Tema6_sistemas de Referencia

8/16/2019 Tema6_sistemas de Referencia

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Tema 6

Sistemas de Referencia

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Índice

6.1.- Introducción

6.2.- Nociones de dinámica terrestre

6.3.- SR asociados al campo de la gravedad

6.4.- SR asociados al elipsoide

6.5.- SR globales

6.6.- Definición y materialización de SR

6.7.- Transformación entre sistemas de referencia

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Tema 6: Sistemas de referencia

– La Geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la

Tierra, la determinación de puntos en la superficie topográficaterrestre y en el espacio, así como el campo de gravedad y lavariación en el tiempo de estos parámetros

– Para la obtención de las coordenadas de los puntos de una red seefectúan observaciones en la superficie topográfica terrestre pero loscálculos se realizan en una superficie matemática de referencia

• SR asociados al campo de la gravedad

• SR asociados a la superficie de referencia

• SR globales

– Un SR se define a partir de un sistema de coordenadas y sematerializa mediante puntos fijos y observaciones.

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Sistemas de referencia

– Un SR es un conjunto de reglas y medidas que permiten “situar” un

objeto de modo unívoco.

– Para definir un SR en el espacio se recurre a tres vectores ortogonalescon origen común y tales que formen una terna, es decir

Z Y X Y X Y Y X X eeeeeeeee ,

0,1

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– Análogamente a un cuerpo rígido, los grados de

libertad de un SR 3D son 6: tres componentesde traslación y tres ángulos.

– Para definir un SR, generalmente se impone la posición del origen ytres ángulos de rotación.

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Sistemas de referencia – Definidos los tres ejes que forman un SR podemos trabajar con

distintos sistemas de coordenadas

• Coordenadas cartesianas: el punto P es identificado a partir de la terna(proyecciones ortogonales en los ejes X,Y,Z )

P P

P

Z

Y

X

P

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• Coordenadas esféricas: el SR se define a partir de una esfera de radio

dado, la normal a la superficie esférica que pasa por el puntoconsiderado, el plano del ecuador y un punto sobre el plano delecuador

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• Coordenadas elipsoidales: el SR se define a partir de un elipsoide de

rotación con una determinada forma, la normal al elipsoide que pasapor el punto considerado, el plano del ecuador y un punto sobre elplano del ecuador

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– Un SR terrestre debe tener presente los fenómenos físicos que se

producen en la Tierra:

• Movimiento de traslación• Movimiento de rotación• Precesión• Nutación• Movimiento del polo• Fenómenos periódicos: mareas terrestres, mareas oceánicas, carga

oceánica• Tectónica de placas

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Nociones de dinámica terrestre

– La Tierra recorre una órbita elíptica alrededor del Sol (movimiento de

traslación) con un período de revolución de 365.25 días solares. Elplano que contiene la órbita terrestre se llama plano de la eclíptica.

– Al mismo tiempo la Tierra gira entorno a su propio eje (movimiento de

rotación) siendo el período de rotación igual a un día solar.

– El eje de rotación terrestre y el eje ortogonal al plano de la eclípticaforman un ángulo de aproximadamente 23º27.

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– El eje de rotación terrestre, a su vez, tiene dos movimientos:

• Precesión: movimiento circular de ángulo 23º27 y período de 25800años.

• Nutación: movimiento oscilatorio entorno al movimiento de precesióncon amplitud angular de 9.2” y período de 18.6 años.

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– Además el planeta oscila respecto a su propio eje, es decir para unobservador fijo en la Tierra, la posición del polo respecto a lasuperficie terrestre cambia en el tiempo describiendo un movimientoaproximadamente cónico con período de 435 días y amplitud deaproximadamente 0.1” -0.2” . Dicho fenómeno se conoce comomovimiento del polo o Chandler Wobble

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Definiciones importantes – Esfera celeste: es aquella con radio unitario centrada en la Tierra (la

cual se considera un punto) y sobre la que se proyectan los astros.Para un observador en la Tierra dicha esfera parece rotar de este aoeste alrededor del eje de rotación terrestre.

– Ecuador celeste: es la proyección del plano ecuatorial en la esferaceleste.

– Eclíptica: es la proyección sobre la esfera celeste de la órbita aparente

del Sol alrededor de la Tierra. – Se conocen como equinoccios a cada una de las intersecciones de laeclíptica con el ecuador celeste:

• γ : equinoccio de primavera• γ’ : equinoccio de otoño

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– Debido a los movimientos de precesión y nutación, el ecuador celestey los equinoccios cambian su posición en el tiempo. En particular dadauna época, restando al ecuador celeste “verdadero” (instantáneo) y alos equinoccios “verdaderos” el efecto de nutación se obtiene lo quese denomina ecuador medio celeste y equinoccios medios para dichaépoca.

– Se definen como ecuador celeste y punto γ de referencia el ecuador yequinoccio de primavera medios relativos al 01-01-2000 a las 12TU(época J2000).

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– Se conoce como posición convencional del polo a la media de lasposiciones del polo respecto a la superficie del planeta (i. e. la mediarespecto al Chandler Wobble) en un determinado intervalo de tiempo.En concreto, se establece:

• Origen internacional convencional (CIO) como la media del período1900-1905.

• Polo terrestre convencional (CTP) : redefinición del anterior hecha en1984 por el Bureau International dell’Heure (BIH).

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Fenómenos periódicos importantes

– Mareas oceánicas: consiste en la oscilación de la distribución del aguade los océanos debido a la atracción gravitacional de la luna y el sol.Su magnitud varía de pocos decímetros a algunos metros.

– Mareas terrestres: consiste en el cambio en la distribución de la masa

sólida debido a la atracción gravitacional del sol y la luna. Sumagnitud es de algunos decímetros.

– Carga oceánica: es la deformación de la corteza terrestre debido a lasoscilaciones de la carga oceánica y atmosférica. Su magnitud es del

orden de algunos centímetros.

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Fenómenos no periódicos importantes

– La corteza terrestre está afectada por:

• Movimientos horizontales (tectónica de placas, 2-3 cm/año)• Movimientos verticales (teoría de isostasia, hasta 40 cm/año)

Por tanto un SR para el posicionamiento terrestre debe describir unarealidad física variable en el tiempo

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SR asociados al campo de la gravedad

– Los métodos de observación y cálculo de la Astronomía geodésica nospermiten determinar para cada punto de la stt su latitud y longitud,así como el acimut de una dirección. Estas coordenadas y acimutes,tal como resultan de la observación, están referidos a un SR localinstantáneo. Por tanto, dependen del punto considerado y delmomento en el que se efectúa la observación.

– El SR local está determinado por la dirección de la vertical, la cualqueda definida como la tangente en cada punto a la línea de laplomada, o si se prefiere como la normal a la superficie equipotencialen el punto considerado: coincide pues con la dirección del vectorgravedad.

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SR asociados al campo de la gravedad – En las condiciones anteriores se define:

Latitud astronómica de P :

Ángulo que forma la vertical de P con el plano del ecuador. Se tomade 0 a ± 90º positiva hacia el norte.

Longitud astronómica de P : Ángulo que forma el plano meridianoastronómico de P con el planomeridiano astronómico tomado comoorigen (meridiano de Greenwich).Se toma de 0 a 180º positiva hacia

el este.

Altitud ortométrica de P : distancia del punto P al geoidemedida a lo largo de la línea de la plomada.

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– Llamamos acimut astronómico de una dirección en el punto P al

ángulo que forma el plano vertical de P que contiene esta direccióncon el plano meridiano astronómico de P . Se mide sobre elhorizonte astronómico de 0 a 360º desde el norte y positivo hacia eleste.

– Llamamos distancia cenital de una dirección en un punto P al ángulo

que forma esta dirección con la vertical de P; se mide desde el cénitde 0 a 180º, su complemento se denomina altura.

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– Las observaciones astronómicas y geodésicas están ligadas a la

dirección de la línea de la plomada en el punto y por tanto al campode la gravedad. Estas observaciones llevan a establecer el siguienteSR:

• El origen es el punto de observación• El eje z coincide con la vertical local y

es positivo hacia el cénit• El eje x está dirigido hacia el norte• El eje y hacia el este(el plano del horizonte, plano xy, estangente a la superficie de nivel W=W P ).

– Este SR se conoce como astronómico local

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– Se verifica pues, que el vector de posición entre P y P i es dado por:

cos

cos

x A sen z x y s sen A sen z

z z

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SR asociados al campo de la gravedad – Para aplicaciones geodésicas, las observaciones llevadas a cabo en un

SR astronómico local deben ser transformadas a un sistema

geocéntrico global para su uso posterior en el establecimiento deredes de control geodésico.

– La dirección de la línea de la plomada puede ser referida a un sistemageocéntrico global mediante la latitud y la longitud astronómica.

– Veremos más adelante la transformación entre el SR astronómico local

y el SR geocéntrico. 24


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– Los elementos astronómicos obtenidos por observación no van a

constituir un SR homogéneo, ya que:

• Las observaciones se efectúan en puntos distintos y como éstos noestán en la misma superficie equipotencial, cada observación quedareferida a una superficie de referencia diferente.

• El eje de rotación de la Tierra cambia constantemente su posiciónrespecto a la Tierra sólida. Esto implica que como las observaciones serealizan en instantes distintos, los elementos resultantes están referidosa diferentes ejes instantáneos de rotación y en consecuencia a distintosecuadores.

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– Si se desea referir todos los elementos astronómicos obtenidos por

observación a un SR homogéneo es preciso referir todos estoselementos a una superficie de referencia común y una épocadeterminada. Surgen así los elementos “medios” (ecuador medio, polomedio...)

– Se mantienen las definiciones anteriores pero se sustituye elcalificativo de instantáneo o verdadero por el medio.

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SR asociados al elipsoide

– La Geodesia geométrica toma como superficie de referencia la delelipsoide de revolución y es sobre esta superficie sobre la que seefectúan los cálculos.

– A cada punto de la Tierra se le hace corresponder un punto delelipsoide al que se le asignarán unas coordenadas que denominamosgeodésicas.

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– Dado un punto P , llamamos

• Normal geodésica de P a la recta normal por P a la superficie delelipsoide. Esta recta corta a la superficie de revolución del elipsoide.

• Ecuador geodésico al plano perpendicular al eje de rotación y quecontiene al centro del elipsoide.

• Meridiano geodésico de P al plano que contiene la normal geodésica de P y el eje de revolución del elipsoide.

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– Dado un SR y el relativo elipsoide asociado, se definen las

coordenadas geodésicas de un punto P como:

• Latitud geodésica ( ): ángulo entre la normal al elipsoide que pasa por P y el ecuador geodésico, se mide de 0 a 90º positiva hacia el norte.

• Longitud geodésica ( ): ángulo antihorario entre el plano meridiano por

P y el plano meridiano geodésico tomado como origen. Se mide sobreel ecuador geodésico de 0 a 360º positivo hacia el este• Altitud elipsoidal (h): distancia medida a lo largo de la normal al

elipsoide entre el punto P y dicho elipsoide.

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– De forma análoga a los sistemas astronómicos locales se pueden

introducir los sistemas elipsoidales locales.

– Llamamos horizonte geodésico de P al plano perpendicular por P a lanormal geodésica de P .

– Llamamos planos normales geodésicos a los planos que contienen a lanormal geodésica.

– Llamamos sección normal geodésica a la intersección con el elipsoide

de un plano normal geodésico.

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– Llamamos acimut de la sección normal por P de un punto Q sobre el

elipsoide al ángulo que forma el plano meridiano geodésico de P y lasección normal geodésica por P que pasa por Q, medido en elhorizonte geodésico de P de 0 a 360º desde el norte y positivo haciael este.

– Llamamos distancia cenital geodésica de una dirección en un punto Pal ángulo que forma esta dirección con la normal geodésica de P; semide desde el cénit geodésico de 0 a 180º, su complemento sedenomina altura geodésica.

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– Es importante resaltar que sobre el elipsoide la sección normal por P

que pasa por Q y la sección normal por Q que pasa por P nocoinciden, lo que produce indeterminaciones de triángulos sobre lasuperficie.

– Se considera entonces la línea geodésica que une P y Q que sabemos

es única y llamamos acimut geodésico de Q al ángulo por el meridianogeodésico de P y la tangente en P a la geodésica PQ.

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– Las coordenadas astronómicas de un punto definen la dirección de la

vertical de este lugar con respecto al eje de rotación de la Tierra.Estas coordenadas se obtienen por observación astronómica y sonindependientes de toda hipótesis hecha sobre la forma de la Tierra.

– Las coordenadas geodésicas se obtienen mediante una serie de

cálculos sobre una superficie convencional denominada elipsoide dereferencia a partir de ciertos datos de observación. Estas coordenadasestán referidas no a la vertical del lugar, sino a la normal al elipsoide trazada por dicho punto.

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SR globales – Recordemos que estamos buscando SR para el posicionamiento

terrestre y que por tanto debe describir una realidad física variable enel tiempo.

– Hasta ciertos niveles de precisión la Tierra puede considerarse unelipsoide de revolución completamente rígido que gira con velocidad

angular constante alrededor del eje de simetría del elipsoide.

– En otros casos, en los que se requieren altas precisiones, es necesariotener en cuenta los efectos de no rigidez de la Tierra que se estudiancomo efectos elásticos, efectos del núcleo líquido, influjos oceánicos y

atmosféricos...

– Las principales desviaciones de la Tierra de un modelo ideal sonproducidas fundamentalmente por los movimientos del polo, lasmareas terrestres y movimientos de tectónica de placas.

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SR globales

– Todos estos fenómenos son medibles y variables en el tiempo. Esto

lleva a la necesidad de considerar el tiempo como un parámetro másen el problema del establecimiento de un SR.

– Hoy en día la geodesia espacial (técnicas VLBI, SLR, GNSS...) nospermiten obtener precisiones superiores a 1mm en 1 km, debemos

por tanto disponer de SR con una precisión comparable.

– Puesto que estamos buscando SR para el posicionamiento terrestreparece lógico considerar SR geocéntricos globales:

• SR inerciales o quasi inerciales• SR fijos a la Tierra (que giran con la Tierra)

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S Gl b l S C l C i l (CC S)


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SR Globales: SR Celeste Convencional (CCRS) – Es SR fijo en el espacio, es una aproximación a un SR inercial y queda

definido por:• Origen: centro de masas de la Tierra.• Eje Z ortogonal al ecuador celeste de referencia.• Eje X pasando por el equinoccio de primavera de referencia.• Eje Y formando una terna dextrógira con los anteriores.

– El SRCC se usa para el cálculode las órbitas de algunos satélites,por ejemplo los satélites GPS.

– El SRCC no tiene en cuenta elmovimiento de rotación de laTierra y por tanto no es adecuadopara representar la posición de puntosde la superficie terrestre.

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SR globales

– A un SR cartesiano geocéntrico se le puede asociar como superficie de

referencia un elipsoide, por ejemplo el elipsoide asociado al ITRS es elGRS80.

– En algunos casos puede ser útil considerar la latitud geocéntrica y lalatitud reducida.

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Coordenadas cartesianas geocéntricas y


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Coordenadas cartesianas geocéntricas ygeodésicas

– A partir de la figura

siendo la gran normal.

– El paso de ( , , h)P (X, Y, Z) P es inmediato.

2

( ) cos cos( ) cos sen

[ (1 ) ]sen

P P P P

P P P P

P P P

X N hY N h Z N e h

N a

e sin P ( )1

2 2

40

D t i é t i dé i


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De cartesianas geocéntricas a geodésicas

– Por un lado

– Para obtener y h se considera la siguiente igualdad:

y se aplica un proceso iterativo con h0=0 en la primera iteración, i.e

X

Y arctan

tan)1( 2

22 h N

he N

Y X

Z

2221

1

1arctan

eY X

Z

)sin1( 122

1e

a N 11

22

1cos

N Y X

h

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– Para la i-ésima iteración se obtiene:

– El proceso se termina cuando dos estimaciones consecutivas de y h no difieren significativamente.

12

1

11

22 )1(arctan

ii

iii

he N

h N

Y X

Z

)sin1( 22 ii

ea N

i

i

i N Y X

hcos

22


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– Ejemplo: Dadas las coordenadas cartesianas geocéntricas

obtener las correspondientes coordenadas geodésicasrespecto al elipsoide GRS80 (a = 6378137.000 m, b = 6356752.314m)

5037078.538350870.551

3885148.010

P

P

P

X mY m Z m


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Sistemas y Marcos de referencia internacionales


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Rotación de la Tierra Sistemas de ReferenciaIntroducción histórica

Un sistema de referencia: estructura geométrica para referir las coordenadas de puntos en el

espacio, queda definido por la situación del origen, las direcciones de los ejes, la escala,

los algoritmos necesarios para sus transformaciones espaciales y temporales y las

constantes utilizadas en las definiciones y correcciones.

Un marco de referencia: materialización de un sistema de referencia, es decir, el conjunto de

elementos que determinan de forma práctica un sistema de referencia.

Sistema de Referencia Celeste (CRS) Sistema de Referencia Terrestre (TRS)

Marco de Referencia Celeste (CRF) Marco de Referencia Terrestre (TRF)

Astronomía

Geodesia

Geodinámica

Sistemas y Marcos de referencia internacionales

Sistemas y Marcos de referencia internacionales: ITRS


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y

Sistema de Referencia Terrestre Internacional ITRS

proporciona las definiciones conceptuales de un sistema fijo a la Tierra.

1. Es geo céntr ic o , su origen está localizado en el centro de masas de la Tierra, incluyendo

océanos y atmósfera.

2. La unidad de longi tud es el metro SI.

3. El plano pr inc ipal es el plano del ecuador terrestre de polo de referencia IERS, próximo al

polo de rotación. Su orientación es consistente con el sistema del BIH adoptado en 1984.0.

4. La evolución temporal de la orientación del sistema se asegura imponiendo la condición de

no-rotación con respecto a los movimientos tectónicos horizontales de puntos de la Tierra.

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R li ió d l SR


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Realización de los SR

– Una vez definido formalmente un SR, la realización del mismo se

efectua mediante observaciones físicas y geométricas (observacionesdel campo de gravedad, ángulos, distancias, nivelaciones) y medidasespaciales (observación a estrellas fijas y a satélites artificiales).

– Para realizar un SR es necesario un catálogo de puntos fundamentalescon sus coordenadas estimadas coherentemente con la definción delSR. Respecto a estos puntos fundamentales quedarán referidas laposición de nuevos puntos.

– Puesto que la realización de un SR depende de las observacionesutilizadas, la misma definición de un SR puede ser materializada orealizada de diferente manera.

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Realización de los SR globales


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– El número de estaciones permanentes aumenta y además éstas debenreflejar una realidad física variable en el tiempo (tectónica de placas,

desplazamientos verticales…), es por ellos que existen distintasrealizaciones de un mismo SR: ITRF89, ITRF96, ITRF97, ITRF00.

– Existen párametros de transformación entre las distintas realizacionesdel ITRS.

– La densificación europea (continental) del ITRF se llama ETRF89 y lacorrespondiente red de estaciones permanentes se conoce comoEUREF.

– IBERIA ( < 1cm): Pertenenece a la red continental. Formada por 12estaciones portuguesas y 27 españolas, homogéneamente distribuidas

por la península y coincidentes con las primitivas estaciones EUREF89,tiene como objetivo solucionar la insuficiente precisión de EUREF89.Marco de referencia asociado ETRF89.

– REGENTE ( < 5cm): densificación de IBERIA95 y BALEAR98

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– Otra realización del ITRS es el WGS84 (World Geodetic System).

– Formalmente es definido como el ITRS pero es materializado por unared de estaciones permanentes pertenecientes a la Defence Mapping Agency (DMA) hoy conocida como NIMA (National Imagery andMapping Agency).

– Su precisión es inferior a la del ITRF: la coherencia entre ambasrealizaciones es de orden centimétrica.

– No tiene en cuenta las deformaciones de la corteza.

– El WGS84 es importante porque las posiciones de los satélites GPStransmitidas en el mensaje de navegación están expresadas en esteSR.

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Realización de los SR locales


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Realización de los SR locales – Para la realización de un SR geodésico local es necesario fijar la forma

del elipsoide (a, b) de referencia y además tres rotaciones y trestraslaciones.

– Se define un punto astronómico fundamental como aquel en el quese impone que la normal al geoide y elipsoide coincidan (i.e. ladesviación de la vertical sea nula). Esto implica que en el puntofundamental

Se impone además que en una dirección coincidan el acimutastronómico y el geodésico.

– La realización de un SR local consiste pues en un catálogo de puntosobtenidos por observaciones del campo de gravedad, ángulos,distancias, nivelaciones... Uno de estos puntos está unido al puntoastronómico fundamental.

H h

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Transformación entre SR


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– Las coordenadas de un punto expresadas en SR distintos serán en

general distintas

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– Para hacer coincidir los ejes de uno de los dos sistemas con los del

otro se debe llevar a cabo una traslación y una rotación. Esta últimaen general se efectúa como la composición de tres rotaciones planasrespecto a los tres ejes.

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Rotación plana


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– En general, si llamamos a las tres matrices de rotaciónplana respecto a los ejes X, Y, Z respectivamente y R

X , R

Y , R

Z a los

correspondientes ángulos de rotación, entonces

– La composición de tres rotaciones planas consecutivas se formalizamediante el producto de las tres rotaciones planas en el ordenadecuado.

ZYX R ,R ,R

x x

x x X

R R

R R R

cossin0

sincos0

001

)(XR

Y Y

Y Y

Y

R R

R R

R

cos0sin

010

sin0cos

)(YR

100

0cossin

0sincos

)( z z

z z

Z Z R R

R R

RR

Rotación plana

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Rotación plana


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– En general, el orden en el que se aplican las rotaciones es importante: en la rotación que lleva del sistema al seadopta la secuencia

Rotación plana

[ ] X Y Z I

e e e II Z Y X ][ eee

( , , )

( , , ) ( ) ( ) ( )

X Y Z

II I

X Y Z Z Y X

X X

Y R R R Y

Z Z

R R R R R RZ Y X

R

R R R R

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Rotación plana


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– Rotación entorno al eje X :

– El ángulo de rotación se elige de manera que el nuevo planocontenga al futuro vector ; el vector pertenezca al futuroplano

Rotación plana

I

X

RX Z

Y

X

R

Z

Y

X

)(XR

RX Z X ],[ ee

II Z e RX Y e

II Y X ],[ ee

57

Rotación plana


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– Rotación entorno al eje Y :

– Se obtiene el vector definitivo; el nuevo vectorpertenece al futuro plano

Rotación plana

RX

Y

RY RX Z

Y

X

R

Z

Y

X

)(

,

YR

II Z e RY RX X ,e II Y X ],[ ee

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Rotación plana


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– Rotación entorno al eje Z :

– Se ha completado la rotación.

Rotación plana

RY RX

Z

II Z

Y

X

R

Z

Y

X

,

)(ZR

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Matriz de rotación


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– Por tanto, la matriz de rotación viene dada por

– Se comprueba fácilmente que

es decir, la inversa de una matriz de rotación coincide con su

traspuesta

XYZ R R R R

IR R R R IIIIT T

Matriz de rotación

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Transformación entre SR astronómico local y el


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– Primero se efectúa una traslación para hacer corresponder el origen

de ambos SR y se orientan los dos SR de la misma manera aplicandola matriz

– A continuación se realiza dos rotaciones en el orden siguiente

Transformación entre SR astronómico local y elcartesiano geocéntrico

cos 0

(180 ) cos 0

0 0 1

Z

sen

senR

0 cos

(90 ) 0 1 0

cos 0

sen

sen

YR

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 S

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Transformación completa con factor de escala


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– Sea un punto P de coordenadas en el primer SR. Lascoordenadas de P en el segundo SR se obtienen aplicando unarotación y traslación con factor de escala, es decir

– La transformación anterior depende de 7 parámetros.

– La transformación de coordenadas cartesianas entre dos SR está biendefinida geométricamente siempre que se conozcan los 7 parámetrosde transformación. En Geodesia, estos 7 parámetros son conocidosnormalmente de modo aproximado y por tanto la transformación decoordenadas implica normalmente una pérdida de precisión en lascoordenadas estimadas.

Transformación completa con factor de escalaT

I P Z Y X ,

I P II P

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

,0

0

0

,

R

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Estimación de los parámetros de transformación


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– Bajo las siguientes hipótesis

• traslación pequeña (100-200 m en SR globales)• rotaciones pequeñas (≈1˝ , , )• factor de escala próximo a la unidad ( 1 )

la expresión anterior se puede linealizar de la siguiente manera:

– Los parámetros a estimar son X 0

, Y 0

, Z 0

, R X

, RY

, R Z

, μ .

– Observando las coordenadas de n puntos en ambos SR es posibleescribir un sistema de 3n ecuaciones con 7 incógnitas. Si n 3 (senecesitan por lo menos tres puntos dobles) se tienen más ecuacionesque incógnitas y por tanto los parámetros pueden ser estimadosaplicando el método de los mínimos cuadrados.


1cos i R ii R Rsin

I SR I SR x y

x z

y z

II SR Z

Y

X

Z

Y

X

R R

R R

R R

Z

Y

X

Z

Y

X

1

1

1

0

0

0

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E ti ió d l á t d t f ió


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– Un caso en el que es necesario estimar los parámetros detransformación es aquel relativo a realizaciones distintas de un mismoSR, por ejemplo existen parámetros de transformación entre losdistintos ITRFXX (ITRF96, ITRF97 e ITRF00).


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Bibliografía


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– Moritz H, 1984. Sistemas de referencia. Publicación 135 del Institutode Astronomía y Geodesia. UCM.

– Sevilla MJ, 1988. Coordenadas astronómicas y geodésicas. Desviaciónrelativa de la vertical. Publicación 284 del Instituto de Astronomía y

Geodesia. UCM.

– Torge W, 2001. Geodesy. Walter de Gruyter, 3ª Edición. Nueva York.

Bibliografía

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