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TEMA 5. -TEORIA DE RENTAS FINANCIERAS. GENERALIDADES 5.1. Concepto de renta financiera. 5.2. Clasificación de las rentas financieras. 5.3. Valor capital o financiero de una renta. 5.4. Valoración de las rentas con leyes financieras compuestas. 1. CONCEPTO DE RENTA FINANCIERA Renta financiera es un conjunto de capitales financieros con vencimientos equidistantes en el tiempo, es decir, un conjunto de capitales que vencen con las misma periodicidad.

0 1 2 3... n-1 n

α1 α2 α3... αn-1 αn Ejemplos: sueldos de los trabajadores, alquileres de viviendas y locales comerciales, beneficios anuales de las empresas, etc… En toda renta financiera distinguiremos los siguientes Elementos:

• Términos de la renta Cada uno de los capitales financieros α1, α2,..αn, que forman la renta; siendo n el número de términos de la renta.

• Período de la renta: Es el tiempo que transcurre entre el vencimiento de dos términos consecutivos. Cuando el periodo de la renta sea un año, los términos reciben el nombre de anualidades, si el periodo de la renta es un mes los términos reciben el nombre de mensualidades. Llamamos frecuencia al número de capitales disponibles dentro del año. Así se dirá que una renta es anual o de frecuencia uno, renta mensual o de frecuencia doce, ...

• Origen de la renta.(0): Inicio del primer periodo de la renta • Fin de una renta (n): final del último periodo de la renta. En ocasiones se desconoce o no está

definido el final de una renta. • Duración de la renta. (n- 0) E1 intervalo de tiempo que transcurre entre el origen y el final de la

renta. 2. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS FINANCIERAS Las rentas financieras, se pueden clasificar en función de las características que presentan los distintos elementos que la forman. Así: 1. - Atendiendo a la cuantía de los capitales que la componen: • Constantes, si todos los términos que la componen son de igual cuantía: α1 = α2, = ... αn • Variables, cuando las cuantías de sus términos no son iguales.: α1 ≠ α2, ≠... αn

En general los términos varían en progresión aritmética y en progresión geométrica. 2. - Según los periodos de vencimiento de los capitales de la renta: • Anuales, si los términos de la renta vencen anualmente, es decir, cada año. • Fraccionadas, cuando los términos de la renta vencen con periodicidad inferior al año. Se trata de

renta mensual, trimestral... • Plurianuales, son rentas cuyos términos vencen con una periodicidad superior al año, cada dos años,

cada tres años... rentas bienales, trienales...

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3. - Según el vencimiento de los términos: • Prepagable, cuando los términos de la renta vencen al principio de cada periodo.

0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn • Postpagable, cuando los términos de la renta vencen al final de cada periodo.

0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn 4. - Según el número de términos o duración de las rentas: • Temporales o con un número de términos finito.

0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn

• Perpetuas o de infinitos términos. 0 1 2... ∞

α1 α2... ∞

5. - Según el momento de valoración de la renta financiera:

• Inmediatas, cuando la renta se valora en un punto p comprendido entre el origen y el final, es decir dentro del intervalo (0, n) de la renta.

p

0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn

• Diferidas, cuando la renta se valora en un momento p anterior al origen de la renta. Al periodo de tiempo que transcurre desde el momento de valoración y el origen de la renta se le denomina diferimiento.

diferimiento p 0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn

• Anticipadas, cuando la renta se valora en algún momento p posterior al su final 0 1 2... n-1 n p

α1 α2... αn-1 αn

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6. - Según la certeza de los elementos: • Ciertas: Cuando todos los elementos que definen la renta son conocidos con certeza. Ejemplo: cupones (intereses) de bonos a tasa fija. • Aleatorias o contingentes: Cuando alguno o todos los elementos de definición de la renta dependen de un fenómeno aleatorio. Ejemplo: Los dividendos de una acción. En esta asignatura se trabaja en ambiente de certeza, por lo que sólo se estudiarán las rentas ciertas. 3. VALOR CAPITAL O FINANCIERO DE UNA RENTA. Dada una renta financiera previamente definida, es decir, conocidos los capitales o términos de la renta y elegida una ley financiera para valora los capitales, se denomina valor capital o valor financiero de una renta en un determinado momento p, al capital que en dicho momento p resulta equivalente financieramente a los términos de la renta, es decir, a la suma de los valores que en aquel momento p tienen los términos de la renta. Como valores financieros destacables de una renta se encuentran el valor actual y el valor final. EL VALOR ACTUAL o inicial de una renta es el valor de la renta en su origen, es decir, el capital equivalente financieramente a todos los términos de la renta en el origen de la misma; EL VALOR FINAL de la renta es el valor de la renta en el final, esto es, el capital equivalente financieramente a todos los términos de la renta en el final de la misma. La valoración de las rentas se puede realizar conforme a leyes financieras simples o compuestas pero, dado que en la práctica se utilizan más las rentas valoradas con leyes compuestas, limitaremos nuestro estudio a la valoración de las rentas con leyes financieras compuesta. 4. VALORACIÓN DE LAS RENTAS CON LEYES FINANCIERAS COMPUESTAS Dada una renta financiera temporal de "n" términos anuales de cuantías α1 α2... αn-1 αn inmediata y postpagable:

0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn

A.- Valor Actual de la renta, Vo Es el valor de ésta en su origen, es decir, la suma del valor actual de cada uno de los capitales financieros que la forman:

0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn αl (1 +i) -1

+ α2(1 + i) -2

Vo = + αn-l(l+ i) -(n-l) + αn(1 + i)-n

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V0 =α l (l+i)-1 + α2 (1+i)-2 +…+ αn (1 + i)-n = ( ) rn

1rr i1 −

=+∑α

B.- Valor Final de la renta, Vn Es el valor de ésta en su final, es decir, la suma del valor final de cada uno de los capitales financieros que la forman

0 1 2... n-1 n

α l α2... α n-1 α n +

αn-1(l+i) + α 2(1+i)n-2 = Vn

+ α 1(1+i)n-1

Vn =α l (l +i)n-1 +α2 (1+i)n-2 +...+α n-l (l +i) +αn = ( ) rnn

1rr i1 −

=+∑α

Relación entre el Valor final y el Actual

0 1 2... n-1 n

α1 α2... αn-1 αn

Vo Vn Vo (1 + i)n =Vn

V0 = Vn (1 + i)-n Este sería el esquema y la operativa para calcular el valor actual y final de una renta financiera en general. En el tema siguiente calcularemos el valor actual y final para cada tipo de renta financiera. EJEMPLOS

1. Un Sr., que ha pedido un préstamo, tiene que devolverlo mediante 4 pagos de 100 € a efectuar al final de cada año. Clasificar esta renta. Calcular el valor actual y final de la renta si suponemos una tasa de interés para valorar los capitales del 20% compuesto anual.

2. Una persona compra un piso el 1-enero- de 1998, comprometiéndose a pagarlo mediante 115 cuotas

mensuales, entregando la primera el 1-7-98, y de importe 2.000 € Determinar el origen de la operación, y clasificar de la renta.

3. Dada una renta pospagable de 5 años de duración y término anual constante 12.000 €, con origen el

15/02/05y final el 15/02/10, si se valora a un tipo de interés efectivo anual del 3,75, obténgase su valor en los siguientes puntos del intervalo de la renta: 15/02/05; 15/02/10; 15/06/08; 15/05/12; 15/01/02

4. Dada un renta pospagable de términos anuales 1.000 €, obténgase: a.- Su valor inicial y final para tres

duraciones distintas de la renta: 5, 10, y 15 años. b. Su valor actual y final para tres valores distintos del tipo de interés de valoración anual 3%, 4% y 8%. La duración de la renta es de 3 años