Tema8b ud3

Probabilidades y Estadística I

Esquema inicial

1. Variables aleatorias bidimensionales. Distribución conjunta 2. Distribuciones marginales 3. Distribuciones condicionadas 4. Independencia 5. Momentos 6. Teorema de Bayes 7. Reproductividad de v. aleatorias


3. Distribuciones condicionadas (1/6)

EJEMPLO

La variable X representa la proporción de errores tipo A que existen en un documento, mientras que la variable Y representa la proporción de errores tipo B. En ese documento existen otros tipos de errores como el C, el D etc...La falta de información sobre el estudio nos lleva a que la distribución conjunta del vector (X, Y) sigue una distribución uniforme.

El 75% de los errores son de tipo B Y=0.75

X | Y=0.75



Variable aleatoria bidimensional discreta

Sea 0y un número real tal que 2 0( ) 0p y > . Se denomina función de probabilidad de X condicionada al 0Y y= , y se denota por 0( )p x y| , a la siguiente función real de variable real.

00

2 0

( , )( )( )

p x yp x yp y

=|

00

1 0

( , )( )( )

p x yp y xp x

=|

{ }0

0( )y Rg Y

p x y∈

| { }0

0( )x Rg X

p y x∈

|FAMILIAS



Variable aleatoria bidimensional continua

Sea 0y un número real tal que 2 0( ) 0f y > . Se denomina función de densidad de X condicionada al 0Y y= , y se denota por 0( )f x y| , a la siguiente función real de variable real.

00

2 0

( , )( )( )

f x yf x yf y

=|

00

1 0

( , )( )( )

f x yf y xf x

=|

{ }0

0( )y Rg Y

f x y∈

| { }0

0( )x Rg X

f y x∈

|FAMILIAS



EJEMPLO

0000

2 0 0

1 0 1( , ) 2 1( )( ) 2(1 )

0

si x yf x y yf x yf y y

resto

≤ ≤ − −= = = −

|

0 , 12

( , ) 10 en el resto

x ysi

f x y x y ≤ ≤ = + ≤

1

2

2(1 ) 0 1( ) 2

0

y

o

y yf y dx

resto

− − ≤ ≤= =

∫



Relaciones entre los tres tipos de distribuciones asociadas a un vector aleatorio bidimensional

CONJUNTA = MARGINAL × CONDICIONADA

Esta clase de relación se obtiene en los tres escenarios en donde se desarrolla el contenido de esta asignatura: • Estadística Descriptiva: • •

i jij i j j if f f f f= × = ×

• Probabilidades con Álgebra de Boole: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B A P B P A B∩ = × = ×| | • Variables aleatorias: 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y x f y f x y= =| |



Variable aleatoria bidimensional mixta

( , )X Y ∈ 2R

X es discreta y Y es continua

1( ) ( )p x f y x× | 2 ( ) ( )f y p x y× |

DISTRIBUCUÓN CONJUNTA


Esquema inicial



4. V. aleatorias independientes (1/2)

( )f x y| = 1( )f x ∀y ⇔ ( )f y x| = 2 ( )f y ∀x

DEFINICIÓN 1

DEFINICIÓN 2

1 2( , ) ( ) ( )f x y f x f y= × 1 2( , ) ( ) ( )F x y F x F y= ×

• Estadística Descriptiva: • •ij i jf f f= ×

• Probabilidades con Álgebra de Boole: ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×


4. V. aleatorias independientes (2/2)

EJEMPLO

4 0 , 1( , )

0xy si x y

f x yresto

≤ ≤=

1

2 0 1( )

0x si x

f xresto

≤ ≤=

2

2 0 1( )

0y si y

f yresto

≤ ≤=

[ ] [ ] [ ],P a X b c Y d P a X b P c Y d≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ × ≤ ≤


Esquema inicial



Momentos centrados en el origen

5. Momentos (1/3)

[ ]( , ) ( , ) ( , )x y

E g x y g x y p x y=∑∑Caso discreto

Caso continuo [ ]( , ) ( , ) ( , )E g x y g x y f x y dx dy+∞ +∞

−∞ −∞

= ∫ ∫

, [ ]k lk l E x yα =

Momentos centrados en la media ( ) ( ), 1, 0 0,1

k l

k l E x yµ α α = − −


Momentos destacados

5. Momentos (2/3)

1,0 [ ] XE Xα µ= = 0,1 [ ] YE Yα µ= =

[ ] 22, 0 XVar Xµ σ= = [ ] 2

0, 2 YVar Yµ σ= =

1,1 ( , )Cov X Yµ =cov( , )

X y

X Yρσ σ

=


Propiedades

5. Momentos (3/3)

[ ] [ ] [ ]E aX bY aE X bE Y+ = +a)

2 2( ) ( ) ( ) 2 cov( , )Var aX bY a Var X b Var Y ab X Y+ = + +b)

BAJO INDEPENDENCIA

c) [ ] [ ] [ ]cov( , )X Y E XY E X E Y= −

[ ] [ ] [ ]E XY E X E Y=d)

cov( , ) 0X Y = 2 2( ) ( ) ( )Var aX bY a Var X b Var Y+ = +


Esquema inicial



6. Teorema de Bayes

a) Caso 1: X e Y discretas 1

1

( ) ( )( )

( ) ( )x

p y x p xp x y

p y x p x=∑

b) Caso 2: X e Y continuas 1

1

( ) ( )( )

( ) ( )f y x f x

f x yf y x f x dx

=∫

c) Caso 3: X discreta e Y continua 1

1

( ) ( )( )

( ) ( )x

f y x p xp x y

f y x p x=∑

d) Caso 4: X continua e Y discreta 1

1

( ) ( )( )

( ) ( )p y x f x

f x yp y x f x dx

=∫


Esquema inicial



7. Reproductividad (1/3)

1( , )X n pβ∼Caso 1: Binomial

BAJO INDEPENDENCIA

2( , )Y n pβ∼

1 2( , )X Y n n pβ+ ∼ +

Caso 2: Binomial negativa 1( , )X N n pβ∼ 2( , )Y N n pβ∼

1 2( , )X Y N n n pβ+ ∼ +



1( )X P λ∼Caso 3: Poisson

BAJO INDEPENDENCIA

2( )Y P λ∼

1 2( )X Y P λ λ+ ∼ +

Caso 4: Normal 1 1( , )X N µ σ∼

2 21 2 1 2( , )X Y N µ µ σ σ+ ∼ + +

2 2( , )Y N µ σ∼



1( , )X Erlang k λ∼Caso 5: Erlang

BAJO INDEPENDENCIA

2( , )Y Erlang k λ∼

1 2( , )X Y Erlang k k λ+ ∼ +

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