TemaII-3.ppt

7/24/2019 TemaII-3.ppt

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Tcnicas de Deteccin y Correccin de

Errores

Profesora Mara Elena Villapol

[email protected]


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Tcnicas de Deteccin y Correccin deErrores

!os canales inal"m#ricos proporcionan los ndicesde error $ue suelenen torno a %&'(.

Estas altas tasas de error son el multipath fading$ue caracteri)an a los canales de radio mvil.

Existen dos aproximaciones para poder tratar estepro#lema*

+ Correccin de Error ,acia -delante /or0ard ErrorCorrection1 /EC2.

+ 3e$uerimiento de 3epeticin -utom"tica -utomatic3epeat 3e$uest1 -342.


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Deteccion vs Correccion

Existen tecnicas para detectar errores yotras para corre5ir errores.


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3edundancia

Para detectar o corre5ir errores senecesita a5re5ar cierta redundancia a los#its de informacin.


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/EC

Cdi5os de #lo$ues.+ !ineales

cclicos

Cdi5os convolucionales.


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Cada #lo$ue de k #its es codificado con un #lo$ue de(k+r)#its denominado pala#ra cdi5o codeword2.

!a pala#ra cdi5o es la $ue se transmite. En el receptor varias cosas pueden pasar*

+ 6i no 7ay errores1 la salida de decodificador es i5ual al cdi5oori5inal.

+ Para ciertos errores1 el decodificador puede detectar y corre5irlos mismos.

+ Para ciertos patrones de errores1 el decodificador puede

detectar el error pero no corre5irlo.+ Para ciertos errores el decodificador no puede detectar el error y

produce una se8al de salida $ue difiere de la ori5inal.

Cdi5os para la deteccin de errores


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Codificacin por 9lo$ues


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Cdi5os por 9lo$ues !ineales

Casi todos los cdi5os de #lo$ue utili)ado7oy en da pertenecen a un su#5rupollamado #lo$ue de cdi5os lineales.

:n cdi5o de #lo$ue lineal es un cdi5oen el $ue el ;3 exclusivo adicinmdulo'(2 de dos pala#ras de cdi5o

v"lidas crea otra pala#ra de cdi5o v"lida


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Deteccin de Errores


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Principios de la deteccin de errores

El al5oritmo suma r#its al #lo$ue de datos de m #its. !osk#its en la se8al ori5inal se transmiten en la pala#ra cdi5o de

(k+r)#its. !a distancia de Hamming1 dv%1v(2 se define como el n (n.dmin = minij [d(wi,wj)]

Por e?emplo1 si v% > &%%&%% y v( > %%&&&% dv%1v(2 >

!a funcin de la forma vc > fvd2 donde vd es un vector de data dem #its y vc la pala#ra cdi5o. El radio de redundanciaie redundancia2 es rAB. !a tasa del cdigoes BABr2 y mide la cantidad adicional de anc7o

de #anda $ue se necesita.


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!as si5uientes consideraciones se de#en tener en eldise8o de un cdi5o*+ Dado B y r1 nos 5ustara el valor m"s 5rande de dmin.

+ El codificador de#era ser sencillo re$uiriendo un mnimo de

memoria y tiempo de procesamiento.+ os 5ustara un pe$ue8o n


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Principios de la deteccin de errores

Para detectar d errores se re$uiere unadistancia de d+1. Por e?emplo1 #it deparidad.

Para corre5ir derrores1 se re$uiere unadistancia de d+1.


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9it de Paridad

6umar un #it al finalde un #lo$ue de data.

De forma tal $ue1 el

car"cter tiene*+ :n n %%%&&%&%+ Calculo en el receptor 92 >

%%%&&%&&+ Distancia -'9 > (


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C7e$ueo Cclico 3edundante C3C2

Para un #lo$ue de k#its1el transmisor 5enera unasecuencia de r#its.

El transmisor transmite

una secuencia de k+r#its1la cual es exactamentedivisi#le por un n trama de (r+k)

#its1 r FB

+ M> mensa?e de k#its.+ / > secuencia /C6

de r#its.+ P > divisor con un

patrnpredeterminado.

+ Tienen r+1#its.


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El o#?etivo es $ue TAP no ten5a resto.

Es claro $ue*

! = r" + #

+ r" despla)a el mensa?e a la i)$uierda y lo rellena de ceros &2.

Dividir r

" entre P*r"$%= & + '$%

:semos 3 como el /C6

! = r" + ' !$% = r" $%+ '$% = & + ('$% + '$%) = &

-s $ue no 7ay resto.

Esto es por la suma modulo ( #asada en la operacin ;3'exclusivo* = 1 = 1 1 = 1 1 1 = *

Entonces1 dividir (rM entre P y usar el resto como el /C6.



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6e puede demostrar $ue los si5uientes erroresson detecta#les*+ Errores de un #it

+ Errores de dos #its siempre $ue P tiene tres trminosen %.+ Cual$uier n


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C3C* 3epresentacin PolinomialAE?emplo

M > %&%&&&%%&% %& #its2 F'GHIHJH@H(%

P > %%&%&% K #its2 F'G H

L

HM

H(

% /C6 > N

O > %&

n > K + % > L

enere el mensa?e a ser transmitido.


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!5ica Di5ital

C3C puede ser representado usando un circuitocon compuertas H;3 y un re5istro dedespla)amiento.

El circuito es implementado*+ El re5istro contiene r#its la lon5 del /C62.

+ ,ay 7asta rcompuertas H;3.

+ !a presencia o ausencia de una compuertacorresponde con la presencia o ausencia de untermino en el divisor polinomial1 PH21 excluyendo eltrmino % y Hr.


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3epresentacin Di5ital

P(X)= X5+X4+X2+1


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Correccin de Errores


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/EC* Principios

El al5oritmo /EC suma n'B2 #its al #lo$ue de datos de B #its. !os B #its en la se8al ori5inal se transmiten en la pala#ra cdi5o de

n #its. !a distancia de Hamming1 dv%1v(2 se define como el n &%%&%% y v( > %%&&&% dv%1v(2 > !a funcin de la forma vc > fvd2 donde vd es un vector de data de B

#its y vc la pala#ra cdi5o. Dentro de un #lo$ue de cdi5o n1B2 7ay (O cdi5os v"lidos de (n

cdi5os posi#les.

El radio de redundanciaie redundancia2 es n'B2AB. !a tasa del cdigoes BAn y mide la cantidad adicional de anc7o de

#anda $ue se necesita.


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!a distancia mnima para una pala#ra cdi5o $ue consiste de0%10(1 =0s donde s > (n.dmin = minij [d(wi,wj)]

as siguientes condiciones se cumplen+ dmin-= t+1, el cdigo puede corregir hasta e incluendo t .its*

+ dmin-= t puede corregir todos los errores /= t01 .its loserrores de t .its pueden ser detectados*

tra forma de e2presar esta relacin es+ 3l m42imo n5mero de errores corregi.les es

t=[(dmin01)$] [2] el m4s grande de los enteros 6ue no e2cede 2*

+ 3l m42imo n5mero de errores 6ue pueden ser detectados es t=dmin01

/EC* Principios


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/EC* E?emplo

B>( y n>L

6upon5a $ue sereci#e &&%&&.

El cual es un cdi5oinv"lido.

!a distancia de

,ammin5 a cadacdi5o v"lido es*

Bloque dedatos

Palabra Cdigo

&& &&&&&

&% &&%%%

%& %%&&%%% %%%%&

Distancia mnima


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/EC* E?emplo

Obsrvese que si ocurren dos errores no se pueden corregir.


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/EC* Principios

!as si5uientes consideraciones se de#en teneren el dise8o de un cdi5o de #lo$ue*+ Dado n y B1 nos 5ustara el valor m"s 5rande de dmin.+ El codificador de#era ser sencillo re$uiriendo un

mnimo de memoria y tiempo de procesamiento.+ os 5ustara un pe$ue8o n


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/EC* Cdi5o de ,ammin5

Dise8ado para corre5ir errores de #it simples.

/amilia de #lo$ues de correccin de error (n,k)con los si5uientespar"metros*

+ !on5itud del #lo$ue* n > (m+ %

+ (m+ m + %+ m

+ Distancia mnima* dmin>

El proceso de codificacinAdescodificacin tiene la misma estructuradel /EC.

En el receptor el resultado de la comparacin H;3 de la se8alreci#ida y otra de la calculada2 es reali)ada.

El resultado se conoce como pala#ra sndrome.


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!a pala#ra sndrome tiene un ran5o de (.n'B2+ %.

indica no error entonces no se cuenta.

Como un error puede ocurrir en los B #itsde data o n'B2 #it de c7e$ueo*

(.n'B2' % G> Bn'B2 > n

Esto nos permite calcular el n


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Codificacin* k #its de datos (n 0k)#its de c7e$ueo. Decodificacin* compara los (n0k)#its reci#ido con los (n 0k)#its

calculados #its usando H;3. !os (n0k)#its resultantes se llamanpala.ra s7ndrome. El ran5o del sndrome esta entre & y (n'B2'%. El sndrome indica*

+ 6i contiene solo &s1 no se 7an detectados errores.+ 6i el sndrome contiene un solo #it en % entonces un error 7a ocurrido

en uno de los #its de c7e$ueo. Por lo tanto1 no se re$uiere correccin.+ 6i el sndrome contiene m"s de un #it en %1 entonces el valor numrico

del sndrome indica la posicin de un #it de data en error. El #it en errores invertido para su correccin.


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/EC* Cdi5o de ,ammin5'E?emploBloque de datos = 00111001


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/EC* Cdi5o de ,ammin5'E?emplo

Bit con error


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Cdi5os Cclicos

Pueden ser codificados y decodificados usandore5istros !/63s2.

Para un cdi5o cclico1 un cdi5o v"lido c&1 c%1

=1 cn'%21 despla)ado 7acia la i)$uierda un #itcn'%1 c&1 =1 cn'(21 es tam#in un cdi5o v"lido.

!a entrada de lon5itud fi?a B2 toma y produce uncdi5o n'B2.


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Codificacin* los B #its de data son usados como entrada paraproducir un cdi5o de c7e$ueo de n'B2 #its.

Decodificacin* la entrada reci#e un streamde #its de lon5itud n ieB #its de data se5uidos de n'B2 #its de c7e$ueo2.+ 6e procesan los #its reci#idos para calcular el cdi5o sndrome en la

misma manera $ue se calcularon los #its de c7e$ueo2.

+ 6i todos los #its del sndrome son cero1 no se 7a detectado error.

+ En caso contrario1 se e?ecuta procesamiento adicional del sndromepara corre5ir el error.

Cdi5os Cclicos


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Par"metros*+ T > trama de n #its $ue se transmite.+ D > data de B #its de lon5itud los primeros B #its de

T2.

+ P > patrn de n+B%2 #its predeterminados.+ 4 > Cociente.+ C > 3esto.

3epresentacin polinomial* los coeficientescorresponden a los #its en el n


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Para $ue TAP no ten5a resto entoncescomen)ar por*

!(8) = 8n0k;(8) +


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6i uno o m"s errores ocurren el #lo$ue reci#idotendr" la forma*(8) = !(8) + 3(8)

EH2 es el polinomio de n #its con un % en cadaposicin de #it $ue es un error en QH2. 6i se pasa QH2 por el mismo !/63 se tiene*

(8)$%(8)= >(8) + ?(8)$(%(8)

6H2 es el sndrome de lon5itud n'B2 #its.

Cdi5os Cclicos


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Cdi5os Cclicos

6e puede demostrar $ue EH2APH2 produce el mismoresto $ue QH2APH2 es decir 6H2APH2.(8)$%(8) = >(8)+?(8)$%(8)

(!(8)+3(8))$%(8) = >(8) + ?(8)$%(8)

&(8)+3(8)$%(8) = >(8) + ?(8)$%(8)3(8)$%(8)=[&(8)+>(8)]+ ?(8)$%(8)

Entonces 6H2 depende solo de los #its de error. -s $ue los #its de error se pueden corre5ir usando un

suma simple*(8) + 3(8) = !(8) + 3(8) + 3(8) = !(8)


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Cdi5os Cclicos* E?emplo

Cdi5o J121 es decir1 n>J1 B>1 n'B >. PH2 > H@H(% %%&%. Para $ue un cdi5o se capa) de corre5ir errores

simples* nF> (n'B'%2 Ra $ue n>J > (@'%>J este cdi5o es capa) de

corre5ir un error.

Ver ta#la a2 a continuacin1 note $ue ladistancia mnima es 1 entonces se confirma loanterior de acuerdo lo $ue se muestroanteriormente.


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Para cada patrn de error EH2 calcular el sndrome6H2.

Proceder como se muestra a continuacin para cadapatrn de error.

-s se o#tiene la ta#la #2 en la l"mina anterior.

110E(X)=X6

Cdi5o 9C,


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Cdi5o 9C,

Para un par de enteros positivos m y t un cdi5o9C, n1B2 tiene los si5uientes par"metros*+ !on5itud del #lo$ue* n > (m+ %+ (t %

Corri5e com#inaciones de t o menos errores. Permite 5ran flexi#ilidad en la eleccin de los

si5uientes par"metros !on5itud del #lo$ue y tasa del cdi5o


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Cdi5o 3eed'6olomon

6u# clase de lo cdi5os 9C,. !a data es procesada en tro)os de m #its1

llamados sm#olos.

:n cdi5o 36 n1B2 tiene los si5uientes par"metros*+ !on5itud del sm#olo* m #its por sm#olo+ !on5itud del #lo$ue* n > (m+ % sm#olos > m(m+ %2 #its+ !on5itud de la data* B sm#olos+ Tama8o del cdi5o de c7e$ueo* n + B > (t sm#olos >

m(t2 #its+ Distancia mnima* dmin > (t % sm#olos


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Cdi5o 3eed'6olomon*3jemplo

?ea t=1 m=* ;enotemos los s7m.olos,1,,@ 6ue se pueden escri.ir en forma.inaria como =, 1=1, =1 @=11* 3l

cdigo tiene los siguientes par4metros+ n= 01 = @ s7m.olos = A .its+ (n0k) = s7m.olos = B .its

3ste cdigo puede corregir una r4faga deerrores 6ue se e2pande en un s7m.olo de .its


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Sntercalamiento de #lo$ues

!a data es escrita y leda de la memoria en ordenes diferentes. :na tcnica muy com


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Cdi5os Convolucionales

eneran #it redundantes continuamente. C7e$ueo y correccin de errores reali)ados continuamente.

Cdi5o representado como (n, k, C)*

El proceso de entrada procesa k#its en un determinado tiempo.

!a salida produce n#its por cada k #its de entrada. K> factor de restriccin

ky n5eneralmente muy pe$ue8os.

!a salida de n#its del cdi5o (n,k,C)depende de*

+9lo$ue en curso de k#its de entrada.+ !os K01 #lo$ues previos de k#its de entrada.

!a tasa de un cdi5o convolucional es BAn.


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un-1,un-2

Codificacin


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Cdi5os Convolucionales* Codificacin

Existen varias maneras de representar5r"ficamente un codificador convencional*+r#ol de cdi5o.

+ Enramado trellis2.+ Dia5rama de Estado.


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Cdi5os Convolucionales *Descodificacin

El cdi5o de Viter#i es uno de los m"s importantesal5oritmos de correccin para los cdi5osconvolucionales.

Cdi5o de Viter#i + al5oritmo de correccin*

+ Compara la secuencia reci#ida con todas las posi#lessecuencias transmitidas.+ El al5oritmo eli5e el camino a travs del dia5rama de enramado

cuya posi#le secuencia transmitida difiere en el menor n


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Dia5rama de Enramado del Codificador en la/i5ura Previa


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Cdi5os Convolucionales * Descodificacin

Existen diversa variaciones del al5oritmode Viter#i.

Ellas dependen de la mtrica usada paramedir las deferencias entre lassecuencias reci#idas y las secuenciasvalidas.

:na de las mas comunes es usar ladistancia de ,ammin5.


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El al5oritmo opera de la si5uiente manera* El al5oritmo procede en pasos o niveles1 ?. MF>?F>!1 M> K'% memoria del codificador1 ! es la lon5

de la secuencia del mensa?e entrante.

En cada nodo del enramado se comparan las dostrayectorias path2 $ue entran al nodo.

6e retiene la trayectoria con menor mtrica. Estas trayectorias se llaman so.reDiDienteso actiDas.


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Cdi5os convolucionales * Descodificacin

Paso por paso el al5oritmo opera de la si5uientemanera*

Paso (nivel) 0:

+ 6e marca como & el estado m"s a la i)$uierda delenramado.

+ Pues en este punto no 7ay discrepancia.

+ 6e identifican todas las trayectorias so#revivientes.

+ 6e almacenan las trayectorias so#revivientes y sumtrica para cada estado del enramado.


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Paso (nivel) j+1:+ 6e calcula la mtrica para todas las trayectorias $ue

entran en cada estado del enramado.+ Esto consiste en la suma del la mtrica de las

ramas entrantesa las mtrica de la traectoriasobreviviente conectora desde el !aso j.+ 6e identifican todas las trayectorias so#revivientes la

trayectoria con la mtrica m"s #a?a2.+ 6e almacenan las trayectorias so#revivientes y su

mtrica para cada estado del enramado.


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Paso "inal:+ Continua el calculo 7asta $ue el al5oritmo completa su

#


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;


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;troE?emplo


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n = 2, =1, !="#asa del c$digo 1%2

&ecuencia enviada0000000'

&ecuencia recibida0100010000'

Dmin &&1&%2 > %Dmin %%1&%2 > %

%%

&&

%&

&%

Dmin &&1&&2 > &2% >%Dmin %%1&&2 > (2%>dmin%&1&&2>%2%>(

dmin&%1&&2>%2%>(


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Decodificacinincorrecta de la

secuencia depuros ceros

recibidas

&ecuencia enviada0000000'&ecuencia recibida1100010000'


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