Microsoft Word - Tema7.docUniversidad Autnoma de MadridAnlisis de Datos en Psicologa IITema 7ANOVA de dos factoresTema 7Objetivo. Concepto de interaccinANOVA de dos factores, efectos fijos, completamente aleatoriazado (ANOVA-AB-EF-CA)Comparaciones mltiplesObjetivo: estudiar si los valores de una variable dependiente (VD) dependen de los niveles de dos VVII (factores) o de la interaccin entre ambas.La primera VI se denomina A y tiene Jniveles.La segunda VI es B y tiene K niveles. InteraccinExiste interaccin entre dos factores cuando el efecto de un factor sobre la VD depende de cual sea el nivel del otro factor.Ejemplo: Efecto de dos factores: Edad (joven, medio, adulto) y Fumar (s, no) sobre las puntuaciones en una escala de Ansiedad Social.Grficos de mediasCaso 1: Sin efectos principales de los factores ni interaccin87Ansiedad6 Caso 2: Efectos principales sin interaccin876Ansiedad5453FUMAR 24 FUMAR0103101123123EDAD EDADEdadFumarj+NoSi111=712=71+=7221=722=72+=7331=732=73+=7+1=7+2=7EdadFumarNoSi111=112=31+=2221=322=52+=4331=532=73+=6+1=3+2=5+kjkGrficos de medias Caso 3: Interaccin sin efectos principales.87 Caso 4: Efectos principales e interaccin.987AnsiedadAnsiedad665544FUMAR303 FUMAR0 2121123123EDADEDAD11 - 21 = 5 3 = 21+ - 2+ = 5 5 = 0 Fumar EdadNoSiEdadFumarNoSi111=512=51+=5221=322=72+=5331=732=33+=5+1=5+2=5111=8 12=4 1+=6221=5 22=3 2+=4331=5 32=5 3+=5+1=6 +2=4Procedimiento del ANOVA AB - EF - CAEstructura de los datosB1B2...BKA1Y111 Y211Yn11Y112 Y212Yn12MY11K Y21KYn1KA2Y121 Y221Yn21Y122 Y222Yn22MY12K Y22KYn2KMMMY1jk Y2jk,Yijk...YnjkMAJY1J1 Y2J1YnJ1Y1J2 Y2J2YnJ2MY1JK Y2JKYnJKHiptesisH0(A) JLas J medias poblacionales correspondientes a los J niveles del factor A son igualesH0(B) Las K medias poblacionales correspondientes a los K niveles del factor B son igualesH0(AB) jk jk j+ j+No hay efecto de interaccin.H1(A) j jEl factor A influye o afecta a la VD.H1(B) k +kEl factor B influye o afecta a la VD.H1(AB): jk jk j+ j+Hay interaccin.SupuestosIndependencia: Las JK muestras de tamao n son aleatorias e independientesNormalidad: Las JK poblaciones de donde se extraen las JK muestras son normalesHomocedasticidad:Las JK poblaciones tienen, todas ellas, la misma varianzaEstadstico de contraste: niveles del factor A: niveles del factor Bn : n de observaciones en cada casillaN : n total de observaciones (N=nJK)Tj+ : Totales de cada nivel del factor A T+k : Totales de cada nivel del factor B Tjk : Totales de cada casillaT : Total de la muestraSumas de cuadradosSCT Y 2 T2ijk ijkNTj22SCA j TnKN2T k 2SCB k T22nJN2Tjk Tj T k 2SCAB jkn jnK k TnJN2 ijk TjkSCE ijk Y 2 jknSCT = SCA + SCB + SCAB + SCETabla resumen del ANOVA AB-EF- CAFVSCg.l.MCFFactor ASCAJ 1SCAJ-1FA MCAMCEFactor BSCBK 1SCBK- 1FB MCBMCEInteraccinSCAB(J 1)(K 1)SCAB (J -1)(K-1)FAB MCABMCEErrorSCEN - JKSCE N-JKTotalSCTN 1Zona crticaFA se distribuye segn FJ-1, N-JK, luego la zona crtica es FA 1-FJ-1, N-JKFB se distribuye segn FK-1, N-JK, luego la zona crtica es FB 1-FK-1, N-JKFABsedistribuyesegnF(J-1)(K-1),N-JK, luegolazonacrticaesFAB 1-F(J-1)(K-1),N-JKRegla de decisinRechazar H0(A) si el estadstico FA cae en la zona crtica. Mantener H0(A) en caso contrarioRechazar H0(B) si el estadstico FB cae en la zona crtica. Mantener H0(B) en caso contrarioRechazar H0(AB) si FAB cae en la zona crtica. Mantener H0(AB) en caso contrarioEjemplo: Estudiar el efecto de las variables Edad y Fumar sobre la Ansiedad Social con =0,01.FumarNoSiEdad13,915,014,47 3,334,714,833,954,043,669,4425,656,495,50 5,725,449,667,689,57 7,987,3934,947,135,54 5,946,165,925,485,196,124,45HiptesisH0(A): 3+(Edad) H0(B): (Fumar)H0(AB): jk jk j+ j+(Interaccin)H1(A): j+ j+H1(B): +k +kH1(AB): jk jk j+ j+Supuestos Independencia Normalidad HomocedasticidadEstadstico de contraste Tabla de totales:FumarNoSEdad1T11 = 21,40T12 = 25,90T1+ = 47,302T21 = 28,77T22 = 42,23T2+ = 71,003T31 = 29,69T32 = 27,13T3+ = 56,82T+1 = 79,86T+2 = 95,26T = 175,12J = 3n = 5K = 2N = 5(3)2 = 30 ijk 2Yijk 1106,39SCT Y 2ijkijk T 2175,122 1106,39 N30 84,162Tj 2 2222SCA j T 47,30 71,00 56,82 175,12 28,44nKN ( 5 )2 ( 5 )2 ( 5 )230SCB 2T kT 2 k 79,862 2 95,26 175,122 7,90nJNjk ( 5 )3 ( 5 )330522 SCE T 2Y 2 jk 1106,39 21,40 ... 27,13 34,91n ijk ijk5SCAB = SCT - SCA - SCB - SCE= 84,16 - 28,44 - 7,90 - 34,91= 12,89FVSCg.l.MCFFactor A28,44214,229,77Factor B7,9017,905,43Interaccin12,8926,444,43Error34,91241,45Total84,1629FA ~F2,24FB ~F 1,24FAB ~ F 2,24Zona crticaFA0,99F 2,24 = 5,61FB0,99F 1,24 = 7,82FAB 0,99F 2,24 = 5,61Decisin Rechazar H0(A) Mantener H0(B) Mantener H0(AB)3. Comparaciones mltiples (Tukey)DMSTukey 1 qv,N JKMCEN / vDonde:qaparece en la tabla Jv : n de medias que se estn comparando:v = J para el factor Av = K para el factor Bv =J K para la interaccinSi la interaccin es significativa: Representar las medias grficamente e interpretar.Ejemplo: Tukey sobre los niveles del factor A, que es el nico efecto significativo.Medias:Y1 47 ,310 4,73 Y2 7110 7,1 Y3 56,8210 5,682Tabla de diferencia de mediasY2Y3Y12,370,952Y21,418MCEN / vDMSTukey 1 qv,N JK0,99 q3,24 4,55(0,38) 1,731,4530 / 3Difieren 1 y 2Formulario del tema 7 ANOVA-AB-EF-CASCT Y 2 T2ijk ijkNTj22SCA j TnKNT2k2SCB k TnJNSCAB Tjk2 jk Tj 2 j T kT 22 k2nnKnJN ijk TjkSCE ijk Y 2 jknGLA = J 1 GLB = K 1GLAB = (J 1)(K 1)GLE = N - JK GLT = N 1MCAMCB SCA J-1SCBK- 1MCAB SCAB(J 1 )(K- 1 )MCE SCE N-JKFA FB FAB MCA MCEMCBMCEMCAB MCEFA 1-FJ-1, N-JKFB ~ 1-FK-1, N-JKFAB ~ 1-F(J-1)(K-1), N-JKPrueba de TukeyDMSTukey 1 qv,N JKMCEN / vq tabla Jv = J(factor A)v = K(factor B)v =J K(interaccin)Ejercicios recomendados del libro:7.37.77.87.16