Tema5_el Elipsoide de Revolución

8/17/2019 Tema5_el Elipsoide de Revolución

1/25

Tema 5

El elipsoide de revolución


2/25

Índice

5.1.- Introducción

5.2.- El elipsoide medio terrestre

5.3.- Teoría de curvas5.4.- Teoría de superficies

5.5.- Radios de curvatura principales

5.6.- Medidas sobre el elipsoide5.7.- Línea geodésica

2


3/25

5.1.- Introducción

• Posicionamiento terrestre necesario una superficie geométrica dereferencia descrita por pocos parámetros que se aproxime a laforma de la Tierra Elipsoide terrestre medio

• Elipsoide terrestre medio: – Definición física: elipsoide de revolución que comparte con la Tierra: Masa, M.

Potencial W0

Dif. entre los momentos principales de inercia.

Velocidad angular, ω

– Definición geométrica: elipsoide de revolución quemejor se aproxima al geoide. Para ello:

míndN2

3


4/25

5.2.- Elipsoide medio terrestre

• Considerando un sistema de referencia cartesiano se define elelipsoide de revolución, con centro en el origen del S.R., como elconjunto de puntos x, y, z que verifica la ecuación:

Siendo:- a, semieje mayor o ecuatorial

- b, semieje menor o polar

• En función de a y b:

– 1ª excentricidad Aplanamiento

– La forma y dimensión del elipsoide se determina a partir de sus parámetros.

4

1b

z

a

yx2

2

2

22

Elipsoide

Geoide

2

222

a

bae

a

ba


5/25

5.2.- Elipsoide medio terrestre

a (m)

Elipsoide internacional(Hayford, 1924)

6378388 1/297

WGS84 6378137 1/298.257223563

GRS80 6378137 1/298.257222101

5

Ejemplos de elipsoides medios terrestres


6/25

5.3.- Teoría de curvas

• 5.3.1.- Curvatura de la circunferencia

• 5.3.2.- Diferencial de arco

• 5.3.3.- Curvatura media de arco y curvatura en un punto

6


7/25

5.4.- Teoría de superficies

5.4.1.- Introducción

5.4.2.- Plano tangente a una superficie

5.4.3.- Curvatura de una superficie en un punto

- Secciones normales- Direcciones principales

- Curvaturas principales

7


8/25

5.4.- Teoría de superficies

8

Teorema curvatura de una sección inclinada

Si a través de un punto de la superficiese trazan 2 secciones:una normal y otra inclinada,

teniendo en dicho punto unarecta tg común, entonces

sección inclinada = sección normal * cos


9/25

5.5.- Radios de curvatura principales

5.5.1.- Secciones normales.

5.5.2.- Radio de curvatura de la sección meridiana.

5.5.3.- Radio de curvatura del primer vertical.

- Gran normal.5.5.4.- Radio de curvatura de una sección normal cualquiera.

5.5.5.- Radio medio de curvatura.

9


10/25

Sección normal al elipsoide

radio de curvaturade la sección meridiana

N radio de curvaturadel primer vertical

M


11/25

Haz de planos


12/25

5.5.4.- Radio de curvatura de una secciónnormal cualquiera

Teorema de Dupin:

“Dada una superficie cualquiera, si consideramos todas lassecciones normales en un punto Q de la misma, esdecir, las curvas determinadas por los planos que pasanpor la normal en Q, y para cada curva llevamos sobre latangente, a uno y otro lado, un segmento igual a la raizcuadrada del radio de curvatura de dicha curva en elpunto Q ( ), tenemos vectores cuyos extremos

forman una curva llamada “indicatriz” de la superficie enel punto Q.”

12

r


13/25

13

5.5.4.- Radio de curvatura de una secciónnormal cualquiera


14/25

5.5.5.- Radio medio de curvatura.

Se llama radio medio de curvatura al límite de la mediaaritmética de los radios de curvatura de las seccionesnormales cuando el número de éstas tiende a .

14


15/25

5.6.- Medidas sobre el elipsoide

5.6.1.- Longitud de un arco de meridiano

5.6.2.- Longitud de un arco de paralelo

5.6.3.- Área de un trapecio

15


16/25

5.6.1.- Longitud de un arco de meridianoLa longitud “s” de un arco de meridiano comprendido entre

dos puntos de latitudes 0 y 1 se obtiene integrando elelemento de arco:

ds = des decir,

Para resolver esta integral:1) se desarrolla el integrando empleando el binomio de Newton.

2) Se consideran sólo los términos ≤e10 3) Se sustituyen las potencias pares de senx por cosenos de ángulos

múltiples:

16


1

0

dsene1

e1as

23

22

2

x4cos8

1x2cos

2

1

8

3xsen

x2cos2

1

2

1xsen

4

2


17/25

4) Sacar factor común cos (2nx)

5) Se designa:

17


...e

131072

693F

...e65536

3465e

16384

315E

...e131075

31185e2048

315e512

35D

...e16384

10395e

4096

2205e

256

105e

64

15C

...e6553672765e

20482205e

512525e

1615e

43B

...e65539

43659e

16384

11025e

256

175e

64

45e

4

31A

10

108

1086

10864

108642

108642


18/25

6) Integrando término a término se obtiene:

18


01

0101

010101

2

10sen10sen10

F

8sen8sen8E6sen6sen

6D

4sen4sen4

C2sen2sen

2

BA

e1as


19/25

Veamos el problema inverso: conocido “s” y “ 0” ¿“ 1”?

Resolución:

Puesto que “ 0” es conocido podemos escribir

1- 0 =se resuelve el problema para “ ”. Así,una vez calculado “ ” será

inmediata obtención de “ 1”.

Consideremos:

y llamemos “s0 “ al arco de meridiano conocido

19


10sen10

F

8sen8

E

6sen6

D

4sen4

C

sen2

B

Ae1a)(f s

2


20/25

Para obtener “ ” aplicamos el método iterativo de Newton:

a la expresión :

Resultando:

20


n

0nn1n

'f

sf

00322

2

sdsd

sene1

e1af


21/25


22/25

En la primera iteración 0=0 1=s0 / a(1-e2)

EJEMPLO.-

22



23/25

5.7.- Línea geodésica


24/25

Línea geodésica


25/25

Bibliografía

Martín Asín, F. (1990). Geodesia y CartografíaMatemática. Editorial Paraninfo. Madrid.

25

Tema5_el Elipsoide de Revolución

Documents

Transcript of Tema5_el Elipsoide de Revolución