencimiento en 5 aos. En mercado cotiza a 918, lo que es equivalente a una

TIR del 7%. Calcular la Duracin y Duracin Modificada.

iii) Convexidad:

El concepto de Duracin es sencillo y muy til, pero tiene ciertas deficiencias como

medida de gestin del riesgo de carteras de renta fija:

La posibilidad de que los movimientos en la curva de tipos no sean paralelos

(supuesto detrs del concepto de Duracin).

La Convexidad: la relacin entre el precio de un bono y su TIR es negativa,

pero no es lineal, es convexa. En el siguiente grfico puede observarse el

error de estimacin en la variacin del precio del bono al usarse la Duracin

(aproximacin lineal).

La convexidad es un factor positivo para el inversor en un bono, dado que ante

aumentos en los tipos, el precio baja menos que si la relacin fuese lineal, y en el

caso de bajadas de tipos, el precio sube ms.


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Para desarrollar la expresin analtica de la Convexidad, partiremos de nuevo de la

funcin que relaciona el precio de un bono con cupn y su TIR:

5 6'1 '

'7

Realizando una expansin de Taylor ignorando trminos de orden superior, queda la

siguiente aproximacin:

8 88 8

12

88 8

Dividiendo por B:

8

88

1 8

12

88

1 8

Teniendo en cuenta la definicin de la Convexidad:

8

81 5

GG 16'1 '0

'7

1

De esta forma, la variacin porcentual del precio de un bono queda definida como:

8 ;F 8

12 8

Ejemplo 9. Calcular la Convexidad partiendo del bono del ejemplo 8:

Nominal 1.000 Precio 918

Cupn 5,00% DM 4,23

TIR 7,00% Convexidad 58,21

t (aos) Pago A = t (t+1) CF B = 1 / (1+TIR)^(t+2) A /B

1 50 100 0,82 122,50

2 50 300 0,76 393,24

3 50 600 0,71 841,53

4 50 1.000 0,67 1.500,73

5 1.050 31.500 0,62 50.582,12

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