TEMA6.ModelosparaDatosdePanel · Introducción Modelosestáticos Estimación....
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Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos TEMA 6. Modelos para Datos de Panel Profesor: Pedro Albarrán Pérez Universidad de Alicante. Curso 2010/2011.
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Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
TEMA 6. Modelos para Datos de Panel
Profesor: Pedro Albarrán Pérez
Universidad de Alicante. Curso 2010/2011.
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Contenido
1 Introducción2 Modelos estáticos
Modelo con Efectos Individuales: Fijos y AleatoriosExtensiones del Modelo Básico
3 Estimación de Modelos estáticos. PredicciónEstimadores Agrupados (“Pooled”)Estimador “Between”Estimador de Efectos AleatoriosEstimadores de Efectos FijosTest de HausmanPredicción.
4 Paneles largos5 Variables instrumentales6 Modelos Dinámicos para datos de panel
IntroducciónEstimador de Arellano y Bond
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Consideraciones básicas
Datos de Panel
Los datos de panel (o datos longitudinales) consiste en observacionesde un corte transversal de unidades individuales (hogares, empresas,países, etc.)repetidas sobre el tiempo
{Yit ,X ′it } i = 1, . . . ,N; t = 1, . . . ,T
Algunos ejemplos:PSID (Panel Study of Income Dynamics)ECHP (European Community Household Panel)SHIW (Survey on Household Income and Wealth)EPA (Encuesta de Población Activa)ESEE (Encuesta sobre Estrategías Empresariales)FES (Family Expenditure Survey)CEX (Consumers Expenditure Survey)ECPF (Encuesta Continua de Presupuestos Familiares)paneles de estados americanos, de países, etc.
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Consideraciones básicas
Consideraciones básicas
En general, los datos se observan a intervalos regulares de tiempoLos datos de panel pueden ser balanceados (Ti = T para todo i) ono balanceados (Ti 6= T para algún i)
la selección muestral debe ser aleatoria (no correlacionada con losregresores) para que los estimadores sean consistentes
Se pueden tener paneles:de muchos individuos y pocos periodos temporales (“short panels)de pocos individuos y muchos periodos temporales (“long panels”)de muchos individuos y muchos periodos temporales
Se puede hacer inferencia asintóticaNT →∞N →∞,T →∞N →∞,T fijoT →∞,N fijo
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Consideraciones básicas
Consideraciones básicas (cont.)
Los errores estarán probablemente correlacionados (en el tiempopara un individuo y/o entre individuos)Se pueden tener regresores invariantes en el tiempo (xit = xi ), queno varían con los individuos (xit = xt) o que varían tanto con eltiempo como con los individuos (xit)Algunos coeficientes del modelo pueden variar entre individuos o enel tiempoLos datos de panel permiten la estimación de modelos dinámicos
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estadística descriptiva para datos de panel
Descripción de los datos
Para cada observación debe conocerse el individuo i y el periodotemporal t al que se refiere .
p.e., un panel balanceado p.e., un panel NO balanceado
individuo año renta edad individuo año renta edad sexo1 2000 1800 29 1 2000 800 19 21 2001 1950 30 1 2001 950 20 22 2000 800 20 2 2000 1900 29 12 2001 850 21 2 2001 1950 30 1
2 2002 2100 31 1...
......
......
......
......
500 2000 2200 54 1000 2000 2100 49 1500 2001 2400 55 1000 2001 2200 50 1
Obviamente preferiremos una descripción resumida de la estructuradel panel en nuestros datos
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Estadística descriptiva para datos de panel
Descripción de los datos (cont.)
Para paneles balanceados, describir el número de observacionesimplica:
número de individuos distintos Ntotal de periodos cubiertos por el panel Tel número total de observaciones es simplemente NT
Para paneles NO balanceados, además debemos considerar:periodos concretos en que se observa cada individuo Ti (o su media)número total de observaciones
∑Ni=1 Ti
También se puede presentar el patrón de observaciones; p.e.,
t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
| | | | n1, Ti = 4. | | | n2, Ti = 3. . | | n3, Ti = 2| | | . n4, Ti = 3
Notad que no tiene porque haber individuos observados todos losperiodos y que individuos con el mismo Ti pueden ser observados enperiodos diferentes.
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Estadística descriptiva para datos de panel
Descomposición “within”-“between”
Las variables pueden tener variación tanto en el tiempo como entreindividuosVariabilidad “within”, s2
W : variación en el tiempo para un individuodadoVariabilidad “between”, s2
B : variación entre individuosLa variabilidad total (“overall”), s2
O , se puede descomponer en“within” y “between”
s2O ≈ s2
W + s2B
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Estadística descriptiva para datos de panel
Descomposición “within”-“between” (cont.)
Variabilidad “overall” (en torno a la media total x = 1/NT∑
i∑
t xit)
s2O =
1NT − 1
∑i
∑t
(xit − x)2
Variabilidad “within” (en torno a la media individual x i = 1/T∑
t xit)
s2W =
1NT − 1
∑i
∑t
(xit − x i )2=
1NT − 1
∑i
∑t
(xit − x i + x)2
Variabilidad “between” (variación de x i en torno a x)
s2B =
1N − 1
∑i
(x i − x)2
Nota: NT debe entenderse como total de observacioneses decir, para paneles no balanceados debe ser
∑Ni=1 Ti
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Estadística descriptiva para datos de panel
Estadísticas Descriptivas
Las estadísticas pueden describir los datos
totales (“overall”): xit
“within”: xit − x i + x“between”: x i
Existe una distribución de cada uno de ellos que caracterizar: sumáximo, mínimo, percentiles, varianza, etc.Para variables discretas, una tabulación de valores (histograma)puede ofrecer
“overall”: observaciones que toman ese valor“between”: individuos para los que alguna vez toma ese valorporcentaje de individuos que nunca cambia de valor (“within”)
Para variables binarias, se puede calcular una matriz de transiciones(ofrecen idea de persistencia, dinámica)
Xit+1 = 0 Xit+1 = 1
Xit = 0 Pr (Xit+1 = 0|Xit = 0) Pr (Xit+1 = 1|Xit = 0)Xit = 1 Pr (Xit+1 = 0|Xit = 1) Pr (Xit+1 = 1|Xit = 1)
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Estadística descriptiva para datos de panel
Gráficos
Se puede representar la evolución de algunas o de todos losindividuos iSe pueden representar gráficos de dispersión para dos variables
“overall”o “within” (cada variable en desviaciones respecto a la media de cadaindividuo)
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Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Modelo con efectos individuales
yit = β1x1it + · · ·+ βkxkit + uit
= β1x1it + · · ·+ βkxkit + αi + εit
dondex1it , . . . , xkit : variables explicativas (observables)uit = αi + εit : término de error compuesto (inobservado)
αi : efectos individuales (heterogeneidad inobservada permanente enel tiempo)εit : error idiosincrásico
Existen dos modelos sustancialmente diferentes según el tratamiento deαi
1 Modelo de efectos fijos2 Modelo de efectos aleatorios
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Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Efectos Individuales “Fijos”
Permite que los regresores x1it , . . . , xkit estén correlacionados con αi
sin especificar la forma concretatodo el análisis será condicional en αi
El supuesto fundamental es
E [εit |αi , x1it , . . . , xkit ] = 0
los regresores deben seguir siendo incorrelados con εit
Esto implica E [yit |αi , x1it , . . . , xkit ] = β1x1it + · · ·+ βkxkit + αi y
δE [yit |αi , x1it , . . . , xkit ]
δxj ,it= βj
Se puede identificar el efecto marginal βj aunque el regresor esendógeno, respecto al término de error compuesto uit
los regresores pueden estar correlacionados uit , pero sólo con suparte constante en el tiempoej.: yit =renta, αi =habilidad inobservada permanente
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Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Efectos Individuales “Fijos”: problemas
En principio, se necesitan estimar α1, . . . ,αN junto con losparámetros βj
en paneles cortos, estimar los parámetros βj necesita N →∞Problema de parámetros incidentales: la estimación de los βj puedeestar sesgada por estimar “infinitos” parámetros auxiliares αi
Alternativamente, se puede estimar el modelo transformado paraeliminar αi
sólo se identifica βj para regresores que varían en el tiempo
Estimar consistentemente β puede NO ser suficiente:Para predecir yit :
E [yit |x1it , . . . , xkit ] = β1x1it + · · ·+ βkxkit + E [αi |x1it , . . . , xkit ]
en paneles cortos, E [αi |x1it , . . . , xkit ] no se estima consistentementeEn modelos no lineales, el efecto marginal no está estimadoconsistentemente (depende de αi )
δE [yit |αi , x1it , . . . , xkit ]
δxj ,it
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Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Efectos Individuales “Aleatorios”
El efecto individual αi se trata como puramente aleatoriodebe especificarse su distribución, condicional en los regresores
Supuesto habitual: αi no está correlacionado con los regresores
αi |Xit ∼ N(0,σ2
α
)
Se puede estimar el modelo por Mínimos Cuadrado GeneralizadosFactibles:
todos los coeficientes y efectos marginales, incluyendo de lasvariables que no varían en el tiempola predicción E [yit |x1it , . . . , xkit ]
PERO la estimación es inconsistente si el supuesto sobre ladistribución de αi es incorrecto
p.e., αi sí está correlacionado con los regresores αi |Xit ∼ N(π ′Xit ,σ2
α
)
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Extensiones del Modelo Básico
Extensiones
Modelo con dos efectos
yit = β1x1it + · · ·+ βkxkit + αi + γt + εit
la constante varía tanto entre individuos, αi , como en el tiempo, γt
en paneles cortos, γt se modeliza como “fijo” (con una dummy paracada t)
Modelo agrupado (“pooled”) o de promedio poblacional
yit = α+ β1x1it + · · ·+ βkxkit + uit
supone que los regresores están incorrelados con uit
pero no una estructura en uit (a diferencia de efectos aleatorios)se puede estimar consistentemente por MCOla inferencia debe usar errores estándar robustos
por la probable correlación entre individuos y en el tiempo para unindividuo
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Extensiones del Modelo Básico
Modelos Lineales mixtos
Se puede generalizar el modelo para permitir pendientes diferentespara cada individuo
yit = β1ix1it + · · ·+ βkixkit + αi + εit
= αi + X ′itβi + εit
En paneles largos, se pueden estimar fácilmente los parámetros(αi ,β ′
i)
mediante regresiones separadas para cada individuo
En paneles cortos, se necesita suponer una distribución para(αi ,β ′
i), condicionales en los regresores
como en el modelo de efectos “aleatorios”, se suele suponer que sonindependientes de los regresorespor ejemplo,
(αi ,β′i ) |Xit ∼ N (β,Σ)
También se puede considerar que los parámetros varíen con eltiempo o variables observables
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Estimadores Agrupados (“Pooled”)
Estimador “Pooled” por MCO
Un modelo lineal estático para datos de panel
yit = α+ β1x1it + · · ·+ βkxkit + uit
Se puede estimar consistentemente por MCO si se supone que losregresores son exógenos:
E [uit |x1it , . . . , xkit ] = 0
Pero los errores uit no serán i.i.d.:las observaciones están agrupadas de forma natural por individuos i(“clusters”)probablemente existirá heterocedasticidad entre “clusters”
Deben usarse errores estándar robustos, al menos por la presenciade “clusters”Este estimador es simple y aprovecha tanto la variabilidad temporalcomo entre individuos de los datos
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Estimadores Agrupados (“Pooled”)
Estimador “Pooled” por MCGF
Bajo el mismo supuesto de exogeneidad E [uit |x1it , . . . , xkit ] = 0(garantiza que el estimador es consistente)
Se puede obtener un estimador de MCGF, asintóticamente máseficiente que el de MCO
supone una estructura concreta para la matriz de correlaciones de uit
es más eficiente solo si el supuesto es correcto
Se puede suponer:independencia ρts = 0equicorrelación ρts = ρ
proceso estacionario AR(p) o MA(q)sin estructura (salvo porque deben ser iguales entre individuos)
En general, se siguen utilizando errores estándar robustos(no se considera que el supuesto sea realmente correcto)
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Estimador “Between”
Estimador “Between”
El estimador “between” explota sólo la variación de corte transversales decir, utiliza los datos “between” y i , x1i , . . . , xki
Resulta de estimar por MCO el modelo
y i = α+ β1x1i + · · ·+ βkxki + ui
(deberían usarse errores estándar robustos)
Será consistente bajo el mismo supuesto anterior de exogeneidad delos regresores respecto al término de error compuestoEn la práctica apenas se utiliza porque el estimador “pooled” y el deefectos aleatorios son superiores
son consistentes bajo las mismas condicionesson más eficientes (asintóticamente)
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Efectos Aleatorios
Estimador de Efectos Aleatorios
Sea un modelo de efectos individuales
yit = β1x1it + · · ·+ βkxkit + αi + εit
dondeE [αi |Xit ] = 0; Var [αi |Xit ] = σ
2α
E [εit |Xit ] = 0; Var [εit |Xit ] = σ2ε
Esto implica que los regresores son exógenos respecto al término deerror compuesto uit = αi + εit
E [uit |Xit ] = 0
Además, se tiene una estructura de correlación particular
Corr (uit , uis) =σ2α
σ2α + σ2
ε
, t 6= s
Por tanto, se puede estimar eficientemente mediante MCGF
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Estimador de Efectos Aleatorios
El estimador de efectos aleatorios (MCGF) se obtiene estimando porMCO el modelo transformado(yit − θiy i
)= α
(1− θi
)+(Xit − θiX i
) ′β+αi
(1− θi
)+(εit − θiεi
)θi es un estimador consistente de
θi = 1−√σ2ε/(Tiσ
2α+σ
2ε)
El estimador de Efectos Aleatorios usa tanto variación “within” como“between”Otros estimadores se pueden obtener como casos especiales delestimador de efectos aleatorios
cuando θi → 0, se tiene el estimador agrupado por MCOcuando θi → 1 (porque Ti o σ2α/σ2ε son grandes), se tiene elestimador “within”
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Estimadores de Efectos Fijos
Estimadores de Efectos Fijos
Sea un modelo de efectos individuales
yit = β1x1it + · · ·+ βkxkit + αi + εit
SuponemosE [εit |αi , x1it , . . . , xkit ] = 0
La estimación de los parámetros β requiere la eliminación de αi
Estos estimadores sólo utilizan variación “within” de los datosla estimación de los datos con poca variación “within” será bastanteimprecisano se puede estimar el coeficiente de variables que no varíen en eltiempo
Son consistentes tanto si los regresores están correlacionados con laheterogeneidad permanente como si no
si no existe correlación, otros estimadores son más eficienteen cualquier caso, los errores estándar serán mayores que los de otrosestimadores
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Estimadores “within”: Desviaciones respecto a la media
Se puede transformar el modelo restando a cada variable su mediaindividual
(yit − y i ) =(Xit − X i
) ′β+ (εit − εi )
donde X i = 1/Ti∑
t Xit
Este modelo se puede estimar consistentemente por MCOporque los regresores Xit eran endógenos por su correlación con αi
pero están incorrelados con εit (en cualquier periodo temporal)
Cuando se disponga de estimaciones de β, se pueden obtenerestimaciones de los efectos individuales
αi = y i − X′i β
sólo serán consistentes si Ti →∞Se deben utilizar errores estándar robustos si se piensa que εit noson i.i.d.
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Estimadores de Efectos Fijos
Estimadores “within” con “dummies” de individuo
También se pueden estimar conjuntamente α1, . . . ,αN y el vector βMediante MCO en el modelo original con N “dummies” para losefectos individuales
yit = X ′itβ+
N∑j=1
αidj ,it
+ εit
donde dj ,it = 1 para el individuo i y dj ,it = 0 en caso contrario
Este estimador de β es numéricamente igual al obtenido endesviaciones respecto a la mediaAsimismo, también los efectos individuales estimados sonαi = y i − X
′i β
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Estimador en primeras diferencias
Existen muchas formas de eliminar los efectos individuales αi
Se puede estimar por MCO el modelo en primeras diferencias
(yit − yit−1) = (Xit − Xit−1)′β+ (εit − εit−1)
Este estimador en primeras diferencias (por MCO) es consistenteEl estimador en desviaciones respecto a la media y el estimador enprimeras diferencias son, en general, similares pero diferentes
ambos utilizan el mismo número de observacionespara T = 2, son numéricamente iguales
En modelos estáticos, se suele preferir el estimador en desviacionesrespecto a la media porque es más eficiente cuando εit es i.i.d.
el error en primeras diferencias está autocorrelacionadopor tanto, MCO no es eficiente (y deben usarse errores estándarrobustos)
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Exogeneidad estricta y Exogeneidad débil
El estimador en desviaciones respecto a la media requiere que(εit − εi ) esté incorrelado con
(Xit − X i
)Esto sucederá cuando se cumpla el supuesto de exogeneidad estricta(o fuerte)
E [εit |αi ,Xi1, . . . ,XiT ] = 0
El estimador en desviaciones respecto a la media requiere que(εit − εit−1) esté incorrelado con (Xit − Xit−1)
Esto sucederá cuando se cumpla el supuesto de exogeneidad débil
E [εit |αi ,Xi1, . . . ,Xit ] = 0
a diferencia del anterior, permite que valores futuros de los regresoresestén correlacionados con el errorej., un regresores es la variable dependiente retardada
Esta distinción no suele ser relevante en modelos estáticos
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Test de Hausman
¿Efectos Fijos o Efectos Aleatorios?
El estimador de Efectos Fijos permite estimar el modelo bajosupuestos menos restrictivos
permite correlación entre los regresores y los efectos individualespermite estimar el modelo incluso si los regresores son “endógenos”
PERO es menos deseable en otras dimensioneses menos eficiente (al explotar solo variación “within”)no identifica los coeficientes de regresores que no varíen en el tiempo
El estimador de Efectos Aleatorios es más eficientesi se cumplen supuestos adicionales a los de Efectos Fijos
PERO puede ser inconsistente
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Test de Hausman
α1
α2
α3
α4
x1 x2 x3 x4
+++
++
+ ++ +
+
++++
++
+
+++
++
++
+ +++
+
++
+++
+++ +
+
++++
++
++ ++
++
+
++++
+
++
+
+
+
MCO/MCGFEstim. “within”yit
xit
+
+
+
++ ++
+
++
+++
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Test de Hausman
Contraste de Hausman
Resulta muy importante conocer si el modelo adecuado para analizarnuestros datos es el de efectos fijos o el de efectos aleatoriosBajo la hipótesis nula de que se cumplen los supuestos del modelode Efectos Aleatorios, ambos estimadores, el de efectos fijos y el deefectos aleatorios, deben ser similares
ambos son consistentes
El contraste compara los coeficientes estimables de los regresoresque varían con el tiempoEl estadístico de contraste mide la “distancia” entre ambasestimaciones: si es “grande” se rechaza H0(βEF − βEA
) ′ [Var
(βEF
)− Var
(βEA
)]−1 (βEF − βEA
) a∼Hoχ2
(k)
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Predicción.
Predicción
Se puede predecir el valor de la variable dependiente, incondicionalen los efectos fijos E (yit |Xit), como
yit = X ′it β+ α
donde α = 1N∑
i αi
Se puede predecir el valor de la variable dependiente dado su efectoindividual E (yit |Xit ,αi ), como
yit = X ′it β+ αi
Asimismo, se pueden obtener:los efectos individuales estimados αi = y i − X
′i β
el residuo idiosincrásico εit = yit − X ′it β− αi
el residuo compuesto uit = εit + αi = yit − X ′it β
Notad que αi (y, por tanto, la predicción de yit que la utiliza)requieren que T →∞ para ser predicciones consistentes
(α solo necesita NT →∞)
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Predicción.
R2 total, “within” y “between”
Se pueden obtener obtener un R2 del modelo para los datos totales,“within” y “between”
dependiendo del modelo, el R2 habitual será uno de estos tres
Estos R2 se obtienen como correlaciones entre los datos observadosy los datos predichos por el modelo observado
R2o =
[Corr
(yit ,X ′
it β)]2
R2w =
[Corr
((yit − y i ) ,
(Xit − Xi
) ′β
)]2R2
b =[Corr
(y i ,Xi
′β)]2
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Predicción.
No existe una descomposición para los R2 como en la varianza: cadauno se interpreta independientementeTambién puede resultar interesante obtener estimaciones separadas
de la varianza de los efectos individuales σ2α
de la varianza del error idiosincrásico σ2ε
por tanto, automáticamente de la varianza del término de errorcompuestode la autocorrelación del término de error compuesto uit
ρ = Corr (uituit−1)
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Introducción
En los paneles largos, se tienen muchos periodos temporales parapocos individuos: N pequeño, T →∞
por ejemplo, unas pocas industrias, empresas o regiones observadasdurante muchos periodos de tiempo.
Se puede estimar estimar un modelo de efectos fijos mediante“dummies” de individuo como regresoresEn la práctica, se suelen preferir modelos agrupados para estimar porMCGF
para incorporar estructuras de covarianza más generales del términode error
También se pueden estimar modelos más flexibles con pendientesespecíficas para cada individuo mediante regresiones separadas
yit = X ′itβi + αi + εit
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Introducción (cont.)
La longitud temporal de los datos supone la principal característica aconsiderar cuando se estima un modelo con un panel largoEn todos los casos, debe tenerse en cuenta la probableautocorrelación en εit o directamente en uit
mediante errores estándar robustos a autocorrelacióno estimando por MCGF si se considera apropiado un determinadoproceso (estacionario)
Aunque tampoco puede olvidarse la posibilidad deheterocedasticidad en uit o εitSe pueden estimar modelos con efectos temporales
yit = X ′itβi + αi + γt + εit
estimar γt con “dummies” puede suponer un problema de parámetrosincidentales (T →∞)PERO se pueden reemplazar por una tendencia (aprovechando que eltiempo está ordenado de forma natural)
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Análisis de Series Temporales con datos de panel
Cuando se tiene un panel largo con pocos individuos, se podríatratar como un sistema de N series temporalesPERO ya hemos visto que debemos considerar aspectos ignoradospor la econometría de series temporales puras
controlar por heterogeneidad inobservadocomportamiento asintótico cuando tanto N como T van a infinitola posibilidad de dependencia de corte transversal
En cualquier caso, también hemos visto que los paneles largospermiten analizar la evolución temporal de una variableLos datos de series temporales se pueden modelizar
como procesos estacionarios: bien la variable dependiente o bien eltérmino de error siguen procesos ARMA(p,q)o como procesos no estacionarios, aunque éstos sólo se puedenanalizar convincentemente cuando la serie temporal es muy larga
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Raíces unitarias y cointegración
Se pueden estudiar modelos dinámicos como
yit = ρiyit−1 + φi1∆yit−1 + · · ·+ φipi∆yit−pi + Z ′itγi + uit
donde los cambios retardados garantizan que uit sea i.i.d.
El proceso será estacionario para el individuo i si
ρi = 1
Cuando dos procesos son no estacionarios, pueden estarcorrelacionados (espúreamente) sólo por serloPor tanto, cuando se estudian varias variables en una serie temporallarga, debe analizarse si están cointegradas
es decir, si siguen relacionadas descontando el efecto de la noestacionariedad
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Introducción
Variables instrumentales con datos de panel
Se pueden extender fácilmente los métodos de variables instrumentales alcaso de datos de panel
Si el modelo agrupado es apropiado yit = α+ X ′itβ+ uit , un
instrumento válido debe cumplir
E [uit |Zit ] = 0
Se puede estimar por mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)(con errores robustos a “clusters” de individuos)
Si el modelo de efectos fijos es apropiado yit = X ′itβ+ αi + εit , un
instrumento válido debe cumplir (exogeneidad estricta)
E [εit |αi ,Zi1, . . . ,ZiT ] = 0
Se puede estimar también por MC2E en el modelo transformadopara eliminar los efectos individuales (en desviaciones respecto a lamedia, etc.)
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Hausman-Taylor
Estimador de Hausman-Taylor
Este estimador de V.I. permite estimar los coeficientes de losregresores invariantes en el tiempoEl modelo de efectos individuales se puede escribir como
yit = X ′1itβ1 + X ′
2itβ2 +W ′1iγ1 +W ′
2iγ2 + αi + εit
Supuestos:1 algunos regresores invariantes en el tiempo W1i NO están
correlacionados con αi2 algunos regresores que sí varían con el tiempo X1it NO están
correlacionados con αi3 otros regresores, W2i y X2it , sí pueden estar correlacionados con αi4 todos los regresores están incorrelados con εit
Este estimador es más restrictivo porque se basa en supuestosadicionales a los del estimador de efectos fijos
la existencia de regresores no correlacionados con los efectosindividuales
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Hausman-Taylor
Usando la transformación de efectos aleatorios del modelo
yit = X ′1itβ1 + X ′
2itβ2 + W ′1iγ1 + W ′
2iγ2 + αi + εit
Cada variable ha sido transformada
X1it = X1it − θiX 1i
donde θi es un estimador consistente deθi = 1−√σ2ε/(Tiσ
2α+σ2ε)
Esta transformación no elimina los regresores invariantes en eltiempo
se puede estimar γ1 y γ2
Tampoco elimina los efectos individuales: por tanto, X2it y W2iestán correlacionados con αi
esta endogeneidad se remedia mediante el uso de variablesinstrumentales
Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Hausman-Taylor
yit = X ′1itβ1 + X ′
2itβ2 + W ′1iγ1 + W ′
2iγ2 + αi + εit
Un instrumento para X2it es ˜X 2it = X2it − X 2i
está correlacionado con X2it
se puede comprobar que NO está correlacionado con αi
Un instrumento para W2i es X 1i
Supone que el número de regresores exógenos que varían con eltiempo es mayor que el número de regresores endógenos invariantesen el tiempoSe usan datos de otros periodos para formar los instrumentos:X1i1, . . . ,X1iT también servirían
Un instrumento para X1it es ˜X 1it = X1it − X 1i
se usa X 1i dos veces
Un instrumento para W1i es W1i
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Introducción
Modelos dinámicos
Por simplicidad, consideremos un modelo AR(1)
yit = γ1yit−1 + X ′itβ+ αi + εit
Se puede generalizar a más retardos fácilmenteLa correlación en el tiempo de yit tiene distintas fuentes
1 directamente a través de valores pasado de yit (verdaderadependencia temporal)
2 directamente a través de los regresores Xit (heterogeneidadobservada)
3 indirectamente a través de los efectos individuales αi
(heterogeneidad inobservada)4 (correlación serial en εit)
Las implicaciones de cada fuente de correlación son muy diferentes
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Introducción
Problemas de los Estimadores
yit = γ1yit−1 + X ′itβ+ αi + εit , εit ∼ i .i .d .
NO se puede suponer que yit−1 está incorrelado con αi
Por tanto, los estimadores de “pooled” y de efectos aleatorios NOson adecuados para modelos dinámicosEl estimador “within” es inconsistente
(yit − y i ) = γ1(yit−1 − y i ,−1
)+(Xit − X i
) ′β+ (εit − εi )
porque(yit−1 − y i ,−1
)está correlado con (εit − εi )
εi incluye los errores de todos los periodos
Todos los estimadores de efectos fijos tienen el mismo problema
(yit − yit−1) = γ1 (yit−1 − yit−2) + (Xit − Xit−1)′β+ (εit − εit−1)
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Estimador de Arellano y Bond
Estimador de Arellano-Bond
Sea el modelo transformado en primeras diferencias
∆yit = γ1∆yit−1 + ∆X ′itβ+ ∆εit
Si εit es i.i.d., un instrumento válido para ∆yit−1 será yit−2
yit−2 está correlacionado con ∆yit−1 = yit−1 − yit−2
yit−2 NO está correlacionado con ∆εit = εit − εit−1
De hecho, son instrumentos válidos cualquier valor de yit retardadosdos periodos o más
E
yit−2
yit−3...
yi1
∆εit = 0 ⇔ E [yis∆εit ] = 0, s 6 t − 2
Se pueden obtener estimaciones consistentes de un modelo dinámicode datos de panel utilizando
la transformación adecuada del modelo (este argumento NOfunciona en desviaciones respecto a la media)y los instrumentos adecuados
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Estimador de Arellano y Bond
Arellano-Bond (cont.)
El estimador asintóticamente más eficiente utiliza todos los retardosposibles para estimar el modelo dinámico
se denomina estimador de Arellano-Bondse estima mediante el Método Generalizado de los Momentos (parautilizar todos los instrumentos)
Este estimador permite estimar un modelo dinámico sin necesidad deinstrumentos externosEl modelo puede incluir regresores (estrictamente) exógenosE[εit |αi , xj ,i1, . . . , xj ,iT
]= 0
son sus propios instrumentos E [xj ,itεit ] = 0aunque también se pueden utilizar todos sus retardos y adelantosE [xj ,itεis ] = 0, s 6= t
Además, el argumento utilizado para obtener instrumentos de yit−1se puede generalizar al otros regresores que no sean estrictamenteexógenos
sin necesidad de buscar un instrumento nuevo
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Estimador de Arellano y Bond
Arellano-Bond (cont.)
Si se tienen regresores que, como yit−1, son predeterminados(débilmente exógenos) E
[εit |αi , xj ,i1, . . . , xj ,it
]= 0
están correlacionados con los errores pasados E [xj ,itεis ] 6= 0, s < tpero no con errores futuros E [xj ,itεis ] = 0, s > t
Algunos regresores pueden ser contemporáneamente endógenosE [xj ,itεis ] 6= 0, s 6 tpero estar incorrelado con los errores futuros E [xj ,itεis ] = 0, s > t
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Estimador de Arellano y Bond
Arellano-Bond (cont.)
Este estimador necesita que εit sea i.i.d. para ser consistenteEste supuesto se puede contrastar, porque:
Cov (∆εit ,∆εit−1) 6= 0Cov (∆εit ,∆εit−k) = 0 k > 2
Si este supuesto no se cumple, se puede seguir estimando el modelosi εit ∼ AR(p), se puede re-escribir el modelo original como unproceso autorregresivo y se tendrá un nuevo error i.i.d.si εit ∼ MA (q), se pueden utilizar valores más retardados comoinstrumentos
También se dispone un test de Sargan para contrastar la“coherencia” entre los instrumentos
